Decreasing and Increasing Functions
1.ह्रासमान और वर्धमान फलन (Decreasing and Increasing Functions),वर्धमान और ह्रासमान फलन कक्षा 12 (Increasing and Decreasing Functions Class 12):
ह्रासमान और वर्धमान फलन (Decreasing and Increasing Functions) में वर्धमान फलन में हम देखते हैं कि आलेख के अनुदिश जैसे-जैसे बाँए से दाँए आलेख की ऊँचाई लगातार बढ़ती जाती है। इसी कारण वास्तविक संख्याओं x>0 के लिए फलन वर्धमान कहलाता है।
जब जैसे-जैसे आलेख के अनुदिश बाँए से दाँए की ओर जाते हैं आलेख की ऊँचाई लगातार घटती जाती है फलस्वरूप वास्तविक संख्याओं x<0 के लिए फलन ह्रासमान कहलाता है।
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2.ह्रासमान और वर्धमान फलन के साधित उदाहरण (Decreasing and Increasing Functions Solved Examples):
Example:1.निम्नलिखित में कौनसे फलन \left( 0,\frac{\pi}{2} \right) में निरन्तर ह्रासमान है?
(A)cos x (B)cos 2 x (C)cos 3 x (D)tan x
Solution:1(A) \cos x \\ f(x)=\cos x \\ \Rightarrow f^{\prime}(x)=-\sin x \\ x \in \left( 0,\frac{\pi}{2} \right) \\ \sin x>0 \\ \Rightarrow-\sin x<0
अतः f(x)=\cos x,\left( 0,\frac{\pi}{2} \right) में निरन्तर ह्रासमान है।
Solution:1(B). f(x)=\cos 2 x\\ f^{\prime}(x)=-2 \sin 2 x\\ x \in \left( 0,\frac{\pi}{2} \right)\\ \sin 2 x>0 \quad(0<2 x< \pi)\\ \Rightarrow-\sin 2 x<0\\ \Rightarrow f^{\prime}(x)<0
अतः अन्तराल \left( 0,\frac{\pi}{2} \right) में cos 2x निरन्तर ह्रासमान है।
Solution:1(C). f(x)=\cos 3 x \\ f^{\prime}(x)=-3 \sin 3 x \\ x \in \left( 0,\frac{\pi}{2} \right) \Rightarrow 0<x< \frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow 0<3 x< \frac{3\pi}{2}
\Rightarrow sin 3x धनात्मक तथा ऋणात्मक दोनों हो सकता है। \Rightarrow f(x)=-3 \sin 3 x धनात्मक तथा ऋणात्मक दोनों है। अतः फलन अन्तराल \left( 0,\frac{\pi}{2} \right) में न तो वर्धमान है और न ह्रासमान है।
Example:2.निम्नलिखित अन्तरालों में से किस अन्तराल में प्रदत्त फलन f निरन्तर ह्रासमान है।
(A)(0,1) (B) \left( \frac{\pi}{2},\pi \right) (C) \left( 0,\frac{\pi}{2} \right) (D) इनमें से कोई नहीं
Solution:माना f(x)=x^{100}+\sin x-1 \\ \Rightarrow f^{\prime}(x)=100 x^{99}+\cos x
(A) अन्तराल (0,1) के लिए
0<x<1 \\ \Rightarrow 0<100 x^{99}<100
तथा \cos x>0 \\ \therefore 100 x^{99}+\cos x>0 \Rightarrow f^{\prime}(x)>0
फलन f(x)=x^{100}+\sin x-1 अन्तराल (0,1) में वर्धमान है।
(B)अन्तराल \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) के लिए
x \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) \Rightarrow \frac{\pi}{2}<x<\pi\\ \Rightarrow x^{99}>1 \\ 100 x^{99}>100 \cdots(1)\\ \therefore x \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) \\ \therefore-1<\cos x<0 \Rightarrow 0>\cos x>-1 \cdots(2)(1) वे (2) से:
100 x^{99}+\cos x>100-1=99\\ 100 x^{99}+\cos x>0\\ \Rightarrow f^{\prime}(x)>0 \quad\left(\because f^{\prime}(x)=100 x^{99}+\cos x\right)\therefore \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) में फलन f(x) वर्धमान फलन है।
(C) अन्तराल \left( 0,\frac{\pi}{2} \right) के लिए
f^{\prime}(x)=100 x^{99}+\cos x>0क्योंकि cos x>0 तथा 100 x^{99}>0 \\ \Rightarrow f^{\prime}(x)>0
