1.स्पर्श रेखाएँ और अभिलम्ब कक्षा 12 (Tangents and Normals Class 12),अवकलन गणित में स्पर्श रेखाएँ और अभिलम्ब (Tangent and Normal in Differential Calculus):

Tangents and Normals Class 12

स्पर्श रेखाएँ और अभिलम्ब कक्षा 12 (Tangents and Normals Class 12) के इस आर्टिकल में अवकलन के प्रयोग से किसी वक्र के दिए हुए बिन्दु पर स्पर्शरेखा और अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात करेंगे।
एक दिए हुए बिन्दु \left(x_0, y_0\right) से जानेवाली तथा परिमित प्रवणता (slope) m वाली रेखा का समीकरण:

y-y_0=m\left(x-x_0\right)
वक्र y=f(x) के बिन्दु \left(x_0, y_0\right) पर स्पर्शरेखा की प्रवणता

\left(\frac{d y}{d x}\right)_{\left(x_0, y_0\right)}=f^{\prime}\left(x_0\right)
से दर्शायी जाती है।इसलिए \left(x_0, y_0\right) पर वक्र y=f(x) की स्पर्शरेखा का समीकरण:

y-y_0=f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x_0-x_0\right)
अर्थात् y-y_0=\left(\frac{d y}{d x}\right)_{\left(x_0, y_0\right)}\left(x-x_0\right)
होता है।
इसके अतिरिक्त क्योंकि अभिलम्ब स्पर्शरेखा पर लम्ब होता है इसलिए y=f(x) के \left(x_0, y_0\right)  पर अभिलम्ब की प्रवणता -\frac{1}{f^{\prime}(x)} या \frac{-1}{\left(\frac{d y}{d x}\right)_{\left(x_0, y_0\right)}}  है।
चूँकि f'(x_{0}) \neq 0 है इसलिये वक्र y=f(x) के बिन्दु पर अभिलम्ब का समीकरण निम्नलिखित है:

y-y_0=-\frac{1}{f^{\prime}\left(x_0\right)}\left(x-x_0\right) \\ \Rightarrow \left(y-y_0\right) f^{\prime} \left(x_0\right)+\left(x-x_0\right)=0
अर्थात् \left(y-y_0\right)\left(\frac{d y}{d x}\right)_{\left(x_0, y_0\right)}+\left(x-x_0\right)=0
विशेष स्थितियां (Particular Cases):
(1.)यदि स्पर्शरेखा की प्रवणता शून्य है तब \tan \theta=0 और इस प्रकार \theta=0 जिसका अर्थ है कि स्पर्शरेखा x-अक्ष के समान्तर है।इस स्थिति में \left(x_0, y_0\right)  पर स्पर्शरेखा का समीकरण y=y_0 हो जाता है।
(2.)यदि \theta \rightarrow \frac{\pi}{2} तब \tan \theta \rightarrow \infty जिसका अर्थ है कि स्पर्शरेखा x-अक्ष पर लम्ब है अर्थात् y-अक्ष के समान्तर है।इस स्थिति में \left(x_0, y_0\right) पर स्पर्शरेखा का समीकरण x=x_0 होता है।
(3.)यदि दो रेखाएँ समान्तर हों तो m_1=m_2
(4.)यदि दो रेखाएँ लम्बवत हों तो m_1 m_2=-1
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2.स्पर्श रेखाएँ और अभिलम्ब कक्षा 12 के साधित उदाहरण (Tangents and Normals Class 12 Solved Examples):

