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Surface Area of a Right Circular Cone

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1 1.एक लम्बवृत्तीय शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of a Right Circular Cone),एक लम्बवृत्तीय शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल कक्षा 9 (Surface Area of a Right Circular Cone Class 9):
1.2 3.एक लम्बवृत्तीय शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल की समस्याएं (Surface Area of a Right Circular Cone Problems):

1.एक लम्बवृत्तीय शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of a Right Circular Cone),एक लम्बवृत्तीय शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल कक्षा 9 (Surface Area of a Right Circular Cone Class 9):

एक लम्बवृत्तीय शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of a Right Circular Cone) से तात्पर्य उसके सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल से है।सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल में आधार का क्षेत्रफल अर्थात् वृत्ताकार भाग का क्षेत्रफल और वक्राकार भाग का क्षेत्रफल शामिल होता है।शंकु के शीर्ष तथा आधार अर्थात् वृत्त के केन्द्र को मिलाने वाली रेखा आधार पर लम्ब होती है तो वह लम्बवृत्तीय शंकु कहलाता है।

(i)शंकु का वक्र पृष्ठीय (तिर्यक पृष्ठीय) क्षेत्रफल (Curved Surface Area of Cone)= त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

=\frac{1}{2} L \times R
=\frac{1}{2} × शंकु के आधार का परिमाप × तिरछी ऊँचाई

=\frac{1}{2} \times 2 \pi r \times l \\ =\pi r l
शंकु का तिर्यक पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii)शंकु का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल=शंकु का तिर्यक पृष्ठीय क्षेत्रफल + शंकु के आधार का क्षेत्रफल

=\pi r l+\pi r^{2} \\ =\pi r(l+r)
(iii)शंकु की तिरछी ऊँचाई

l=\sqrt{h^{2}+r^{2}}
जहाँ h शंकु की ऊँचाई और r शंकु की त्रिज्या है।

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2.एक लम्बवृत्तीय शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल के साधित उदाहरण (Surface Area of a Right Circular Cone Solved Examples):

जब तक अन्यथा न कहा जाए \frac{22}{7} लीजिए।
Example:1.एक शंकु के आधार का व्यास 10.5 cm है और इसकी तिर्यक ऊँचाई 10 cm है।इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution:शंकु की त्रिज्या (r)=\frac{10.5}{2}
शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l)=10 cm
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=\pi r l\\ \frac{22}{7} \times \frac{10.5 \times 10}{2} =165 वर्ग सेमी
Example:2.एक शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी तिर्यक ऊँचाई 21 m है और आधार का व्यास 24 m है।
Solution:शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l)=21 m
शंकु के आधार की त्रिज्या (r)=\frac{24}{2}=12 m
शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल=\pi r(l+r) \\ = \frac{22}{7} \times 12 \times(21+12) \\ = \frac{22}{7} \times 12 \times 33 \\ =1244.571 \approx 1244.57 m^{2}
Example:3.एक शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 308 वर्ग सेमी है और इसकी तिर्यक ऊँचाई 14 cm है।ज्ञात कीजिए:
(i)आधार की त्रिज्या
(ii)शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
Solution:(i)शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=\pi r l=308 वर्ग सेमी
शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l)=14 cm

\frac{22}{7} \times r \times 14=308 \\ \Rightarrow r=\frac{308 \times 7}{22 \times 14} \\ \Rightarrow r=7 cm
(ii)शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल=\pi r(l+r)\\= \frac{22}{7} \times 7 \times(14+7) \\ \Rightarrow 22 \times 21 \\ \Rightarrow 462 वर्ग सेमी
Example:4.शंकु के आधार का एक तम्बू 10 m ऊँचा है और उसके आधार की त्रिज्या 24 m है।ज्ञात कीजिए:
(i)तम्बू की तिर्यक ऊँचाई
(ii)तम्बू में लगे केनवास (canvas) की लागत यदि 1 वर्ग मीटर केनवास की लागत 70 रुपए है।
Solution:शंकु की ऊँचाई (h)=10 m
शंकु के आधार की त्रिज्या (r)=24 m
(i)शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l)

l=\sqrt{r^{2}+h^{2}} \\ =\sqrt{24^{2}+10^{2}} \\ =\sqrt{576+100} \\ =\sqrt{676} \\ \Rightarrow l =26 मीटर
(ii)शंक्वाकार तम्बू के तिर्यक पृष्ठ का क्षेत्रफल=\pi r l \\ =\frac{22}{7} \times 24 \times 26
शंक्वाकार तम्बू में लगे केनवास की लागत=\frac{22}{7} \times 24 \times 26 \times 70

