Inverse Trigonometric Functions
1.प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (Inverse Trigonometric Functions),प्रतिलोम वृत्तीय फलन (Inverse Circular Functions)-
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (Inverse Trigonometric Functions):हम जानते हैं कि किसी फलन f का प्रतिलोम फलन ज्ञात करने के लिए फलन f ज्ञात होना आवश्यक है।अतः फलन f ज्ञात करने के लिए f का एकैकी-आच्छादक होना आवश्यक है।
त्रिकोणमितीय फलनों के अध्ययन से स्पष्ट है कि ये फलन स्वाभाविक (सामान्य) प्रान्त और परिसर में एकैकी और आच्छादक नहीं होते हैं।अतः इनके प्रतिलोम सामान्य स्थितियों में ज्ञात करना सम्भव नहीं होता है परन्तु इन फलनों के प्रान्त को परिसीमित (प्रतिबन्धित) करने पर ये फलन एकैकी आच्छादक हो जाते हैं तथा इन स्थितियों में इनके फलन ज्ञात किए जा सकते हैं।
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2.प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के उदाहरण (Inverse Trigonometric Functions Examples)-
Example-1.2 \tan^{-1} \left(\frac{1}{3}\right) + \tan ^{-1} \frac{1}{7}=\frac{\pi}{4}
Solution–2 \tan^{-1} \left(\frac{1}{3}\right) + \tan ^{-1} \frac{1}{7}=\frac{\pi}{4}
L.H.S. 2 \tan ^{-1} \left(\frac{1}{3}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{7}\right) \\ = \tan ^{-1}\frac{2 \times \frac{1}{3}}{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{2}}+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)\left[\because 2 \tan ^{-1} x= \tan ^{-1} \left(\frac{2 x}{1-x^{2}}\right)\right]\\ = \tan^{-1} \left(\frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{9}}\right)+\tan^{-1} \left(\frac{1}{7}\right) \\ = \tan ^{-1}\left(\frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}}\right)+\tan^{-1} \left(\frac{1}{7}\right) \\ =\tan^{-1} \left(\frac{3}{4}\right)+\tan ^{-1} \frac{1}{7} \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{3}{4}+\frac{1}{7}}{1-\frac{3}{4} \times \frac{1}{7}}\right)\left[\because \tan ^{-1} x+\tan^{-1} y =\tan ^{-1}\left(\frac{x+y}{1-x y}\right)\right] \\ =\tan^{-1} \left(\frac{\frac{21+4}{28}}{\frac{28-3}{28}}\right) \\ =\tan^{-1} \left(\frac{25}{25}\right) \\ =\tan ^{-1}(1) \\ \Rightarrow 2 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)=\frac{\pi}{4}
Example-2.\tan^{-1} \left(\frac{17}{19}\right)-\tan^{-1} \left(\frac{2}{3}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)
Solution–\tan^{-1} \left(\frac{17}{19}\right)-\tan^{-1} \left(\frac{2}{3}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)
L.H.S. \tan ^{-1}\left(\frac{17}{19}\right)-\tan ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right) \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{17}{19}-\frac{2}{3}}{1+\frac{17}{19} \times \frac{2}{3}}\right) \\ =\tan^{-1} \left(\frac{\frac{51-38}{57}}{\frac{57+34}{57}}\right) \\ =\tan^{-1} \left(\frac{13}{91}\right) \\ =\tan^{-1} \left(\frac{1}{7}\right) \\ \Rightarrow \tan \left(\frac{17}{19}\right)-\tan ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)
Example-3.\sec ^{2}\left(\tan ^{-1} 2\right)+\operatorname{cosec}^{2}\left(\cot ^{-1} 3\right)=15
Solution–\sec ^{2}\left(\tan ^{-1} 2\right)+\operatorname{cosec}^{2}\left(\cot ^{-1} 3\right)=15