Example:1.वक्र y=3 x^4-4 x के x=4 पर स्पर्शरेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
Solution: y=3 x^4-4 x \\ \left(\frac{d y}{d x}\right)=12 x^3-4 \\ \Rightarrow\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(x=4)}=12 \times 4^3-4=764
Example:2.वक्र y=\frac{x-1}{x-2}, x \neq 2 के x=10 पर स्पर्शरेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
Solution: y=\frac{x-1}{x-2}
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x}=\frac{(x-2) \frac{d}{d x}(x-1)-(x-1) \frac{d}{d x}(x-2)}{(x-2)^2}\\ =\frac{(x-2)(1)-(x-1)(1)}{(x-2)^2}\\ =\frac{x-2-x+1}{(x-2)^2}\\ =-\frac{1}{(x-2)^2}\\ \left(\frac{d y}{d x}\right)_{(x=10)}=\frac{1}{\left(10-2\right)^{2}} \\ \Rightarrow\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(x=10)}=-\frac{1}{64}
Example:3.वक्र y=x^3-x+1 की स्पर्शरेखा की प्रवणता उस बिन्दु पर ज्ञात कीजिए जिसका x-निर्देशांक 2 है।
Solution: y=x^3-x+1\\ \frac{d y}{d x}=3 x^2-1\\ \Rightarrow\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(x=2)}= 3(2)^2-1\\ =12-1\\ \Rightarrow \left(\frac{d y}{d x}\right)_{(x=2)}=11
Example:4.वक्र y=x^3-3 x+2  की स्पर्शरेखा की प्रवणता उस बिन्दु पर ज्ञात कीजिए जिसका x-निर्देशांक 3 है।
Solution:y=x^3-3 x+2
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x}=3 x^2-3 \\ \Rightarrow\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(x=3)} =3(3)^2-3 \\ =27-3 \\ =24 \\ \Rightarrow \left(\frac{d y}{d x}\right)_{(x=3)} =24
Example:5.वक्र x=a \cos ^3 \theta, y=a \sin ^3 \theta के \theta=\frac{\pi}{4} पर अभिलम्ब की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
Solution: x=a \cos ^3 \theta, y=a \sin ^3 \theta
\theta के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d x}{d \theta} =3 a \cos ^2 \theta \frac{d}{d \theta}(\cos \theta) \\ =3 a \cos ^2 \theta(-\sin \theta) \\ \frac{d x}{d \theta} =-3 a \cos ^2 \theta \sin \theta \\ \frac{d y}{d \theta} =3a \sin ^2 \theta \frac{d}{d \theta}(\sin \theta) \\ \frac{d y}{d \theta} =3 a \sin ^2 \theta \cos \theta \\ \frac{d y}{d x}= \frac{\frac{d y}{d \theta}}{\frac{d x}{d \theta}}\\ =\frac{3 a \sin ^2 \theta \cos \theta}{-3 a \cos ^2 \theta \sin \theta}\\ =-\tan \theta\\ \left(\frac{d y}{d x}\right)_{(x=\frac{\pi}{4})}=-\tan \left ( \frac{\pi}{4} \right )\\ \Rightarrow\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(x=\frac{\pi}{4})}=-1
अभिलम्ब की प्रवणता:

\Rightarrow-\frac{1}{\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(x=\frac{\pi}{4})}}=1
Example:6.वक्र x=1-a \sin \theta, y=b \cos ^2 \theta के पर अभिलम्ब की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
Solution: x=1-a \sin \theta, y=b \cos ^2 \theta
\theta के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d x}{d \theta}=-a \cos \theta \\ \frac{d y}{d \theta}=-2 b \cos \theta \sin \theta \\ \frac{d y}{d x}=\frac{\frac{d y}{d \theta}}{\frac{d x}{d \theta}}=\frac{-2 b \cos \theta \sin \theta}{-a \cos \theta} \\ =\frac{2 b \sin \theta}{a} \\ \Rightarrow\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(x=\frac{\pi}{2})}=\frac{2 b \sin \frac{\pi}{2}}{a} \\ =\frac{2 b(1)}{a} \\ \Rightarrow\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(x=\frac{\pi}{2})}=\frac{2 b}{a}
अभिलम्ब की प्रवणता:

-\frac{1}{\left(\frac{dy}{d x}\right)_{(x=\frac{\pi}{2})}}=\frac{-a}{2 b}
Example:7.वक्र y=x^3-3 x^2-9 x+7 पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ x-अक्ष के समान्तर हैं।
Solution: y=x^3-3 x^2-9 x+7 \ldots(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x}=3 x^2-6 x-9
x-अक्ष के समान्तर स्पर्शरेखा की प्रवणता:

\frac{d y}{d x}=0 \\ 3 x^2-6 x-9=0 \\ \Rightarrow 3\left(x^2-2 x-3\right)=0 \\ \Rightarrow x^2-3 x+x-3=0 \\ \Rightarrow x(x-3)+1(x-3)=0 \\ \Rightarrow(x+1)(x-3)=0 \\ \Rightarrow x=-1,3
जब x=-1 तो समीकरण (1) से:
y =(-1)^3-3(-1)^2-9(-1)+7 \\ =-1-3 \times 1+9+7 \\ =-1-3+9+7 \\ \Rightarrow y=12 \\ \left ( -1,12 \right )
जब x=3 तो समीकरण (1) से:

Tangents and Normals Class 12

Example:8.वक्र y=x^3-11 x+5 पर उस बिन्दु को ज्ञात कीजिए जिस स्पर्शरेखा y=x-11 है।
Solution: y=x^3-11 x+5 \ldots(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{dy}{dx}=3x^{2}-11 \ldots(2)\\ y=x-11 \ldots(3) \\ y=m x+c \ldots(4)
(3) व (4) से:

m=1 \Rightarrow \frac{d y}{d x}=1 \ldots(5)
(2) व (5) सेः

3 x^2-11=1 \\ 3 x^2=11+1 \\ \Rightarrow 3 x^2=12 \\ \Rightarrow x^2=\frac{12}{3} \\ \Rightarrow x^2=4 \\ \Rightarrow x^2=\pm \sqrt{4} \\ \Rightarrow x=\pm 2
जब x=2 तो (1) से:

y =2^3-11 \times 2+5 \\ \Rightarrow y =8-22+5 \\ \Rightarrow y =13-22 \\ \Rightarrow y=-9
जब x=-2 तो (1) सेः

y =(-2)^3-11 \times -2+5 \\ =-8+22+5 \\ \Rightarrow y=19
(-2,19) असंभव है।
(2,-9) स्पर्श बिन्दु है।
Example:9.वक्र y=(x-2)^2 पर एक बिन्दु ज्ञात कीजिए जिस पर स्पर्शरेखा बिन्दुओं (2,0) और (4,4) को मिलाने वाली रेखा के समान्तर है।
Solution: y=(x-2)^2 \ldots(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने परः

\frac{d y}{d x}=2(x-2) \ldots(2)
बिन्दुओं (2,0),(4,4) को मिलाने वाली रेखा की प्रवणता:

\frac{d y}{d x} =\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ =\frac{4-0}{4-2} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =\frac{4}{2} \ldots(3)
(2) व (3) से:

2(x-2)=\frac{4}{2} \\ \Rightarrow x-2=1 \\ \Rightarrow x=3
x का मान समीकरण (1) में रखने पर:

y=(3-2)^2 \\ \Rightarrow y=1^2 \\ \Rightarrow y=1 \\ (3,1)
Example:10.प्रवणता -1 वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र y=\frac{1}{x-1} ,x \neq 1 को स्पर्श करती है।
Solution:y=\frac{1}{x-1} \cdots(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x}=-\frac{1}{(x-1)^2} \\ -\frac{1}{(x-1)^2}=-1 \quad\left[\because \frac{d y}{d x}=-1\right] \\ \Rightarrow (x-1)^2=1 \\ \Rightarrow x-1=\pm 1 \\ \Rightarrow x=\pm 1+1 \\ x=2,0
जब x=2 तो (1) से:

y=\frac{1}{2-1}=1
जब x=0 तो (1) से:

y=\frac{1}{6-1}=-1 \\ (2,1),(0,-1)
(2,1) पर स्पर्शरेखा का समीकरण:

y-y_0=\left(\frac{d y}{d x}\right)_{\left(x_0, y_0\right)}\left(x-x_0\right) \\ y-1=-1(x-2) \\ \Rightarrow y-1=-x+2 \\ \Rightarrow x+y=3
(0,-1) पर स्पर्शरेखा का समीकरण:
y+1=-1(x-0) \\ \Rightarrow y+1=-x \\ \Rightarrow x+y+1=0, x+y=3
Example:11.प्रवणता 2 वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र y=\frac{1}{x-3}, x \neq 3 को स्पर्श करती हो।
Solution: y=\frac{1}{x-3}
x के सापेक्ष अवकलन करने परः

