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Linear Differential Equation

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1 1.रैखिक अवकल समीकरण का परिचय (Introduction to Linear Differential Equation)-

1.रैखिक अवकल समीकरण का परिचय (Introduction to Linear Differential Equation)-

रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equation) उसे कहते हैं जिस अवकल समीकरण में आश्रित चर (Dependent Variable) y तथा उसके अवकल गुणांक केवल प्रथम घात में ही आते हों।
ऐसे समीकरण में y तथा उसके अवकलनों (derivatives) के गुणांक स्वतन्त्र चर x के कोई भी फलन हो सकते हैं।
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2.रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equation) का सूत्र,रैखिक अवकल समीकरण और समाकलन-गुणांक (linear differential equation & integrating factor)-

प्रथम कोटि (First order) के रैखिक अवकल समीकरण का मानक रूप (Standard Form)

\frac { dy }{ dx } +P\left( x \right) y=Q\left( x \right) ...(1)
होता है, जहां P(x) तथा Q(x) ,स्वतन्त्र चर x के कोई फलन है।ऐसे समीकरण को सरल करने के लिए,हम दोनों पक्षों को { e }^{ \int { pdx } } से गुणा करते हैं।गुणा करने के पश्चात् इसका रूप निम्न प्रकार प्राप्त होता है-

{ e }^{ \int { pdx } }\frac { dy }{ dx } +P{ e }^{ \int { pdx } }y=Q{ e }^{ \int { pdx } }....(2)
या \frac { d }{ dx } \left[ { e }^{ \int { pdx } }y \right] =Q{ e }^{ \int { pdx } }
का समाकलन करने पर-

y{ e }^{ \int { pdx } }=\int { { Qe }^{ \int { pdx } } } dx+C....(3)
जो कि अवकल समीकरण (1) का अभीष्ट व्यापक हल है।
समीकरण (2) में दिए हुए गुणनखंड { e }^{ \int { pdx } } को हम अवकल समीकरण (1) का समाकलन-गुणांक (Integrating Factor) कहते हैं।यह संक्षेप में I.F. भी लिखा जाता है। इसलिए समीकरण (3) को हम निम्न प्रकार लिख सकते हैं:

y\left( I.F. \right) =\int { \left( I.F. \right) Qdx } +C.....(4)

3.रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations) पर आधारित सवाल,उदाहरण के साथ रैखिक अवकल समीकरण समीकरण क्या है? (What is linear differential equation with example?)-

निम्नलिखित अवकल समीकरणों का हल ज्ञात कीजिए:
(Solve the following differential equations):
Question-1.\left( 1-{ x }^{ 2 } \right) \frac { dy }{ dx } +2xy=x\sqrt { \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) }
Solution\left( 1-{ x }^{ 2 } \right) \frac { dy }{ dx } +2xy=x\sqrt { \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) } \\ \Rightarrow \frac { dy }{ dx } +\frac { 2xy }{ 1-{ x }^{ 2 } } =\frac { x }{ \sqrt { \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) } }

I.F.={ e }^{ \int { \frac { 2xy }{ 1-{ x }^{ 2 } } dx } }\\ ={ e }^{ -\log { \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) } }\\ ={ e }^{ \log { \left( \frac { 1 }{ 1-{ x }^{ 2 } } \right) } }\\ =\frac { 1 }{ 1-{ x }^{ 2 } }
रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations) का सूत्र-

