1.सम्मिश्र विश्लेषण में श्रेणी का अभिसरण (Convergence of Series Complex Analysis),फलनों की श्रेणी का एकसमान अभिसरण तथा घात श्रेणी (Uniform Convergence of Series of Functions and Power Series):

Convergence of Series Complex Analysis

सम्मिश्र विश्लेषण में श्रेणी का अभिसरण (Convergence of Series Complex Analysis) के साथ ही श्रेणी के लिए निरपेक्ष अभिसारी,अभिसरण का क्षेत्र,अभिसरण का प्रांत के उदाहरणों का अध्ययन करेंगे।
आबेल प्रमेय (Abel’s Theorem):
यदि घात श्रेणी \overset{ \infty}{\underset{n=0}{\sum}} a_n z^n, z=z_0 \neq 0 पर अभिसारी है।तब \overset{ \infty}{\underset{n=0}{\sum}} a_n z^n,|z|<\mid z_0 \mid के लिए निरपेक्ष अभिसारी अर्थात् \overset{ \infty}{\underset{n=0}{\sum}} \left|a_n z^n\right|,|z|<\left|z_0\right| के लिए अभिसारी है।
(If the power series \overset{ \infty}{\underset{n=0}{\sum}} a_n z^n converges z=z_0 \neq 0.Then \overset{ \infty}{\underset{n=0}{\sum}} \left|a_n z^n\right| converges absolutely for |z|<\left|z_0\right| i.e. \overset{ \infty}{\underset{n=0}{\sum}} \left|a_n z^n\right| converges for |z|<\left|z_0\right|.)
उपपत्ति (Proof):दिया हुआ है कि \overset{ \infty}{\underset{n=0}{\sum}} a_n z_0^n अभिसारी श्रेणी है।इसलिए \lim _{n \rightarrow \infty} a_n z_n^n=0
अतः हम एक संख्या M>0 प्राप्त कर सकते हैं ताकि

\mid a_n z^n \mid \leq M \forall x \in N, n \geq m
अब \Sigma_{m+1}^{\infty}\left|a_n z^n\right|=\Sigma_{m+1}^{\infty}|a_{n}||z|^n \leq\Sigma_{m+1}^{\infty}  \frac{M |z|^n}{|z_{0}|^n} \leq M \Sigma_{m+1}^{\infty} \left| \frac{z}{z_0}\right|^{n} m \cdots(1)
परन्तु (1) के दांई हाथ वाली श्रेणी |z|<\left|z_0\right| के लिए अभिसारी है (चूँकि यह गुणोत्तर श्रेणी है) अतः तुलना परीक्षण से अनुगत होता है कि \forall z जिनके |z|<\left|z_0\right|,\left|a_n z^n\right| लिए अभिसारी है अर्थात् \Sigma a_n z^n |z|<\left|z_0\right| के लिए निरपेक्ष अभिसारी है।
टिप्पणी:माना कि M_n=\frac{|z|^n}{\left|z_0\right|^n}  चूँकि \left|z_1\right|<\left|z_0\right| अतः \Sigma M_n अभिसारी श्रेणी है।पुनः \left| a_n z^{n} \right|<M_n \forall z जिनके लिए |z| \leq |z| अतः वायर्स्ट्रास M-परीक्षण से a_n z^{n} एकसमान अभिसारी होगी।
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2.सम्मिश्र विश्लेषण में श्रेणी का अभिसरण के साधित उदाहरण (Convergence of Series Complex Analysis Solved Examples):

