1.बहुपद के शून्यकों के महत्त्वपूर्ण उदाहरण का परिचय (Introduction to Imp Examples of Zeroes of Polynomial),किसी बहुपद के शून्यकों और गुणांकों में सम्बन्ध (Relationship Between Zeroes and Coefficients of a Polynomial):

Imp Examples of Zeroes of Polynomial

बहुपद के शून्यकों के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Examples of Zeroes of Polynomial) के इस आर्टिकल में ऐसे सवालों का हल ज्ञात करना सीखेंगे जिनमें बहुपद के शून्यकों को ज्ञात करना हो तथा उनमें सम्बन्ध ज्ञात करना हो।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:- Solving Pair of Linear Equations 10th

2.बहुपद के शून्यकों के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Examples of Zeroes of Polynomial):

Example:1.यदि \alpha और \beta बहुपद 2 x^2-5 x+7 के शून्यक हैं तो \alpha^{-1}+\beta^{-1} का मान ज्ञात कीजिए।
Solution: 2 x^2-5 x+7 \\ \alpha, \beta बहुपद के शून्यक हैं अतः
\alpha+\beta=-\frac{(-5)}{2}=\frac{5}{2} और \alpha \beta=\frac{7}{2} \\ \therefore \alpha^{-1}+\beta^{-1} =\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \\ =\frac{\alpha+\beta}{\alpha \beta} \\=\frac{\frac{5}{2}}{\frac{7}{2}} \\ \Rightarrow \alpha^{-1}+\beta^{-1}=\frac{5}{7}
Example:2.यदि द्विघात बहुपद 5 x^2-k x+8 के शून्यकों का योग 3 है,तो k का मान ज्ञात कीजिए।
Solution: 5 x^2-k x+8
शून्यकों का योग=\frac{-(-k)}{5}=3 \\ \Rightarrow k=15
Example:3.यदि 2 x^2-3x+k का एक शून्यक दूसरे का व्युत्क्रम है,तो k का मान ज्ञात कीजिए।
Solution: 2 x^2-3x+k
यदि \alpha , \frac{1}{\alpha} बहुपद के शून्यक है तो
शून्यकों का गुणनफल=\frac{\text{अचर पद}}{x^2 \text{का गुणांक}} \\ \alpha \cdot \frac{1}{\alpha} =\frac{k}{2} \Rightarrow k=2
Example:4.यदि \alpha, \beta, x^2-6 x+k के शून्यक है,k का मान ज्ञात कीजिए,यदि 3 \alpha+2 \beta=20
Solution: x^2-6 x+k
शून्यकों का योग= -\frac{x \text{का गुणांक}}{ x^2 \text{का गुणांक}} \\ \alpha+\beta=-\frac{(-6)}{1} \\ \Rightarrow \alpha+\beta=6 \\ 3 \alpha+2 \beta=20 \\ 2(\alpha+\beta)+\alpha=20 \\ \Rightarrow 2 \times 6+\alpha=20 [(1) से]
\Rightarrow \alpha=20-12=8
(1) में मान रखने पर:

8+\beta=6 \\ \Rightarrow \beta=6-8 \\ \beta=-2, \alpha=8
शून्यकों का गुणनफल=\frac{\text{अचर पद}}{x^2 \text{का गुणांक}}\\ \alpha \beta=\frac{k}{1} \\ \Rightarrow(-2)(8)=k \\ \Rightarrow k=-16
Example:5.यदि \alpha, \beta बहुपद p(x)=x^2+p x+q के शून्यक हैं,तो बहुपद बनाइए जिसके शून्यक \frac{1}{\alpha} और \frac{1}{\beta} हैं।
Solution: p(x)=x^2+p x+q \\ \alpha, \beta बहुपद के शून्यक हैं
अतः \alpha+\beta=-p और \alpha \beta=q
अब अभीष्ट बहुपद के शून्यकों का योग=\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\\ \Rightarrow \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha \beta}=\frac{-p}{q}
शून्यकों का गुणनफल=\frac{1}{\alpha} \cdot \frac{1}{\beta}=\frac{1}{\alpha \cdot \beta } \\ \frac{1}{\alpha \beta}=\frac{1}{q} \\ \therefore अभीष्ट बहुपद =[katex]k\left[x^2-\left(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\right) x+\frac{1}{\alpha \beta}\right] \\ =k\left[x^2-\left(-\frac{p}{q}\right) k+\frac{1}{q}\right]
k=q लेने पर: 

