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Method of Find Antilog

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1 1.प्रतिलघुगणक ज्ञात करने की विधि (Method of Find Antilog),एंटीलॉगरिथ्म खोजने की विधि (Method of Find Antilogarithm):

1.प्रतिलघुगणक ज्ञात करने की विधि (Method of Find Antilog),एंटीलॉगरिथ्म खोजने की विधि (Method of Find Antilogarithm):

प्रतिलघुगणक ज्ञात करने की विधि (Method of Find Antilog):किसी संख्या का प्रति लघुगणक ज्ञात करना,लघुगणक ज्ञात करने की विपरीत क्रिया विधि है।अतः लघुगणक की विपरीत क्रिया को प्रति लघुगणक कहते हैं।इस प्रकार एक धनात्मक संख्या n किसी अन्य संख्या m का प्रति लघुगणक होती है यदि \log n=m अर्थात n,m प्रति लघुगणक हैं तो n=antilog m \Leftrightarrow \log n=m
लघुगणक सारणी से लघुगणक ज्ञात करने की विपरीत प्रक्रिया अपनाकर प्रति लघुगणक ज्ञात किए जा सकते हैं।सरलता एवं शीघ्रता से प्रति लघुगणक ज्ञात करने की दृष्टि से इसे प्रति लघुगणक सारणी से ज्ञात किया जा सकता है।इस सारणी के प्रथम स्तंभ में .00 से .99 तक की संख्याएँ दी गई है तथा अन्य स्तम्भ लघुगणक की भाँति ही दिए गए हैं।
प्रति लघुगणक ज्ञात करने की क्रियाविधि:
(i)दी गई संख्या के पूर्णांश भाग को छोड़ते हुए दशमलव भिन्न के प्रथम दो अंकों के संगत प्रति लघुगणक सारणी में पंक्ति का चयन करते हैं।
(ii)चरण (i) में चयनित पंक्ति में उस संख्या को देखते हैं जो दशमलव भिन्न के तीसरे अंक के संगत शीर्ष वाले स्तंभ में हो।
(iii)चरण (i) में चयन की गई पंक्ति में ही उस संख्या को देखते हैं जो दशमलव भिन्न के चौथे अंक के संगत शीर्ष वाले अनुपातिक अंतर के स्तंभ में है।इस संख्या को चरण (ii) में प्राप्त संख्या में जोड़ देते हैं।
(iv)अब दी गई संख्या के पूर्णांश पर ध्यान देंगे।यदि यह पूर्णांश धनात्मक,माना n है तो चरण (iii) में प्राप्त संख्या के (n+1) अंकों के पश्चात दशमलव बिंदु लगाएंगे।
यदि पूर्णांश ऋणात्मक,\bar{n} माना है तो दशमलव बिन्दु के दायीं ओर (n-1) शून्य लिखकर उसके पश्चात चरण (iii) में प्राप्त संख्या को लिखेंगे।
टिप्पणी:जिस संख्या का प्रति लघुगणक ज्ञात करना है वह ऋणात्मक हो तो इसके दशमलव भिन्न वाले भाग को धनात्मक बनाने के लिए इसमें 1 जोड़कर पूर्णांश भाग में से 1 घटा देंगे।इस प्रकार प्राप्त संख्या का ही लघुगणक ज्ञात करते हैं।
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2.प्रतिलघुगणक ज्ञात करने की विधि के साधित उदाहरण (Method of Find Antilog Solved Example):

Example:1.निम्नलिखित संख्याओं के प्रति लघुगणक ज्ञात कीजिए।
(i)1.3210
Solution:20.94
(ii)2.4127
Solution:258.6
(iii)0.084
Solution:1.213
(iv)\overline{1}.301
Solution:0.2000
(v)\overline{3}.2462
Solution:0.001763

