सम्मिश्र संख्याएँ कक्षा 11 (Complex Numbers Class 11) के इस आर्टिकल में सम्मिश्र संख्याओं को मानक रूप में रखने,गुणात्मक प्रतिलोम आदि पर आधारित सवालों को हल करेंगे।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके । यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए । आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:-Mathematical Induction Class 11

2.सम्मिश्र संख्याएँ कक्षा 11 पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Complex Numbers Class 11):

प्रश्न 1 से 10 तक की सम्मिश्र संख्याओं में प्रत्येक को a+ib के रूप में व्यक्त कीजिए।
Example:1. $( 5 i)\left(-\frac{3}{5} i\right)$
Solution: $(5 i)\left(-\frac{3}{5} i\right) \\ =-3 i^2=3 \quad\left[i^2=-1\right] \\ =3+0 \cdot i$
Example:2. $i^9+i^{19}$
Solution: $i^9+i^{19} \\ =i(i^4)^2+i\left(i^2\right)(i^4)^2 \\ =i(1)^2+i(-1)(1)^2\left[\because i^4=1, i^2=-1\right] \\ =i-i \\ =0$
Example:3. $i^{-39}$
Solution: $i^{-39} \\ =\frac{1}{i^{39}} \\ =\frac{1}{i(i)^2(i^4)^9} \\ =\frac{1}{i(-1)(1)^9} \quad\left[i^4=1, i^2=-1\right] \\ =-\frac{1}{i} \\ =\frac{-i}{i^2} \\ =i \quad\left[i^2=-1\right]$
Example:4. $3(7+7 i)+i(7+7 i)$
Solution: $3(7+7 i)+i(7+7 i) \\ =21+21 i+7 i+7 i^2 \\ =21+28 i-7 \quad\left[\because i^2=-1\right] \\ =14+28 i$
Example:5. $(1-i)-(-1+6 i)$
Solution: $(1-i)-(-1+6 i) \\=1-i+1-6 i \\ =2-7 i$
Example:6. $\left(\frac{1}{5}+i \frac{2}{5}\right)-\left(4+i \frac{5}{2}\right)$
Solution: $\left(\frac{1}{5}+i \frac{2}{5}\right)-\left(4+i \frac{5}{2}\right) \\ \frac{1}{5}+i \frac{2}{5}-4-\frac{5 i}{2} \\ =\frac{1}{5}-4+\frac{2 i}{5}-\frac{5 i}{2} \\ = \frac{1-20}{5}+\frac{4 i-25 i}{15} \\ = -\frac{19}{5}-\frac{21 i}{10}$
Example:7. $\left[\left(\frac{1}{3}+i \frac{7}{3}\right)+\left(4+i \frac{1}{3}\right)\right]-\left(-\frac{4}{3}+i\right)$
Solution: $\left[\left(\frac{1}{3}+i \frac{7}{3}\right)+\left(4+i \frac{1}{3}\right)\right]-\left(-\frac{4}{3}+i\right) \\ =\frac{1}{3}+i \frac{7}{3}+4+\frac{i}{3}+\frac{4}{3}-i \\ =\frac{1}{3}+\frac{4}{1}+\frac{4}{3}+\frac{7 i}{3}+\frac{i}{3}-\frac{i}{1} \\ =\frac{1+12+4}{3}+\frac{7 i+i-3 i}{3} \\ =\frac{17}{3}+\frac{5}{3} i$

