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Integration of Product of Functions

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1 1.फलनों के गुणनफल का समाकलन (Integration of Product of Functions),खण्डश: समाकलन (Integration by Parts):
1.2 3.फलनों के गुणनफल का समाकलन की समस्याएं (Integration of Product of Function Problems):

1.फलनों के गुणनफल का समाकलन (Integration of Product of Functions),खण्डश: समाकलन (Integration by Parts):

फलनों के गुणनफल का समाकलन (Integration of Product of Functions):कुछ फलनों का समाकल त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं,प्रतिस्थापन विधियों तथा बीजीय फलनों के समाकल ज्ञात करने की विधियों से ज्ञात करना या तो कठिन होता है या फिर संभव नहीं होता।ऐसे में हम दिए हुए फलनों को खण्डों में व्यक्त कर कुछ साधारण नियमों के अनुसार समाकल ज्ञात करते हैं।इनमें अबीजीय फलन यथा चरघातांकी,लघुगणकीय और प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का समाकल ज्ञात करना प्रमुख है।
खण्डश: समाकलन विधि की सफलता प्रथम व द्वितीय फलन के सही चयन पर निर्भर करती है।फलनों का चयन इस प्रकार करना चाहिए कि द्वितीय फलन का आसानी से समाकलन ज्ञात किया जा सके।यद्यपि फलनों के चयन का कोई व्यापक नियम नहीं है फिर भी निम्न बिन्दुओं का ध्यान रखना चाहिए।
(1.)यदि समाकल्य चर x की घात तथा चरघातांकी या त्रिकोणमितीय फलनों का गुणनफल हो तो चरघातांकी या त्रिकोणमितीय फलन को द्वितीय फलन लेना चाहिए।
(2.)अकेले प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन या लघुगणकीय फलनों के समाकलन हेतु इकाई 1 को द्वितीय फलन लेकर समाकलन करना चाहिए।
(3.)खण्डश: समाकलन (Integration by Parts) करते समय दायीं ओर समाकल मूलरूप से लौटकर आ जाता है ऐसी स्थिति में पक्षान्तरण कर समाकलन करना चाहिए।
(4.)आवश्यकतानुसार खण्डश: समाकलन (Integration by Parts) का सूत्र एक से अधिक बार में प्रयोग में लिया जा सकता है।
विशेषत: हम खण्डश: समाकलन (Integration by Parts) में नियम ILATEC के अनुसार समाकलन कर सकते हैं।ILATEC में पहलें आनेवाले को प्रथम फलन व बाद में आनेवाले को द्वितीय फलन चुन सकते हैं।
I-Inverse Trigonometric Functions (प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों जैसे \sin^{-1} x, \cos^{-1} x, \tan^{-1} x आदि के लिए)
L-Logarithmic Functions (लघुगणकीय फलनों \log x, \log \left(x^{2}+a^{2}\right) आदि के लिए)
A-Algebraic Functions (बीजीय फलनों x,x+1,2x,\sqrt{x} आदि के लिए)
T-Trigonometric Functions त्रिकोणमितीय फलनों \sin x, \cos x, \tan x आदि के लिए)
E-Exponential Function (चरघातांकी a^{x}, e^{x}, 2^{x}, 3^{-x} आदि फलनों के लिए)
C-Constant (अचर जैसे आदि के लिए)
खण्डश: समाकलन सूत्र (Integration of Parts Formula):

\int u \cdot v d x=u \int v d x-\int\left[\frac{d u}{d x} \int v d x\right] d x

Also Read This Article:-Integration of Rational Functions

2.फलनों के गुणनफल का समाकलन के उदाहरण (Integration of Product of Functions Examples):