y\left( I.F. \right) =\int { Q\left( I.F. \right) } dx+C\\ \Rightarrow y\left( \frac { 1 }{ 1-{ x }^{ 2 } } \right) =\int { \left( \frac { 1 }{ 1-{ x }^{ 2 } } \right) .\frac { x }{ \sqrt { \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) } } dx } +C\\ \Rightarrow \frac { y }{ 1-{ x }^{ 2 } } =\int { \frac { x }{ { \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } } dx } +C\\ put\quad 1-{ x }^{ 2 }=t\quad \Rightarrow -2xdx=dt\\ \Rightarrow \frac { y }{ 1-{ x }^{ 2 } } =-\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { 1 }{ { t }^{ \frac { 3 }{ 2 } } } } dt+C\\ \Rightarrow \frac { y }{ 1-{ x }^{ 2 } } =-\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { { { t }^{ -\frac { 3 }{ 2 } +1 } } }{ -\frac { 3 }{ 2 } +1 } \right) +C\\ \Rightarrow \frac { y }{ 1-{ x }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ \sqrt { t } } +C\\ \Rightarrow \frac { y }{ 1-{ x }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } +C\\ \Rightarrow y=\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } +C\left( 1-{ x }^{ 2 } \right)

Question-2.\frac { dy }{ dx } +\frac { y }{ \left( 1-x \right) \sqrt { x } } =1-\sqrt { x }

Solution\frac { dy }{ dx } +\frac { y }{ \left( 1-x \right) \sqrt { x } } =1-\sqrt { x }

I.F.={ e }^{ \int { \frac { 1 }{ \left( 1-x \right) \sqrt { x } } dx } }\\ put\sqrt { x } =t\\ \frac { 1 }{ 2\sqrt { x } } dx=dt\\ \Rightarrow dx=2\sqrt { x } dt\\ \Rightarrow dx=2tdt\\ ={ e }^{ \int { \frac { 1 }{ \left( 1-{ t }^{ 2 } \right) t } 2tdt } }\\ ={ e }^{ \int { \frac { 2 }{ 1-{ t }^{ 2 } } dt } }\\ ={ e }^{ \log { \left( \frac { 1+t }{ 1-t } \right) } }\\ =\frac { 1+t }{ 1-t } \\ =\frac { 1+\sqrt { x } }{ 1-\sqrt { x } }

रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations) का सूत्र-

y\left( I.F. \right) =\int { Q\left( I.F. \right) } dx+C\\ \Rightarrow y.\left( \frac { 1+\sqrt { x } }{ 1-\sqrt { x } } \right) =\int { \left( \frac { 1+\sqrt { x } }{ 1-\sqrt { x } } \right) .\left( 1-\sqrt { x } \right) dx } +C\\ \Rightarrow y.\left( \frac { 1+\sqrt { x } }{ 1-\sqrt { x } } \right) =\int { \left( 1+\sqrt { x } \right) dx } +C\\ \Rightarrow y.\left( \frac { 1+\sqrt { x } }{ 1-\sqrt { x } } \right) =\int { 1.dx } +\int { \sqrt { x } dx } +C\\ \Rightarrow y.\left( \frac { 1+\sqrt { x } }{ 1-\sqrt { x } } \right) =x+\frac { 2 }{ 3 } { x }^{ \frac { 3 }{ 2 } }+C

Question-3.\left( 1+y+{ x }^{ 2 }y \right) dx+\left( x+{ x }^{ 3 } \right) dy=0
Solution\left( 1+y+{ x }^{ 2 }y \right) dx+\left( x+{ x }^{ 3 } \right) dy=0\\ \Rightarrow \left( x+{ x }^{ 3 } \right) \frac { dy }{ dx } +1+y+{ x }^{ 2 }y=0\\ \Rightarrow x\left( 1+{ x }^{ 2 } \right) \frac { dy }{ dx } +y\left( 1+{ x }^{ 2 } \right) =-1\\ \Rightarrow \frac { dy }{ dx } +\frac { y }{ x } =-\frac { 1 }{ x\left( 1+{ x }^{ 2 } \right) }
I.F.={ e }^{ \int { \frac { 1 }{ x } dx } }\\ ={ e }^{ \log { x } }=x
रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations) का सूत्र-

y\left( I.F. \right) =\int { Q\left( I.F. \right) } dx+C\\ \Rightarrow y.x=\int { x-\left( -\frac { 1 }{ x\left( 1+{ x }^{ 2 } \right) } \right) dx } +C\\ \Rightarrow xy=-\int { \frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } dx } +C\\ \Rightarrow xy=-\tan ^{ -1 }{ x } +C\\ \Rightarrow xy=C-\tan ^{ -1 }{ x }