L.H.S. \sec ^{2}\left(\tan ^{-1} 2\right)+\operatorname{cosec}^{2}\left(\cot ^{-1} 3\right) \\ \Rightarrow \sec ^{2}\left[\sec^{-1} \left(\frac{\sqrt{5}}{1}\right)\right]+ \operatorname{cosec}^{2} \left[\operatorname{cosec}^{-1} \left(\frac{\sqrt{10}}{1}\right)\right] \\ \left[\therefore \tan ^{-1} x=\sec ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{1} \right) , \cot ^{-1} x=\operatorname{cosec} \left(\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{1}\right)\right] \\ \Rightarrow\left[\sec \left(\sec ^{-1} \sqrt{5}\right)\right]^{2}+\left[\operatorname{cosec}\left(\operatorname{cosec}^{-1} \sqrt{10}\right)\right]^{2} \\ \Rightarrow(\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{10})^{2} \\ \Rightarrow 5+10=15 \\ \Rightarrow \sec ^{2}\left(\tan ^{-1} 2\right)+\operatorname{cosec}^{2}\left(\cot ^{-1} 3\right)=15
Example-4.यदि \cos^{-1} x+\cos ^{-1} y+\cos^{-1} z=\pi तो सिद्ध कीजिए कि
x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x y z=1
Solution–\cos ^{-1} x+\cos ^{-1} y+\cos ^{-1} z=\pi \\ \Rightarrow \cos ^{-1} x+\cos ^{-1} y=\pi-\cos^{-1} z \\ \Rightarrow \cos ^{-1}\left[x y-\sqrt{1-x^{2}} \sqrt{1-y^{2}}\right]=\cos^{-1} (-z) \\ \Rightarrow x y-\sqrt{1-x^{2}-y^{2}+x^{2} y^{2}}=-z \\ \Rightarrow x y+z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}+x^{2} y^{2}} \\ \Rightarrow(x y+z)^{2}=1-x^{2}-y^{2}+x^{2} y^{2} \\ \Rightarrow x^{2} y^{2}+2 x y z+z^{2}=1-x^{2}-y^{2}+x^{2} y^{2} \\ \Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x y z=1
Example-5.यदि \tan ^{-1} x+\tan ^{1} y+\tan ^{-1} z=\frac{\pi}{2} तो सिद्ध कीजिए कि x y+y z+z x=1
Solution–\tan ^{-1} x+\tan ^{-1} y+\tan ^{-1} z=\frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow \tan ^{-1}\left[\frac{x+y+z-x y z}{1-x y-y z-z x}\right]=\frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow \frac{x+y+z-x y z}{1-x y-y z-z x}=\tan \frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow \frac{x+y+z-x y z}{1-x y-y z-z x}=\frac{1}{0} \\ \Rightarrow 1-x y-y z-z x=0 \\ \Rightarrow x y+y z+z x=1
Example-6.यदि \sec ^{-1} \left(\sqrt{1+x^{2}}\right)+\operatorname{cosec}^{-1}\left( \frac{\sqrt{1+ y^{2}}}{y} \right) +\cot ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=3 \pi तो सिद्ध कीजिए कि x+y+z=xyz
Solution–\sec ^{-1}\left(\sqrt{1+x^{2}}\right)+\operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+ y^{2}}}{y}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=3 \pi \\ \Rightarrow \tan ^{-1} x+\tan ^{-1} y+\tan ^{-1} z=3 \pi \\ \left[\because \sec \sqrt{1+x^{2}}=\tan ^{-1} x , \operatorname{cosec}^{-1} \frac{\sqrt{1+y^{2}}}{y}=\tan ^{-1} y\right] \\ \Rightarrow \tan ^{-1} \left[\frac{x+y+z-x y z}{1-x y-y z-z x}\right]=3 \pi \\ \Rightarrow \frac{x+y+z-x y z}{1-x y-y z-z x}=\tan 3 \pi \\ \Rightarrow \frac{x+y+z-x y z}{1-x y-y z-z x}=\tan \pi \\ \Rightarrow \frac{x+y+z-x y z}{1-x y-y z-2 x}=0 \\ \Rightarrow x+y+z-x y z=0 \\ \Rightarrow x+y+z=x y z
Example-7.यदि \tan ^{-1} x, \tan ^{-1} y, \tan ^{-1} z समान्तर श्रेढ़ी में हो तो सिद्ध कीजिए कि y^{2}(x+z)+2 y(1-x z)-x-z=0
Solution–\tan^{-1} x, \tan ^{-1} y, \tan ^{-1} z समान्तर श्रेढ़ी में हैं। अतः
2 \tan ^{-1} y=\tan ^{-1} x+\tan^{-1} z \\ \Rightarrow \tan^{-1} \left(\frac{2 y}{1-y^{2}}\right)=\tan^{-1} \left(\frac{x+z}{1-x z}\right) \\ \Rightarrow \frac{2 y}{1-y^{2}}=\frac{x+z}{1-x z} \\ \Rightarrow 2 y(1-x z)=x+z-y^{2}(x+z) \\ \Rightarrow y^{2}(x+z)+2 y(1-x z)-x-z=0
निम्नलिखित समीकरणों को हल कीजिए:
Example-8.\cos ^{-1} \left(\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}\right)+\tan^{-1}\left(\frac{2 x}{x^{2}-1}\right)=\frac{2 \pi}{3}
Solution–\cos ^{-1} \left(\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}\right)+\tan^{-1}\left(\frac{2 x}{x^{2}-1}\right)=\frac{2 \pi}{3} \\ \tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{x^{2}-1}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{x^{2}-1}\right)=\frac{2 \pi}{3} \\ \left[\because \cos^{-1} \left(\frac{x^{2}}{x^{2}+1}\right)=\tan^{-1} \left(\frac{2 x}{x^{2}-1}\right)\right] \\ 2 \tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{x^{2}-1} \right)=\frac{2 \pi}{3} \\ \Rightarrow \tan^{-1} \left(\frac{2 x}{x^{2}-1}\right)=\frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow \frac{2 x}{x^{2}-1}=\tan \frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow \frac{2 x}{x^{2}-1}=\sqrt{3} \\ \Rightarrow 4 x^{2}=3\left(x^{2}-1\right)^{2} \\ \Rightarrow 4 x^{2}=3 x^{4}-6 x^{2}+3 \\ \Rightarrow 3 x^{4}-10 x^{2}+3=0 \\ \Rightarrow 3 x^{4}-9 x^{2}-x^{2}+3=0 \\ \Rightarrow 3 x^{2}\left(x^{2}-3\right)-1\left(x^{2}-3\right)=0 \\ \Rightarrow\left(x^{2}-3\right)\left(3 x^{2}-1\right)=0 \\ \Rightarrow x=\pm \sqrt{3}, \pm \frac{1}{\sqrt{3}}
Example-9.\sin^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)+\cot ^{-1} x=\frac{\pi}{4}
Solution–\sin ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)+\cot^{-1} x=\frac{\pi}{4} \\ \cos ^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) +\cos^{-1} \left(\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\right)=\frac{\pi}{4} \\ \left[\because \sin ^{-1} x=\cos^{-1} \sqrt{1-x^{2}}, \cot^{-1} x=\cos^{-1} \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\right] \\ \Rightarrow \cos \left[\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}-\sqrt{1-\frac{4}{5}} \sqrt{1-\frac{x^{2}}{1+x^{2}}}\right]=\frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow \quad \frac{2 x}{\sqrt{5} \sqrt{1+x^{2}}}-\frac{1}{\sqrt{5}} \sqrt{\frac{1}{1+x^{2}}}=\cos \frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow \frac{2 x-1}{\sqrt{5} \sqrt{1+x^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \Rightarrow(2 x-1)=\frac{\sqrt{5} \sqrt{1+x^{2}}}{\sqrt{2}} \\ \Rightarrow(2 x-1)^{2}=\frac{5\left(1+x^{2}\right)}{2} \\ \Rightarrow 2\left(4 x^{2}-4 x+1\right)=5+5 x^{2} \\ \Rightarrow 8 x^{2}-8 x+2=5+5 x^{2} \\ \Rightarrow 3 x^{2}-8 x-3=0 \\ \Rightarrow 3 x^{2}-9 x+x-3=0 \\ \Rightarrow 3 x(x-3)+1(x-3)=0 \\ \Rightarrow (x-3)(3 x+1)=0 \\ \Rightarrow x=3,-\frac{1}{3}
Example-10.3 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2+\sqrt{3}}\right)-\tan ^{-1} \frac{1}{x}=\tan^{-1} \frac{1}{3}
Solution–3 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2+\sqrt{3}}\right)-\tan ^{-1} \frac{1}{x}=\tan^{-1} \frac{1}{3} \\ \Rightarrow 3 \tan ^{-1}\left(\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}\right)-\tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\tan ^{-1} \frac{1}{3} \\ \Rightarrow 3 \tan ^{-1}(2-\sqrt{3})-\tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\tan ^{-1} \frac{1}{3} \\ \Rightarrow \tan ^{-1}\left[\frac{3(2-\sqrt{3})-(2-\sqrt{3})^{3}}{1-3(2-\sqrt{3})^{2}}\right]-\tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\tan ^{-1} \frac{1}{3} \\ \Rightarrow \tan ^{-1}\left[\frac{6-3 \sqrt{3}-(8-12 \sqrt{3}+18-3 \sqrt{3})}{1-3(4-4 \sqrt{3}+3)}\right]-\tan^{-1} \left(\frac{1}{x}\right)=\tan^{-1} \frac{1}{3} \\ \Rightarrow \tan ^{-1}\left[\frac{6-3 \sqrt{3}-26+15 \sqrt{3}}{1-21+12 \sqrt{3}}\right]-\tan ^{-1} \left(\frac{1}{x}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) \\ \Rightarrow \tan^{-1} \left[\frac{-20+12 \sqrt{3}}{12 \sqrt{3}-20}\right]-\tan^{-1} \left(\frac{1}{x}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) \\ \Rightarrow \tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\tan^{-1} \left(\frac{20-12 \sqrt{3}}{20-12 \sqrt{3}}\right)-\tan ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) \\\Rightarrow \tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\tan ^{-}(1)-\tan^{-1} \left(\frac{1}{3}\right) \\ \Rightarrow \tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{1-\frac{1}{3}}{1+1\left(\frac{1}{3}\right)}\right) \\ \Rightarrow \frac{1}{x}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}} \\ \Rightarrow \frac{1}{x}=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow x=2
Example-11.\tan ^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)+2 \tan^{-1} \left(\frac{1}{5}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{6}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi}{4}
Solution–\tan ^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)+2 \tan^{-1} \left(\frac{1}{5}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{6}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi}{4} \\ \\ \Rightarrow \tan^{-1} \left(\frac{1}{4}\right)+\tan ^{-1}\left[\frac{2 \times \frac{1}{5}}{1-\left(\frac{1}{5}\right)^{2}}\right]+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{6}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) =\frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow \tan ^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{2}{5}}{1-\frac{1}{25}}\right) +\tan^{-1} \left(\frac{1}{6}\right)+\tan^{-1} \left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow \tan ^{-1}\left(\frac{\frac{1}{4}+\frac{1}{6}}{1-\frac{1}{4} \times \frac{1}{6}}\right)+\tan^{-1} \left(\frac{\frac{2}{5}}{\frac{24}{25}}\right)+\tan^{-1} \left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow \tan^{-1} \left(\frac{\frac{3+2}{12}}{\frac{24-1}{24}}\right)+\tan^{-1} \left(\frac{5}{12}\right)+\tan^{-1} \left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow \tan ^{-1}\left(\frac{10}{23}\right) +\tan ^{-1}\left(\frac{5}{12}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi}{4}\\ \Rightarrow \tan^{-1} \left (\frac{\frac{10}{23}+\frac{5}{12}}{1-\frac{10}{23} \times \frac{5}{12}}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\tan ^{-1} 1 \\ \Rightarrow \tan ^{-1}\left(\frac{\frac{120+115}{276}}{\frac{276-50}{276}}\right)+\tan^{-1} \frac{1}{x}=\tan ^{-1}(1) \\ \Rightarrow \tan^{-1} \left(\frac{235}{226}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\tan ^{-1}(1) \\ \Rightarrow \tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\tan^{-1} (1)-\tan \left(\frac{235}{226}\right) \\ \Rightarrow \tan^{-1} \left(\frac{1}{x}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{1-\frac{235}{226}}{1+\frac{235}{226}}\right) \\ \Rightarrow \frac{1}{x}=\frac{226-235}{226+235} \\\Rightarrow \frac{1}{x}=-\frac{9}{461} \\ \Rightarrow x=-\frac{461}{9}
