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Nature of Infinity – and Beyond

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Nature of Infinity – and Beyond

1.इन्फिनिटी की प्रकृति – और परे का परिचय (Introduction of Nature of Infinity – and Beyond)-

गणित की समस्याओं को हल करने की बजाए सवाल पूछने की कला अधिक महत्त्वपूर्ण है। बहुत से विद्यार्थियों को यह पता नहीं होता है कि प्रश्न में किस प्रकार का सवाल पूछा जाए। सवाल पूछने से आपकी बौद्धिक क्षमता का पता चलता है। हम कई बार ऐसे सीधे-सीधे सवाल पूछ लेते हैं कि उनको सुनकर हमारी बौद्धिक क्षमता का पता चल जाता है। 

कुछ विद्यार्थी प्रश्न ही नहीं पूछते हैं। याद रखे कि सवाल पूछनेवाला एक मिनट के लिए मूर्ख कहला सकता है परन्तु जो सवाल पूछता ही नहीं है वह जीवन भर मूर्ख ही रहता है। 
इस आर्टिकल में जार्ज कैंटर की जीवनी दी गई है इसमें बताया गया है कि गणित को सीखने के लिए उनको कितना संघर्ष करना पड़ा। गणितीय प्रतिभा होने के बावजूद उनके माता-पिता उन्हें इंजीनियर के व्यवसाय में भेजना चाहते थे। अपने कठिन परिश्रम के बल, बुद्धि और कौशल के आधार पर उन्होंने गणित में ऐसी प्रमेयों तथा समस्याओं को हल किया हैं जिन्हें पढ़कर आश्चर्य होता है। इस आर्टिकल में विस्तार से इसके बारे में बताया गया है तथा समझाया गया है। उन्होंने गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए कितना संघर्ष किया था। उनकी पूरी जीवनी (गणित से सम्बंधित संघर्ष) को देखकर लगता है कि ऐसे मनुष्य ही वास्तव में गणित को नई ऊँचाईयों पर पहुँचाते है। जो जितना संघर्ष, तप तथा कठिन परिश्रम करता उसको उतना ही अधिक श्रेय, सम्मान और प्रसिद्धि मिलती है हालांकि इसके अपवाद भी है कि जिन्होंने बहुत अच्छा कार्य किया है परन्तु हम उनके बारे में नहीं जानते हैं। 
आप इस आर्टिकल को पूरा पढ़े और यदि पसन्द आए तो लाईक और शेयर करें। आपका कोई सुझाव हो तो कमेंट करके बताएं। 

2.इन्फिनिटी की प्रकृति – और परे(Nature of Infinity – and Beyond)
जॉर्ज कैंटर और उनके ट्रांसफ़ेक्ट स्वर्ग का परिचय

Nature of Infinity - and Beyond,Georg Cantor

Georg Cantor

जॉर्ज कैंटर ने एक बच्चे के रूप में एक स्पष्ट रूप से कलात्मक लकीर दिखाई और कथित तौर पर एक उत्कृष्ट वायलिन वादक थे। लैटिन में उनके उपनाम ‘कैंटर’ का अर्थ है ‘गायक’ या ‘संगीतकार’। जब उन्होंने 1867 में – 22 साल की उम्र में बर्लिन विश्वविद्यालय में डॉक्टरेट की थीसिस पूरी की, तो उन्होंने इसे नाम दिया मैथेमैटिका आरएस प्रॉपेंडी प्लुरिस फेनेंडा इस्ट क्वाम सॉल्वेंडी जो अंग्रेजी में “गणित” में पढ़ता है, सवाल पूछने की कला अधिक मूल्यवान है समस्याओं को हल करने से ”। बाद में एक प्रसिद्ध रूप से गहरे विचारक के रूप में प्रसिद्ध, कैंटर बड़ा हो जाएगा, जिसने उस व्यक्ति को हिम्मत दिखाई, जो सभी से सबसे गहरे और सबसे बुनियादी सवालों में से एक का जवाब देता है:

3.अनंत कितना बड़ा है?(How big is infinity?)-

1870 के दशक में आमतौर पर विचार योग्य कैंटर,  80 और 90 के दशक ने इस प्रश्न के उत्तर के बारे में मौलिक नए विचारों को पेश किया, जिसने शुद्ध गणित की एक नई शाखा के रूप में सेट सिद्धांत को स्थापित किया। यह लेख आपको उनके सबसे उल्लेखनीय काम और इसके निहितार्थ से परिचित कराने की उम्मीद करता है।

4.प्रारंभिक जीवन (1845–69)[Early life (1845–69)]-

जॉर्ज कैंटर एक अर्थ में भाग्यशाली थे जब उनका जन्म 3 मार्च 1845 को सेंट पीटर्सबर्ग में हुआ था। उनके माता-पिता डेनिश थे। उनकी मां मैरी (परिवार का नाम मेयर) रूसी मूल के संगीतकारों के एक परिवार से आया था और उनके पिता जॉर्ज वोल्डमार एक बहुत ही सफल व्यवसायी व्यक्ति थे, पहले सेंट पीटर्सबर्ग में एक थोक व्यापारी के रूप में, और बाद में शहर के शेयर बाजार में एक दलाल के रूप में।
कैंटर के पिता और मां, जी.डब्ल्यू। और मैरी कैंटर
कैंटर अपने पिता से बहुत प्रभावित था, एक महान सांस्कृतिक और दार्शनिक हितों का एक व्यक्ति जो अपने बेटे के स्कूल और विश्वविद्यालय के वर्षों के दौरान उसे अपने जीवन और कैरियर के बारे में बहुत अच्छी तरह से सलाह प्रदान करता है। फिर भी, कुछ खातों के माध्यम से, अपने बेटे की गणितीय क्षमताओं को पहचानने के बावजूद, अपने बेटे को गणित की तुलना में अधिक आशाजनक पेशे के रूप में इंजीनियरिंग में मजबूर करने की कोशिश करते हैं।

5.शिक्षा (1860-69)[Education (1860-69)]-

8 साल की उम्र में कैंटर का ग्रेड, जब उन्होंने सेंटपेटर्सबर्ग में जर्मन भाषी लोगों के लिए सेंटपेट्री-स्कुल में भाग लिया।

कैंटर का स्कूली करियर कई अति-प्रतिभाशाली गणितज्ञों की तरह था – अपनी प्रतिभा की प्रारंभिक पहचान (पंद्रह वर्ष की आयु से पहले) और अपनी पढ़ाई में एक दिलचस्प रुचि। जैसे ही सेंट पीटर्सबर्ग में, कैंटर को निजी ट्यूशन पाठ मिले। जर्मनी में, उन्होंने पहली बार फ्रैंकफर्ट में Darmstadt nonclassical school में निजी स्कूल में दाखिला लिया, 1860 में Wiesbaden Gymnasium में प्रवेश करने से पहले। उन्होंने Darmstadt में Realschule से डिस्टिंक्शन के साथ स्नातक की उपाधि प्राप्त की, और 1818 में Höheren Gewerbschule में अपनी यूनिवर्सिटी की पढ़ाई शुरू की, जहाँ उन्होंने दो साल तक इंजीनियरिंग की पढ़ाई की। गणित को आगे बढ़ाने के लिए स्विस फेडरल पॉलिटेक्निक (ETH ज्यूरिख) में स्थानांतरित करने से पहले। अगले साल तपेदिक से अपने पिता की मृत्यु के बाद, उन्होंने एक पर्याप्त विरासत (आधा मिलियन अंक) प्राप्त की और अपनी पढ़ाई बर्लिन विश्वविद्यालय में स्थानांतरित कर दी।

Nature of Infinity - and Beyond,Humboldt University of Berlin in 1850 (then Friedrich Wilhelm University)

Humboldt University of Berlin in 1850 (then Friedrich Wilhelm University

बर्लिन कैंटर में अर्नस्ट कुमेर, लियोपोल्ड क्रोनकर और कार्ल वीयरस्ट्रैस के व्याख्यान में भाग लिया, जिनकी अंकगणित में रुचि ने उनके शुरुआती काम पर एक मजबूत प्रभाव डाला। 1866 में, उन्होंने गौटिंगेन विश्वविद्यालय में ग्रीष्मकालीन सेमेस्टर बिताया, उस समय दुनिया की गणितीय सोच की राजधानी थी। 1867 में उनके शोध प्रबंध “डी असेंशनिबस सेकुंडी ग्रेडेट इंडेटेर्मिनाटिस” और 1869 में उनकी बस्ती “डी ट्रांसफॉर्मर फॉर्मरनम टर्नियारारम क्वाड्रिटाइरम” संख्या सिद्धांत में, विशेष रूप से एक उत्कृष्ट समस्या है जो गोमस के डिस्क्लेमरस अरिथमेटिका से शुक्राणुओं के समाधान के संबंध में छोड़ दिया गया है। ax²+by²+cz² = 0, जिसे लीजेंड्रे के समीकरण के रूप में भी जाना जाता है।