Question-4.x\cos { x } \frac { dy }{ dx } +y\left( x\sin { x } +\cos { x } \right) =1
Solutionx\cos { x } \frac { dy }{ dx } +y\left( x\sin { x } +\cos { x } \right) =1\\ \Rightarrow \frac { dy }{ dx } +\frac { y\left( x\sin { x } +\cos { x } \right) }{ x\cos { x } } \\ =\frac { 1 }{ x\cos { x } }

I.F.={ e }^{ \int { \frac { x\sin { x } +\cos { x } }{ x\cos { x } } dx } }\\ ={ e }^{ \int { \left( \tan { x } +\frac { 1 }{ x } \right) dx } }\\ ={ e }^{ \log { secx+\log { x } } }\\ ={ e }^{ \log { \left( xsecx \right) } }\\ =xsecx
रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations) का सूत्र-

y\left( I.F. \right) =\int { Q\left( I.F. \right) } dx+C\\ \Rightarrow y.xsecx=\int { xsecx. } \frac { 1 }{ x\cos { x } } dx+C\\ \Rightarrow xysecx=\int { { sec }^{ 2 }xdx } +C\\ \Rightarrow xysecx=tanx+C
Question-5.\left( x\log { x } \right) \frac { dy }{ dx } +y=2\log { x }
Solution-\left( x\log { x } \right) \frac { dy }{ dx } +y=2\log { x } \\ \Rightarrow \frac { dy }{ dx } +\frac { y }{ x\log { x } } =\frac { 2 }{ x }

I.F.={ e }^{ \int { \frac { 1 }{ x\log { x } } dx } }\\ ={ e }^{ \log { \left( logx \right) } }\\ =\log { x }
रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations) का सूत्र-

y\left( I.F. \right) =\int { Q\left( I.F. \right) } dx+C\\ \Rightarrow y\left( \log { x } \right) =\int { \left( \log { x } \right) } .\frac { 2 }{ x } dx+C\\ \Rightarrow y\left( \log { x } \right) =2\int { \frac { \log { x } }{ x } } dx+C\\ put\quad \log { x } =t\\ \Rightarrow \frac { 1 }{ x } dx=dt\\ \Rightarrow y\left( \log { x } \right) =2\int { tdt } +C\\ \Rightarrow y\left( \log { x } \right) ={ t }^{ 2 }+C\\ \Rightarrow y\left( \log { x } \right) ={ \left( \log { x } \right) }^{ 2 }+C
Question-6.हल कीजिए (Solve)

\frac { dy }{ dx } +\frac { 2x }{ 1+{ x }^{ 2 } } dy=\frac { 1 }{ { \left( 1+{ x }^{ 2 } \right) }^{ 2 } }
दिया हुआ है कि (given that) y=0 जबकि (when) x=1
Solution-\frac { dy }{ dx } +\frac { 2x }{ 1+{ x }^{ 2 } } dy=\frac { 1 }{ { \left( 1+{ x }^{ 2 } \right) }^{ 2 } }

I.F.={ e }^{ \int { \frac { 2x }{ 1+{ x }^{ 2 } } dx } }\\ ={ e }^{ \log { \left( 1+{ x }^{ 2 } \right) } }\\ =1+{ x }^{ 2 }
रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations) का सूत्र

y\left( I.F. \right) =\int { Q\left( I.F. \right) } dx+C\\ \Rightarrow y\left( 1+{ x }^{ 2 } \right) =\int { \left( 1+{ x }^{ 2 } \right) . } \frac { 1 }{ { \left( 1+{ x }^{ 2 } \right) }^{ 2 } } dx+C\\ \Rightarrow y\left( 1+{ x }^{ 2 } \right) =\int { \frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } dx } +C\\ \Rightarrow y\left( 1+{ x }^{ 2 } \right) =\tan ^{ -1 }{ x } +C....(1)
x=1 तो y=0 रखने पर-

