गणितीय आगमन का सिद्धान्त (Principle of Mathematical Induction):

Principle of Mathematical Induction

• गणितीय आगमन का सिद्धान्त (Principle of Mathematical Induction):गणितीय आगमन में हम निश्चित ही n के इच्छानुसार चाहे गए धन पूर्णांक मानों के लिए कथन को सत्यापित कर सकते हैं किन्तु इस प्रक्रिया का मान n के सभी मानों के लिए सूत्र को सिद्ध नहीं कर सकती है। इसके लिए एक ऐसी क्रिया श्रृंखला की आवश्यकता है जिसका प्रभाव इस प्रकार का हो कि एक बार किसी धन पूर्णांक के लिए सूत्र के सिद्ध हो जाने के बाद आगामी धन पूर्णांकों के लिए सूत्र निरन्तर अपने आप सिद्ध हो जाता है। इस प्रकार की क्रिया श्रृंखला को गणितीय आगमन द्वारा उत्पन्न समझा जा सकता है।
  
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गणितीय आगमन का सिद्धान्त (Principle of Mathematical Induction):

• कल्पना कीजिए धन पूर्णांक P(n) से संबद्ध एक दिया कथन इस प्रकार है कि
  (i) n=1 के लिए कथन सत्य है अर्थात् P(1) सत्य है और
  (ii) यदि n=k एक प्राकृत संख्या के लिए कथन सत्य है तो n=k+1 के लिए भी कथन सत्य है अर्थात् P(k) की सत्यता का तात्पर्य है P(k+1) की सत्यता।
• अतः सभी प्राकृत संख्या n के लिए P(n) सत्य है।
  गुण (i) मात्र तथ्य का कथन है।ऐसी परिस्थितियाँ भी हो सकती है जब n\geq{4} के सभी मानों के लिए कथन सत्य हो। इस स्थिति में प्रथम चरण n=4 से प्रारम्भ होगा और हम परिणाम को n=4 के लिए अर्थात् P(4) सत्यापित करेंगे।
• गुण (ii) प्रतिबंधित गुणधर्म है। यह निश्चयपूर्वक नहीं कहता कि दिया कथन n=k के लिए सत्य है परन्तु केवल इतना कहता है कि यदि यह n=k के लिए सत्य है तो n=k+1 के लिए भी सत्य है। इस प्रकार गुणधर्म की सत्यता सिद्ध करने के लिए प्रतिबन्धित साध्य (conditional proposition) को सिद्ध करते हैं :”यदि n=k के लिए कथन सत्य है तो यह n=k+1 के लिए भी सत्य है”। इसे कभी-कभी आगमन का चरण (Induction step) कहा जाता है। इस आगमन चरण में ‘n=k के लिए कथन सत्य है’ की अभिधारणा (assumption) आगमन परिकल्पना (Induction hypothesis) कहलाती है।

Principle of Mathematical Induction

• गणितीय आगमन का सिद्धान्त (principle of Mathematical Induction)

Principle of Mathematical Induction

• उपर्युक्त आर्टिकल में गणितीय आगमन का सिद्धान्त (Principle of Mathematical Induction) के बारे में बताया गया है।