निम्न फलनों का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए:
Example:1. x \cos x
Solution:I=\int x \cos x d x \\ =x \int \cos x d x-\int \left[\frac{d}{d x}(x) \int \cos x d x\right] d x \\ =x \sin x-\int \sin x d x \\ I=x \sin x+\cos x+c
Example:2.x \sec ^{2} x
Solution:I=\int x \sec ^{2} x d x \\ =x \int \sec ^{2} x d x-\int\left[\frac{d}{dx} (x) \int \sec ^{2} x d x\right] d x \\ =x \tan x-\int \tan x d x \\ =x \tan x-\log (\sec x)+c
Example:3.x^{3} e^{-x}
Solution:I=\int x^{3} e^{-x} d x \\ =x^{3} \int e^{-x} d x-\int \left[ \frac{d}{d x}\left(x^{3}\right) \int e^{-x} d x\right] d x \\=-x^{3} e^{-x}+\int 3 x^{2} e^{-x} d x \\ =-x^{3} e^{-x}+3 x^{2} \int e^{-x} d x-3 \int \left[\frac{d}{dx} (x^{2}) \int e^{-x} d x\right] d x \\ =-x^{3} e^{-x}-3 x^{2} e^{-x}+3 \int 2 x e^{-x} d x \\ =-x^{3} e^{-x}-3 x^{2} e^{-x}+6 x \int e^{-x} d x-6 \int\left[\frac{d}{d x}(x) \int e^{-x} d x\right] d x \\ =-x^{3} e^{-x}-3 x^{2} e^{-x}-6 x e^{-x}-6 \int e^{-x} d x+c \\ =-e^{x}\left(x^{3}+3 x^{2}+6 x+6\right)+c
Example:4.x^{3} e^{x^{2}}
Solution: I=\int x^{3} e^{x^{2}} d x \\ \text { put } x^{2}=t \Rightarrow 2 x d x=d t \\ I =\frac{1}{2} \int t e^{t} d t \\ =\frac{1}{2} t \int e^{t} d t-\frac{1}{2} \int \left[ \frac{d}{dt} (t) \int e^{t} d t\right] d t \\ =\frac{1}{2} t e^{t}-\frac{1}{2} \int e^{t} d t \\ =\frac{1}{2} t e^{t}-\frac{1}{2} e^{t}+c \\ I =\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}}-\frac{1}{2} e^{x^{2}}+c \\ \Rightarrow I=\frac{1}{2} e^{x^{2}}\left(x^{2}-1\right)+c
Example:5.x^{3} \sin x
Solution:I=\int x^{3} \sin x d x \\ =x^{3} \int \sin x d x-\int\left[\frac{d}{d x}\left(x^{3}\right) \int \sin x d x\right] d x \\ =-x^{3} \cos x+\int 3 x^{2} \cos x d x \\ =-x^{3} \cos x+3 x^{2} \int \cos x d x-3 \int\left[\frac{d }{d x} (x^{2}) \int \cos x dx \right] dx \\ =-x^{3} \cos x+3 x^{2} \sin x-6 \int x \sin x d x \\ =-x^{3} \cos x+3 x^{2} \sin x-6 x \int \sin x d x+6 \int\left[\frac{d}{dx}(x) \int \sin x d x\right] d x \\ =-x^{3} \cos x+3 x^{2} \sin x+6 x \cos x-6 \int \cos x d x+c \\ I=-x^{3} \cos x+3 x^{2} \sin x+6 x \cos x-6 \sin x +c
Example:6.e^{2 x} e^{e^{x}}
Solution:I=\int e^{2 x} \cdot e^{e^{x}} d x \\ \text { put } e^{x}=t \\ \Rightarrow e^{x} d x=d t \\ \Rightarrow I=\int t^{2} e^{t} d t \\ =t^{2} \int e^{t} d t-\int\left[\frac{d}{d t}\left(t^{2}\right) \int e^{t} d t\right] d t \\ =t^{2} e^{t}-\int 2 t e^{t} d t \\ =t^{2} e^{t}-2 t \int e^{t} d t+2 \int \left[ \frac{d}{dt}(t) \int e^{t} d t \right] d t \\ =t^{2} e^{t}-2 t e^{t}+2 \int e^{t} d t \\ =t^{2} e^{t}-2 t e^{t}+2 e^{t}+c \\ =e^{2 x} \cdot e^{e^{x}}-2 e^{x} \cdot e^{e^{x}}+2 e^{e^{x}}+c \\ I=e^{e^{x}}\left(e^{2 x}-2 e^{x}+2\right)+c
Example:7.(\log x)^{2}
Solution:I=\int(\log x)^{2} d x \\ =(\log x)^{2} \int 1 \cdot d x-\int \left[\frac{d}{d x}(\log x)^{2} \int 1 \cdot d x\right] d x \\ =x (\log x)^{2}-\int 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} \cdot x d x \\ =x(\log x)^{2}-\int 2(\log x) d x \\ =x(\log x)^{2}-2 \log x \int 1 \cdot d x+2 \int \left[ \frac{d}{dx} (\log x)\cdot \int 1 dx \right] d x \\ =x(\log x)^{2}-2 x \log x+2 \int \frac{1}{x} \cdot x d x \\ =x(\log x)^{2}-2 x \log x+2 \int 1 \cdot d x \\ I=x(\log x)^{2}-2 x \log x+2 x+c