Nature of Infinity - and Beyond,Georg Cantor

,Georg Cantor

1870 के आसपास जॉर्ज कैंटर
हालाँकि, उनकी “गंभीर रूप से शास्त्रीय शोध” के रूप में सिद्धांत एट इंडीओनिओसा (“सीखा और चतुर”) के रूप में प्रशंसा की गई थी, लेकिन उनकी उम्र समझ में आने वाली प्रतिभा का कोई विशेष संकेत नहीं देती थी। उन्होंने अपनी मौखिक परीक्षा मैग्ना कम लूडो में उत्तीर्ण की। प्राप्त करने पर उनकी पीएच.डी. उन्होंने बर्लिन से एक पद ग्रहण करने के लिए Privatdozent के रूप में एक पद ग्रहण किया (एक लेक्चरर जो अपने छात्रों से फीस वसूल सकता है), हाले विश्वविद्यालय में अपने दोस्त केएचए की जगह ले रहा है। श्वार्ट्ज (जो ज्यूरिख गए थे) और वहां गणित के प्रोफेसर एडुआर्ड हेइन के अधीन काम कर रहे थे।

6.प्रारंभिक कैरियर (1870–73)[Early career (1870–73)]-

कुछ लोगों ने तर्क दिया है कि कैंटर के बाद के भूस्खलन के कामों का पता उनके स्नातक के बाद के प्रकाशनों से लगाया जा सकता है। वास्तव में, कैंटर के शोध में त्रिकोणमितीय श्रृंखला के सिद्धांत को समर्पित किया गया है, जो वास्तव में “निरंतर” में अपने शुरुआती हित के निशान पा सकता है। बर्लिन में हायरस्ट्रैस और हेले में दोनों वेनस्ट्रैस के प्रभावों के बाद, कैंटर का पहला पेपर उबेर ईइन डाई ट्रिगोनोमेट्रिचेन रीहेन बेट्रेफेंडेन लेहर्सज़ेट (“ट्राइगोमेट्रिक सीरीज़ से संबंधित एक प्रमेय”) 1870 के मार्च में प्रकाशन के लिए पूरा हुआ और “अग्रिम की समझ” के लिए तैनात किया गया। अनंत त्रिकोणमितीय श्रृंखला के माध्यम से एक मनमाने ढंग से दिए गए कार्य के प्रतिनिधित्व के अभिसरण गुण ”। त्रिकोणमितीय श्रृंखला से शुरू और रीमैन द्वारा किए गए एक जटिल चर के कार्यों पर काम, कैंटर ने कागज में निम्न सिद्धांत दिखाए:
कैंटर की विशिष्टता प्रमेय (1870): प्रत्येक फ़ंक्शन f: ℝ → series में एक त्रिकोणमितीय श्रृंखला द्वारा अधिकतम एक प्रतिनिधित्व हो सकता है।
यदि एक फ़ंक्शन f (x) एक त्रिकोणमितीय श्रृंखला द्वारा दर्शाया गया है जो सभी x के लिए अभिसरण है, तो वह प्रतिनिधित्व अद्वितीय है। 1871 में, उन्होंने परिणाम को मजबूत किया, यह साबित करते हुए कि अद्वितीयता भले ही किसी भी अंतराल में अंकों की एक सीमित संख्या में विचलन करती है। यह परिणाम उस समय के सबसे महान दिमागों में से एक का प्रयास था, जिसमें हेइन, पीटर डरिकलेट और बर्नहार्ड रीमैन शामिल थे, जो अब तक केवल यह दिखा सके थे कि यह कुछ सीमित परिस्थितियों में आयोजित किया गया था।
1872 में प्रकाशित उनके अगले पेपर ने परिणाम को और भी बढ़ा दिया। पेपर, एबर डाई ऑशेनहुंग ईन्स सैटस ऑस डेर दिर डेर ट्रिग्नोमेट्रिचेन रीहेन (“त्रिकोणमितीय श्रृंखला के सिद्धांत से एक प्रमेय के सामान्यीकरण पर”) को इंगित करता है, बिंदु-सेट पी के एक सीमा बिंदु की परिभाषा प्रदान करता है ताकि कोई भी बिंदु ऐसा हो सके: बिंदु के पड़ोस में असीम रूप से P के कई बिंदु होते हैं। P की पहली व्युत्पन्न P (नामित P ‘) P की सभी सीमा बिंदुओं का समुच्चय है, दूसरी व्युत्पन्न P’ P ‘की सभी सीमा बिंदुओं का समुच्चय है, और इसी तरह पर। इस परिभाषा ने बिंदु-सेट टोपोलॉजी की नींव रखी, बाद में विशेष रूप से फेलिक्स हॉसडॉर्फ, एमाइल बोरेल और मौरिस रेने फ्रैचेट द्वारा विस्तारित किया गया। कैंटर ने अपनी विशिष्टता प्रमेय को बेहतर बनाने के लिए परिभाषा का उपयोग किया, यह दिखाते हुए कि प्रमेय यहां तक ​​कि अगर त्रिकोणमितीय श्रृंखला अंक की एक अनंत संख्या में विचलन करता है, बशर्ते कि अंकों का सेट परिमित क्रम का हो (एक बिंदु-सेट P परिमित क्रम का हो अगर , कुछ पूर्णांक n के लिए, P का nth व्युत्पन्न P एक परिमित सेट है)।
रेट्रोस्पेक्ट में देखा गया, पेपर कैंटर के शुरुआती काम को विश्लेषण में जोड़ता है, जिसे अब ट्रांसफैट सेट्स के अध्ययन पर उसका सबसे महत्वपूर्ण काम माना जाता है, उदाहरण के लिए इसके अनंत बिंदुओं पर ध्यान केंद्रित करना और वास्तविक संख्या की परिभाषा जो वह प्रदान करता है:
कैंटर की वास्तविक संख्या की परिभाषा ℝ (1872): एक वास्तविक संख्या तर्कसंगत संख्याओं की एक अनंत श्रृंखला है:
a₁, a₂, …, aᵤ, .. ।।
ऐसा है कि किसी भी ε के लिए एक  u₁ मौजूद है जैसे कि u ≥ u₁ और किसी भी धनात्मक पूर्णांक v के लिए; | aᵤ₊ᵥ – a | | <ε।
पेपर में, कैंटर इस परिभाषा पर चर्चा करता है और इसकी तुलना अपने पूर्व और वर्तमान गुरुओं द्वारा दी गई है, बर्लिन में वेइरास्ट्रैस और हाले में हेन। परिणाम उनके पिछले काम में शामिल हो गए और 1872 में हाले विश्वविद्यालय में केंटोर से एयूएरोडरेंटलिचेर प्रोफेसर (एसोसिएट प्रोफेसर) को बढ़ावा देने के लिए पर्याप्त था।
रिचर्ड डेडेकिंड के साथ पत्राचार (1872-1873)[Correspondence with Richard Dedekind (1872–73)]-
बाद में उसी वर्ष में, कैंटर पहली बार रिचर्ड डेडेकिंड से मिले, जो उस समय ब्रंसविक के टेक्निसके होच्चुले में गणित के प्रोफेसर थे। डेडेकिंड ने पहले एक पेपर प्रकाशित किया था जो वास्तविक संख्याओं के सेट की संरचना का एक स्वयंसिद्ध विश्लेषण प्रदान करता था । उनकी परिभाषा पूर्ण, आदेशित क्षेत्र के रूप में वास्तविक संख्याओं की थी। कैंटर और डेडेकिंड ने कई वर्षों की अवधि में पत्रों का आदान-प्रदान किया। उनके पत्रों के गणितीय भाग बाद में नॉथर और कैवेल्लेसे (1937) द्वारा प्रकाशित किए गए थे और अब इंडियाना के इवांसविले विश्वविद्यालय में रखे गए हैं।
29 नवंबर, 1873 को कैंटर ने डेडेकिंड को एक पत्र भेजकर पूछा था कि क्या प्राकृतिक संख्याओं का संग्रह और सकारात्मक वास्तविक संख्याओं का संग्रह “पत्राचार किया जा सकता है” ताकि किसी एक संग्रह का प्रत्येक व्यक्ति एक और दूसरे के केवल एक व्यक्ति से मेल खाता हो? जिस पर डेडेकिंड ने जवाब देते हुए लिखा कि वह जवाब नहीं जानता था, हालांकि यह कहना कि यह सवाल ज्यादा व्यावहारिक हित का नहीं था। इस बिंदु पर, ऐसा लगता है कि कैंटर इस विवाद से सहमत था, जिसमें कहा गया था कि इस मामले में उसकी रुचि जोसेफ लिउविले के 1844 के प्रमेय से संबंधित है, जो पारलौकिक संख्याओं के अस्तित्व को साबित करता है:
हाले, 2 दिसंबर 1873
मैं अपने अंतिम पत्र के लिए आपका जवाब पाकर असाधारण रूप से प्रसन्न था। मैंने अपना प्रश्न आपके सामने रखा क्योंकि मैंने इसके बारे में कई साल पहले ही सोच लिया था, और यह निश्चित नहीं था कि मुझे जो कठिनाई मिली वह व्यक्तिपरक थी या क्या यह विषय में अंतर्निहित थी। चूंकि आप लिखते हैं कि आप भी इसका उत्तर देने में असमर्थ हैं, इसलिए मैं उत्तरार्द्ध मान सकता हूं। इसके अलावा, मुझे यह जोड़ना चाहिए कि मैंने कभी भी इसके साथ खुद को गंभीरता से नहीं लिया है, क्योंकि यह मेरे लिए कोई विशेष व्यावहारिक हित नहीं है। और मैं पूरी तरह से आपके साथ सहमत हूं जब आप कहते हैं कि इस कारण से यह बहुत प्रयास के लायक नहीं है। लेकिन इसका उत्तर दिया जा सके तो अच्छा होगा; जैसे यदि इसका उत्तर नहीं दिया जा सकता है, तो किसी के पास Liouville के प्रमेय का एक नया प्रमाण होगा कि पारलौकिक संख्याएं हैं।
– जी। कैंटर
कैंटर के अगले पत्र से कुछ दिनों के बाद हालांकि यह स्पष्ट है कि इस विषय में उनकी रुचि काफी क्षणभंगुर नहीं थी क्योंकि उन्होंने डेडेकिंड को व्यक्त किया था, हालांकि वह इस समय किसी विशेष रूप से महत्वपूर्ण निहितार्थ को रेखांकित नहीं करते हैं:
हाले, 7 दिसंबर 1873
“.. अंतिम दिनों में मेरे पास आपके द्वारा बोले गए अनुमान को अधिक अच्छी तरह से आगे बढ़ाने का समय है; केवल आज मैं खुद को इस बात के साथ समाप्त करने के लिए मानता हूं; लेकिन अगर मुझे खुद को धोखा देना चाहिए, तो मुझे निश्चित रूप से नहीं ढूंढना चाहिए। आपसे ज्यादा भोग्या जज। “
पत्र में, कैंटर अगली बार सबूत के पहले मसौदे के साथ आगे बढ़ता है कि वास्तविक संख्याओं को प्राकृतिक संख्याओं के साथ एक-से-एक पत्राचार में क्यों नहीं रखा जा सकता है। दो दिन बाद, वह डेडेकिंड को एक संशोधित और सरल सबूत भेजता है, साथ ही इस मामले पर अपने समय पर कब्जा करने के लिए माफी माँगता है:
हाले, 9 दिसंबर 1873
मैंने पहले ही सिद्ध किया हुआ प्रमेय का एक सरल प्रमाण पाया है, ताकि अनुक्रम का अपघटन (1), (2), (3), … अब आवश्यक नहीं है। मैं सीधे दिखाता हूं कि अगर मैं एक सीक्वेंस से शुरू करता हूं
(i) ω₁, ω₂, …, ω₁,
फिर हर दिए गए अंतराल में (α … every) मैं एक संख्या निर्धारित कर सकता हूं (जो (i) में निहित नहीं है। इससे यह एक ही बार में होता है कि समग्रता (x) को समग्रता (यू) के साथ एक-से-एक नहीं जोड़ा जा सकता है; और मैं अनुमान लगाता हूं कि समग्रता और मूल्य-सेट के बीच आवश्यक अंतर मौजूद हैं जो मैं हाल ही में थाह लेने में असमर्थ था।
अब मुझे इस प्रश्न के साथ अपना बहुत समय लेने के लिए आपकी क्षमा माँगनी चाहिए। 8 दिसंबर की आपकी मैत्रीपूर्ण रेखाओं की प्राप्ति की पुष्टि करते हुए, मैं आपको आश्वस्त करने की अनुमति देता हूं कि विश्लेषण के कुछ प्रश्नों के लिए आपकी रुचि के लिए मुझे और अधिक खुशी दे सकता है।
– जी। कैंटर
डेडेकइंड के नोट अवधि से घटनाओं के कालक्रम को स्पष्ट करते हैं:
ब्रंसविक, 7 दिसंबर 1873
कैंटर ने मुझे एक कठोर प्रमाण का संचार किया, उसी दिन पाया, प्रमेय का कि सभी धनात्मक  संख्याओं की समग्रता ω <1 समग्रता (n) के साथ एक-से-एक सहसंबंधित नहीं हो सकती है।
8 दिसंबर को मिले इस पत्र का मैंने उसी दिन उत्तर दिया, ठीक उसी दिन की सफलता के लिए बधाई।उसी समय, मैं सबूत के मूल में बहुत अधिक प्रतिफल देता हूं (जो अभी भी काफी जटिल था)।
– रिचर्ड डेडेकिंड