Complex Numbers Class 11

Example:8. $(1-i)^4$
Solution: $(1-i)^4 \\ =\left(1-2 i+i^2\right)^2 \\ =(1-2 i-1)^2 \quad\left[\because i^2=-1\right] \\ =(-2 i)^2 \\ =4 i^2 \\ =-4$
Example:9. $\left(\frac{1}{3}+3 i\right)^3$
Solution: $\left(\frac{1}{3}+3 i\right)^3 \\ =\left(\frac{1}{3}+3 i\right)^2\left(\frac{1}{3}+3 i\right) \\ =\left(\frac{1}{9}+2 i+9 i^2\right)\left(\frac{1}{3}+3 i\right) \\ =\left(\frac{1}{9}+2 i-9\right)\left(\frac{1}{3}+3 i\right)\left[i^2=-1\right] \\ =\left(\frac{1}{9}-81+2 i\right)\left(\frac{1}{3}+3 i\right) \\ =\left(-\frac{8}{9}+2 i\right)\left(\frac{1}{3}+3 i\right) \\=-\frac{80}{27}-\frac{80 i}{3}+\frac{2}{3} i+6 i^2 \\ =-\frac{80}{27}-\frac{6}{1}-\frac{80 i}{3}+\frac{2}{3} i\left[i^2=-1\right] \\ =\frac{-80-162}{27}+\frac{(-80 i+2 i)}{3} \\ =-\frac{242}{27}-\frac{78 i}{3} \\ =-\frac{242}{27}-26 i$
Example:10. $\left(-2-\frac{1}{3} i\right)^3$
Solution: $\left(-2-\frac{1}{3} i\right)^3 \\ =\left(-2-\frac{1}{3} i\right)^2\left(-2-\frac{1}{3} i\right) \\ =\left(4+\frac{4}{3} i+\frac{1}{9} i^2\right)\left(-2-\frac{1}{3} i\right) \\ =\left(\frac{4}{1}-\frac{1}{9}+\frac{4}{3} i\right)\left(-2-\frac{1}{3} i\right) \\ =\left(\frac{36-1}{9}+\frac{4}{3} i\right)\left(-2-\frac{1}{3} i\right) \\ =\left(\frac{35}{9}+\frac{4}{3} i\right)\left(-2-\frac{1}{3} i\right) \\ =\frac{-70}{9}-\frac{35}{27} i-\frac{8}{3} i-\frac{4}{9} i^2 \\ =\frac{-70}{9}+\frac{4}{9}-\frac{35 i}{27}-\frac{8 i}{3}\left[\because i^2=-1\right] \\ =\frac{-70+4}{9}+\frac{-35 i-72 i}{27} \\ =-\frac{66}{9}-\frac{107}{27} i \\ =-\frac{22}{3}-\frac{107}{27} i$
प्रश्न 11 से 13 की सम्मिश्र संख्याओं में प्रत्येक का गुणात्मक प्रतिलोम ज्ञात कीजिए।
Example:11. 4-3 i
Solution: 4-3 i
माना $z=4-3 i \\ \bar{z} =4+3 i \\ |z|^2 =(4)^2+(-3)^2 \\=16+9 \\ \Rightarrow|z|^2=25 \\ z^{-1}=\frac{\bar{z}}{|z|^2} \\ \bar{z}=\frac{4+3i}{25} \\ \Rightarrow \bar{z}=\frac{4}{25}+\frac{3}{25}i$
Example:12. $\sqrt{5}+3 i$
Solution: $\sqrt{5}+3 i$

माना $z=\sqrt{5}+3 i \\ \bar{z}=\sqrt{5}-3 i \\ |z|^2=(\sqrt{5})^2+(3)^2 \\ =5+9 \\ \Rightarrow |z|^2=14 \\ z^{-1}=\frac{\bar{z}}{|z|^2} \\ =\frac{\sqrt{5}-3 i}{14} \\ \Rightarrow z^{-1}=\frac{\sqrt{5}}{14}-\frac{3}{14} i$
Example:13. -i
Solution: -i
माना $z=-i \\ \bar{z}=i \\ |z|^2=(0)^2+(-1)^2 \\ |z|^2=1 \\ z^{-1}=\frac{\bar{z}}{|z|^2} \\ =\frac{i}{1} \\ \Rightarrow z^{-1}=i$
Example:14.निमनलिखित व्यंजक को a+ib के रूप में व्यक्त कीजिए:

\frac{(3+i \sqrt{5})(3-i \sqrt{5})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2} i)-(\sqrt{3}-i \sqrt{2})}