Example:8.\cos^{-1} x
Solution:I=\int \cos ^{-1} x d x \\ I=\cos ^{-1} x \int 1 d x-\int\left[\frac{d}{d x}(\cos^{-1} x) \int 1 d x\right] d x \\ = x \cos ^{-1} x+\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \cdot x d x \\ \text { put } 1-x^{2}=t \Rightarrow-2 x d x=d t \\ = x \cos ^{-1} x+\int\left(-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{t}}\right) d t \\ = x \cos ^{-1} x-\frac{1}{2} \int t^{-\frac{1}{2}} d t \\ = x \cos ^{-1} x-\frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{t}+c \\I= x \cos ^{-1} x-\sqrt{1-x^{2}}+c
Example:9.Cosec^{-1} \sqrt{\frac{x+a}{x}}
Solution:I=\int \operatorname{cosec}^{-1} \sqrt{\frac{x+a}{x}} d x \\ \text { Put } x=a \tan ^{2} \theta \Rightarrow d x=2 a \tan \theta \sec ^{2} \theta d \theta \\ I=\int cosec^{-1}\left(\sqrt{\frac{a+a \tan ^{2} \theta}{a \tan ^{2} \theta}}\right) 2a \tan \theta \sec^{2} \theta \\ =\int \operatorname{cosec}^{-1} \left(\sqrt{\frac{\sec ^{2} \theta}{\tan ^{2} \theta}} \right) 2 a \tan \theta \sec ^{2} \theta d \theta\\ =\int \operatorname{cosec}^{-1}(\operatorname{cosec} \theta) \cdot 2 a \tan \theta \sec ^{2} \theta d \theta \\ I=2 a \int \theta \tan \theta \sec ^{2} \theta d \theta \\ =2 a \theta \int \tan \theta \sec ^{2} \theta d \theta-2 a \int \frac{d}{ d \theta}(\theta) \int \tan \theta \sec ^{2} \theta d \theta \\ =2 a \theta \cdot \frac{\tan ^{2} \theta}{2}-2 a \int \frac{\tan ^{2} \theta}{2} d \theta \\ =a \theta \tan ^{2} \theta-a \int\left(\sec ^{2} \theta-1\right) d \theta \\ =a \theta \tan ^{2} \theta-a \int \sec ^{2} \theta d \theta+a \int d \theta \\ =a \theta \tan ^{2} \theta-a \tan \theta+a \theta+c \\ =a \tan^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}} \cdot \frac{x}{a}-a \sqrt{\frac{x}{a}}+a \tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{x}{a}}\right)+c \\ I=2 x \tan ^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}}-\sqrt{a x}+a \tan \left(\sqrt{\frac{x}{a}}\right)+c \\ I=(x+a) \tan ^{-1}\left(\sqrt{\frac{x}{a}}\right)-\sqrt{a x}+c
Example:10.\sin ^{-1}\left(3 x-4 x^{3}\right)
Solution:I=\int \sin ^{-1}\left(3 x-4 x^{3}\right) d x \\ \text { put } x=\sin \theta \\ \Rightarrow d x=\cos \theta d \theta \\ I=\int \sin ^{-1}\left(3 \sin \theta-4 \sin ^{3} \theta\right) \cdot \cos \theta d \theta \\ =\int \sin^{-1} (\sin 3 \theta) \cdot \cos \theta d \theta \\ =\int 3 \theta \cos \theta d \theta \\ =3 \theta \int \cos \theta d \theta-3 \int \left[ \frac{d}{d \theta}(\theta) \int \cos \theta d \theta\right] d \theta \\ =3 \theta \sin \theta-3 \int \sin \theta d \theta \\ =3 \theta \sin \theta+3 \cos \theta+c \\ I=3 x \sin ^{-1} x+3 \sqrt{1-x^{2}}+c
Example:11.\frac{x}{1+\cos x}
Solution:I=\int \frac{x}{1+\cos x} d x \\ =\int \frac{x}{2 \cos ^{2} \frac{x}{2}} d x \\ =\frac{1}{2} \int x \sec ^{2} \frac{x}{2} d x \\ =\frac{1}{2} x \int \sec ^{2} \frac{x}{2} d x-\frac{1}{2} \int \left[ \frac{d}{d x}(x) \int \sec ^{2} \frac{x}{2} d x\right] d x \\ =\frac{1}{2} x \cdot 2 \tan \frac{x}{2}-\frac{1}{2} \int 2 \tan \frac{x}{2} d x \\ I =x \tan \left(\frac{x}{2}\right)-2 \log \mid \sec \left(\frac{x}{2}\right) \mid+c