7.समुच्चय सिद्धान्त(Set Theory)-

स्टैनफोर्ड एनसाइक्लोपीडिया ऑफ़ फिलॉसफी द्वारा “आधुनिक गणित की सबसे बड़ी उपलब्धियों में से एक” के रूप में वर्णित, सेट सिद्धांत को व्यापक रूप से उस पेपर द्वारा स्थापित किया गया है जो कि 1873-1884 की अवधि में कैंटर द्वारा किए गए कार्य के परिणामस्वरूप हुआ था। विशेष रूप से, सेट थ्योरी की उत्पत्ति का पता कैंटर द्वारा 1874 में प्रकाशित एक एकल कागज़ पर लगाया गया है, जिसका शीर्षक है उबेर ईने ईगेंसचैफ़्ट डेस इनग्रीग्रिफ़्स एलेर रेलेगेन अल्जेब्राइसचेन ज़ाहलेन, (“ऑल प्रॉपर्टी ऑफ़ द कलेक्शन ऑफ़ ऑल रियल एलेजेब्रिक नंबर्स”)। मौलिक और सबसे अधिक परिणामी परिणाम जो इसे प्रस्तुत करता है वह वास्तविक संख्याओं की बेशुमारता है, और परिणामस्वरूप, संख्याओं के बीच एक अंतर का आविष्कार जो “सातत्य” से संबंधित है और जो “वास्तविक बीजगणितीय संख्याओं की समग्रता की तरह एक संग्रह” से संबंधित हैं। । कैंटर के 30 साल के होने से ठीक पहले पेपर फुर डाई री रीनड अनवांटेड मैथेक्नीक (“क्रैलेज़ जर्नल”) में दिखाई दिया। जैसा कि उन्होंने अपने प्रमाण पर पहुंचने के लगभग दो सप्ताह बाद डेडेकिंड को लिखा:
बर्लिन, 25 दिसंबर 1873
“.. हालांकि, मैंने अभी तक उस विषय को प्रकाशित करने की इच्छा नहीं जताई जो मैंने हाल ही में पहली बार आपके साथ चर्चा के लिए किया है, फिर भी मुझे अप्रत्याशित रूप से ऐसा करने के लिए प्रेरित किया गया है। मैंने 22 वें दिन हेरे वीयरस्ट्रैस को अपने परिणामों को सूचित किया; हालांकि, कोई समय नहीं था। विवरण में जाने के लिए, पहले से ही 23 तारीख को मुझे उनसे एक यात्रा की खुशी थी, जिस पर मैं उनके लिए साक्ष्यों का संचार कर सकता था। उनका विचार था कि मुझे कम से कम इस बात को प्रकाशित करना चाहिए जहां तक ​​यह बीजगणित की चिंता करता है। संख्या। इसलिए मैंने शीर्षक के साथ एक छोटा पत्र लिखा: सभी वास्तविक बीजीय संख्याओं के सेट की संपत्ति पर और जर्नल फर मठ के लिए विचार करने के लिए प्रोफेसर बोरचर्ड को भेजा।
जैसा कि आप देखेंगे, आपकी टिप्पणियाँ (जिनका मैं अत्यधिक महत्व देता हूं) और कुछ बिंदुओं को रखने के आपके तरीके से मुझे बहुत सहायता मिली। ”
– जी। कैंटर
पाँच छोटे पृष्ठों में, कैंटर का पेपर तीन महत्वपूर्ण परिणाम प्रस्तुत करता है:
वास्तविक बीजीय संख्याओं का सेट गणनीय है; तथा
प्रत्येक अंतराल में [a, b] असीम रूप से कई संख्याएं हैं जो किसी भी क्रम में शामिल नहीं हैं; और एक परिणाम के रूप में
वास्तविक संख्याओं का समूह बेशुमार अनंत है;
इस लेख के बाकी हिस्सों को तीसरे परिणाम के निहितार्थ को समझाने के लिए समर्पित है, वास्तविक संख्या की बेशुमारता पर। इसके लिए, हम कुछ मूलभूत अवधारणाओं के साथ शुरू करते हैं।

8.सेट क्या है?(What is a set?)-

“एक सेट एक बहुत है जो खुद को एक के रूप में सोचा जाने की अनुमति देता है” – जॉर्ज कैंटर
एक सेट तत्वों का एक संग्रह है। 3,4 और 5 की संख्या वाले सेट को {3, 4, 5} द्वारा दर्शाया गया है। बड़े सेट और सादगी के लिए, एक दीर्घवृत्त का उपयोग अक्सर किया जाता है यदि पाठक आसानी से अनुमान लगा सकता है कि लापता तत्व क्या हैं। कैंटर की मूल परिभाषा “समुच्चय” (सेट), अनुवादित, निम्नानुसार गई:
कैंटर की एक सेटबाय की परिभाषा एक सेट है जिसे हम किसी भी संग्रह को निश्चित रूप से समझना चाहते हैं और हमारे अंतर्ज्ञान या हमारे विचार के अलग-अलग वस्तुओं को। इन वस्तुओं को एम के “तत्व” कहा जाता है।