=137280 रुपए

Example:5.8 मीटर ऊँचाई और आधार की त्रिज्या 6 m वाले एक शंकु के आकार का तम्बू बनाने में 3 m चौड़े तिरपाल की कितनी लम्बाई लगेगी?यह मान कर चलिए कि इसकी सिलाई और कटाई में 20 cm तिरपाल अतिरिक्त लगेगा।(π=3.14 का प्रयोग कीजिए।)
Solution:शंक्वाकार तम्बू की ऊँचाई (h)=8 m
शंक्वाकार तम्बू की त्रिज्या (r)=6 m
शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l)=\sqrt{r^{2}+h^{2}} \\ =\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100} \\ l=10 cm
शंक्वाकार तम्बू का वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल=\pi r l\\= 3.14 \times 6 \times 10 \\ =188.4 वर्ग मीटर
शंक्वाकार तम्बू में लगे तिरपाल की चौड़ाई=3 m
तिरपाल की लम्बाई=\frac{\text{वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल }}{\text{ तिरपाल की चौड़ाई }} \\ =\frac{188.4}{3}=62.8 मीटर
तिरपाल में अतिरिक्त लगने वाले भाग की लम्बाई=20 cm=0.2 m
तिरपाल की वास्तविक लम्बाई=62.8 m+0.2 m= 63 m
Example:6.शंकु के आधार के एक गुम्बज की तिर्यक ऊँचाई और आधार व्यास क्रमश: 25 m और 14 m है।इसकी वक्र पृष्ठ पर 210 रुपए प्रति 100 वर्ग मीटर की दर से सफेदी कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
Solution:शंक्वाकार गुंबज की तिर्यक ऊँचाई (l)= 25 m
गुम्बज की त्रिज्या (r)=\frac{14}{2}=7 मीटर
गुंबज का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=\pi \times r \times l \\ =\frac{22}{7} \times 7 \times 25 \\ =550 वर्ग मीटर
गुंबज के वक्र पृष्ठ पर सफेदी कराने का व्यय=530 \times \frac{210}{100} 
=1155 रुपए
Example:7.एक जोकर की टोपी एक शंकु के आकार की है जिसके आधार की त्रिज्या 7 cm और ऊँचाई 24 cm है।इसी प्रकार की 10 टोपियाँ बनाने के लिए आवश्यक गत्ते का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution:शंक्वाकार टोपी के आधार की त्रिज्या (r)=7 cm
शंक्वाकार टोपी की ऊँचाई (h)=24 cm
तिर्यक ऊँचाई (l)=\sqrt{r^{2}+h^{2}} \\ =\sqrt{7^{2}+24^{2}} \\ =\sqrt{49+576} \\=\sqrt{625} \\ \Rightarrow l =25
एक टोपी का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=\pi r l \\=\frac{22}{7} \times 7 \times 25 \\ =550  वर्ग सेमी
10 टोपियों का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=550 × 10
=5500 वर्ग सेमी
आवश्यक गत्ते का क्षेत्रफल=5500 वर्ग सेमी
Example:8.किसी बस स्टाॅप को पुराने गत्ते से बने 50 खोखले शंकुओं द्वारा सड़क से अलग किया हुआ है।प्रत्येक शंकु के आधार का व्यास 40 cm है और ऊँचाई 1 m है।यदि इन शंकुओं की बाहरी पृष्ठों को पेंट करवाना है और पेंट की दर 12 रुपए प्रति वर्गमीटर है तो इनको पेंट कराने में कितनी लागत आएगी? (π=3.14 और \sqrt{1.04}=1.02 का प्रयोग कीजिए।)
Solution:शंकु की त्रिज्या (r)=\frac{20}{2}=20 सेमी =0.20 मीटर
शंकु की ऊँचाई (h)=1 m
शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l)=\sqrt{r^{2}+h^{2}} \\=\sqrt{(0.20)^{2}+(1)^{2}} \\=\sqrt{0.04+1} \\=\sqrt{1.04} \\ \Rightarrow l =1.02
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=\pi r l
=3.14 × 0.2 ×1.02
=0.64056 वर्गमीटर
50 शंकुओं का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=0.64056 × 50
=32.028 वर्गमीटर
शंकुओं पर पेंट कराने का व्यय=32.028 × 12
=384.336
=384.34 रुपए
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा एक लम्बवृत्तीय शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of a Right Circular Cone),एक लम्बवृत्तीय शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल कक्षा 9 (Surface Area of a Right Circular Cone Class 9) को समझ सकते हैं।