Example:1.सिद्ध कीजिए कि \Sigma_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n(n+1)},|z| \leq 1 के लिए निरपेक्ष अभिसारी है। (Prove that the series \Sigma_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n(n+1)},|z| \leq 1 is absolutely convergent for)
Solution: \Sigma_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n(n+1)} \\ u_n=\frac{z^{n}}{n(n+1)}, u_{n+1}= \frac{z^{n+1}}{(n+1)(n+2)} \\ \left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\left|\frac{\frac{z^{n+1}}{(n+1)(n+2)}}{\frac{z^n}{n(n+1)}}\right| \\ =\left|\frac{z^{n+1}}{(n+1)(n+2)} \cdot \frac{n(n+1)}{z^n}\right| \\ =\left|\frac{nz}{n+2}\right| \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left|\frac{u_{n}+1}{u_n}\right|=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} |z|\left|\frac{n}{n+2}\right| \\ \leq \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} 1 \cdot \left|\frac{n}{n+2}\right|\left[\because |z| \leq 1\right] \\ \leq \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left|\frac{n}{n(1+\frac{2}{n})}\right| \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left|\frac{u_{n}+1}{u_{n}}\right| <1
अतः श्रेणी निरपेक्ष अभिसारी है।
Example:2.श्रेणी \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+2)^{n-1}}{(n+1)^3 4^n} का अभिसरण क्षेत्र ज्ञात कीजिए। (Find the region of convergence of the series \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+2)^{n-1}}{(n+1)^3 4^n})
Solution: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+2)^{n-1}}{(n+1)^3 4^n} \\ u_n=\frac{(z+2)^{n-1}}{(n+1)^3 4^n}, u_{n+1}=\frac{(z+2)^n}{(n+2)^3 4^{n+1}} \\ \left|\frac{u_{n}+1}{u_{n}}\right| =\left|\frac{\frac{(z+2)^n}{(n+2)^3 4^{n+1}}}{\frac{(z+2)^{n-1}}{(n+1)^3 4^n}}\right| \\ =\left|\frac{(z+2)^n}{(n+2)^3 4^{n+1}} \cdot \frac{(n+1)^3 4^n}{(z+2)^{n-1}}\right| \\ =\left|\frac{1}{4}(z+2)\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^3\right| \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}  \left|\frac{1}{4}(z+2)\left(\frac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{2}{n}}\right)^3\right| \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left|\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right|=\frac{1}{4}(z+2)
अतः उपर्युक्त श्रेणी अभिसारी होगी यदि उपर्युक्त सीमा 1 से कम है अतः

\frac{|z+2|}{4}<1 \Rightarrow |z+2|<4
बिन्दु z=-2, |z+2|<4 में सम्मिलित है।
यदि \frac{|z+2|}{4}=1 \Rightarrow |z+2|=4 तब परीक्षण असफल हो जाता है इस स्थिति में

\left|u_n\right| =\left|\frac{(z+2)^{n-1}}{(n+1)^3 4^n}\right|=\left|\frac{u^{n-1}}{(n+1) 4^n}\right| \\ =\frac{1}{4(n+1)^3} \leq \frac{1}{n^3} \left[ \text{} |z+2|=4 \right] \\ \Sigma \frac{1}{n^{3}} अभिसारी है क्योंकि p=3>1
\left|u_n\right| \leq\left|v_n\right| तथा \Sigma \left|v_n\right| अभिसारी है।
दोनों परिणामों को सम्मिलित करने पर दी हुई श्रेणी |z+2| \leq 4 के लिए अभिसृत (निरपेक्ष) है।
अतः श्रेणी का क्षेत्र |z+2| \leq 4
Example:3.निम्न श्रेणियों का अभिसरण क्षेत्र प्राप्त कीजिएः
(Find the region of convergence of the following series):
Example:3(i). \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} z^{2 n-1}}{(n-1) !}
Solution: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} z^{2 n-1}}{(n-1) !} \\ u_n=\frac{(-1)^{n-1} z^{2n-1}}{(2n-1)!}, u_{n+1}=\frac{(-1)^n z^{2 n+1}}{(2 n+1) !}
दी हुई श्रेणी z=0 के अतिरिक्त अभिसारी है।
\left|\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right|=\left|\frac{(-1)^n z^{2 n+1}}{(2 n+1)!} \times \frac{(2n-1)!}{(-1)^{n-1} z^{2n-1}}\right| \\ =\left|\left(z^2\right)\left\{-\frac{(2 n-1) !}{(2 n+1)!}\right\}\right| \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left|\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right|=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} z^2 \frac{(2 n-1) !}{(2 n+1) !} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{z^2}{2 n(2 n+1)} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left|\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right|=0 (z के परिमित मान के लिए)
\forall z \in C के लिए श्रेणी अभिसारी है।
Example:3(ii). \sum_{n=1}^{\infty} n ! z^n
Solution: \sum_{n=1}^n n ! z^n \\ u_n=n ! z^n, u_{n+1}=(n+1) ! z^{n+1} \\ \left|\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right|=\left|\frac{(n+1) z^{n+1}}{n ! z^n}\right| \\ =|(n+1) z| \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left|\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right|=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} (n+1) z \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left|\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right|=\left\{\begin{array}{ll}\infty & \text { यदि } z \neq 0 \\ 0 & \text { यदि } z=0\end{array}\right.
अतः श्रेणी केवल z=0 पर अभिसारी है।
Example:4.सिद्ध कीजिए कि फलन e^{z} की निम्न श्रेणी सभी z के लिए निरपेक्ष एवं एकसमान अभिसारी हैः
(Prove that the following series for e^{z} is absolutely and uniformly convergent for  all values of z):