Solution:- $\frac{(3+i \sqrt{5})(3-i \sqrt{5})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2} i)-(\sqrt{3}-i \sqrt{2})} \\ =\frac{9-(i \sqrt{5})^2}{\sqrt{3}+\sqrt{2} i-\sqrt{3}+i \sqrt{2}} \\=\frac{9-5 i^2}{2 \sqrt{2} i} \\ =\frac{9+5}{2 \sqrt{2} i}\left[i^2=-1\right] \\=\frac{14}{2 \sqrt{2} i} \times \frac{i}{i} \\ =\frac{14 i}{2 \sqrt{2} i^2} \\ =\frac{-7 \sqrt{2}}{2} i \quad[i^{2}=-1]$
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सम्मिश्र संख्याएँ कक्षा 11 (Complex Numbers Class 11),कक्षा 11 में सम्मिश्र संख्याएँ (Complex Numbers in Class 11) को समझ सकते हैं।

3.सम्मिश्र संख्याएँ कक्षा 11 के सवाल (Complex Numbers Class 11 Questions):

Complex Numbers Class 11

(1.) $\frac{1+\sqrt{2} i}{1-\sqrt{2} i}$ को a+ib के रूप में व्यक्त कीजिए।
(2.) 2+3 i का गुणात्मक प्रतिलोम ज्ञात कीजिए।

Answer:-(1.) $1+2 \sqrt{2} i$
(2.) $\frac{2}{13}-\frac{3}{13} i$
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सम्मिश्र संख्याएँ कक्षा 11 (Complex Numbers Class 11),कक्षा 11 में सम्मिश्र संख्याएँ (Complex Numbers in Class 11) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:-Trigonometric Ratio of Two Angles 11th

4.सम्मिश्र संख्याएँ कक्षा 11 (Frequently Asked Questions Related to Complex Numbers Class 11),कक्षा 11 में सम्मिश्र संख्याएँ (Complex Numbers in Class 11) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.सम्मिश्र संख्याओं के योग के गुणधर्म क्या हैं? (What are the Properties of Addition of Complex Numbers?):

उत्तर:यदि $z_1=a+i b$ और $z_2=c+i d$ कोई दो सम्मिश्र संख्याएँ हैं।तब $z_1+z_2$ के योग को निम्नलिखित रूप में परिभाषित किया जाता है:
$z_1+z_2=(a+c)+i(b+d)$ जो कि पुन: एक सम्मिश्र संख्या है।
सम्मिश्र संख्याओं के योग निम्नलिखित प्रगुणों को सन्तुष्ट करते हैं।
(1.)संवरक नियम दो सम्मिश्र संख्याओं का योगफल एक सम्मिश्र संख्या होती है अर्थात् सारी सम्मिश्र संख्याओं $z_1$ तथा $z_2$ के लिए $z_1+z_2$ एक सम्मिश्र संख्या है।
(2.)क्रम विनिमेय नियम किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं $z_1$ तथा $z_2$ के लिए $z_1+z_2=z_2+z_1$
(3.)साहचर्य नियम किन्हीं तीन सम्मिश्र संख्याओं $z_1,z_2$ तथा $z_3$ के लिए
$\left(z_1+z_2\right)+z_3=z_1+\left(z_2+z_3\right)$
(4.)योगात्मक तत्समक का अस्तित्व सम्मिश्र संख्या 0+i.0 (0 के द्वारा दर्शाया जाता है) योगात्मक तत्समक अथवा शून्य सम्मिश्र संख्या कहलाता है जिससे कि प्रत्येक सम्मिश्र संख्या z,
z+0=z
(5.)योगात्मक प्रतिलोम का अस्तित्व प्रत्येक सम्मिश्र संख्या के z=a+ib के लिए हमें सम्मिश्र -a+i(-b) (-z के द्वारा दर्शाया जाता है) प्राप्त होती है,जो कि योगात्मक प्रतिलोम अथवा z का ऋण कहलाता है।हम प्रेक्षित करते हैं कि z+(-z)=0 (योगात्मक तत्समक)