Example:12.\cos \sqrt{x}
Solution:I=\int \cos \sqrt{x} d x \\ \text { put } \sqrt{x}=t \Rightarrow \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x=d t \\ \Rightarrow d x=2 \sqrt{x} d t \\ I=\int(\cos t) 2 t d t \\ I=2 t \int \cos t d t-2 \int \left[\frac{d}{d t}(t) \int \cos t d t\right] d t \\ =2 t \sin t-2 \int \sin t d t \\ =2 t \sin t+2 \cos t+c \\ I=2 \sqrt{x} \sin \sqrt{x}+2 \cos \sqrt{x}+c
Example:13.\frac{x}{1+\sin x}
Solution:I=\int \frac{x}{1+\sin x} \times \frac{1-\sin x}{1-\sin x} d x \\ =\int \frac{x(1-\sin x)}{1-\sin ^{2} x} d x \\ =\int \frac{x(1-\sin x)}{\cos ^{2} x} d x \\ =\int x \sec ^{2} x d x-\int x \sec x \tan x d x \\ =x \int \sec ^{2} x d x-\int\left[\frac{d}{d x}(x) \int \sec ^{2} x d x\right] d x -x \int \sec x \tan x d x+\left[ \frac{d}{dx}(x) \int \sec x \tan x dx \right] dx \\ =x \tan x-\int \tan x d x-x \sec x +\int \sec x d x \\ I=x \tan x-\log |\sec x|-x \sec x+\log |\sec x+\tan x|+c
Example:14.\frac{x \tan ^{-1} x}{\left(1+x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}
Solution:I=\int \frac{x \tan ^{-1} x}{\left(1+x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} d x \\ \text { put } x=\tan \theta \Rightarrow d x=\sec ^{2} \theta d \theta \\I=\int \frac{\theta \tan \theta \sec ^{2} \theta d \theta}{\left(1+\tan ^{2} \theta \right)^{\frac{3}{2}}} \\ =\int \frac{\theta \tan \theta \sec ^{2} \theta}{\sec ^{3} \theta} d \theta \\ =\int \frac{\theta \tan \theta d \theta}{\sec \theta} \\ =\int \theta \sin \theta d \theta \\ =\theta \int \sin \theta d \theta-\int\left[\frac{d}{d \theta}(\theta) \int \sin \theta d \theta \right] d \theta \\ =-\theta \cos \theta+\int \cos \theta d \theta \\ =-\theta \cos \theta+\sin \theta+c \\ I=-\frac{\tan^{-1} x}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}+c
Example:15.e^{x}(\cot x+\log \sin x)
Solution:I=\int e^{x}(\cot x+\log \sin x) d x \\ =\int e^{x} \cot x d x+\int e^{x} \log \sin x d x \\ =e^{x} \int \cot x d x-\int \left[ \frac{d}{d x}\left(e^{x}\right) \int \cot x d x\right] d x+\int e^{x} \log \sin x d x \\ =e^{x } \log \mid \sin x \mid-\int e^{x} \log (\sin x) d x+\int e^{x} \log (\sin x) d x \\ I=e^{x}\log |\sin x|+c
Example:16.e^{x}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{2}{x^{3}}\right)
Solution:I=e^{x}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{2}{x^{3}}\right) \\ I=\int \frac{e^{x}}{x^{2}} d x-\int \frac{2 e^{x}}{x^{3}} d x \\ =\frac{1}{x^{2}} \int e^{x} d x-\int\left[\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{x^{2}}\right) \int e^{x} d x\right] d x-\int \frac{2 e^{x}}{x^{3}} d x \\ =\frac{e^{x}}{x^{2}}+\int \frac{2 e^{x}}{x^{3}} d x-\int \frac{2 e^{x}}{x^{3}} d x \\ I=\frac{e^{x}}{x^{2}}+c
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा फलनों के गुणनफल का समाकलन (Integration of Product of Functions),खण्डश: समाकलन (Integration by Parts) को समझ सकते हैं।

