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Sum of First n Natural Numbers

1.प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योगफल (Sum of First n Natural Numbers)-

प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योगफल (Sum of First n Natural Numbers),प्रथम n प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योगफल,प्रथम n प्राकृत संख्याओं के घनों का योगफल के सूत्रों की स्थापना तथा कुछ उदाहरणों के द्वारा योगफल ज्ञात करेंगे।
(1.)प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योगफल (Sum of First n Natural Numbers),प्राकृत संख्याओं के योगफल का सूत्र (Formula for Sum of Natural Numbers)-
माना कि S_{n}(या \sum n) प्रथम n प्राकृत संख्याओं के योगफल को निरूपित करता है तो

S_{n}=1+2+3+ \cdots+n
यहां a=1 तथा d=1

S_{n} =\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d] \\=\frac{n}{2}[2(1)+(n-1)(1)] \\=\frac{n}{2}[2+n-1] \\=\frac{n(n+1)}{2}
अतः \sum n=\frac{n(n+1)}{2}
(2.)प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योगफल (Sum of Squares of First n Natural Numbers),प्राकृत संख्याओं के वर्गों के योगफल का सूत्र (Formula for Sum of Squares of Natural Numbers)-
माना कि S_{n}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+n^{2}=\sum n^{2}
सर्वसमिका (x+1)^{3}-x^{3}=3 x^{2}+3 x+1
x=1,2,3, ………..,(n-1),n रखने पर-

2^{3}-1^{3}=3 \cdot(1)^{2}+3 \cdot(1)+1 \\ 3^{3}-2^{3}=3 \cdot(2)^{2}+3 \cdot(2)+1 \\ 4^{3}-3^{3}=3 \cdot(3)^{2}+3 \cdot(3)+1 \\ .................. \\ n^{3}-(n-1)^{3}=3(n-1)^{2}+3(n-1)+1
तथा (n+1)^{3}-n^{3}=3\left(n^{2}\right)+3(n)+1
स्तम्भानुसार जोड़ने पर-

(n+1)^{3}-1^{3}=3 \cdot\left(1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+n^{2}\right)+3(1+2+\cdots-+n)+(1+1+\cdots+1,n \text{ पद }) \\ \Rightarrow(n+1)^{3}-1^{3}=3 S_{n}+3 \sum n+n \\ \Rightarrow n^{3}+3 n^{2}+3 n=3 S_{n}+3 \frac{n(n+1)}{2}+n \\ \Rightarrow 3 s_{n}=n^{3}+3 n^{2}+3 n-\frac{3 n^{2}+3 n}{2}-n \\ =\frac{2 n^{2}+3 n^{2}+n}{2} \\ \Rightarrow S_{n}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}
(3.)प्रथम n प्राकृत संख्याओं के घनों का योगफल (Sum of Cubes of First n Natural Numbers),प्राकृत संख्याओं के घनों का योगफल का सूत्र (Formula for Sum of Cubes of Natural Numbers)-
माना कि S_{n}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3}=\sum n^{3}
सर्वसमिका (x+1)^{4}-x^{4}=4 x^{3}+6 x^{2}+4 x+1
x=1,2,3,…………,(n-1),n रखने पर-

2^{4}-1^{4}=4(1) 3+6(1)^{2}+4 \cdot(1)+1 \\ 3^{4}-2^{4}=4 \cdot(2)^{3}+6(2)^{2}+4 \cdot(2)+1 \\ 4^{4}-3^{4}=4 \cdot(3)^{3}+6(3)^{2}+4 \cdot(3)+1 \\ .....................................\\ n^{4}-(n-1)^{4} =4(n-1)^{3}+6(n-1)^{2}+4(n-1)+1
तथा (n+1)^{4}-n^{4} =4 n^{3}+6 n^{2}+4 n+1
स्तम्भानुसार जोड़ने पर-