प्रश्न:2.सम्मिश्र संख्याओं के गुणन के गुणधर्म क्या हैं? (What are the Properties of Multiplication of Complex Numbers?):

उत्तर:मान लीजिए $z_1=a+i b$ और $z_2=c+i d$ कोई दो सम्मिश्र संख्याएँ हैं तब गुणनफल $z_1 z_2$
निम्नलिखित रूप से परिभाषित किया जाता है:
$z_1 z_2=(a c-b d)+i(a d+b c)$
सम्मिश्र संख्याओं के गुणन की संक्रिया में निम्नलिखित प्रगुण होते हैं:
(1.)संवरक नियम दो सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल एक सम्मिश्र संख्या होती है,सारी सम्मिश्र संख्याओं $z_1$ तथा $z_2$ के लिए,गुणनफल $z_1 z_2$ एक सम्मिश्र संख्या होती है।
(2.)क्रम विनिमेय नियम किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं $z_1$ तथा $z_2$ के लिए
$z_1 z_2=z_2 z_1$
(3.)साहचर्य नियम किन्हीं तीन सम्मिश्र संख्याओं $z_1,z_2$ तथा $z_3$ के लिए
$\left(z_1 z_2\right) z_3=z_1\left(z_2 z_3\right)$
(4.)गुणात्मक तत्समक का अस्तित्व सम्मिश्र संख्या 1+i.0 (1 के द्वारा दर्शाया जाता है) गुणात्मक तत्समक अथवा एकल सम्मिश्र संख्या कहलाता है जिससे कि प्रत्येक सम्मिश्र संख्या z के लिए z.1=z
(5.)गुणात्मक प्रतिलोम का अस्तित्व प्रत्येक शून्यत्तर सम्मिश्र संख्या $z=a+i b \quad(a \neq 0, b \neq 0)$ के लिए हमें सम्मिश्र संख्या $\frac{a}{a^2+b^2} +i \frac{(-b)}{a^2+ b^2}$ ( $\frac{1}{2}$ अथवा $z^{-1}$ के द्वारा दर्शाया जाता है) प्राप्त होती है, z की गुणात्मक प्रतिलोम कहलाती है जिससे कि $z \cdot \frac{1}{z}=1$ (गुणात्मक तत्समक)
(6.)बंटन नियम किन्हीं तीन सम्मिश्र संख्याओं $z_1, z_2, z_3$ के लिए
(a) $z_1\left(z_2+z_3\right)=z_1 z_2+z_1 z_3$
(b) $\left(z_1+z_2\right) z_3=z_1 z_3+z_2 z_3$

प्रश्न:3.गाॅस के अनुसार गणित की परिभाषा क्या है? (What is the Definition of Mathematics According to GAUSS?):

उत्तर:Mathematics is the Queen of Sciences and is the Queen of Mathematics.-GAUSS
(गणित विज्ञान की रानी है और गणित की रानी है।-गॉस)
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा सम्मिश्र संख्याएँ कक्षा 11 (Complex Numbers Class 11),कक्षा 11 में सम्मिश्र संख्याएँ (Complex Numbers in Class 11) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

No.	Social Media	Url
1.	Facebook	click here
2.	you tube	click here
3.	Instagram	click here
4.	Linkedin	click here
5.	Facebook Page	click here
6.	Twitter	click here

Complex Numbers Class 11

सम्मिश्र संख्याएँ कक्षा 11
(Complex Numbers Class 11)

Complex Numbers Class 11

सम्मिश्र संख्याएँ कक्षा 11 (Complex Numbers Class 11) के इस आर्टिकल में सम्मिश्र
संख्याओं को मानक रूप में रखने,गुणात्मक प्रतिलोम आदि पर आधारित सवालों को हल करेंगे।

About Author

Satyam

About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.