1.अतिपरवलय कक्षा 11 (Hyperbola Class 11),अतिपरवलय (Hyperbola):

Hyperbola Class 11

अतिपरवलय कक्षा 11 (Hyperbola Class 11) के इस आर्टिकल में अतिपरवलयों के शीर्षों,नाभियों के निर्देशांक,उत्केन्द्रता,नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई और अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात करने के बारे में अध्ययन करेंगे।
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2.अतिपरवलय कक्षा 11 के उदाहरण (Hyperbola Class 11 Illustration):

निम्नलिखित प्रश्न 1 से 6 तक प्रत्येक में,अतिपरवलयों के शीर्षों,नाभियों के निर्देशांक,उत्केन्द्रता और नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Illustration:1. \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1 
Solution: \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1
दिए गए समीकरण की तुलना मानक समीकरण \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 से करने पर:
a^2=16 \Rightarrow a=4, b^2=9 \Rightarrow b=3 और c=\sqrt{a^2+b^2} \\ =\sqrt{16+9}=\sqrt{25} \\ \Rightarrow c=5
अतः शीर्षों के निर्देशांक ( \pm a, 0)=( \pm 4,0)
नाभियों के निर्देशांक ( \pm c, 0)=( \pm 5,0)
उत्केन्द्रता e=\frac{c}{a}=\frac{5}{4}
नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई =\frac{2 b^2}{a}=\frac{2 \times 9}{4}=\frac{9}{2}
Illustration:2. \frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{27}=1
Solution: \frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{27}=1
दिए गए समीकरण की तुलना मानक समीकरण \frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1 से करने पर:
a^2=9 \Rightarrow a=3, b^2=27, b=3 \sqrt{3} और c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9+27} \\ \Rightarrow c=\sqrt{36}=6
अतः शीर्षों के निर्देशांक (0, \pm a)=(0, \pm 3)
नाभियों के निर्देशांक (0, \pm c)=(0, \pm 6)
उत्केन्द्रता e=\frac{c}{a}=\frac{6}{3}=2
नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई =\frac{2 b^2}{a}=\frac{2 \times 27}{3}=18
Illustration:3. 9 y^2-4 x^2=36
Solution: 9 y^2-4 x^2=36
दिए गए समीकरण के दोनों पक्षों को 36 से भाग देने पर:

\frac{9 y^2}{36}-\frac{4 x^2}{36}=\frac{36}{36} \\ \Rightarrow \frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{9}=1
इस समीकरण की मानक समीकरण \frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1 से तुलना करने पर:
a^2=4 \Rightarrow a=2, b^2=9 \Rightarrow b=3 और c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{4+9} \\ \Rightarrow c=\sqrt{13}
अतः शीर्षों के निर्देशांक (0, \pm a)=(0, \pm 2)
नाभियों के निर्देशांक (0, \pm c)=(0, \pm \sqrt{13})
उत्केन्द्रता e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}
नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई =\frac{2 b^2}{a}=\frac{2 \times 9}{2}=9
Illustration:4. 16 x^2-9 y^2=576
Solution: 16 x^2-9 y^2=576
दिए गए समीकरण के दोनों पक्षों को 576 से भाग देने पर:

\frac{16 x^2}{576}-\frac{9 y^2}{576}=\frac{576}{576} \\ \Rightarrow \frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{64}=1
इस समीकरण की मानक समीकरण  \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 से तुलना करने पर:
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1  और a^2=36 \Rightarrow a=6, b^2=64 \Rightarrow b=8
अतः शीर्षों के निर्देशांक ( \pm a, 0)=( \pm 6,0)
नाभियों के निर्देशांक ( \pm C, 0)=( \pm 10,0)
उत्केन्द्रता e=\frac{c}{a}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}
नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई =\frac{2 b^2}{a}-\frac{2 \times 64}{6}=\frac{64}{3}
Illustration:5. 5 y^2-9 x^2=36
Solution: 5 y^2-9 x^2=36
दिए गए समीकरण के दोनों पक्षों को 36 से भाग देने पर:

\frac{5 y^2}{36}-\frac{9 x^2}{36}=\frac{36}{36} \\ \Rightarrow \frac{y^2}{\frac{36}{5}}-\frac{x^2}{4}=1
इस समीकरण की मानक समीकरण \frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1 से तुलना करने पर:
a^2=\frac{36}{5} \Rightarrow a=\frac{6}{\sqrt{5}}, b^2=4 \Rightarrow b=2 और c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\frac{36}{5}+4} \\ =\sqrt{\frac{36+20}{5}} \\ \Rightarrow c=\sqrt{\frac{56}{5}}=\frac{2 \sqrt{14}}{\sqrt{5}}
अतः शीर्षों के निर्देशांक (0, \pm a)=\left(0, \pm \frac{6}{\sqrt{5}}\right)
नाभियों के निर्देशांक (0, \pm 0)=\left(0, \pm \frac{2 \sqrt{14}}{\sqrt{5}}\right)
उत्केन्द्रता e=\frac{c}{a}=\frac{2 \sqrt{14}}{\frac{6}{\sqrt{5}}}=\frac{\sqrt{14}}{3}
नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई=\frac{2 b^2}{a}=\frac{2 \times 4}{\frac{6}{\sqrt{5}}}=\frac{4 \sqrt{5}}{3}
Illustration:6. 49 y^2-16 x^2=784
Solution: 49 y^2-16 x^2=784
दिए गए समीकरण के दोनों पक्षों को 784 से भाग देने पर:

\frac{49 y^2}{784}-\frac{16 x^2}{784}=\frac{784}{784}=1 \\ \Rightarrow \frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{49}=1
इस समीकरण की मानक समीकरण \frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1 से तुलना करने पर:
a^2=16 \Rightarrow a=4, b^2=49 \Rightarrow b=7 और c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{16+49} \\ c=\sqrt{65}
अतः शीर्षों के निर्देशांक (0, \pm a)=(0, \pm 4)
नाभियों के निर्देशांक (0, \pm c)=(0, \pm \sqrt{65})
उत्केन्द्रता e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{65}}{4}
नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई =\frac{2 b^2}{a}=\frac{2 \times 49}{4}=\frac{49}{2}

Hyperbola Class 11

निम्नलिखित प्रश्न 7 से 15 तक प्रत्येक में,दिए गए प्रतिबन्धों को सन्तुष्ट करते हुए अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिएः
Illustration:7.शीर्ष ( \pm 2,0)   नाभियाँ ( \pm 3,0)
Solution: शीर्ष ( \pm 2,0)   नाभियाँ ( \pm 3,0)
क्योंकि नाभियाँ x-अक्ष पर हैं इसलिए अतिपरवलय का समीकरण \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1  के रूप का है।
क्योंकि शीर्ष ( \pm 2,0) ,इसलिए a=2
और नाभियाँ ( \pm 3,0) ;c=3
तथा b^2 =c^2-a^2=3^2-2^2 \\ =9-4 \\ \Rightarrow b^2=5
इसलिए अतिपरवलय का समीकरण है:

\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1
Illustration:8.शीर्ष (0, \pm 5) नाभियाँ (0, \pm 8)
Solution:शीर्ष (0, \pm 5) नाभियाँ (0, \pm 8)
क्योंकि नाभियाँ y-अक्ष पर हैं इसलिए अतिपरवलय का समीकरण \frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1 के रूप का है।
क्योंकि शीर्ष (0, \pm 5) ,इसलिए a=5
और नाभियाँ (0, \pm 8) ;c=8
तथा b^2=c^2-a^2=5^2-3^2 \\ \Rightarrow b^2=25-9=16 \\ \frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}=1
इसलिए अतिपरवलय का समीकरण है:

\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1
Illustration:9. शीर्ष (0, \pm 3) नाभियाँ (0, \pm 5)
Solution: शीर्ष (0, \pm 3) नाभियाँ (0, \pm 5)
क्योंकि नाभियाँ y-अक्ष पर हैं इसलिए अतिपरवलय का समीकरण \frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1 के रूप का है।
क्योंकि शीर्ष (0, \pm 3),इसलिए a=3
और नाभियाँ (0, \pm 5);c=5
तथा b^2=c^2-a^2=8^2-5^2 \\ \Rightarrow b^2=64-25=39
इसलिए अतिपरवलय का समीकरण है:

\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{39}=1
Illustration:10.नाभियाँ ( \pm 5,0) ,अनुप्रस्थ अक्ष की लम्बाई 8 है।
Solution:नाभियाँ,अनुप्रस्थ अक्ष की लम्बाई 8 है।
क्योंकि नाभियाँ x-अक्ष पर हैं इसलिए अतिपरवलय का समीकरण \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 के रूप का है।
क्योंकि अनुप्रस्थ अक्ष की लम्बाई 2 a=8 \Rightarrow a=4
और नाभियाँ  ( \pm 5,0) ;c=5
तथा b^2=c^2-a^2=5^2-4^2 \\ b^2=25-16=9
इसलिए अतिपरवलय का समीकरण है:

\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1
Illustration:11.नाभियाँ (0, \pm 13) ,संयुग्मी अक्ष की लम्बाई 8 है।
Solution:नाभियाँ (0, \pm 13) ,संयुग्मी अक्ष की लम्बाई 8 है।
क्योंकि नाभियाँ y-अक्ष पर हैं इसलिए अतिपरवलय का समीकरण \frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1 के रूप का है।
क्योंकि संयुग्मी अक्ष की लम्बाई 2 b=4 \\ \Rightarrow b=12
और नाभियाँ (0, \pm 13) ;c=13
तथा a^2=c^2-b^2=13^2-12^2 \\ \Rightarrow a^2=169-144=25
इसलिए अतिपरवलय का समीकरण है:

\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{144}=1
Illustration:12.नाभियाँ ( \pm 3 \sqrt{5}, 0) ,नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई 8 है।
Solution:नाभियाँ ( \pm 3 \sqrt{5}, 0) ,नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई 8 है।
क्योंकि नाभियाँ ( \pm 3 \sqrt{5}, 0) हैं,इसलिए c=3 \sqrt{5}
नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई=\frac{2 b^2}{a}=8 \\ \Rightarrow b^2=4 a
इसलिए c^2=a^2+b^2 सेः

(3 \sqrt{5})^2=a^2+4 a \\ \Rightarrow 45=a^2+4 a \\ \Rightarrow a^2+4 a-45=0 \\ \Rightarrow a^2+9 a-5 a-45=0 \\ \Rightarrow a(a+9)-5(a+9)=0 \\ \Rightarrow(a-5)(a+9)=0 \\ \Rightarrow a=5,-9
क्योंकि a ऋणात्मक नहीं हो सकता है,इसलिए a=5 लेते हैं और b^2=4 a=4 \times 5=20
अतः अभीष्ट अतिपरवलय का समीकरण:

\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{20}=1
Illustration:13.नाभियाँ ( \pm 4,0) ,नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई 8 है।
Solution:नाभियाँ ( \pm 4,0)  ,नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई 8 है।
क्योंकि नाभियाँ x-अक्ष पर है इसलिए अतिपरवलय का समीकरण \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 के रूप का है।
नाभियाँ ( \pm 4,0) हैं,इसलिए c=4
नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई=\frac{2 b^2}{a}=12 \\ \Rightarrow b^2=6 a
इसलिए c^2=a^2+b^2 सेः

(4)^2=a^2+6 a \\ \Rightarrow a^2+6 a-16=0 \\ \Rightarrow a^2+8 a-2 a-16=0 \\ \Rightarrow a(a+8)-2(a+8)=0 \\ \Rightarrow (a-2)(a+8)=0 \\ \Rightarrow a=2,-8
क्योंकि a ऋणात्मक नहीं हो सकता है,इसलिए a=2 लेते हैं और b^2=6 a=6 \times 2=12
अतः अभीष्ट अतिपरवलय का समीकरण:

\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1
Illustration:14.शीर्ष ( \pm 7,0) , e=\frac{4}{3}
Solution:शीर्ष ( \pm 7,0) , e=\frac{4}{3}
क्योंकि शीर्ष x-अक्ष पर है इसलिए अतिपरवलय का समीकरण \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 के रूप का है।
शीर्ष ( \pm 7,0) है इसलिए a=7

e=\frac{4}{3}=\frac{c}{a} \\ \Rightarrow \frac{4}{3}=\frac{c}{7} \Rightarrow c=\frac{28}{3}
इसलिए c^2=a^2+b^2 सेः

\Rightarrow\left(\frac{28}{3}\right)^2=7^2+b^2 \\ \Rightarrow b^2=\frac{784}{9}-49 \\ =\frac{784-441}{9}\\ \Rightarrow b^2=\frac{343}{9}
अतः अतिपरवलय का अभीष्ट समीकरण

\Rightarrow \frac{x^2}{49}-\frac{y^2}{\frac{343}{9}}=1 \\ \Rightarrow \frac{x^2}{49}-\frac{9 y^2}{343}=1
Illustration:15.नाभियाँ (0, \pm \sqrt{10}) हैं तथा (2,3) से होकर जाता है।
Solution:नाभियाँ (0, \pm \sqrt{10}) हैं तथा (2,3) से होकर जाता है।
क्योंकि नाभियाँ y-अक्ष पर हैं इसलिए अतिपरवलय का समीकरण \frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1 के रूप का है।
नाभियाँ (0, \pm \sqrt{10}) इसलिए e=\sqrt{10} \\ c^2=a^2+b^2  सेः

\Rightarrow a^2+b^2=(\sqrt{10})^2 \\ \Rightarrow a^2+b^2=10 \cdots(1)
अतिपरवलय (2,3) से गुजरता है अतः