1+z+\frac{z^2}{2 !}+\cdots \cdots+\frac{z^n}{n !}+\cdots
Solution:प्रथम पद की उपेक्षा करने पर

1+z+\frac{z^2}{2 !}+\cdots \cdots+\frac{z^n}{n !}+\cdots \\ u_n=\frac{z^n}{n !}, u_{n+1}= \frac{z^{n+1}}{(n+1) !} \\ \left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\left|\frac{z^{n+1}}{(n+1)!} \times \frac{n !}{z^n}\right| \\ =\left|\frac{z}{n+1}\right| \\ =\frac{|z|}{n+1} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right| =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{|z|}{n+1}  यदि |z|=r \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{r+\infty}=0<1
अतः दी हुई श्रेणी निरपेक्ष अभिसारी है।
उपर्युक्त सम्बन्ध से यह स्थापित होता है कि \Sigma M_{n} अभिसारी है \left[\text{ जहाँ }\frac{r^n}{n!}=M^n\right]
अतः \left|u_{n}\right|=\Sigma M_{n} तथा \Sigma M_{n} अभिसारी है फलतः दी हुई श्रेणी एकसमान अभिसारी है।

Convergence of Series Complex Analysis

Example:8.निम्न श्रेणियों के लिए अभिसरण का प्रान्त ज्ञात कीजिएः
(Find domains of convergence of the following series):
Example:8(i). \frac{1}{2} z+\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 5} z^2+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 5 \cdot 8} z^3 +\cdots \cdots
Solution: \frac{1}{2} z+\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 5} z^2+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 5 \cdot 8} z^3 +\cdots \cdots \\ u_{n}=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots(2 n-1)}{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdots(3 n-1)} z^n \\ u_{n+1}=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots(2 n-1)(2 n+1)}{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdots(3 n-1)(3 n+2)} \cdot z^{n+1} \\ \left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\left| \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots(2 n-1)(2 n+1)}{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdots (3 n-1)(3 n+2)} \times \frac{2 \cdot 5 \cdot 8 \ldots (3 n-1)}{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots(2 n-1)} \times \frac{z^{n+1}}{z^n}\right| \\ =\left|\frac{2 n+1}{3 n+2} z\right| \\ =|z|\left|\frac{2 n+1}{3 n+2}\right| \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right| =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} |z|\left(\frac{2 n+1}{3 n+2}\right) \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} |z|\left(\frac{2+\frac{1}{n}}{3+\frac{2}{n}}\right) \\ =\frac{2}{3}|z|
श्रेणी अभिसारी है अतः