9.Countability

एक गणनीय सेट एक कार्डिनलिटी (तत्वों की संख्या) के साथ एक सेट है, जो प्राकृतिक संख्याओं के सेट के कुछ सबसेट के रूप में होता है।
काउंटिबिलिटी का गुणधर्म  सेट थ्योरी में एक महत्वपूर्ण है। काउंटिबिलिटी की एक सहज व्याख्या “लिस्टेबिलिटी” है, कि सेट के तत्वों को एक सूची में नीचे लिखा जा सकता है। सबसे स्वाभाविक रूप से गिनने योग्य सेट प्राकृतिक संख्या  है, जिसमें अवयवों के अवयव  स्वयं गिनती संख्या हैं (1,2,3, …)। जैसा कि हम जानते हैं, वे संख्या में अनंत हैं, और इसलिए उन्हें “अनंत रूप से अनंत” या “अस्वीकार्य” कहा जाता है। अन्य सेटों के लिए, औपचारिक रूप से, यह कहते हुए कि एक सेट गणनीय है इसका मतलब है कि सेट के तत्वों को प्राकृतिक संख्याओं के सेट के तत्वों के साथ एक-से-एक पत्राचार में रखा जा सकता है ℕ, अर्थात्:
काउंटेबल सेट्स सेट S तब काउंटेबल होता है यदि S से प्राकृतिक नंबर्स ive = {1,2,3, …} में एक इंजेक्टिव फंक्शन मौजूद हो। यदि ऐसा f पाया जा सकता है जो surjective (और उसके बाद bijective) भी हो, तो S को एक अनगिनत अनंत समुच्चय या भाज्य कहा जाता है।
उदाहरण के लिए, सम संख्याओं के सेट के लिए (2n | n ℕ:):
    2 4 6 8 10 … 2 एन
    ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
    1 2 3 4 5 … n
हम देखते हैं कि दो सेटों के तत्वों को एक-दूसरे के साथ एक-से-एक पत्राचार में रखा जा सकता है, और इसलिए हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि सम संख्याओं का सेट भी गणना योग्य है।
गणना करने योग्य गुणधर्मों  उन अवयवों  की संख्या के संदर्भ में सेट की तुलना करना संभव बनाती है जिनमें वे वास्तव में कुछ भी गिनने के बिना होते हैं, और इस तरह दोनों परिमित और अनंत सेटों के सापेक्ष आकार के बारे में अनुमान लगाते हैं। व्यावहारिक कारणों से हमें 100 सीटों के साथ एक कक्षा की कल्पना करके परिमित मामले को स्पष्ट करें। छात्रों से भरा, कोई भी सीट के आकार के संबंध में छात्रों के सेट के आकार के बारे में एक अनुमान लगा सकता है। यदि सीटें खाली हैं, तो सीटों का सेट छात्रों के सेट से बड़ा है। यदि कोई सीटें खाली नहीं हैं और कुछ छात्र खड़े हैं, तो छात्रों के सेट का आकार सीटों की तुलना में बड़ा है, और इसी तरह।
परिमेय संख्याओं की गणना (1873)[The Countability of Rational Numbers (1873)]-
1873 में कैंटर की सेटों की गिनती में पहली जांच तब हुई जब उसने साबित किया कि तर्कसंगत संख्याएँ (अंश / अनुपात) गणना योग्य हैं। उनके बल्कि सुरुचिपूर्ण और सहज प्रमाण इस प्रकार थे:
परिमेय संख्याओं की गणना का प्रमाण  हमें पहले प्रस्ताव देना चाहिए कि परिमेय संख्याओं का समुच्चय। गणनीय है। इस दावे को साबित करने के लिए, हम सभी परिमेय संख्याओं (प्राकृतिक संख्याओं के अनुपात) को एक अनंत तालिका में इस प्रकार व्यवस्थित करते हैं:
1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 …
2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 …
3/1 3/2 3/3 3/4 3/5 …
4/1 4/2 4/3 4/4 4/5 …
5/1 5/2 5/3 5/4 5/5 …
… … … … …
अगला, ऊपरी बाएं बाएं कोने से शुरू होकर, तिरछे से बाएं से दाएं 45 डिग्री पर, 1/1 से शुरू होता है, फिर 1/2 और 2/1, फिर 3/1, 2/2 और 1/3 से शुरू होता है। पर। आपके द्वारा आए हर नए नंबर को लिखें। आप निम्नलिखित आदेश प्राप्त करेंगे:
1/1, 1/2, 2/1, 3/1, 2/2, …
 1 2 3 4 5 …
जो न केवल एक सुव्यवस्थित क्रम है, बल्कि उनके प्राकृतिक क्रम में प्राकृतिक संख्याओं के साथ एक-से-एक पत्राचार में भी है। यह परिमेय संख्याओं की गिनती साबित करता है ability।
वास्तविक बीजगणितीय संख्याओं की गणना (1874)[The Countability of Real Algebraic Numbers (1874)]-
एक साल बाद, अपने 1884 के पेपर में, कैंटर ने दिखाया कि असली बीजगणितीय संख्याएं गिनने योग्य हैं। वास्तविक बीजीय संख्याएं वास्तविक संख्याएं हैं  जो फार्म के समीकरणों को संतुष्ट करती हैं: aₒ ωᵘ + a¹ωᵘ⁻¹ + … + aᵤ= 0.. यह कहना है, वास्तविक बीजगणितीय संख्याएं गैर-शून्य वास्तविक बहुपद की जड़ें हैं। वे गणनीय हैं, अर्थात्:
वास्तविक बीजगणितीय संख्याओं की गणना। सभी बीजगणितीय वास्तविकों के संग्रह को एक अनंत अनुक्रम के रूप में लिखा जा सकता है।
कैंटर ने इसे अपने 1874 के पेपर में निम्न प्रमाण द्वारा दिखाया:
प्रपत्र के प्रत्येक बहुपद समीकरण के लिए वास्तविक बीजगणितीय संख्याओं की गणना (1874) का प्रमाण
  aωᵘ + aωᵘ⁻¹ + … + aᵤ = 0
पूर्णांक गुणांक के साथ, इसके सूचकांक को गुणांक के पूर्ण मानों के योग के साथ-साथ समीकरण की डिग्री के रूप में परिभाषित करें:
| a | | + | a₁ | + … + | aᵤ |
इंडेक्स 2 का एकमात्र समीकरण ω = 0 है, इसलिए इसका समाधान, 0, पहला बीजीय संख्या है। सूचकांक 3 के चार समीकरण 2x = 0, x + 1 = 0, x – 1 = 0, और x2 = 0. हैं, उनकी मूल  0, -1, 1 हैं, इसलिए उन्होंने नए मान -1 और 1 को शामिल किया। बीजगणितीय संख्याओं की उनकी सूची में दूसरी और तीसरी प्रविष्टियाँ।
निरीक्षण करें कि प्रत्येक सूचकांक के लिए केवल बहुत ही समीकरण हैं और प्रत्येक समीकरण में केवल कई जड़ें हैं। सूचकांक के क्रम में और प्रत्येक सूचकांक के भीतर परिमाण में वृद्धि करके नई जड़ों को सूचीबद्ध करना, सभी बीजीय संख्याओं को सूचीबद्ध करने के लिए एक व्यवस्थित पद्धति स्थापित करता है। जैसा कि तर्कसंगत है, प्राकृतिक संख्याओं के साथ एक-से-एक पत्राचार ने साबित कर दिया कि बीजगणितीय संख्याओं के सेट को अनगिनत रूप से अनंत होना है।

10.वास्तविक संख्या की अपरिहार्यता (1874)[The Uncountability of Real Numbers (1874)]

एक अवधारणा के रूप में कैंटोर का सबसे उपयोगी उपयोग उनके 1874 के पेपर के तीसरे परिणाम में हुआ जब उन्होंने वास्तविक संख्या की बेशुमारता का प्रदर्शन किया – इस गुणधर्म  की कमी के लिए दिखाया गया पहला सेट। एक वास्तविक संख्या एक निरंतर मात्रा का एक मूल्य है जो एक रेखा के साथ दूरी का प्रतिनिधित्व कर सकती है। किसी भी वास्तविक संख्या को संभवतः अनंत दशमलव प्रतिनिधित्व द्वारा निर्धारित किया जा सकता है, जैसे कि उदा। 8.632, 0.00001, 10.1 और इसी तरह, जहां लगातार प्रत्येक अंक को इकाइयों में मापा जाता है, जो पिछले एक के दसवें आकार का होता है। यह कथन कि वास्तविक संख्या बेशुमार है, कथन के बराबर है:
वास्तविक संख्याओं की बेशुमारता वास्तविक संख्याओं और किसी अंतराल [α … β] के किसी भी अनुक्रम को प्राप्त करती है, कोई भी संख्या [α … β] में निर्धारित कर सकता है जो अनुक्रम से संबंधित नहीं है। इसलिए, व्यक्ति असीम रूप से ऐसी कई संख्याओं का निर्धारण कर सकता है [α … β] में।
जैसा कि हमने 1873 में डेडेकिंड के साथ उनके पत्र के आदान-प्रदान से देखा था, हम जानते हैं कि कैंटर ने क्षण भर में कैसे काम किया। उसका मूल प्रमाण (कैंटर का पहला बेशुमार सबूत) निम्नानुसार है, और बोलजानो-वेइरास्ट्रॉन प्रमेय पर आधारित है:
वास्तविक संख्याओं  की बेशुमारता का प्रमाण 18 (1874) मान लीजिए कि हमारे पास वास्तविक संख्याओं का अनंत क्रम है,

(i)   ω₁, ω, ... ωᵥ, ...