\frac{(3)^2}{a^2}-\frac{(2)^2}{b^2}=1 \\ \Rightarrow \frac{9}{a^2}-\frac{4}{b^2}=1 \cdots(2)
समीकरण (1) से b^2=10-a^2 समीकरण (2) में रखने पर:
\Rightarrow \frac{9}{a^2}-\frac{4}{10-a^2}=1 \\ \Rightarrow \frac{90-9 a^2-4 a^2}{a^2\left(10-a^2\right)} =1 \\ \Rightarrow 90-13 a^2=10 a^2-a^4 \\ \Rightarrow a^4-23 a^2+90=0 \\ \Rightarrow a^4-18 a^2-5 a^2+90=0 \\ \Rightarrow a^2\left(a^2-18\right)-5\left(a^2-18\right)=0 \\ \Rightarrow \left(a^2-5\right)\left(a^2-18\right)=0 \\ \Rightarrow a^2=5,18 \\ a^2=18 असम्भव है क्योंकि c^2=10 है।
अतः a^2=5 फलतः b^2=10-a^2 \\ \Rightarrow b^2=10-5=5
अतिपरवलय का अभीष्ट समीकरण

\frac{y^2}{5}-\frac{x^2}{5}=1
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अतिपरवलय कक्षा 11 (Hyperbola Class 11),अतिपरवलय (Hyperbola) को समझ सकते हैं।

3.अतिपरवलय कक्षा 11 के सवाल (Hyperbola Class 11 Questions):

Hyperbola Class 11

(1.)अतिपरवलय (x-1)^2-2(y-2)^2=-6 के अक्ष,नाभियाँ,उत्केन्द्रता तथा नाभिलम्ब ज्ञात कीजिए।
(2.)उस अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी नाभि (0,0),नियता तथा उत्केन्द्रता हो।
उत्तर (Answers): (1.) अनुप्रस्थ अक्ष=2 \sqrt{3}, संयुग्मी अक्ष=2 \sqrt{6}, उत्केन्द्रता=\sqrt{3}, नाभियाँ=(1,2 \pm 3)  या (1,5) व (1,-1) 
(2.) 16\left(x^2+y^2\right)=25(x \cos \alpha+y \sin \alpha-l)^2 
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अतिपरवलय कक्षा 11 (Hyperbola Class 11),अतिपरवलय (Hyperbola) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.अतिपरवलय कक्षा 11 (Frequently Asked Questions Related to Hyperbola Class 11),अतिपरवलय (Hyperbola) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.अतिपरवलय किसे कहते हैं? (What is Hyperbola?):

उत्तर:एक अतिपरवलय,तल के उन सभी बिन्दुओं का समुच्चय है जिनकी तल में दो स्थिर बिन्दुओं से दूरी का अन्तर अचर होता है।

प्रश्न:2.अतिपरवलय की नाभियाँ किसे कहते हैं? (What Are the Foci of Hyperbola Called?):

उत्तर:दो स्थिर बिन्दुओं को अतिपरवलय की नाभियाँ कहते हैं।नाभियों को मिलाने वाले रेखाखण्ड के मध्य बिन्दु को अतिपरवलय का केन्द्र कहते हैं।चित्र में F_{1},F_{2} नाभियाँ हैं।

प्रश्न:3.अतिपरवलय के अनुप्रस्थ अक्ष और संयुग्मी अक्ष पर टिप्पणी लिखो। (Write Notes on the Transverse Axis and Conjugate Axis in Hyperbola):

उत्तर:नाभियों से गुजरने वाली रेखा को अनुप्रस्थ अक्ष (Transverse axis) तथा केन्द्र से गुजरने वाली रेखा और अनुप्रस्थ अक्ष पर लम्बवत रेखा को संयुग्मी अक्ष (conjugate axis) कहते हैं।
दोनों शीर्षों के बीच की दूरी (अनुप्रस्थ अक्ष की लम्बाई) 2a को प्रदर्शित करते हैं और हम राशि b को इस प्रकार परिभाषित करते हैं कि b=\sqrt{c^2-a^2} , 2b को संयुग्मी अक्ष कहते हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा अतिपरवलय कक्षा 11 (Hyperbola Class 11),अतिपरवलय (Hyperbola) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

अतिपरवलय कक्षा 11 (Hyperbola Class 11) के इस आर्टिकल में अतिपरवलयों के शीर्षों,
नाभियों के निर्देशांक,उत्केन्द्रता,नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई और अतिपरवलय का समीकरण
ज्ञात करने के बारे में अध्ययन करेंगे।