(n+1)^{4}-1^{4}=4\left(1^{3}+2^{2}+3^{3}+\cdots+n^{3}\right)+6\left(1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+n^{2}\right)+4(1+2+3+\cdots+n)+(1+1+1+\cdots+1, n \text{ पद }) \\ \Rightarrow n^{4}+4 n^{3}+6 n^{2}+4 n=4 S_{n}+6 \cdot \frac{n(n+1) (2 n+1)}{6}+4 \cdot \frac{n(n+1)}{2}+n \\ \Rightarrow 4 S_{n}=n^{4}+4 n^{3}+6 n^{2}+4 n-n(n+1)(2 n+1)-2 n(n+1)-n
सरल करने पर-

4 S_{n}=n^{2}\left(n^{2}+2 n+1\right) \\ \Rightarrow S_{n}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} \\ \Rightarrow \sum n^{3}=S_{n}=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^{2}
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2.प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योगफल के उदाहरण (Sum of First n Natural Numbers Examples)-

उस श्रेणी के n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए जिसका n वां पद हैं:
Example-1.3 n^{2}+2 n+5
SolutionT_{n} =3 n^{2}+2 n+5 \\ \Rightarrow S_{n} =\sum T_{n} \\ =\sum\left(3 n^{2}+2 x+5\right) \\ =\sum 3 n^{2}+\sum 2 n+\Sigma 5 \\ =3 \sum n^{2}+2 \sum n+5 \Sigma 1 \\ =3 \cdot \frac{ n(n+1)(2 n+1)}{6}+2 \cdot \frac{n(n+1)}{2}+5 n \\ =n(n+1)\left[\frac{2 n+1}{2}+1\right]+5 n \\ =n(n+1) \frac{(2 n+1+2)}{2}+5 n \\ \Rightarrow S_{n}= \frac{n(n+1)(2 n+3)}{2}+5 n
Example-2.4 n^{3}+7 n+1
SolutionT_{n} =4 n^{3}+7 n+1 \\ S_{n} =\sum T_{n}\\ =\sum\left(4 n^{3}+7 n+1\right) \\ =4 \sum n^{3}+7 \sum n+\Sigma 1 \\ =4\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^{2}+7 \cdot \frac{n(n+1)}{2}+n \\ =\frac{n(n+1)}{2}[2 n(n+1)+7]+n \\ =\frac{n(n+1)\left(2 n^{2}+2 n+7\right)}{2}+n
Example-3.n(n+1)(n+2)
SolutionT_{n}=n(n+1)(n+2) \\ \Rightarrow T_{n}=n^{3}+3 n^{2}+2 n \\ S_{n} =\sum T_{n} \\ =\sum\left(n^{3}+3 n^{2}+2 n\right) \\ =\sum n^{3}+3 \sum n^{2}+2 \sum n \\ =\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^{2}+3 \cdot \frac{n(n+1)(2 n+1)}{6} +2 \cdot \frac{n(n+1)}{2}\\ =\frac{n(n+1)}{4}[n(n+1)+2(n+1)+4]  \\ \Rightarrow S_{n}= \frac{n(n+1)}{4}\left[n^{2}+n+4 n+2+4\right] \\ =\frac{n(n+1)}{4} \left[n^{2}+5 n+6\right] \\ =\frac{n(n+1)}{4} \left[n^{2}+3 n+2 n+6\right] \\ =\frac{n(n+1)[n(n+3)+2(n+3)]}{4} \\ \Rightarrow S_{n}=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}
निम्नलिखित श्रेणियों के n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए:
Example-4.3^{2}+7^{2}+11^{2}+15^{2}+\cdots
Solution3^{2}+7^{2}+11^{2}+15^{2}+\cdots \\ T_{n} =[a+(n-1) d]^{2} \\ =[3+(n+1) 4]^{2} \\ =[3+4 n-4]^{2} \\ \Rightarrow T_{n} =(4 n-1)^{2} \\ S_{n}=3^{2}+7^{2}+11^{2}+15^{2}+\cdots+(4 n-1)^{2} \\ S_{n} =\Sigma T_{n} \\ =\sum(4 n-1)^{2} \\ =\sum\left(16 n^{2}-8 n+1\right) \\ =16 \sum n^{2}-8 \sum n+\sum 1 \\ =16 \frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}-8 \cdot \frac{n(n+1)}{2}+n \\ =\frac{8 n(n+1)(2 n+1)}{3}-4 n(n+1)+n \\ =4 n(n+1)\left[\frac{2(2 n+1)}{3}-1\right]+n \\ =4 n(n+1)\frac{[4 n+2-3]}{3}+n\\ =4 n(n+1) \frac{[4 n-1]}{3}+n \\ \Rightarrow S_{n} =\frac{4 n(n+1)(4 n-1)}{3}+n