=q x^2+p x+1
अभीष्ट बहुपद=q x^2+p x+1
Example:6.यदि (\alpha-\beta), \alpha,(\alpha+\beta) बहुपद p(x)=2 x^3-16 x^2+15 x-2  के शून्यक हैं,तो का मान ज्ञात कीजिए।
Solution: p(x)=2 x^3-16 x^2+15 x-2
शून्यकों का योग=-\frac{x^2 \text{का गुणांक}}{x^3 \text{का गुणांक}} \\ \Rightarrow(\alpha-\beta)+\alpha+(\alpha+\beta)=-\frac{(-16)}{2} \\ \Rightarrow \quad 3 \alpha=8 \Rightarrow \alpha=\frac{8}{3}
Example:7.यदि \alpha और \beta बहुपद x^2-4 \sqrt{3} x+3 के शून्यक हैं,तो \alpha+\beta-\alpha \beta का मान ज्ञात कीजिए।
Solution: x^2-4 \sqrt{3} x+3
शून्यकों का योग=(\alpha+\beta)=\frac{4 \sqrt{3}}{1}
शून्यकों का गुणनफल \alpha \beta=3 \\ \alpha+\beta-\alpha \beta=4 \sqrt{3}-3

Imp Examples of Zeroes of Polynomial

Example:8.एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए,जिसके शून्यकों का योग 8 और उनका गुणनफल 12 है।बहुपद के शून्यक भी ज्ञात कीजिए।
Solution:माना बहुपद के शून्यक \alpha , \beta हैं।

\alpha+\beta=8, \alpha \beta=12
अभीष्ट बहुपद p(x)=k\left[x^2-(\alpha+\beta) x+\alpha \beta\right] \\ =k\left[x^2-8 x+12\right]
k=1 लेने पर:
अभीष्ट बहुपद 

P(x)=x^2-8 x+12 \\ =x^2-6 x-2 x+12 \\ =x(x-6)-2(x-6) \\ =(x-2)(x-6) \\ \therefore p(x)=0 \\ \Rightarrow (x-2)(x-6)=0 \\ x=2,6
अतः बहुपद के शून्यक=2,6
Example:9.यदि द्विघात बहुपद 2x^2+kx-15 का एक मूल 3 हो तो दूसरा मूल (शून्यक) और k का मान ज्ञात कीजिए।
Solution:बहुपद 2x^2+kx-15 का एक मूल 3 है अतः

2(3)^2+k \times 3-15=0 \\ \Rightarrow 3 k=-3 \\ \Rightarrow k=-\frac{3}{3}=-1
शून्यकों का योग=-\frac{k}{2} \\ \alpha+\beta=-\frac{(-1)}{2}
यदि \alpha=3 हो तो:

3+\beta=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow \beta=\frac{1}{2}-3 \\ \Rightarrow \beta=-\frac{5}{2}
अतः k=-1,दूसरा मूल= -\frac{5}{2}
Example:10.यदि a और c इस प्रकार है कि बहुपद a x^2-5 x+c के शून्यकों का योगफल और शून्यकों का गुणनफल भी 10 है तो a और b ज्ञात कीजिए।
Solution:बहुपद: a x^2-5 x+c
शून्यकों का योगफल=-\frac{x \text{का गुणांक}}{x^2 \text{का गुणांक}} \\ \Rightarrow 10=-\frac{(-5)}{a} \\ \Rightarrow a=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}
शून्यकों का गुणनफल=\frac{\text{अचर पद}}{x^2 \text{का गुणांक}} \\ 10=\frac{c}{a} \\ \Rightarrow c= 10 a=10 \times \frac{1}{2} \\ \Rightarrow c=5
अतः a=\frac{1}{2}, c=5
Example:11.यदि बहुपद 2x^2+px+4 का एक शून्यक 2 है,तो दूसरा शून्यक ज्ञात कीजिए।p का मान भी ज्ञात कीजिए।
Solution:बहुपद: 2x^2+px+4
एक शून्यक 2 है अतः

2(2)^2+p \times 2+4=0 \\ \Rightarrow 3+2 p+4=0 \\ \Rightarrow 2 p=-12 \Rightarrow p=-62(2)^2+p \times 2+4=0 \\ \Rightarrow 3+2 p+4=0 \\ \Rightarrow 2 p=-12 \Rightarrow p=-6
यदि शून्यक \alpha, \beta हो तो
शून्यकों का योग \alpha+\beta=-\frac{x \text{का गुणांक}}{x^2 \text{का गुणांक}} \\ \Rightarrow \alpha+\beta=-\frac{(-p)}{2}
यदि \alpha=2 है तो