(vi)\overline{2}.0258
Solution:0.01061
Example:2.मान ज्ञात कीजिए।
(i)antilog 3.1234
Solution: antilog 3.1234
(a)दी गई संख्या का भिन्नांश .1234 है।
(b).12 की पंक्ति तथा शीर्ष 3 वाले स्तम्भ की उभयनिष्ठ संख्या 1327 है।
(c)इसी पंक्ति में वह संख्या जो 7 वाले आनुपातिक अन्तर के स्तम्भ में हो,1 है।
(d)\therefore 1327+1=1328
(e)दी गई संख्या का पूर्णांश 3 है अतः 3+1=4
(f)अर्थात् (e) में प्राप्त संख्या को चार अंकों की संख्या बनाने के लिए उपर्युक्त चार अंक ही हैं।
अतः antilog 3.1234=1328
(ii)antilog \overline{2}.5821
Solution: antilog \overline{2}.5821
(a)दी गई संख्या का भिन्नांश .5821 है।
(b).58 की पंक्ति तथा शीर्ष 2 वाले स्तम्भ की उभयनिष्ठ संख्या 3819 है।
(c)इसी पंक्ति में वह संख्या जो 9 वाले आनुपातिक अन्तर के स्तम्भ में हो,8 है।
(d)\therefore 3819+8=3827
(e)दी गई संख्या का पूर्णांश है अतः2-1=1
(f)अर्थात् दशमलव बिन्दु के दायीं ओर एक शून्य लगाकर उसके आगे चरण (e) से प्राप्त संख्या 0.03827 लिखते हैं।

अतः antilog \overline{2}.5821=0.03827
(iii)antilog 0.3
Solution: antilog 0.3
(a)दी गई संख्या का भिन्नांश 0.3000 है।
(b).30 की पंक्ति तथा शीर्ष 0 वाले स्तम्भ की उभयनिष्ठ संख्या 1995 है।
(c)इसी पंक्ति में वह संख्या जो 0 वाले आनुपातिक अन्तर के स्तम्भ में हो,0 है।
(d)\therefore 1995+0=1995
(e)दी गई संख्या का पूर्णांश 0 है अतः0+1=1
(f)अर्थात् (e) में प्राप्त संख्या के बायीं ओर एक अंक के बाद दशमलव लगाएंगे।
अतः antilog 0.3=1.995
(iv) antilog 1.466
Solution: antilog 1.466
(a)दी गई संख्या का भिन्नांश 0.466 है।
(b).46 की पंक्ति तथा शीर्ष 6 वाले स्तम्भ की उभयनिष्ठ संख्या 2924 है।
(c)इसी पंक्ति में वह संख्या जो 0 वाले आनुपातिक अन्तर के स्तम्भ में हो,1 है।
(d)\therefore 2924+1=2925
(e)दी गई संख्या का पूर्णांश 1 है अतः1+1=2
(f)अर्थात् (e) में प्राप्त संख्या के बायीं ओर दो अंकों के बाद दशमलव लगाएंगे।
अतः antilog 1.466=29.25
Example:3.निम्नलिखित में x का मान ज्ञात कीजिए

(i)\log x=\overline{2}.6727

Solution: \log x=\overline{2}.6727 \\ \Rightarrow x=antilog (\overline{2}.6727) \\ =0.04707

(ii)\log x=0.452

Solution: \log x=0.452 \\ \Rightarrow x=antilog (0.452) \\ =2.831
Example:4. 4 \log 6+2 \log 5+\log 4 -\log 3-\log 2 का मान ज्ञात लिखिए।

Solution:4 \log 6+2 \log 5+\log 4 -\log 3-\log 2\\ \Rightarrow \log 6+\log 5^{2}+\log _{4}-(\log 3+\log 2) \\ \Rightarrow \log 6+\log 25+\log 4-\log 6 \\ \Rightarrow \log 25+\log 4 \\ \Rightarrow \log (25 \times 4) \\ \Rightarrow \log 100 \\ \Rightarrow \log 10^{2} \\ \Rightarrow 2 \log 10 \\ \Rightarrow 2 \times 1 \\ \Rightarrow 2
Example:5.यदि \frac{\log 144}{\log 12}=\log x हो, तो x का मान लिखिए।

Solution:\frac{\log 144}{\log 12}=\log x \\ \Rightarrow \frac{\log \left(12^{2}\right)}{\log 12}=\log x \\ \Rightarrow \frac{2 \log 12}{\log 12}=\log x \\ \Rightarrow 2=\log x \\ \Rightarrow x=10^{2} \\ \Rightarrow x=100

Example:6.सिद्ध कीजिए:

\log_{10} \tan 1^{\circ} \cdot \log _{10} \cdot \tan 2^{\circ} \log _{10} \tan 3^{\circ} \ldots \log _{10} \tan 89^{\circ}=0

Solution:\log_{10} \tan 1^{\circ} \cdot \log _{10} \cdot \tan 2^{\circ} \log _{10} \tan 3^{\circ} \ldots \log _{10} \tan 89^{\circ}=0 \\ \text{L.H.S.} =\log_{10} \tan 1^{\circ} \cdot \log _{10} \cdot \tan 2^{\circ} \log _{10} \tan 3^{\circ} \ldots \log _{10} \tan 89^{\circ} \\ \because \tan 45^{\circ}=1 \\ \log _{10} \tan 45^{\circ}=\log _{10} 1=0 \\ \log _{10} \tan 1^{\circ} \cdot \log_{10} \tan 2^{\circ} \log _{10} \tan 3^{\circ} \cdot \log _{10} \tan 45^{\circ} \ldots \log _{10} \tan 89^{\circ} \\ \Rightarrow \tan 1^{\circ} \log _{10} \tan 2^{\circ} \tan _{10} \tan 3^{\circ} \ldots (0) \ldots \log _{10} 89^{\circ} \\ =0 =R.H.S
Example:7.सिद्ध कीजिए:

\log _{3} 4 \cdot \log _{4} 5 \cdot \log _{5} 6 \cdot \log _{6} 7 \cdot \log _{7} 8 \cdot \log _{8} 9=2

Solution:\log _{3} 4 \cdot \log _{4} 5 \cdot \log _{5} 6 \cdot \log _{6} 7 \cdot \log _{7} 8 \cdot \log _{8} 9=2 \\ \text{L.H.S}= \log _{3} 4 \cdot \log _{4} 5 \cdot \log _{5} 6 \cdot \log _{6} 7 \cdot \log _{7} 8 \cdot \log _{8} 9

\frac{\log _{e} 4}{\log _{e} 3} \times \frac{\log _{e} 5}{\log _{e} 4} \times \frac{\log _{e} 6}{\log _{c} 5} \times \frac{\log _{c} 7}{\log _{e} 6} \times \frac{\log _{e} 8}{\log _{e} 7} \times \frac{\log _{e} 9}{\log _{e} 8} \\ = \frac{\log _{e} 9}{\log _{e} 3} \\ =\frac{\log _{e} 3^{2}}{\log _{e} 3} \\ =\frac{2 \log _{c} 3}{\log _{e} 3}=2=R.H.S
Example:8.यदि \log 52.04=1.7163,\log 80.65=1.9066 और \log 9.753=0.9891 हो तो का मान ज्ञात कीजिए।

Solution: \log \frac{52.04 \times 80.65}{9.753} \\ \log 52.04+\log 80.65-\log 9.753\\=1.7163+1.9066-0.9891 \\=2.6338
Example:9.यदि \log 2=0.3010 और \log 3=0.4771 हो तो \log (0.06)^{6} का मान ज्ञात कीजिए।

Solution:\log (0.06)^{6} \\ 6 \log (0.06) \\ =6 \log \left(\frac{6}{100}\right) \\=6[\log 6-\log 100] \\=6\left[\log (2 \times 3)-\log 10^{2}\right] \\=6[\log 2+\log 3-2 \log 10] \\=6[0.3010+0.4771-2 \times 1] \\=6[0.7781-2] \\ =6 \times(-1.2219) \\=-7.3314 \\=\overline{8}+1-0.3314 \\=\overline{8} .6686
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा प्रतिलघुगणक ज्ञात करने की विधि (Method of Find Antilog),एंटीलॉगरिथ्म खोजने की विधि (Method of Find Antilogarithm) को समझ सकते हैं।

3.प्रतिलघुगणक ज्ञात करने की विधि की समस्याएं (Method of Find Antilog Problems):

निम्नलिखित का प्रतिलघुगणक ज्ञात कीजिए।
(1.)3.7523 (2)\overline{2}.0258
मान ज्ञात कीजिए यदि antilog 1.5662=36.83 हो।