Example-5. 2^{3}+5^{3}+8^{3}+11^{3}+\cdots
Solution2^{3}+5^{3}+8^{3}+11^{3}+\cdots \\ T_{n} =[a+(n-1) d]^{3} \\ \Rightarrow T_{n} =[2+(n-1) 3]^{3} \\ \Rightarrow T_{n} =[3 n-1]^{3} \\ S_{n}= 2^{3}+5^{3}+8^{3}+11^{3}+\cdots+(3 n-1)^{3} \\ S_{n} =\sum T_{n} \\ =\sum(3 n-1)^{3} \\ =\sum\left(27 n^{3}-27 n^{2}+9 n-1\right) \\ =27 \sum n^{3}-27 \sum n^{2}+9 \sum n-\sum 1 \\ =27\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^{2}-27 \frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}+\frac{9 n(n+1)}{2}-n \\ =\frac{9}{4} n(n+1)[3 n(n+1)-2(2 n+1)+2]-n \\ =\frac{9}{4} n(n+1)\left[3 n^{2}+3 n-4 n-2+2\right]-n \\ =\frac{9}{4} n(n+1)\left[3 n^{2}+ n\right]-n \\=\frac{9}{4} n^{2}(n+1)(3 n-1)-n
Example-6.1.2^{2}+2.3^{2}+3 \cdot 4^{2}+\cdots
Solution1 \cdot 2^{2}+2 \cdot 3^{2}+3 \cdot 4^{2}+\cdots\\ T_{n} =n(n+1)^{2} \\ \therefore S_{n} =1.2^{2}+2 \cdot 3^{2}+3 \cdot 4^{2}+\cdots+n(n+1)^{2} \\ \Rightarrow S_{n} =\sum T_{n} \\ =\sum n(n+1)^{2} \\ =\sum n\left(n^{2}+2 n+1\right) \\ =\sum\left(n^{3}+2 x^{2}+n\right) \\ =\sum n^{2}+2 \sum n^{2}+\sum n \\ =\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^{2}+2 \cdot \frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2} \\ =\frac{n(n+1)}{2}\left[\frac{n(n+1)}{2}+\frac{2(2 n+1)}{3}+1\right] \\ =\frac{n(n+1)}{2}\left[\frac{n^{2}+n}{2}+\frac{14 n+2}{3}+1\right] \\ =\frac{n(n+1)}{2}\left[\frac{3 n^{2}+3 n+8 n+4+6}{6}\right] \\ =\frac{n(n+1)}{12}\left[3 n^{2}+11n+10\right] \\ \Rightarrow S_{n} =\frac{n(n+1)}{12}\left[3 n^{2}+6 n+5 n+10\right] \\ =\frac{n(n+1)}{12}[3 n(n+2)+5(n+2)] \\ \Rightarrow S_{n} =\frac{n(n+1)(n+2)(3 n+5)}{12}
निम्नलिखित श्रेणियों का n वां पद तथा n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए:
Example-7.1.3+3.5+5.7+\cdots
Solution1.3+3.5+5.7+\cdots \\ T_{n}=(2 n-1)(2 n+1) \\ S_{n}=\sum T_{n} \\ =\sum(2 n-1)(2 n+1) \\ =\sum\left(4 n^{2}-1\right) \\ =4 \sum n^{2}- \sum 1 \\ =4 \cdot \frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}-n \\ =n\left[\frac{2(n+1)(2 n+1)-1}{3}\right]\\ =n\left[\frac{4 n^{2}+6 n+2-3}{3}\right] \\ =\frac{n}{3}\left[4 n^{2}+6 n-1\right] \\ \Rightarrow S_{n} =\frac{n}{3}\left(4 n^{2}+6 n-1\right)
Example-8. 1 \cdot 2 \cdot 4+2 \cdot 3 \cdot 7+3 \cdot 4 \cdot 10+\cdots
Solution1 \cdot 2 \cdot 4+2 \cdot 3 \cdot 7+3 \cdot 4 \cdot 10+\cdots \cdot \\ T_{n} =n(n+1)(3 n+1) \\ S_{n} =\sum T_{n} \\ =\sum n(n+1)(3 n+1) \\ =\sum\left(3 n^{3}+4 n^{2}+n\right) \\ =3 \sum n^{3}+4 \sum n^{2}+\sum n \\ =3\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^{2}+4 \cdot \frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2} \\ =\frac{n(n+1)}{2}\left[\frac{3 n(n+1)}{2}+\frac{4(2 n+1)+1}{3}\right]\\ =\frac{n(n+1)}{2}\left[\frac{9 n^{2}+9 n+16 n+8+6}{6}\right] \\ =\frac{n(n+1)} {12}\left(9 n^{2}+25 n+14\right) \\ \Rightarrow S_{n} =\frac{n(n+1)}{12}\left[9 n^{2}+18 n+7 n+14\right] \\ =\frac{n(n+1)}{12}[9 n(n+2)+7(n+2)] \\ \Rightarrow S_{n} =\frac{1}{12} n(n+1)(n+2)(9 n+7)