Example-12.\sin^{-1} x+\sin ^{-1} y=\frac{2 \pi}{3}, \cos ^{-1} x-\cos ^{-1} y=\frac{\pi}{3}
Solution–\sin^{-1} x+\sin ^{-1} y=\frac{2 \pi}{3} \\ \Rightarrow \sin ^{-1} x+\frac{\pi}{2}-\cos ^{-1} y=\frac{2 \pi}{3} \quad\left[\because \sin ^{1} x+\cos ^{-1} x=\frac{\pi}{2} \right] \\ \Rightarrow \sin^{-1} x-\cos ^{-1} y=-\frac{\pi}{2}+\frac{2 \pi}{3} \\ \Rightarrow \sin ^{-1} x-\cos ^{-1} y=\frac{\pi}{6} \cdots (1) \\ \cos ^{-1} x-\cos ^{-1} y=\frac{\pi}{3} \cdots (2) \\ ............................\text{ घटाने पर } \\ \sin ^{-1} x-\cos ^{-1} x=-\frac{\pi}{6} \\ \sin ^{-1} x-\left(\frac{\pi}{2}-\sin ^{-1} x\right)=-\frac{\pi}{6} \quad\left[\because \sin ^{-1} x+\cos ^{-1} x=\frac{\pi}{2}\right] \\ \Rightarrow \sin ^{-1} x-\frac{\pi}{2}+\sin ^{-1} x=-\frac{\pi}{6} \\ \Rightarrow 2 \sin ^{-1} x=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6} \\ \Rightarrow 2 \sin ^{-1} x=\frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow \sin x=\frac{\pi}{6} \\ \Rightarrow x=\sin \frac{\pi}{6} \\ \Rightarrow x=\frac{1}{2}
x का मान समीकरण (1) में रखने पर-
\sin^{-1} \left(\frac{1}{2}\right)-\cos ^{-1} y=\frac{\pi}{6}\\ \Rightarrow \frac{\pi}{6}-\cos ^{-1} y=\frac{\pi}{6} \\ \Rightarrow \cos ^{-1} y=0 \\ \Rightarrow y=\cos 0 \\ \Rightarrow y=1 \\ x=\frac{1}{2}, y=1
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (Inverse Trigonometric Functions),प्रतिलोम वृत्तीय फलन (Inverse Circular Functions) को समझ सकते हैं।
3.प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन के उदाहरण (Inverse Trigonometric Functions Examples)-
(1.)यदि 4 \sin ^{-1} x+\cos ^{-1} x=\pi तो x का मान ज्ञात कीजिए।
(2.)\cos \left[\frac{\pi}{2}+\sin ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)\right] का मान ज्ञात कीजिए।
(3.)यदि \sin^{-1} (\frac{3}{4})+\sec ^{-1}(\frac{4}{3})=x तो x का मान ज्ञात कीजिए।
(4.) \sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)+2 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) का मान ज्ञात कीजिए।
(5.)यदि \sin ^{-1}\left(\frac{5}{x}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{12}{x}\right)=90^{\circ} तो x का मान ज्ञात कीजिए।
(6.) सिद्ध कीजिए कि \sin^{-1} \left(\frac{3}{5}\right)-\cos^{-1} \left(\frac{12}{13}\right)=\sin ^{-1}\left(\frac{16}{15}\right)
उत्तर (Andwers): (1)-\frac{1}{3} \\ (2) \frac{\pi}{2} \\ (3) \frac{\pi}{2}
(4.)13
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (Inverse Trigonometric Functions),प्रतिलोम वृत्तीय फलन (Inverse Circular Functions) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (Inverse Trigonometric Functions),प्रतिलोम वृत्तीय फलन (Inverse Circular Functions) के बारे में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न-
प्रश्न:1.6 वृत्तीय फलन क्या हैं? (What are the 6 circular functions?)
उत्तर-त्रिकोणमितीय फलनों में निम्नलिखित 6 फलन शामिल हैं: साइन (sine),कोसाइन (cosine), टेन्जेन्ट (tangent), कॉटेंजेन्ट (cotangent), सेकेंट (Secant) और कोसेकेंट (cosecant)।इन फलनों में से प्रत्येक के लिए, एक व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन है।
चूंकि दोनों निर्देशांक एक इकाई सर्कल का उपयोग करके परिभाषित किए गए हैं,इसलिए उन्हें अक्सर वृत्तीय फ़ंक्शन कहा जाता है।उदाहरण यूनिट सर्कल के साथ समीकरण sin v = 0.5 को हल करें।
प्रश्न:2.6 व्युत्क्रम प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन क्या हैं? (What are the 6 inverse trig functions?)