                         “गुरु पूर्णिमा की हार्दिक शुभकामनाएं”

गुरु वह है जो अज्ञान को हटाकर प्रकाश फैलाता है।गुरु शरीर नहीं प्रकाशस्वरूप चैतन्य आत्मा है।

3.फलनों के गुणनफल का समाकलन की समस्याएं (Integration of Product of Function Problems):

(1.)फलन x^{2} e^{x} का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए।
(2.)x \log x का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए।
(3.)x^{2} \sin 2 x का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए।
(4.)\log x का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए।
(5.)\tan ^{-1} x का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए।
उत्तर (Answers):(1) e^{x}\left(x^{2}-2 x+2\right)+c \\ (2)\frac{x^{2}}{2} \log x-\frac{x^{2}}{4}+c \\ (3)\frac{-x^{2}}{2} \cos 2 x+\frac{x}{2} \sin 2 x+\frac{\cos 2x}{2} +c \\ \text { (4) } x \log (\frac{x}{e})+c \\ \text { (5) } x \tan^{-1} x+\frac{1}{2} \log \left(1+x^{2}\right)+c
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर फलनों के गुणनफल का समाकलन (Integration of Product of Functions),खण्डश: समाकलन (Integration by Parts) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:-Integration with Trig Identities

4.फलनों के गुणनफल का समाकलन (Integration of Product of Functions),खण्डश: समाकलन (Integration by Parts) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.खण्डश: समाकलन का नियम क्या है? (What is the rule for integration by parts?):

उत्तर:आइए भागों द्वारा एकीकरण का नियम देखें: \int u \cdot v d x=u \int v d x-\int\left[\frac{d u}{d x} \int v d x\right] d x है।u फलन है u(x) खण्डश: समाकलन का सूत्र है।खण्डश: समाकलन उन फलनों के लिए है जिन्हें किसी अन्य फ़ंक्शन के गुणन और तीसरे फ़ंक्शन के अवकलज के रूप में लिखा जा सकता है।