3.अंतर विधि से श्रेणी का योगफल (Sum of Series by Difference Method)-

यदि किसी श्रेणी में क्रमागत पद युग्मों का अंतर समांतर श्रेढ़ी में हो तो ऐसी श्रेणी का योगफल ज्ञात करने के लिए दी गई श्रेणी के पदों के नीचे उसी श्रेणी के पदों को एक-एक पद आगे बढ़ा कर लिखा जाता है,फिर घटाने पर प्राप्त श्रेढ़ी के पद समांतर श्रेढ़ी में होंगे।इससे श्रेढ़ी का n वां पद ज्ञात किया जाता है और फिर \sum n,\sum n^{2} \text { तथा } \sum n^{3} सूत्रों का प्रयोग कर श्रेणी का योगफल ज्ञात किया जाता है।
निम्नलिखित श्रेणियों का n वां पद तथा n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए:
Example-9.3+8++15+24+……….
Solution– 3+8+15+24+………….
माना कि श्रेणी का n वां पद T_{n} तथा n पदों का योगफल S_{n} है।तब

S_{n}=3+8+15+24+\cdots+T_{n} .....(1)
एक स्थान आगे बढ़ाकर लिखने पर-

S_{n}=3+8+15+24+\cdots+T_{n-1}+T_{n} \cdots(2)
(1) में से (2) घटाने पर-

0=3+[5+7+9+\cdots+(n-1) \text{ पद }]-T_{n} \\ \Rightarrow T_{n}=3+\frac{n-1}{2}[2 \cdot(5)+(n-2) 2] \\ \Rightarrow T_{n}=3+(n-1)(5+n-2) \\ =3+(n-1)(n+3) \\ =3+\left(n^{2}+2 n-3\right) \\ \Rightarrow T_{n}=n^{2}+2 n \quad \Rightarrow T_{n}=n(n+2) \\ S_{n} =\sum T_{n} \\ =\sum\left(n^{2}+2 n\right) \\ =\sum n^{2}+2 \sum n \\ =\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}+\frac{2 \cdot n(n+1)}{2} \\ =n(n+1)\left[\frac{2 n+1}{6}+1\right] \\ \Rightarrow S_{n}=\frac{1}{6} n(n+1)(2 n+7)
Example-10.1+6+13+22+………..
Solution- 1+6+13+22+………..
माना कि श्रेणी का n वां पद T_{n} तथा n पदों का योगफल S_{n} है।तब