जहाँ अनुक्रम किसी कानून के अनुसार उत्पन्न होता है और संख्याएँ एक दूसरे से अलग होती हैं। फिर किसी भी दिए गए अंतराल में (α … β) एक संख्या η (और परिणामस्वरूप असीम रूप से कई ऐसी संख्याएं) निर्धारित की जा सकती हैं जैसे कि यह श्रृंखला (i) में नहीं होती है।
इसे साबित करने के लिए, हम अंतराल [α … β]के अंत में जाते हैं, जो हमें मनमाने ढंग से और जिसमें α < β दिया गया है। हमारे अनुक्रम की पहली दो संख्याएँ (i) जो इस अंतराल के आंतरिक भाग में हैं (सीमाओं के अपवाद के साथ), α ‘,,’ द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है, जिससे α ‘<β’ दिया जा सकता है। इसी तरह, हम अपने अनुक्रम के पहले दो नंबरों को नामित करते हैं जो α”, β”और” α” < β” द्वारा (α’ … β’) के इंटीरियर में निहित हैं। उसी तरह, अगले अंतराल का निर्माण करें, और इसी तरह।
यहाँ, इसलिए, α ‘, α “… परिभाषा से हमारे अनुक्रम (i) की संख्या निर्धारित करते हैं, जिनके सूचकांक लगातार बढ़ रहे हैं। वही क्रम β’, β”, … के लिए जाता है; इसके अलावा, संख्या α ‘, α “… हमेशा आकार में बढ़ रही हैं, जबकि संख्या β’, β”, …, … हमेशा आकार में घट रही हैं। अंतराल के [α … β], [α ‘…]’], [α “… ….”], …. प्रत्येक उन सभी का अनुसरण करता है जो अनुसरण करते हैं। यहां केवल दो मामले ही बोधगम्य हैं।
पहले मामले में, गठित अंतराल की संख्या परिमित है। इस मामले में, उनमें से अंतिम होने दें  … β)। चूँकि इसका आंतरिक भाग क्रमांक (i) के सबसे अधिक संख्या में हो सकता है, इस अंतराल से एक संख्या  चुनी जा सकती है जो (i) में समाहित नहीं है, जिससे प्रमेय सिद्ध होता है।
दूसरे मामले में, निर्मित अंतराल की संख्या अनंत है। फिर, क्योंकि वे हमेशा अनंत में बढ़े बिना आकार में बढ़ रहे हैं, संख्या α, α ‘, α “, … एक निर्धारित सीमा मान αʷ है। वही संख्या β, β’, β” के लिए रखती है। .. क्योंकि वे हमेशा आकार में घटते जा रहे हैं। उनकी सीमा मान βʷ होने दें। यदि αʷ = βʷ, तो कोई भी आसानी से अपने आप को राजी कर लेता है, अगर कोई केवल अंतराल की परिभाषा को देखता है कि संख्या η = αʷ = βʷ हमारे अनुक्रम (i) में निहित नहीं हो सकती है। हालांकि, अगर αʷ < βʷ, तो अंतराल के इंटीरियर में प्रत्येक संख्या  [αʷ … βʷ]और साथ ही इसकी सीमाएं इस आवश्यकता को संतुष्ट करती हैं कि यह अनुक्रम (i) में निहित नहीं है।

11.कैंटर के विकर्ण तर्क (1891)[Cantor’s Diagonal argument (1891)]

कैंटर सत्रह साल बाद कैंटर के विकर्ण तर्क के रूप में जाना जाने वाला एक सरल प्रमाण प्रदान करता है, जिसे पहली बार 1891 में eber eine elementere Frage der Mannigfaltigkeitslehre (“मैनिफोल्ड थ्योरी के प्रारंभिक प्रश्न पर” शीर्षक से प्रकाशित किया गया था)। मैं इसे यहाँ इसकी शान और सादगी के लिए शामिल करता हूँ। सामान्यीकृत, अब प्रसिद्ध तर्क निम्नानुसार है:
प्रमाण: कैंटर का विकर्ण तर्क (1891) अपने पेपर में, कैंटर बाइनरी नंबर m और w के सभी अनंत अनुक्रमों के सेट M को मानता है। अनुक्रम जैसे:
E = (m, m, m, m, m, …),
E = (w, w, w, w, w, …),
E = (m, w, m, w, m, …),
E = (w, m, w, m, w, …),
E = (m, m, w, w, m, …)
कैंटर का दावा है कि एक सेट M मौजूद है जिसमें श्रृंखला E₁, E₂, E₃ की “सांस” नहीं है, जिसका अर्थ है कि M प्रत्येक अनुक्रम En के योग से भिन्न आकार का है, अर्थात भले ही M सभी का निर्माण किया गया हो। बाइनरी संख्याओं के अनंत क्रम m और w, वह हमेशा एक नए अनुक्रम E₀ का निर्माण कर सकता है जो “M का एक तत्व है और M का एक तत्व नहीं है”।
नया अनुक्रम E₀ प्रत्येक अनुक्रम E₁, E₂, … En से एक अंक के पूरक का उपयोग करके बनाया गया है। एक द्विआधारी संख्या के पूरक को संख्या के प्रतिनिधित्व में बिट्स inverting द्वारा प्राप्त मूल्य के रूप में परिभाषित किया गया है (डब्ल्यू और वीज़ा वर्सा के लिए स्वैपिंग एम)। तो, नया अनुक्रम  E₁ (m) अनुक्रम से पहले अंक के पूरक से बना है, अनुक्रम E₂ (w) से दूसरे अंक का पूरक, अनुक्रम E₃ (m) से तीसरे अंक का पूरक है और तो अंत में अनुक्रम एन से एनटी अंक के पूरक। उपरोक्त उदाहरण अनुक्रम से, नया क्रम E₀ तब होगा:

E₀ = (w, m, w, w, w, ...)

इसके निर्माण से, E₀  प्रत्येक अनुक्रम एन से भिन्न होता है क्योंकि उनके nth अंक भिन्न होते हैं। इसलिए, Eences सेट M में अनंत अनुक्रमों में से एक नहीं हो सकता है।
वास्तविक संख्या की अस्थिरता साबित करने के लिए लागू unc:
वास्तविक संख्याओं की बेशुमारता का प्रमाण is यह प्रमाण विरोधाभास से है, अर्थात हम यह मानेंगे कि वास्तविक संख्या and गणनीय हैं और एक विरोधाभास को प्राप्त करते हैं। यदि वास्तविक गणना योग्य हैं, तो उन्हें सूचीबद्ध किया जा सकता है:
1. 657.853260 …
2. 2.313333 …
3. 3.141592 …
4.000307 …
5. 49.494949 …
6. .873257 …