प्रश्न:2.क्या खण्डश: समाकलन कठिन है? (Is integration by parts difficult?):

उत्तर:यदि खण्डश: समाकलन आपको एक ऐसे समाकल की ओर ले जाता है जो आपके द्वारा शुरू किए गए से आसान नहीं है,तो आपने संभवतः u और v′ का खराब चुनाव किया है।उस स्थिति में,आप एक अलग विकल्प बनाने का प्रयास कर सकते हैं।या यह हो सकता है कि कोई अच्छा विकल्प नहीं है और खण्डश: समाकल करना सही दृष्टिकोण नहीं है।

प्रश्न:3.खण्डश: समाकलन इतना कठिन क्यों है? (Why is integration by parts so hard?):

उत्तर:कैलकुलस 2 थोड़ा मुश्किल हो सकता है क्योंकि उदाहरण के लिए आपको समाकलन करते समय उपयोग करने के लिए सही विधि ढूंढनी होगी।आपको कैलकुलस 1 की तुलना में बहुत अधिक सोचना पड़ सकता है। कभी-कभी फ़ंक्शन आसानी से समाकल करने में सक्षम नहीं होता है।इसके साथ काम करने में सक्षम होने के लिए आपको पहले इसमें हेरफेर (manipulate) करना होगा।

प्रश्न:4.लेट रूल क्या है? (What is Liate rule?):

उत्तर:एक संक्षिप्त शब्द (acronym) जो खण्डश: समाकलन का उपयोग करते समय याद रखने में बहुत मददगार होता है,वह है LIATE।निम्नलिखित सूची में जो भी फलन पहले आता है, वह u होना चाहिए:
L-Logarithmic Functions (लघुगणकीय फलनों \log x, \log \left(x^{2}+a^{2}\right) आदि के लिए)
I-Inverse Trigonometric Functions (प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों जैसे \sin^{-1} x, \cos^{-1} x, \tan^{-1} x आदि के लिए)
A-Algebraic Functions (बीजीय फलनों x,x+1,2x,\sqrt{x} आदि के लिए)
T-Trigonometric Functions त्रिकोणमितीय फलनों \sin x, \cos x, \tan x आदि के लिए)
E-Exponential Function (चरघातांकी a^{x}, e^{x}, 2^{x}, 3^{-x} आदि फलनों के लिए)
LIATE नियम का पालन करते हुए,u = x और dv = sin(x)dx क्योंकि x एक बीजीय फलन है और sin(x) एक त्रिकोणमितीय फलन है।

प्रश्न:5.खण्डश: समाकलन क्यों उपयोगी है? (Why is integration by parts useful?):

उत्तर:खण्डश: समाकलन उन फलनों के लिए है जिन्हें किसी अन्य फ़ंक्शन के गुणन और तीसरे फ़ंक्शन के अवकलज के रूप में लिखा जा सकता है।पालन ​​​​करने के लिए अंगूठे का एक अच्छा नियम पहले u-प्रतिस्थापन प्रथम का प्रयास करना होगा और फिर यदि आप अपने फलन को सही रूप में सुधार नहीं सकते हैं,तो खण्डश: समाकलन का प्रयास करें।

प्रश्न:6.इलेट नियम क्या है? (What is Ilate rule?):