उत्तर-विशेष रूप से, वे साइन (sine),कोसाइन (cosine), टेन्जेन्ट (tangent), कॉटेंजेन्ट (cotangent), सेकेंट (Secant) और कोसेकेंट (cosecant) फलनों के व्युत्क्रम हैं और किसी भी कोण के त्रिकोणमितीय अनुपात से कोण प्राप्त करने के लिए उपयोग किया जाता है। व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन व्यापक रूप से इंजीनियरिंग, नेविगेशन, भौतिकी और ज्यामिति में उपयोग किए जाते हैं।
प्रश्न:3.3 बेसिक व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन क्या हैं? (What are the 3 basic inverse trigonometric functions?)
उत्तर-प्रतिलोम साइन (sine^{-1}),प्रतिलोम कोसाइन (cosine^{-1}), प्रतिलोम टेन्जेन्ट (tangent^{-1}) फलन बेसिक प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन हैं।शेष तीन प्रतिलोम त्रिकोणमितीय उक्त बेसिक प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों से प्राप्त किए जा सकते हैं।
प्रश्न:4.व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय का सूत्र क्या है? (What is the formula of inverse trigonometry?),प्रतिलोम वृत्तीय फलनों के सूत्र (inverse circular functions formulas),व्युत्क्रम त्रिकोणमिति सूत्र (inverse trigonometry formulas)
उत्तर-Inverse Trigonometric Formulas List
S.No Inverse Trigonometric Formulas
sin^{-1} x + cos^{-1} x = π/2 , x ∈ [-1, 1]
tan^{-1} x + cot^{-1} x = π/2 , x ∈ R
sec^{-1} x + cosec ^{-1} x = π/2 ,|x| ≥ 1
sin^{-1}(\frac{1}{x}) = cosec^{-1} (x), if x ≥ 1 or x ≤ -1
इसी प्रकार अन्य प्रतिलौम त्रिकोणमितीय सूत्र भी है जिनका हम इससे पूर्व आर्टिकल में वर्णन कर चुके हैं।
प्रश्न:5.प्रतिलोम वृत्तीय फलन कक्षा 12 (Inverse circular functions class 12),प्रतिलोम वृत्तीय फलन कक्षा 12 सीबीएसई (Inverse circular functions class 12 CBSE)
उत्तर-प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन कक्षा 12 गणित NCERT सॉल्यूशंस CBSE मार्किंग स्कीम और दिशानिर्देशों के अनुसार तैयार किए गए थे।
व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन दिए गए त्रिकोणमितीय अनुपात के लिए कोण मान निर्धारित करने में मदद करते हैं।इन फलनों में आमतौर पर sin^{-1} x, cos^{-1} x,tan^{-1} x,cot^{-1} x,sec^{-1} x,cosec^{-1} x शामिल हैं
प्रतिलोम वृत्तीय फलन (व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन)
त्रिकोणमितीय अनुपातों का विलोम मौजूद है।हम जानते हैं कि y = sin x का अर्थ है y कोण x की साइन की वैल्यू है यदि हम डोमेन और सह-डोमेन दोनों को एक वास्तविक संख्या के R के रूप में मानते हैं।Y = sin x एकैकी आच्छादक है और इसलिए यह व्युत्क्रमणीय है।
प्रश्न:6.प्रतिलोम वृत्तीय फलन कक्षा 11 (Inverse circular functions class 11)
उत्तर-ऐसे कई फलन हैं जो एकैकी,आच्छादक या दोनों या दोनों पर नहीं हैं और इसलिए हम उनके व्युत्क्रम की बात नहीं कर सकते हैं।ग्यारहवीं कक्षा में, हमने अध्ययन किया कि त्रिकोणमितीय फलन हैं-
हम उन्हीं फलनों के प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों पर विचार कर सकते हैं जो कि एकैकी आच्छादक हो।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (Inverse Trigonometric Functions),प्रतिलोम वृत्तीय फलन (Inverse Circular Functions) की बेसिक बातों को समझ सकते हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (Inverse Trigonometric Functions),प्रतिलोम वृत्तीय फलन (Inverse Circular Functions) की बेसिक बातों को समझ सकते हैं।
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