एक विरोधाभास प्राप्त करने के लिए, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि कुछ वास्तविक α मौजूद है जो सूची से गायब है। इस तरह के एक α का काम सूची के पहले दशमलव स्थान से अलग अपनी पहली दशमलव जगह को दूसरे नंबर के दूसरे दशमलव स्थान से अलग बनाकर और सामान्य रूप से बनाकर करता है। nth दशमलव सूची में nth संख्या के nth दशमलव स्थान से अलग।
और भी सरल, हमारे α के लिए हम nth दशमलव स्थान 1 बनाएंगे जब तक कि यह पहले से ही 1 नहीं है, इस मामले में हम इसे 2 बना देंगे। इस प्रक्रिया से, हमारी उदाहरण संख्याओं की सूची के लिए, हम प्राप्त करते हैं:
α = ।122111 …
जो, निर्माण द्वारा हम बनाई गई सूची का सदस्य नहीं हो सकता है। और इसलिए, विरोधाभास के द्वारा, सभी स्थानों की हमारी सूची में हर नंबर नहीं हो सकता है, और इसलिए यह बेशुमार होना चाहिए।
दोनों साक्ष्यों (1874 और 1891) के निष्कर्ष समान हैं – हालांकि दोनों प्राकृतिक संख्या और वास्तविक संख्या में अनंत हैं और इसलिए हमेशा के लिए चले जाते हैं, “वन-टू-वन” बनाने के लिए “पर्याप्त” प्राकृतिक संख्याएं नहीं हैं उनके और वास्तविक संख्या के बीच पत्राचार। कैंटर की शानदार खोज, दूसरे शब्दों में, सख्ती से पता चला कि अनंत विभिन्न आकारों में आता है, जिनमें से कुछ दूसरों की तुलना में बड़े हैं।
प्राकृतिक संख्याएं होने की तुलना में अधिक वास्तविक संख्याएं हैं।
1874 में मूल प्रमाण प्रस्तुत करने के समय के आसपास डेडेकिंड के साथ कैंटर के पत्राचार से, यह स्पष्ट लगता है कि वह पहले से ही परिणाम के इस विशेष निहितार्थ को इंगित करने की प्रक्रिया में था, हालांकि ज्ञात रिकॉर्ड से वह स्पष्ट रूप से ऐसा प्रतीत नहीं होता है। डेडेकिंड। हालाँकि, हम उनके पत्रों में उसी समय से उनके शानदार रचनात्मक और प्रश्नात्मक मन के निशान देखते हैं, जैसे कि विभिन्न आयामों के सेट के आकार के बारे में 1874 के जनवरी से इस अंश में हैं:
हाले, 5 जनवरी 1874
“.. एक सतह (एक वर्ग का कहना है कि सीमा भी शामिल है) विशिष्ट रूप से एक लाइन के लिए संदर्भित किया जाना चाहिए (एक सीधी रेखा खंड है जिसमें अंतिम बिंदु शामिल हैं) ताकि सतह पर हर बिंदु के लिए लाइन का एक समान बिंदु हो और , इसके विपरीत, रेखा के प्रत्येक बिंदु के लिए सतह का एक समान बिंदु होता है; यह मुझे अभी भी इस समय लगता है कि इस प्रश्न का उत्तर बहुत कठिन है – हालांकि यहां भी कोई कहने के लिए इतना बाध्य है कि कोई भी पसंद नहीं करेगा लगभग सतही होने का सबूत रखने के लिए। “
– जी। कैंटर
जब डेडेकिंड सीधे प्रस्ताव का जवाब नहीं देता है, तो कैंटर कुछ हफ्तों बाद जांच को दोहराता है, जिसमें उसके निहितार्थों के बारे में जागरूकता का संकेत होता है:
हाले, 28 जनवरी 1874
“.. जब आप मुझे जवाब देने के लिए चारों ओर हो जाते हैं, तो मुझे यह सुनने के लिए आभारी होना चाहिए कि क्या आपके पास एक ही कठिनाई थी जैसा कि मैंने जनवरी में एक पंक्ति और एक सतह के संबंध के बारे में आपके द्वारा भेजे गए प्रश्न का उत्तर देने में किया था, या क्या मैं धोखा दे रहा हूं खुद बर्लिन में। मेरे एक मित्र ने जिस समस्या को प्रस्तुत किया था, उसने मुझे बताया कि यह विषय कुछ हद तक बेतुका है, क्योंकि यह स्व-स्पष्ट है कि दो स्वतंत्र चर को एक में नहीं घटाया जा सकता है। “
– जी। कैंटर
ज्ञात रिकॉर्ड से हम क्या घटा सकते हैं, यह तीन साल का होगा जब तक डेडेकिंड और कैंटर ने फिर से इस विषय पर बात नहीं की। उनके पत्रों से, यह स्पष्ट है कि इस बिंदु पर अनंत सेटों के बीच एक-से-एक पत्राचार के विषय पर कैंटर का परिष्कार बढ़ गया है, और 1877 में इसके निहितार्थों के बारे में उनकी समझ पहले की तुलना में बहुत गहरी है।
हाले, 20 जून 1877
“.. मुझे यह जानना पसंद है कि क्या आप एक अनुमान-प्रक्रिया पर विचार करते हैं जिसका उपयोग मैं अंकगणितीय रूप से कठोर होने के लिए करता हूं।
समस्या यह दिखाने के लिए है कि सतहों, निकायों, वास्तव में पी आयामों की निरंतर संरचनाओं को एक-से-एक निरंतर लाइनों के साथ परस्पर संबंधित किया जा सकता है, अर्थात केवल एक आयाम की संरचनाओं के साथ – ताकि सतहों, निकायों, वास्तव में पी आयामों की निरंतर संरचनाएं वक्र के समान शक्ति है। यह विचार आधुनिक ज्यामिति के प्रतिनिधियों के बीच विशेष रूप से प्रचलित होने वाले के साथ संघर्ष करने लगता है, जो केवल अनंत, दोगुना, तिगुना, की बात करते हैं। । । ρ- गुना अनंत संरचनाएं। (कभी-कभी आपको यह विचार भी आता है कि किसी सतह या पिंड के बिंदुओं की अनंतता तब तक प्राप्त हो जाती है जब तक कि वह किसी रेखा के बिंदुओं के अनंत भाग को चुकता या छील नहीं रही होती है।
– जी। कैंटर

12.अनंत सेट(Infinite sets)-

“मैं अनंत परिमाण के उपयोग के खिलाफ विरोध करता हूं क्योंकि कुछ पूरा हुआ, जो गणित में कभी भी स्वीकार्य नहीं है। अनंत केवल बोलने का एक तरीका है ”।
– सी। एफ। गॉस, 1831
अब तक हमारे सामने आए सभी सेटों के तत्व संख्या में अनंत हैं, जिसका अर्थ है कि वे हमेशा के लिए चले जाते हैं। हालांकि, हमने यह भी दिखाया कि उनमें से एक समान “आकार” का नहीं है, या कम से कम, कि इसे प्राकृतिक संख्याओं के साथ एक-से-एक पत्राचार में नहीं रखा जा सकता है। शायद इससे भी अधिक विडंबना यह है कि हमने देखा है कि एक अनंत सेट (जैसे सम संख्याएँ) एक अनंत सेट (प्राकृतिक संख्याओं) को एक-से-एक पत्राचार में डाला जा सकता है, जिससे अनंत सेटों की एक अजीबोगरीब संपत्ति बढ़ जाती है, उस:
एक अनंत सेट की परिभाषा
एक सेट ए अनंत है अगर, और केवल अगर, ए और सेट एक्स के बीच एक-से-एक पत्राचार है जो ए का एक उचित उपसमूह है।
डेडेकिंड द्वारा गढ़ी गई यह संपत्ति विरोधाभासी प्रतीत होती है कि सहज धारणा को देखते हुए कहा गया है कि इसके कुछ हिस्सों की तुलना में हमेशा समग्र रूप से अधिक तत्व होने चाहिए (यूक्लिड के तथाकथित कॉमन नोटियन 5)। इसका मतलब है कि अगर दो अनंत सेटों में समान तत्वों की संख्या होती है:
उनके बीच एक-से-एक पत्राचार; तथा
किसी भी पूरे का आकार उसके किसी भी हिस्से से अधिक होना चाहिए;
तब अनंत सेट में तत्वों की संख्या को इसके आकार का माप नहीं माना जा सकता है। यह बताता है कि एक अनंत सेट के तत्व एक अर्थ में हैं “बिना संख्या के”, यह देखते हुए कि आप उन सभी को कभी भी नहीं गिन सकते हैं, लेकिन यह भी क्योंकि इस दायरे में आकार की माप के रूप में किसी संख्या की धारणा बहुत कम समझ में आती है – सभी अनंत सेट एक ही आकार के होने के रूप में बाहर आने लगते हैं अगर एक-से-एक पत्राचार को सेट के आकार के संदर्भ में समरूपता का संकेत दिया जाता है।