उत्तर:आम तौर पर हम पहले फ़ंक्शन यानी ILATE RULE I-Inverse Trigonometric Functions (प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों जैसे \sin^{-1} x, \cos^{-1} x, \tan^{-1} x आदि के लिए)
L-Logarithmic Functions (लघुगणकीय फलनों \log x, \log \left(x^{2}+a^{2}\right) आदि के लिए)
A-Algebraic Functions (बीजीय फलनों x,x+1,2x,\sqrt{x} आदि के लिए)
T-Trigonometric Functions त्रिकोणमितीय फलनों \sin x, \cos x, \tan x आदि के लिए)
E-Exponential Function (चरघातांकी a^{x}, e^{x}, 2^{x}, 3^{-x} आदि फलनों के लिए)
के लिए वरीयता क्रम का उपयोग करते हैं,जिसमें कहा गया है कि व्युत्क्रम फ़ंक्शन को समाकलन करते समय पहले फ़ंक्शन के रूप में माना जाना चाहिए।खण्डश: समाकलन का एक उपयोगी नियम ILATE है।

प्रश्न:7.कौन सा बेहतर है इलेट या लेट? (Which is better Ilate or Liate?):

उत्तर:सबसे पहले इसका जवाब दिया गया: क्या यह ILATE या LIATE का नियम है जिसका उपयोग खण्डश: समाकलन के लिए किया जाता है?सामान्य तौर पर ILATE नियम का उपयोग किया जाता है।हालाँकि LIATE भी समान रूप से सही है।सबसे बेहतर ILATEC का नियम है जिसका वर्णन ऊपर आर्टिकल में किया गया है।

प्रश्न:8.लेट किस लिए प्रयोग हुआ है? (What does Liate stand for?):

उत्तर:लिआटे (LIATE):लघुगणक (Logarithmic),प्रतिलोम त्रिकोणमितीय (Inverse Trigonometric),बीजीय फलन (Algebraic),त्रिकोणमितीय (Trigonometric),चरघातांक (Exponential)
(स्मृति (Mnemonic)-खण्डश: समाकलन का क्रम)

प्रश्न:9.इलेट का सूत्र क्या है? (What is the formula of Ilate?):

उत्तर:इस विधि को इलेट नियम कहते हैं।मान लीजिए,हमें x e^x को समाकलन करना है,तो हम x को पहले फ़ंक्शन के रूप में और e^x को दूसरे फ़ंक्शन के रूप में मानते हैं।तो मूल रूप से,पहला फ़ंक्शन इस तरह से चुना जाता है कि फ़ंक्शन के अवकलज को आसानी से समाकृत किया जा सके।

प्रश्न:10.खण्डश: समाकलन में लेट का क्या अर्थ है? (What does Liate stand for in integration by parts?):

उत्तर:समाकलन।इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स करते समय,मुझे पता है कि LIATE का उपयोग करना ज्यादातर समय उपयोगी मार्गदर्शक हो सकता है।उन लोगों के लिए जो परिचित नहीं हैं, LIATE आपको यह तय करने में मदद करने के लिए एक गाइड है कि किस पद (term) को अवकलन करना है और किस पद (term) को समाकलन करना है।L=(Log) लॉग,I= Inverse Trig (व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय),A=Algebraic (बीजीय),T=Trigonometric (त्रिकोणमितीय), E=(Exponential) एक्सपोनेंशियल।

प्रश्न:11.आप Ln द्वारा भागों द्वारा कैसे एकीकृत करते हैं? (How do you integrate by Ln by parts?):

उत्तर:रणनीति:ln(x) dx के लिए खण्डश: समाकलन का उपयोग करें।
तब हम पाते हैं :-u =ln(x),dv = dx और du =(\frac{1}{x}) dx,v = x।
प्रतिस्थापन (substitute).ln(x) dx = u dv।
और खण्डश: समाकलन का उपयोग करें। \int u \cdot v d x=u \int v d x-\int\left[\frac{d u}{d x} \int v d x\right] d x
प्रतिस्थापन (substitute) u=ln(x), v=x, and du=(\frac{1}{x})
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा फलनों के गुणनफल का समाकलन (Integration of Product of Functions),खण्डश: समाकलन (Integration by Parts) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा फलनों के गुणनफल का समाकलन (Integration of Product of Functions),खण्डश: समाकलन (Integration by Parts) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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