3.एक लम्बवृत्तीय शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल की समस्याएं (Surface Area of a Right Circular Cone Problems):

(1.)एक शंकु का वक्रपृष्ठ 188.4 वर्गमीटर है तथा इसकी तिरछी ऊँचाई 12 मीटर है।इसके आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
(2.)एक शंकु का वक्र पृष्ठ 2035 वर्गसेमी है और आधार का व्यास 35 सेमी है।शंकु की तिरछी ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
(3.)एक लम्बवृत्तीय शंकु के आधार का क्षेत्रफल 154 वर्गसेमी है,इसकी तिरछी ऊँचाई 25 सेमी है तो शंकु की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.)5 सेमी (2.)37 सेमी (3.) 24 सेमी
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर एक लम्बवृत्तीय शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of a Right Circular Cone),एक लम्बवृत्तीय शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल कक्षा 9 (Surface Area of a Right Circular Cone Class 9) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.एक लम्बवृत्तीय शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of a Right Circular Cone),एक लम्बवृत्तीय शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल कक्षा 9 (Surface Area of a Right Circular Cone Class 9) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.शंकु की त्रिज्या से क्या तात्पर्य है? (What is meant by the radius of the cone?):

उत्तर:लम्बवृत्तीय शंकु (Right Circular Cone) के आधार अर्थात् वृत्त की त्रिज्या को शंकु की त्रिज्या कहते हैं।

प्रश्न:2.शंकु की ऊँचाई से क्या तात्पर्य है? (What is the meant by the height of the cone?):

उत्तर:शंकु के शीर्ष से वृत्तीय आधार के केन्द्र को मिलाने वाली रेखा की लम्बाई शंकु की ऊँचाई कहलाती है।

प्रश्न:3.शंकु की तिर्यक ऊँचाई से क्या तात्पर्य है? (What does the slant height of the cone mean?):

उत्तर:शंकु के शीर्ष को शंकु के वृत्तीय आधार की परिधि के किसी बिन्दु से मिलाने वाली रेखा की लम्बाई शंकु की तिर्यक ऊँचाई कहलाती है।

प्रश्न:4.दैनिक जीवन की शंक्वाकार चीजों के उदाहरण दीजिए। (Give the examples of the conical things of daily life):

उत्तर:दैनिक जीवन में शंक्वाकार कई चीजों को देखते और प्रयोग करते हैं।जैसे आइसक्रीम कोन, जोकर की टोपी, कीप इत्यादि।

प्रश्न:5.किस प्रकार के शंकु को लम्बवृत्तीय शंकु नहीं कह सकते हैं? (Which type of cone cannot be called a right circular cone?):

Surface Area of a Right Circular Cone

उत्तर:निम्नलिखित आकृतियों को देखिए।इनमें जो शंकु देख रहे हैं वे लम्बवृत्तीय शंकु नहीं हैं।पहली आकृति में शीर्ष को आधार के केन्द्र से मिलाने वाली रेखा आधार पर लम्ब नहीं है और दूसरी में आधार वृत्तीय नहीं है।
इस आर्टिकल में शंकु का तात्पर्य लम्बवृत्तीय शंकु से ही है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा एक लम्बवृत्तीय शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of a Right Circular Cone),एक लम्बवृत्तीय शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल कक्षा 9 (Surface Area of a Right Circular Cone Class 9) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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एक लम्बवृत्तीय शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल
(Surface Area of a Right Circular Cone)

Surface Area of a Right Circular Cone

एक लम्बवृत्तीय शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of a Right Circular Cone) से तात्पर्य उसके
सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल से है।सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल में आधार का क्षेत्रफल अर्थात् वृत्ताकार भाग
का क्षेत्रफल और वक्राकार भाग का क्षेत्रफल शामिल होता है।

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