(3.) antilog \overline{1}.5662 (4.) antilog 2.5662 (5) antilog \overline{2} .5662 (6) antilog 0.5428
उत्तर (Answers):(1.)5623
(2.)0.01061
(3.)0.3683
(4.)368.3
(5.)0.03683
(6.)3.489
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर प्रतिलघुगणक ज्ञात करने की विधि (Method of Find Antilog) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:-Fundamental Law of Logarithms

4.प्रतिलघुगणक ज्ञात करने की विधि (Method of Find Antilog),एंटीलॉगरिथ्म खोजने की विधि (Method of Find Antilogarithm) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.सिद्ध कीजिए: \log \left(\frac{x^{y} y^{x}}{z^{x} x^{z}}\right)=x(\log y-\log z)+(y-z) \log x

उत्तर:\log \left(\frac{x^{y} y^{x}}{z^{x} x^{z}}\right)=x(\log y-\log z)+(y-z) \log x \\ \text { L.H.S }= \log \left(\frac{x^{y} y^{x}}{z^{x} x^{z}}\right) \\ \Rightarrow \log \left[x^{y} y^{x}\right]-\log \left[z^{x} x^{z}\right] \\ \Rightarrow \log x^{y}+\log y^{x}-\log z^{x}-\log x^{z} \\ \Rightarrow y \log x+x \log y-x \log z-z \log x \\ \Rightarrow x(\log y-\log z)+(y-z) \log x =R.H.S

प्रश्न:2. \log \left(\frac{11^{3}}{5^{7} \times 7^{5}}\right) को लघुगणक के योग और अन्तर के रूप में लिखिए।

उत्तर:\log \left(\frac{11^{3}}{5^{7} \times 7^{5}}\right) \\ =\log 11^{3}-\log \left(5^{7} \times 7^{5}\right) \\=3 \log 11-\log 5^{7}+\log 7^{5} \\=3 \log 11-7 \log 5-5 \log 7

प्रश्न:3. 17^{\frac{1}{2}} ज्ञात कीजिए जबकि

\log17=1.2304 और antilog 0.6152=4.123
उत्तर: x=17^{\frac{1}{2}} \\ \log x=\log (17)^{\frac{1}{2}} \\ \Rightarrow \frac{1}{2} \log 17 \\ \Rightarrow x=antilog \left[\frac{1}{2} \log 17 \right] \\ =antilog \left[\frac{1}{2} \times 1.2304\right] \\ =antilog 0.6152 \\ =4.123 \\ \Rightarrow 17^{\frac{1}{2}}=4.123

प्रश्न:4. \log _{10} 3=0.4771 हो तो \log _{10} 0.027 का मान ज्ञात करो।

उत्तर: log_{10} 0.027 \\ \log_{10} \left(\frac{27}{1000}\right)=\log_{10} 27-\log_{10} 1000 \\ =\log_{10} 3^{3}-\log_{10}\left(10^{3}\right) \\ =3 \log_{10} 3-3 \log_{10} 10 \\ =3 \times 0.4771-3 \times 1 \\=1.4313-3 \\ =-1.5687 \\ =\overline{2}+1-0.5687 =\overline{2}.4313

प्रश्न:5. \log x-\log (x-1)=\log 3 हो तो x का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:\log x-\log (x-1)=\log 3 \\ \log \left ( \frac{x}{x-1} \right )=\log 3 \\ \Rightarrow \frac{x}{x-1}=3 \\ \Rightarrow x=3 x-3 \\ \Rightarrow 2 x=3 \Rightarrow x=\frac{3}{2}

प्रश्न:6. antilog (log x) का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: antilog(log x)=x
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा प्रतिलघुगणक ज्ञात करने की विधि (Method of Find Antilog),एंटीलॉगरिथ्म खोजने की विधि (Method of Find Antilogarithm) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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प्रतिलघुगणक ज्ञात करने की विधि
(Method of Find Antilog)

Method of Find Antilog

प्रतिलघुगणक ज्ञात करने की विधि (Method of Find Antilog):किसी संख्या का प्रति लघुगणक
ज्ञात करना,लघुगणक ज्ञात करने की विपरीत क्रिया विधि है।अतः लघुगणक की विपरीत क्रिया को
प्रति लघुगणक कहते हैं।

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