13.गणन संख्या(Cardinal numbers)-

तो बस एक अनंत सेटों के गुणों और मतभेदों का अध्ययन कैसे किया जाता है? अपने 1874 में गैर-संप्रदाय के अनंत सेटों पर अस्तित्व की खोज के बाद, 1878 में कैंटर ने शक्तियों, या कार्डिनल नंबरों – सेट के आकारों के अध्ययन को और अधिक सामान्य अध्ययन में बदल दिया। सेट ए की कार्डिनैलिटी को आमतौर पर ए | द्वारा निरूपित किया जाता है, कभी-कभी कार्ड (ए)।
कैंटर की कार्डिनल नंबर्स की परिभाषा
हम सामान्य अवधारणा के ‘शक्ति’ या ‘कार्डिनल नंबर’ के नाम से पुकारेंगे, जो कि हमारे विचारशील के सक्रिय संकाय के माध्यम से, सेट एम से उठता है जब हम इसके विभिन्न तत्वों की प्रकृति से अमूर्त बनाते हैं जिस क्रम में उन्हें दिया जाता है।
या अधिक सरलता से कहा जाए तो कार्डिनल नंबर सेट के कार्डिनलिटी (आकार) को मापने के लिए उपयोग किए जाने वाले प्राकृतिक नंबरों का एक सामान्यीकरण है। कार्डिनैलिटी संपत्ति का उपयोग करते हुए, कैंटर औपचारिक रूप से उस प्रश्न का उत्तर देने में सक्षम था जो उसने डेडेकिंड से बार-बार पूछा था, अर्थात् एक वर्ग पर एक-एक अंक के साथ एक पंक्ति में मैप किया जा सकता है या नहीं, अर्थात्:
प्रमेय: सभी  के सेट or वास्तविक संख्याओं के जोड़े (अर्थात, वास्तविक विमान) का आकार set के समान है।
प्रमेय कैंटर के 1878 के पेपर ईन बीट्राग ज़ुर मनिगफाल्टिग्लिट्सलेह्रे (“कई गुना सिद्धांत में योगदान”) से उभरा और निम्न तरीके से / आधुनिक तरीके से (जूलियस कोनिग द्वारा जिम्मेदार) साबित हो सकता है:
प्रमाण | of | = | ℝ |
यह साबित करने के लिए पर्याप्त है कि सभी जोड़े (x, y), 0 <x, y <1 के सेट को जैविक रूप से (0,1) पर मैप किया जा सकता है। जोड़ी (x, y) पर विचार करें और अपने अद्वितीय में x, y लिखें। निम्नलिखित उदाहरण के रूप में गैर-समाप्ति दशमलव विस्तार:
x = 0.3 01 2 007 08 …
y = 0.009 2 05 1 0008 …
ध्यान दें कि x और y के अंकों को समूहों में अलग कर दिया गया है, हमेशा अगले गैर-अंकीय अंक में जा कर, समावेशी। अब हम पहले x- समूह को लिखकर (x, y) संख्या z-(0,1) से जोड़ते हैं, उसके बाद पहला y- समूह, फिर दूसरा x- समूह, और इसी तरह। उदाहरण, हम प्राप्त करते हैं:
z = 0.3 009 01 2 2 05 007 1 08 0008 …
चूँकि न तो x और न ही y एक निश्चित बिंदु से केवल शून्य प्रदर्शित करता है, हम पाते हैं कि z के लिए अभिव्यक्ति फिर से एक गैर-टर्म दशमलव विस्तार है। इसके विपरीत, z के विस्तार से हम तुरंत preimage (x, y) को पढ़ सकते हैं और मानचित्र विशेषण है।
तो, फिर से विरोधाभासी रूप से, दो-आयामी विमान be वास्तव में एक-आयामी लाइन ively पर (विशेष रूप से एक-से-एक पत्राचार के साथ) मैप किए जा सकते हैं। अनिच्छा से, हम परिणाम को उच्च आयामों तक बढ़ा सकते हैं। इसकी प्रतिरूपात्मक प्रकृति प्रमुख कैंटर को प्रसिद्ध घोषणा की ओर ले जाती है:
हाले, 29 जून 1877
“.. कृपया इस विषय के लिए मेरे उत्साह का बहाना करें अगर मैं आपकी दया और धैर्य पर बहुत सारी मांगें करता हूं, तो जो संचार मैंने आपको भेजा है वह मेरे लिए भी इतना अप्रत्याशित, इतना नया है कि मुझे तब तक कोई शांति नहीं हो सकती है जब तक मैं प्राप्त नहीं करता हूं आप से, सम्मानित मित्र, उनकी शुद्धता के बारे में एक निर्णय। इसलिए जब तक आप मुझसे सहमत नहीं होंगे, मैं केवल यह कह सकता हूं: जेई ले वाइसिस, माई जे नी ले क्राइस पस। “
“मैं इसे देखता हूं, लेकिन मुझे विश्वास नहीं है”।

14.अनंत कार्डिनल नंबर(Infinite cardinal numbers)-

1878 में जब कैंटर ने अनंत कार्डिनल नंबरों का अध्ययन करना शुरू किया, तो वह पहले से ही दो ऐसी “शक्तियों” (Mächtigkeiten): बिंदु-सेट (जैसे प्राकृतिक संख्या) और सातत्य (जैसे वास्तविक संख्या) के अस्तित्व से अवगत था। अपने 1883 के पेपर में ग्रुन्डलगेन एलाइनर ऑलगेमिनेन मनिगफाल्टिगेलस्केलेश्रे (“मैनफोर्स की एक सामान्य थ्योरी की नींव”) शीर्षक से उन्होंने दो अनन्तताओं के बीच अंतर का परिचय दिया, ट्रांसफैनाइट और निरपेक्ष:
ट्रांसफ़ेक्ट संख्याएं ऐसी संख्याएं हैं जो “अनंत” इस अर्थ में हैं कि वे सभी परिमित संख्याओं से बड़ी हैं, फिर भी जरूरी नहीं कि वे बिल्कुल अनंत हों।
पूर्ण अनंत absolute, जिसे कैंटर द्वारा भी प्रस्तुत किया गया है, को एक संख्या के रूप में माना जा सकता है जो किसी भी बोधगम्य या अकल्पनीय मात्रा से बड़ा है, या तो परिमित या ट्रांसफ़ेक्ट है। परिमाण में ट्रांसफ़ेक्ट संख्या काफी होती है, जबकि निरपेक्ष है। उनके मन में जो विशेष रूप से ट्रांसफ़ेक्ट नंबर थे, वे यह थे कि वह कुछ अनंत सेटों (जैसे कि प्राकृतिक संख्या) और अन्य सेटों की बेशुमारता (जैसे वास्तविक संख्याओं) की गणना के अपने अध्ययन से अवगत हो गए थे।उन्होंने अपने कार्डिनलिटीज ℵ₀ (एलेफ़ नथ) और a (एलेफ़ वन) को क्रमशः लेबल किया, पहले दो “अनन्तता के आदेश”, दोनों पूर्ण अनंत absolute से छोटे थे।
द कॉन्टिनम हाइपोथीसिस (1878)[The Continuum Hypothesis (1878]-
प्राकृतिक संख्याओं की कार्डिनलिटी और वास्तविक संख्याओं की कार्डिनैलिटी के बीच कड़ाई से कोई अनंत कार्डिनल नंबर नहीं हैं।
कैंटर का कोई परिचय उस कुख्यात परिकल्पना पर चर्चा किए बिना पूरा नहीं होगा जो उसके जीवन कार्य, कैंटर के कॉन्टिनम हाइपोथिसिस (सीएच) के साथ हमेशा के लिए जुड़ गई है। अनुमान पर उनका अधिकांश कार्य 1879 और 1884 के बीच जर्नल एनिसेन एनेलन में छः-भाग के ग्रंथ endber unendliche, Lineare Punktmannichfaltigkeiten (“अंकों के अनंत, रैखिक कई गुना”) में प्रकाशित हुआ था।

Nature of Infinity - and Beyond,Georg Cantor

Georg Cantor

जॉर्ज कैंटर (बाएं) और उनके छह-भाग के ग्रंथ endber unendliche, Lineare Punktmannichfaltigkeiten में मैथिसिस्के एनलनन।
हालांकि इसकी पहली उपस्थिति, 1878 के पेपर ईन बीट्राग ज़ूर मनिगफाल्टिग्लिट्सलेह्रे (“सिद्धांत में एक योगदान”) में आई, जहां उन्होंने कहा:
सवाल यह उठता है कि एक सतत सीधी रेखा के विभिन्न भाग, यानी कि बिंदुओं की अलग-अलग अनंत अभिव्यक्तियाँ जो इसमें कल्पना की जा सकती हैं, उनकी शक्तियों के संबंध में हैं।
आइए हम इसकी ज्यामितीय आड़ की इस समस्या को विभाजित करते हैं, और वास्तविक संख्याओं के एक रेखीय कई गुना से समझते हैं, असीम रूप से कई, अलग वास्तविक संख्याओं की प्रत्येक बोधगम्य समग्रता। फिर सवाल उठता है कि यदि रेखीय मैनिफोल्ड्स कितने और किन वर्गों में आते हैं, अगर एक ही पावर के कई गुना को एक ही क्लास में रखा जाए, और अलग-अलग पावर के कई वर्गों में?
एक आगमनात्मक प्रक्रिया द्वारा, जिसकी अधिक सटीक प्रस्तुति यहां नहीं दी जाएगी, प्रमेय का सुझाव है कि रैखिक मैनिफोल्ड्स की कक्षाओं की संख्या जो छंटनी का यह सिद्धांत देता है वह परिमित है, और वास्तव में, दो के बराबर है।
हम कार्डिनल नंबर 0, 1, 2 को जानते हैं। । । और अनंत कार्डिनल संख्या inal, और आगे कि वास्तविक संख्याओं की कार्डिनैलिटी inal से बड़ी है। निरंतरता की परिकल्पना के अपने बयान में कैंटर का तर्क यह है कि वास्तविक संख्याओं की कार्डिनैलिटी after के बाद अगला ट्रांसफ़ेक्ट नंबर है, अर्थात
c = | ℝ | = ℵ₁
मतलब यह है कि किसी भी सेट में एक कार्डिनैलिटी नहीं हो सकती है जो प्राकृतिक संख्याओं की तुलना में smaller और c से छोटी होती है, और यह कि c वास्तविक संख्याओं की कार्डिनैलिटी है। इस अर्थ में, स्वयं के अलावा अन्य कार्डिनल संख्याओं के किसी भी गणना योग्य सेट से परे है, और केवल ”की शक्ति के साथ अन्य कार्डिनल संख्याओं को जोड़कर” पहुंचा जा सकता है “।