\frac{d y}{d x}=-\frac{1}{(x-3)^2} \cdots(1)
दिया है: \frac{d y}{d x}=2 \cdots(2)
(1) व (2) सेः

-\frac{1}{(x-3)^2}=2 \\ \Rightarrow 2(x-3)^2=-1 \\ \Rightarrow 2\left(x^2-6 x+9\right)=-1 \\ \Rightarrow 2 x^2-12 x+18+1=0 \\ \Rightarrow 2 x^2-12 x+19=0 \\ \Rightarrow x=\frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2-4 \times 2 \times 19}}{2 \times 2} \\ \Rightarrow x=\frac{12 \pm \sqrt{144-152}}{4} \\ \Rightarrow x=\frac{12 \pm \sqrt{-8}}{4}
x का मान वास्तविक संख्या नहीं है अतः यह सम्भव नहीं है। फलतः दी हुई प्रवणता वाली वक्र की कोई स्पर्शरेखा नहीं है।
Example:12.प्रवणता 0 वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र y=\frac{1}{x^2-2 x+3} को स्पर्श करती है।
Solution: y=\frac{1}{x^2-2 x+3} \ldots(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने परः

\frac{d y}{d x}=-\frac{(2 x-2)}{\left(x^2-2 x+3\right)^2} \ldots(2)
दिया हैः \frac{d y}{d x}=0 \ldots(3)
(2) व (3) सेः

\frac{-(2 x-2)}{\left(x^2-2 x+3\right)^2}=0 \\ \Rightarrow-2 x+2=0 \\ \Rightarrow 2 x=2  \Rightarrow x=1
x=1 समीकरण (1) में रखने पर:

y =\frac{1}{x^2-2 x+3} \\ =\frac{1}{1^2-2 \times 1+3} \\ \Rightarrow y =\frac{1}{2}
पर स्पर्शरेखा का समीकरण:

y-y_0=\left(\frac{d y}{d x}\right)_{\left(x_0, y_0\right)}\left(x-x_0\right) \\ \Rightarrow y-\frac{1}{2}=0(x-1) \\ \Rightarrow y-\frac{1}{2}=0 \Rightarrow y=\frac{1}{2}
Example:13.वक्र \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1 पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ
(i) x-अक्ष के समान्तर है
(ii) y-अक्ष के समान्तर है
Solution:\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1 \ldots(1) 
x के सापेक्ष अवकलन करने परः

\frac{2 x}{9}+\frac{2 y}{16} \frac{d y}{d x}=0 \\ \Rightarrow \frac{2 y}{16} \frac{d y}{d x}=-\frac{2 x}{9} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{2 x}{9} \times \frac{16}{2 y} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{16 x}{9 y} \ldots(2)
(i) x-अक्ष के समान्तर प्रवणता:

\frac{d y}{d x}=0 \ldots(3)
(2) व (3) सेः

\frac{-16 x}{9 y}=0 \Rightarrow x=0
x=0 समीकरण (1) में रखने परः
\frac{0^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1 \\ \Rightarrow y^2=16 \\ \Rightarrow y^2=\pm \sqrt{16} \\ \Rightarrow y=\pm 4 \\ (0,4),(0,-4)
(ii)y-अक्ष के समान्तर प्रवणता:

\frac{d y}{d x}=\infty \cdots(4)
(2) व (4) सेः

\frac{16 x}{9 y}=\infty \\ \Rightarrow \frac{46 x}{9 y} =\frac{1}{0} \\ \Rightarrow y =0
y=0 समीकरण (1) में रखने परः
\frac{x^2}{9}+\frac{0^2}{16}=1 \\ \Rightarrow x^2=9 \\ \Rightarrow x=\pm \sqrt{9} \\ \Rightarrow x=\pm 3 \\ (3,0),(-3,0)
Example:14.दिए हुए निर्दिष्ट बिन्दुओं पर स्पर्शरेखा और अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिए।
Example:14(i). y=x^4-6 x^3+13 x^{2}-10 x +5 के (0,5) पर
Solution:y=x^4-6 x^3+13 x^{2}-10 x +5
x के सापेक्ष अवकलन करने परः