0=\tan ^{ -1 }{ 1 } +C\\ 0=\frac { \pi }{ 4 } +C\\ C=-\frac { \pi }{ 4 }

C का मान समीकरण(1) में रखने पर  

\Rightarrow y\left( 1+{ x }^{ 2 } \right) =\tan ^{ -1 }{ x } -\frac { \pi }{ 4 }

उपर्युक्त सवालों के हल द्वारा रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equation) को समझा जा सकता है।

4.अवकलन समीकरण में रैखिक समीकरण क्या है? (What is linear equation in differential equation?)-

रेखीय का अर्थ केवल यह है कि समीकरण में चर केवल एक की घात के साथ प्रकट होता है। तो x रैखिक है लेकिन { x }^{ 2 } गैर-रैखिक है। साथ ही cosx जैसा कोई भी फ़ंक्शन गैर-रैखिक है।एक अवकल समीकरण में, जब चर और उनके डेरिवेटिव केवल स्थिरांक से गुणा किए जाते हैं, तो समीकरण रैखिक होता है।

5.आप रैखिक अंतर समीकरणों को कैसे हल करते हैं? (How do you solve linear differential equation?)-

उन्हें हल करने के लिए चरण-दर-चरण विधि यहां दी गई है:
(1.)स्थानापन्न y = uv, और।
(2.) V से जुड़े भागों को फैक्टर करें।
(3.)V शब्द को शून्य के बराबर रखें (यह u और x में एक अवकल समीकरण देता है जिसे अगले चरण में हल किया जा सकता है)
(4.) u को खोजने के लिए चर के पृथक्करण का उपयोग करके हल करें।
(5.)हमारे पास चरण 2 में प्राप्त समीकरण में वापस ले जाएं।

6. गैर रेखीय अवकल समीकरण क्या है?, गैर रेखीय अवकल समीकरण (What is non linear differential equation?, non linear differential equation)-

एक गैर-रैखिक अवकल समीकरण एक अवकल समीकरण है जो अज्ञात फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव में एक रैखिक समीकरण नहीं है (एक गैर-रैखिक अवकल समीकरण एक अवकल समीकरण है जो अज्ञात फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव में एक रैखिक समीकरण नहीं है (फ़ंक्शन के तर्कों में रैखिकता या गैर-रैखिकता को यहां नहीं माना गया है।)

7.अचर गुणांक के साथ रैखिक अवकल समीकरण (linear differential equation with constant coefficients)-

एक अवकल समीकरण में अचर गुणांक होते हैं यदि केवल अचर फ़ंक्शन संबंधित सजातीय समीकरण में गुणांक के रूप में दिखाई देते हैं।एक रैखिक अवकल समीकरण के सभी समाधान एक विशेष समाधान से जुड़े हुए समरूप समीकरण के किसी भी समाधान को जोड़कर पाए जाते हैं।

8.सजातीय अवकल समीकरण (homogeneous differential equation)-

अन्यथा, एक अवकल समीकरण सजातीय है यदि यह अज्ञात फलन और इसके अवकलज का एक सजातीय फलन है।रैखिक अवकल समीकरणों के मामले में, इसका मतलब है कि कोई अचर पद नहीं हैं।

9.अवकल समीकरण सॉल्वर (differential equation solver)-

वोल्फ्राम | अल्फा गणित की इस महत्वपूर्ण शाखा के तहत कई समस्याओं को हल कर सकता है, जिसमें ओडीई (साधारण अवकल समीकरण) को हल करना, एक ओडीई (साधारण अवकल समीकरण) को खोजना और संतोषजनक तरीके से हल करना शामिल है।
अवकल समीकरण कैलकुलेटर की सहायता से भी अवकल समीकरण को हल कर सकते हैं।

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