अन्तराल \left( 0,\frac{\pi}{2} \right) मे फलन वर्धमान है।
हम देखते है कि सभी अन्तरालों में फलन वर्धमान है।
अतः विकल्प (D) सही है
Example:3 a का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए अन्तराल (1,2) में f(x)=x^2+a x+1 से प्रदत्त फलन निरन्तर वर्धमान है।
Solution: f(x)=x^2+a x+1 \\ \Rightarrow f^{\prime}(x)=2 x+9 \\ x \in(1,2) \\ x \in(1,2) \\ \Rightarrow 1<x<2 \\ \Rightarrow 2<2 x<4 \\ \Rightarrow 2+a<2 x+a<4+a \\ \Rightarrow 2+a>0 \\ \therefore a>-2
अतः a का न्यूनतम मान -2 है
a=-2 के लिए
f^{\prime}(x)=2(x-1)>0 \\ \therefore 1<x<2
Example: 4: मान लीजिए (-1,1) से असंयुक्त एक अन्तराल I हो तो सिद्ध कीजिए कि I में f(x)=x+\frac{1}{x} से प्रदत्त फलन f, निरन्तर वर्धमान है।
Solution: f(x)=x+\frac{1}{x} \\ \Rightarrow f^{\prime}(x)=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2} \\ \Rightarrow f^{\prime}(x)=1-\frac{1}{x^{2}}=\frac{x^2-1}{x^2}
प्रश्नानुसार ऐसा अन्तराल है जो
(-1,1) से असंयुक्त अर्थात
x<-1 तथा x>1
f^{\prime}(x)>0
यदि \frac{x^2-1}{x^{2}}>0 \Rightarrow x^2>1 \\ \Rightarrow x<-1 तथा x>1
इस अन्तराल में f'(x)>0 है।
अतः फलन f निरन्तर वर्धमान है जब
x<-1,x>1
अतः f(x),I में निरन्तर वर्धमान है।
Example:5.सिद्ध कीजिए कि फलन f(x)=\log \sin x,\left( 0,\frac{\pi}{2} \right) में निरन्तर वर्धमान और \left( \frac{\pi}{2},\pi \right) में निरन्तर ह्रासमान है।
Solution: f(x)=\log \sin x \\ \Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{1}{\sin x} \cdot \frac{d}{d x}(\sin x) \\ \Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{\cos x}{\sin x} \\ \Rightarrow f^{\prime}(x)=\cot x
अन्तराल \left( 0,\frac{\pi}{2} \right) में x>0
f'(x)>0
अतः अन्तराल \left( 0,\frac{\pi}{2} \right) में फलन निरन्तर वर्धमान है।
अन्तराल \left( \frac{\pi}{2},\pi \right) में
\cot x<0 \\ \Rightarrow f^{\prime}(x)<0
f'(x) <0 अतः अन्तराल \left( \frac{\pi}{2},\pi \right) में फलन निरन्तर ह्रासमान है।
Example:6.सिद्ध कीजिए कि फलन f(x)=\log \cos x,\left( 0,\frac{\pi}{2} \right) में निरन्तर ह्रासमान और \left( \frac{\pi}{2},\pi \right) में निरन्तर वर्धमान है।
Solution: f(x)=\log \cos x \\ \Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{1}{\cos x} \cdot \frac{d}{dx} \cos x \\ \Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{-\sin x}{\cos x} \\ \Rightarrow f^{\prime}(x)=-\tan x
(i)अन्तराल \left( 0,\frac{\pi}{2} \right) में
\tan x>0 \Rightarrow-\tan x<0 \\ \Rightarrow f^{\prime}(x)<0अन्तराल \left( 0,\frac{\pi}{2} \right) में फलन निरन्तर ह्रासमान है।
(ii)अन्तराल \left( \frac{\pi}{2},\pi \right) में
\tan x<0 \\ \Rightarrow-\tan x>0 \\ \Rightarrow f^{\prime}(x)>0\\ \left( \frac{\pi}{2},\pi \right) में फलन निरन्तर वर्धमान है।
Example:7.सिद्ध कीजिए कि R में दिया गया फलन f(x)=x^3-3 x^2+3 x-100 वर्धमान है।
Solution: f(x)=x^3-3 x^2+3 x-100 \\ \Rightarrow f^{\prime}(x)=3 x^2-6 x+3 \\ \Rightarrow f^{\prime}(x)=3\left(x^2-2 x+1\right) \\ \Rightarrow f^{\prime}(x)=3(x-1)^2>0 \\ \Rightarrow f^{\prime}(x)>0\left\{ \because (x-1)^2>0 \forall x \in R\right\}
अतः फलन R में निरन्तर वर्धमान है।
Example:8.निम्नलिखित में किस अन्तराल में y=x^2 e^{-x} वर्धमान है?