\frac{2}{3}|z| \leq 1 \Rightarrow|z| \leq \frac{3}{2}
Example:8(iii). \sum_{n=r}^{\infty} \frac{z^n}{n(\log n)^2}
Solution: \sum_{n=r}^{\infty} \frac{z^n}{n(\log n)^2} \\ u_n =\frac{z^n}{n(\log n)}, u_{n+1}= \frac{z^{n+1}}{(n+1)\left(\log (n+1)\right)^2} \\ \left|\frac{u_n+1}{u_n}\right| =\left|\frac{z^{n+1}}{(n+1)(\log (n+1))^2} \times \frac{n(\log n)^2}{z^n}\right|^2 \\ =|z| \frac{n}{n+1}\left|\frac{\log (n)}{\log (n+1)} \right|^{2} \\ =|z|\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right) \left|\frac{\log n}{\log (1+\frac{1}{n})}\right|^2 \\ =|z|\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n} }\right)\left|\frac{\log n}{\log n+\log \left(1+\frac{1}{n}\right)}\right|^2 \\ =|z|\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right)\left|\frac{\log n}{\log n+\frac{1}{n}-\frac{1}{2 n^{2}} +\cdots} \right|^{2} \\ = |z| \left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right) \left|\frac{1}{1+\frac{1}{n \log n}-\frac{1}{2 n^2 \log n}+ \ldots}\right|^2 \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} |z| \frac{1}{(1+\frac{1}{n})} \left|\frac{1}{1+\frac{1}{n \log n}-\frac{1}{2 n^2 \log n}+\ldots}\right|^2 \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=|z|
अतः श्रेणी अभिसारी है यदि |z|\leq 1
Example:9.क्या (Is) 1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^3}+\cdots एक घात श्रेणी है (a power series)?
Solution:हाँ, 1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^3}+\cdots एक घात श्रेणी है।
Example:10.यदि श्रेणियों \Sigma a_n z^n तथा \Sigma b_n z^n की अभिसरण त्रिज्याएँ क्रमशः R_1  तथा R_2 है तो सिद्ध कीजिए कि घात श्रेणी \Sigma a_n b_{n} z^n की अभिसरण त्रिज्या R_1 R_2 है।
(If  R_1 and R_2 are radii of convergence of power series \Sigma a_n z^n and \Sigma b_n z^n respectively, then show that the radius of convergence of the power series \Sigma a_n b_{n} z^n  is R_1 R_2.)
Solution:\Sigma a_n z^n तथा \Sigma b_n z^n श्रेणी की अभिसरण त्रिज्याएँ क्रमशः R_1  तथा R_2 हैं अतः
R_1=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{\left|a_n\right|^{\frac{1}{n}}} तथा R_2=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{\left|b_n\right|^{\frac{1}{n}}}
माना श्रेणी \Sigma a_n b_n z^n की अभिसरण त्रिज्या R है तब

R=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{\left|a_n b_{n}\right|^{\frac{1}{n}}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}  \frac{1}{\left|a_n \right|^{\frac{1}{n}}} \cdot \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{\left|b_{n} \right|^{\frac{1}{n}}} \\ =\left(R_1\right) \left(R_2\right) \\ \Rightarrow R=R_1 R_2
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सम्मिश्र विश्लेषण में श्रेणी का अभिसरण (Convergence of Series Complex Analysis),फलनों की श्रेणी का एकसमान अभिसरण तथा घात श्रेणी (Uniform Convergence of Series of Functions and Power Series) को समझ सकते हैं।

3.सम्मिश्र विश्लेषण में श्रेणी का अभिसरण की समस्याएँ (Convergence of Series Complex Analysis Problems):

Convergence of Series Complex Analysis

(1.)निम्न श्रेणी का क्षेत्र ज्ञात कीजिए
(Find the region of convergence of the series)

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(z+2)^{n-1}}{(n+1)^3 4^n}
(2.)श्रेणी की एकसमान अभिसारी का परीक्षण कीजिए
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{z^n}{n \sqrt{(n+1)}}  जहाँ |z| \leq 1
(Test for uniform convergence the series
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{z^n}{n \sqrt{(n+1)}}  in the region |z| \leq 1 )
उत्तर (Answers):(1) |z+2| < 4
(2.)एकसमान अभिसारी है।
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सम्मिश्र विश्लेषण में श्रेणी का अभिसरण (Convergence of Series Complex Analysis),फलनों की श्रेणी का एकसमान अभिसरण तथा घात श्रेणी (Uniform Convergence of Series of Functions and Power Series) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.सम्मिश्र विश्लेषण में श्रेणी का अभिसरण (Frequently Asked Questions Related to Convergence of Series Complex Analysis),फलनों की श्रेणी का एकसमान अभिसरण तथा घात श्रेणी (Uniform Convergence of Series of Functions and Power Series) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

सम्मिश्र विश्लेषण में श्रेणी का अभिसरण (Convergence of Series Complex Analysis)
के साथ ही श्रेणी के लिए निरपेक्ष अभिसारी,अभिसरण का क्षेत्र,अभिसरण का प्रांत
के उदाहरणों का अध्ययन करेंगे।