\frac{d y}{d x}=4 x^3-18 x^2+26 x+6 \\ \left(\frac{d y}{d x}\right)_{(0,5)}=-10
(0,5) पर स्पर्शरेखा का समीकरण:

\left(y-y_0\right)=\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(0,5)}\left(x-x_0\right) \\ y-5=-10(x-0) \\ \Rightarrow y-5=-10 x \\ \Rightarrow 10 x+y-5=0
(0,5) पर अभिलम्ब का समीकरण:

\left(y-y_0\right)\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(0,5)}+(x-x_{0})=0 \\ \Rightarrow(y-5)(-10)+(x-0)=0 \\ \Rightarrow -10 y+50+x=0 \\ \Rightarrow x-10 y+50=0
Example:14(ii). y=x^4-6 x^3+13 x^2-10 x+5
Solution: y=x^4-6 x^3+13 x^2-10 x+5
x के सापेक्ष अवकलन करने परः

\frac{d y}{d x}=4 x^3-18 x^2+26 x-10 \\ \left(\frac{d y}{d x}\right)_{(1,3)}=4(1)^3-18(1)^2+26 \times 1-10 \\ =4-18+26-10 \\ \Rightarrow \left(\frac{d y}{d x}\right)_{(1,3)}=2
(1,3) पर स्पर्शरेखा का समीकरण:

y-y_0=\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(1,3)}\left(x-x_0\right) \\ y-3=2(x-1) \\ \Rightarrow y-3=2 x-2 \\ \Rightarrow 2 x-y+1=0
(1,3) पर अभिलम्ब का समीकरण:

\left(y-y_0\right)\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(1,3)}+\left(x-x_0\right)=0 \\ \Rightarrow(y-3)(2)+(x-1)=0 \\ \Rightarrow 2 y-6+x-1=0 \\ \Rightarrow x+2 y-7=0
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा स्पर्श रेखाएँ और अभिलम्ब कक्षा 12 (Tangents and Normals Class 12),अवकलन गणित में स्पर्श रेखाएँ और अभिलम्ब (Tangent and Normal in Differential Calculus) को समझ सकते हैं।

3.स्पर्श रेखाएँ और अभिलम्ब कक्षा 12 के सवाल (Tangents and Normals Class 12 Questions):

Tangents and Normals Class 12

(1.)सिद्ध कीजिए कि वक्र y=2 x^3-3 के बिन्दुओं x=2 तथा x=-2 पर स्पर्श रेखाएँ समान्तर हैं।
(2.)सिद्ध कीजिए कि वक्र y=x^2-5 x+6 के बिन्दुओं (2,0) तथा (3,0) पर स्पर्श रेखाएँ परस्पर लम्ब हैं।
(3.)यदि वक्र y=x^3+a x+b के बिन्दु (1,-6) पर स्पर्शरेखा x-y+5=0 के समान्तर हो तो a तथा b के मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answer) :(3.) a=-2,b=-5
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर स्पर्श रेखाएँ और अभिलम्ब कक्षा 12 (Tangents and Normals Class 12),अवकलन गणित में स्पर्श रेखाएँ और अभिलम्ब (Tangent and Normal in Differential Calculus) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.स्पर्श रेखाएँ और अभिलम्ब कक्षा 12 (Tangents and Normals Class 12),अवकलन गणित में स्पर्श रेखाएँ और अभिलम्ब (Tangent and Normal in Differential Calculus) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

स्पर्श रेखाएँ और अभिलम्ब कक्षा 12 (Tangents and Normals Class 12) के इस आर्टिकल में
अवकलन के प्रयोग से किसी वक्र के दिए हुए बिन्दु पर स्पर्शरेखा और अभिलम्ब का
समीकरण ज्ञात करेंगे।