S_{n}=1+6+13+22+\cdots \cdot+T_{n} \cdots(1)
एक स्थान आगे बढ़ाकर लिखने पर-

S_{n}=1+6+13+\cdots T_{n-1}+T_{n}....(2)
(1) में से (2) घटाने पर-

0=1+\left[5+7+9+\cdots+(n-1) \text{ पद }]-T_{n}\right.\\ \Rightarrow T_{n} =1+\frac{n-1}{2}[2(5)+(n-2)2] \\ =1+\frac{n-1}{2}[10+2 n-4] \\ =1+(n-1)(2 n+6) \\ =1+(n-1)(n+3) \\ =1+n^{2}+2 n-3 \\ =n^{2}+2 n-2 \\ \Rightarrow T_{n} =n^{2}+2 n-2 \\ S_{n} =\sum T_{n} \\ =\sum\left(n^{2}+2 n-2\right) \\ =\sum n^{2}+2 \sum n-2 \sum 1 \\ =\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}+\frac{2 n(n+1)}{2}-2n \\ =\frac{n(n+1)}{6}[2 n+1+6]-2 n \\ =\frac{n}{6}(n+1)(2 n+7)-2 n

निम्नलिखित श्रेणियों का n वां पद तथा n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए:
Example-11.1+(1+2)+(1+2+3)+………….
Solution-1+(1+2)+(1+2+3)+…………….
माना कि श्रेणी का n वां पद तथा n पदों का योगफल S_{n} है।
तब S_{n}=1+(1+2)+(1+2+3)+\cdots+T_{n}....(1)
एक स्थान आगे बढ़ाकर लिखने पर-

S_{n}=(1+2)+\cdots+T_{n-1}+T_{n} \cdots(2)
(1) में से (2) घटाने पर-

0=1+2+3+\cdots+n \text{ पद } -T_{n} \\ T_{n} =1+2+3+\cdots+n \text{ पद } \\ =\frac{n}{2}[2+(n-1) 1] \\ T_{n} =\frac{n(n+1)}{2} \\ S_{n} =\sum T_{n} \\ =\sum \frac{n^{2}+n}{2} \\ =\frac{1}{2} \sum n^{2}+\frac{1}{2} \sum n \\=\frac{1}{2} \frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}+\frac{1}{2} \frac{n(n+1)}{2} \\ =\frac{n(n+1)}{6}\left[\frac{2 n+1}{2}+\frac{3}{2}\right] \\=\frac{n(n+1)}{6} \frac{(2 n+1+3)}{2} \\=\frac{n(n+1)}{6} \cdot \frac{2 n+4}{2}\\=\frac{n(n+1)}{6} \cdot (n+2) \\ \Rightarrow S_{n} =\frac{n}{6}(n+1)(n+6)
Example-12. 1^{2}+\left(1^{2}+2^{2}\right)+\left(1^{2}+2^{2}+3^{2}\right)+\cdots
Solution- 1^{2}+\left(1^{2}+2^{2}\right)+\left(1^{2}+2^{2}+3^{2}\right)+\cdots
माना कि श्रेणी का n वां पद तथा n पदों का योगफल S_{n} है।तब

S_{n}=1^{2}+\left(1^{2}+2^{2}\right)+\left(1^{2}+2^{2}+3^{2}\right)+\cdots+T_{n}....(1)
एक स्थान आगे बढ़ाकर लिखने पर-