(A)\left( -\infty,\infty \right) (B) (-2,0) (C)\left ( 2,\infty \right ) (D) (0,2)
Solution: y=f(x)=x^2 e^{-x}\\ \Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{d y}{d x}=2 x e^{-x}+x^2(-1) e^{-x}\\ =2 x e^{-x}-x^2 e^{-x}\\ \Rightarrow f^{\prime}(x)=e^{-x} \cdot x(2-x)\\ \Rightarrow f^{\prime}(x)=-e^{-x} x(x-2)
यदि फलन f वर्धमान है तो f'(x)>0
f^{\prime}(x)>0\\ \Rightarrow -x e^{-x}(x-2)>0\\ \Rightarrow-x(x-2)>0 \quad\left[e^{-x}>0 \Rightarrow \frac{1}{e^x}>0\right] \\ \Rightarrow x(x-2)<0 \\ \Rightarrow x\in(0,2) \\ \Rightarrow f^{\prime}(x)>0
अन्तराल (0,2) में फलन f वर्धमान है।अतः विकल्प (D) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों द्वारा ह्रासमान और वर्धमान फलन (Decreasing and Increasing Functions),वर्धमान और ह्रासमान फलन कक्षा 12 (Increasing and Decreasing Functions Class 12) को समझ सकते हैं।
3.ह्रासमान और वर्धमान फलन के सवाल (Decreasing and Increasing Functions Questions):
(1.)अन्तराल ज्ञात कीजिए जिसमें फलन
f(x)=2 x^3-9 x^2+12 x+3
(a)वर्धमान है (b)ह्रासमान है
(2.)a का मान ज्ञात कीजिए जबकि R में f(x)=x^{3}-ax एक वर्धमान फलन हो।
उत्तर (Answers):(1.)अन्तराल (-\infty, 1) \cup(2, \infty) में वर्धमान तथा अन्तराल (1,2) में ह्रासमान है।
(2)a \le 0
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर ह्रासमान और वर्धमान फलन (Decreasing and Increasing Functions),वर्धमान और ह्रासमान फलन कक्षा 12 (Increasing and Decreasing Functions Class 12) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.ह्रासमान और वर्धमान फलन (Decreasing and Increasing Functions),वर्धमान और ह्रासमान फलन कक्षा 12 (Increasing and Decreasing Functions Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.निरन्तर वर्धमान फलन होने की शर्त क्या है? (What is the Condition of Strictly Increasing Functions?):
उत्तर:एक फलन f(x) विवृत्त (खुला) अन्तराल (a,b) में निरन्तर वर्धमान फलन कहलाता है यदि x_1<x_2 \Rightarrow f\left(x_1\right) <f\left(x_2\right) \forall x_1,x_2 \in \left(a, b\right) अर्थात् विवृत्त अन्तराल (a,b) में प्रत्येक x के बढ़ने के साथ-साथ फलन f(x) भी बढ़ता है।
प्रश्न:2.निरन्तर ह्रासमान फलन होने की शर्त क्या है? (What is the Condition of Strictly Decreasing Functions?):
उत्तर:एक फलन f(x) विवृत्त (खुला) अन्तराल (a,b) में निरन्तर ह्रासमान फलन कहलाता है यदि x_1<x_2 \Rightarrow f\left(x_1\right) > f\left(x_2\right) \forall x_1,x_2 \in \left(a, b\right) अर्थात् (a,b) विवृत्त अन्तराल में प्रत्येक x के बढ़ने के साथ-साथ फलन f(x) घटता है।
प्रश्न:3.फलन की कौन-कौनसी स्थितियां होती हैं? (What are the Conditions of the Functions?):
उत्तर:फलन की अन्तराल में तीन स्थितियां हो सकती है:
(1.)वर्धमान (2.)ह्रासमान (3.)न वर्धमान और न ह्रासमान
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा ह्रासमान और वर्धमान फलन (Decreasing and Increasing Functions),वर्धमान और ह्रासमान फलन कक्षा 12 (Increasing and Decreasing Functions Class 12) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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ह्रासमान और वर्धमान फलन
(Decreasing and Increasing Functions)
Decreasing and Increasing Functions
ह्रासमान और वर्धमान फलन (Decreasing and Increasing Functions) में वर्धमान फलन में
हम देखते हैं कि आलेख के अनुदिश जैसे-जैसे बाँए से दाँए आलेख की ऊँचाई लगातार
बढ़ती जाती है।
About Author
Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