\Rightarrow 2+\beta =-\frac{p}{2} \\ \Rightarrow \beta =\frac{6}{2}-2 \\ \beta=3-2=1
अतः \beta=1 और p=-6
Example:12.यदि \alpha और \beta बहुपद 5 x^2-7 x+1 के शून्यक हैं तो \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} ज्ञात कीजिए।
Solution:बहुपद: 5 x^2-7 x+1
शून्यकों का योग=\frac{-(-7)}{5} \\ \alpha+\beta=\frac{7}{5} \cdots(1)
शून्यकों का गुणनफल=\frac{1}{5} \\ \Rightarrow \alpha \beta=\frac{1}{5} \cdots(2) \\ \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha \beta} \\ =\frac{\frac{7}{5}}{\frac{1}{5}}[(1) व (2) से]
\Rightarrow \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=7
Example:13.यदि \alpha और \beta बहुपद k x^2+4 x+4 के शून्यक इस प्रकार हैं कि \alpha^2+\beta^2=24 ;k का मान ज्ञात कीजिए।
Solution:बहुपद: k x^2+4 x+4
शून्यकों का योग=-\frac{x \text{का गुणांक}}{x^2 \text{का गुणांक}} \\ \Rightarrow \alpha+\beta=-\frac{4}{k} \cdots(1)
शून्यकों का गुणनफल=\frac{\text{अचर पद}}{x^2 \text{का गुणांक}} \\ \alpha \beta=\frac{4}{K} \cdots(2)\\ \alpha^2+\beta^2=24 \\ \Rightarrow(\alpha+\beta)^2-2 \alpha \beta=24 \\ \Rightarrow\left(-\frac{4}{k}\right)^2-2 \times \frac{4}{k}=24 [(1) व (2) से]
\Rightarrow \frac{16}{K^2}-\frac{8}{K}=24 \\ \Rightarrow \frac{16-8 k}{k^2}=24 \\ \Rightarrow 24 k^{2}=8 k+16 \\ \Rightarrow 24 k^2+8 k-16=0 \\ \Rightarrow 8\left(3 k^2+k-2\right)=0 \\ \Rightarrow 3 k^2+k-2=0 \\ \Rightarrow 3 k^2+3 k-2 k-2=0 \\ \Rightarrow 3 k(k+1)-2(k+1)=0 \\ \Rightarrow(3 k-2)(k+1)=0 \\ \Rightarrow 3 k-2=0, k+1=0 \\ \Rightarrow k=\frac{2}{3}, k=-1
अतः k=\frac{2}{3}, k=-1
Example:14.शर्त ज्ञात कीजिए जो कि बहुपद f(x)=x^3-p x^2+q x-r के गुणांकों द्वारा संतुष्ट की जानी है जबकि इसके दो शून्यकों का योगफल शून्य हो।
Solution:बहुपद: f(x)=x^3-p x^2+q x-r
माना बहुपद के शून्यक \alpha,\beta, \gamma है तथा \alpha+\beta=0
शून्यकों का योग=-\frac{x^2\text{ का गुणांक}}{x^3 \text{ का गुणांक}} \\ \alpha+\beta+\gamma=\frac{-(-p)}{1} \\ \Rightarrow 0+\gamma=p \\ \Rightarrow r=p \cdots(1) \\ \alpha \beta+\beta \gamma+\alpha \gamma=\frac{x \text{ का गुणांक}}{x^3 \text{ का गुणांक}} \\ \Rightarrow \alpha \beta+ \gamma(\alpha+ \beta) =\frac{q}{1} \\ \Rightarrow \alpha \beta+\gamma(0)=q \\ \Rightarrow \alpha \beta=q \cdots(2)
शून्यकों का गुणनफल=-\frac{\text{अचर पद}}{x^3 \text{का गुणांक}} \\ \Rightarrow \alpha \beta \gamma=\frac{-(-r)}{1} \\ \Rightarrow q \gamma=r [(2) से]
\Rightarrow p q=r [(1) से]
Example:15.यदि \alpha, \beta बहुपद f(x)=2 x^2+3x+k के शून्यक है जो कि सम्बन्ध \alpha^2+\beta^2+\alpha \beta=\frac{25}{4} को सन्तुष्ट करते हैं तो इसके लिए k का संभव मान ज्ञात कीजिए।
Solution: f(x)=2 x^2+3 x+k
शून्यकों का योग=\frac{x \text{का गुणांक}}{x^2 \text{का गुणांक}} \\ \Rightarrow \alpha+\beta=-\frac{3}{2} \cdots(1)
शून्यकों का गुणनफल=\frac{\text{अचर पद}}{x^2 \text{का गुणांक}} \\ \alpha \beta=\frac{k}{2} \cdots(2)\\ \alpha^2+\beta^2+\alpha \beta=\frac{25}{4} \\ \Rightarrow(\alpha+\beta)^2-\alpha \beta=\frac{25}{4} \\ \Rightarrow \left(-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{k}{2}=\frac{25}{4} [(1) व (2) से]
\Rightarrow \frac{9}{4}-\frac{k}{2}=\frac{25}{4} \\ \Rightarrow \frac{k}{2}=\frac{9}{4}-\frac{25}{4} \\ \Rightarrow \frac{k}{2}=-\frac{16}{4} \Rightarrow k=-8

3.बहुपद के शून्यकों के महत्त्वपूर्ण उदाहरण पर आधारित सवाल (Questions Based on Imp Examples of Zeroes of Polynomial):

Imp Examples of Zeroes of Polynomial

(1.)एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों का योग व गुणनफल 3 व 2 है।
(2.)यदि द्विघात व्यंजक kx^2-3 x+2 के शून्यकों का योग उनके गुणनफल के बराबर हो तो k का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers): (1.) x^2-3 x+2
(2.) k=-\frac{5}{3} 

Also Read This Article:- Equation Reducible to Linear Equations

4.बहुपद के शून्यकों के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Frequently Asked Questions Related to Imp Examples of Zeroes of Polynomial),किसी बहुपद के शून्यकों और गुणांकों में सम्बन्ध (Relationship Between Zeroes and Coefficients of a Polynomial) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

बहुपद के शून्यकों के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Examples of Zeroes of Polynomial) के
इस आर्टिकल में ऐसे सवालों का हल ज्ञात करना सीखेंगे जिनमें बहुपद के शून्यकों को
ज्ञात करना हो तथा उनमें सम्बन्ध ज्ञात करना हो।