S_{n}=1^{2}+\left(1^{2}+2^{2}\right)+....+T_{n-1}+T_{n}....(2)
(1) में से (2) घटाने पर-

0=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+n^{2}-T_{n} \\ \Rightarrow T_{n}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+n^{2} \\ \Rightarrow T_{n}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6} \\ S_{n}=\sum T_{n} \\ =\sum \left(\frac{2 n^{3}+3 n^{2}+n}{6}\right) \\ =\frac{1}{3} \sum n^{3}+\frac{1}{2} \sum n^{2}+\frac{1}{6} \sum n \\ =\frac{1}{3}\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^{2}+\frac{1}{2} \cdot \frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}+\frac{1}{6} \cdot \frac{n(n+1)}{2} \\ =\frac{1}{12} n(n+1)[n(n+1)+2 n+1+1] \\ =\frac{1}{12} n(n+1)\left[n^{2}+n+2 n+2\right] \\ =\frac{1}{12} n(n+1)\left(n^{2}+3 n+2\right) \\ =\frac{1}{12} n(n+1)\left[n^{2}+2 n+n+2\right] \\ =\frac{1}{12} n(n+1)[n(n+2)+1(n+2)] \\ =\frac{1}{12} n(n+1)(n+1)(n+2) \\ \Rightarrow S_{n}=\frac{1}{12} n(n+1)^{2}(n+2)
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योगफल (Sum of First n Natural Numbers) को समझ सकते हैं।

4.प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योगफल की समस्याएं (Sum of First n Natural Numbers Problems)-

(1.) निम्नलिखित श्रेणी का n वां पद तथा n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए:1+6+13+22+………
(2.)उस श्रेणी के n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए जिसका n वां पद n(n-1)(3n-1) है।
(3.) निम्नलिखित श्रेणी के n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए:1.3.5+3.5.7+5.7.9+……..
उत्तर (Answers):

(1.)S_{n}=\frac{2 n^{3}+9 n^{2}-5 n}{6}, T_{n}=n^{2}+2 n-2\\ (2.)S_{n}=\frac{n(n+1)(n+2)(9 n-1)}{12}\\ (3.)T_{n}=8 n^{3}+12 n^{2}-2n-3, S_{n}=n(n+1)\left(2 n^{2}+6 n+1\right)-3 n
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योगफल (Sum of First n Natural Numbers) को ठीक से समझ सकते हैं।

5.प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योगफल क्या है? (What is the Sum of First n odd Natural Number),प्रथम प्राकृत संख्याओं का योगफल है (The Sum of First n odd Natural Numbers is),n विषम प्राकृत संख्याओं का योगफल का क्या अर्थ है? (What is the mean of the sum of N odd natural numbers?)-

इसलिए यह श्रृंखला एक अंकगणित श्रेणी है।इस अनुक्रम का पहला पद और सार्वअंतर ज्ञात है तो हम अपने अनुक्रम के पहले n विषम प्राकृतिक संख्या का योगफल ज्ञात करना है तो पदों की संख्या ज्ञात होने पर उसका योगफल निम्न सूत्र S_{n} =\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d] द्वारा ज्ञात किया जा सकता है।यदि पदों की संख्या ही ज्ञात हो तो प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योगफल सूत्र n^{2} द्वारा ज्ञात किया जा सकता है।

6.प्रथम n प्राकृत संख्याएं क्या हैं? (What are First n Natural Numbers?)-

प्राकृतिक संख्या 1,2,3,4,…..हैं,के रूप में पहली n प्राकृतिक संख्या का योग 1 + 2 + 3 + 4 + …= \frac{n(n+1)}{2}.
उपर्युक्त उदाहरणों, सवालों को हल करके तथा प्रश्नों के उत्तर द्वारा प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योगफल (Sum of First n Natural Numbers) को भली-भांति समझ सकते हैं।

 

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