15.प्रमाणों का प्रयास किया(Attempted proofs)-

कैंटर ने अपने जीवन के शेष वर्षों में कुश्ती की परिकल्पना सच होने का प्रमाण प्रदान करने के साथ शेष कई वर्ष बिताए। उनकी सीधी रणनीति एक बिंदु सेट पी के व्युत्पन्न सेट P⁽ⁿ⁾ का उपयोग अपनी कार्डिनैलिटी को मापने के लिए थी। जैसा कि बर्ट्रेंड रसेल ने किया:
लोकप्रिय रूप से, पहले व्युत्पन्न में सभी बिंदु शामिल होते हैं जिनके पड़ोस में संग्रह की शर्तों की एक अनंत संख्या होती है; और बाद में डेरिवेटिव दे, जैसा कि यह था, किसी भी पड़ोस में एकाग्रता की विभिन्न डिग्री। इस प्रकार, यह देखना आसान है कि डेरिवेटिव निरंतरता के लिए प्रासंगिक क्यों हैं; निरंतर होने के लिए, संग्रह को हर पड़ोस में जितना संभव हो उतना केंद्रित होना चाहिए, जिसमें संग्रह की कोई भी शर्त हो।
क्योंकि व्युत्पन्न लेने की प्रक्रिया अनिवार्य रूप से पुनरावृत्तियों की एक अनंत संख्या के बाद समाप्त नहीं होती है, कैंटर ने इस प्रक्रिया को अनन्तकाल में जारी रखा। जब रणनीति विफल हो गई, तो कैंटर ने अपनी तथाकथित “अप्रत्यक्ष रणनीति” की ओर रुख किया, जो 1883 में प्रकाशित ग्रुन्डलजेन एनेर ऑलगेमिनेन मनिगफाल्टिग्लिट्सलेह्रे (“जनरल थ्योरी ऑफ एग्रीगेट्स”) का मुख्य विषय है। यह रणनीति उनके सिद्धांत पर आधारित थी। कार्डिनल नंबरों की शक्तियां, यानी ट्रांसफ़ेक्ट संख्याओं के एक वर्ग की शुरूआत पर, जिसका उपयोग किसी भी अनंत सेट के आकार को गिनने के लिए किया जा सकता है। इस प्रणाली में सातत्य परिकल्पना को यह निर्धारित करके दिखाया जाएगा कि सातत्य की शक्ति ट्रांसफ़ेक्ट संख्याओं के “पैमाने” पर निहित है – कि यह पहली गैर-अवमाननीय ट्रांसफ़ेक्ट संख्या थी।
कैंटर निरंतरता परिकल्पना को हल करने के प्रयास में कई साल बिताएगा। जब एक दिन उसने सोचा कि उसे इसके सत्य होने का प्रमाण मिल गया है, तो अगले दिन उसे इसके झूठ होने का प्रमाण मिल गया था: फिर अगले दिन उसे अपने सत्य का प्रमाण मिला, जो बाद में पता चला कि उसके सभी प्रमाण अमान्य हो गए थे।

16.मानसिक स्वास्थ्य(Mental health)-

कैंटर ने वास्तविक संख्याओं की बेशुमारता के अपने पहले प्रमाण के प्रकाशन के दस साल बाद मई 1884 में अपना पहला गंभीर मानसिक टूटना झेला। अधिकांश इतिहासकारों का मानना ​​है कि बर्लिन विश्वविद्यालय में लियोपोल्ड क्रोनकर के साथ चल रहे विवाद के परिणामस्वरूप निरंतरता की परिकल्पना की स्पष्ट अंतरंगता के साथ युग्मित होने के कारण ब्रेकडाउन हुआ। जैसा कि हम स्वीडिश गणितज्ञ मित्तग-लेफ़लर को भेजे गए कैंटर से पढ़ सकते हैं, कैंटर का पहला ब्रेकडाउन ठीक उसी तरह हुआ, जैसे वह पेरिस से एक खुशी की यात्रा से लौटे थे, जहां वे अन्य गणितज्ञ, हेनरी मोइनकारे से मिले थे।कैंटर लिखता है कि वह पोनकारे को बहुत पसंद करता था और यह जानकर खुश था कि महान व्यक्ति ने अपने ट्रांसफ़ेक्ट सेट सिद्धांत और इसके अनुप्रयोगों को समझा। इसके अलावा, वह लिखते हैं कि उन्होंने दीर्घाओं और संग्रहालयों में जाकर, ओपेरा और थिएटर के अपने प्यार में लिप्त होकर समय बिताया। परिवार के मामलों में भाग लेने के लिए जर्मनी लौटने के तुरंत बाद कैंटर का ब्रेकडाउन कथित तौर पर हुआ।
हमें नहीं पता कि कैंटर के टूटने की वजह क्या थी। आर्थर स्कोनफ्लायस का तर्क है कि बर्लिन में उनके पूर्व प्रोफेसर लियोपोल्ड क्रोनकर द्वारा चैंपियन के रूप में उनके काम के लिए जबरदस्त विरोध के साथ कैंटर की कड़वाहट उनके संकट का मुख्य चालक था। क्रोनकर, उस समय के किसी भी अन्य पेशेवर गणितज्ञ से अधिक, कैंटर के विचारों का सबसे मुखर विरोधी था, जो कैंटर के 1874 के पेपर पर वापस जा रहा था, जिससे कैंटर को डर था कि क्रोनकर इसके प्रकाशन में देरी करेगा, क्योंकि उसने हेन के लेखों में से एक किया था। । इन चिंताओं के कारण, वीयरस्ट्रैस की सलाह पर, कैंटर ने अपनी बेशुमार प्रमेय को लेख के प्रारंभिक मसौदे से बाहर कर दिया और केवल बाद में इसे अपने परिचय के अंत में एक टिप्पणी के रूप में प्रूफरीडिंग के दौरान जोड़ा। इसके अलावा, क्रोनकर के प्रभाव के कारण डोनडेकंड के वास्तविक संख्याओं की प्रमाणिकता के प्रमाण के संस्करण का उपयोग करने के लिए कैंटर का नेतृत्व किया गया, लेकिन जानबूझकर डेडेकिंड के “निरंतरता के सिद्धांत” को छोड़ दिया, जिसे क्रोनकर ने स्वीकार नहीं किया। कथित तौर पर, 52 अक्षरों में से हर एक कैंटर ने 1884 में मित्तग-लेफ़लर को भेजा था, जिसका नाम क्रोनकर था।
क्रोनकर ने मूल रूप से सेट सिद्धांत पर कैंटर के काम के जोर से असहमति व्यक्त की, क्योंकि अन्य कारणों के साथ, इसने विशिष्ट सेटों के उदाहरण दिए बिना कुछ गुणों को संतुष्ट करने वाले सेटों के अस्तित्व पर जोर दिया, जिनके सदस्यों ने इन गुणों को संतुष्ट किया। यदि वे किसी दिए गए कदम के लिए प्राकृतिक संख्या से एक निश्चित संख्या में निर्मित किए जा सकते हैं, तो क्रोनकर ने केवल गणितीय अवधारणाओं को स्वीकार किया। क्रोनकर बर्लिन में कैंटर के प्रोफेसर थे, और 1891 में उनकी मृत्यु तक वहाँ गणित विभाग का नेतृत्व किया। हर बार जब कैंटोर बर्लिन में एक पद के लिए आवेदन करते थे, तो उन्हें गणितीय हलकों में एक प्रसिद्ध नाम होने के बावजूद मना कर दिया गया था। कैंटर के विचारों के विपरीत, क्रॉंकर के सीधे विरोध में, अंततः बाद में कैंटर को “युवाओं का भ्रष्ट” कहने के लिए नेतृत्व किया गया, जिसे “रोका जाना चाहिए”।

17.अंतिम वर्ष(Final years)-

उनके 1884 के अस्पताल में भर्ती होने के बाद, कोई रिकॉर्ड नहीं है कि 1899 तक कैंटर को फिर से किसी भी सेनेटोरियम में भर्ती कराया गया था। उस साल, उनके सबसे छोटे बेटे की मृत्यु हो गई और कैंटर ने कथित तौर पर गणित के प्रति अपना जुनून खो दिया। जब 1903 में जूलियस कोनिग ने एक पेपर प्रस्तुत किया, जिसमें ट्रांसफ़ेक्ट सेट सिद्धांत के मूल किरायेदारों को अस्वीकार करने का प्रयास किया गया था, तो कैंटर ने इसे एक गंभीर सार्वजनिक अपमान के रूप में माना था। अर्नस्ट जर्मेलो ने एक दिन से भी कम समय के बाद कागज़ की अमान्यता का प्रदर्शन किया, इसके बावजूद कैंटर हिल गया और यहां तक ​​कि क्षण भर में ईश्वर के अस्तित्व पर सवाल उठाने लगा (कैंटर एक धर्मनिष्ठ ईसाई था)। घटनाओं ने दो से तीन वर्षों के अंतराल पर अतिरिक्त अस्पताल में भर्ती होने की एक श्रृंखला शुरू की।
1917 में कैंटर
बर्लिन विश्वविद्यालय में पदों के लिए पूछताछ जारी रखने के बावजूद, कैंटर अपनी मृत्यु तक हाले विश्वविद्यालय में बने रहेंगे। उन्होंने अपने जीवन के आखिरी 20 साल पुरानी अवसाद की स्थिति में बिताए, जो कि सिद्धांत के बारे में अपने विवादास्पद विचारों और अपने प्रमाणों की वैधता का बचाव करते हुए मुख्य रूप से जर्मनी के अन्य गणितज्ञों की आलोचना के खिलाफ थे। कैंटर 1913 में सेवानिवृत्त हुए, प्रथम विश्व युद्ध के दौरान गरीबी और कुपोषण से पीड़ित रहे। जून 1917 में, उन्होंने फिर से एक सेनेटोरियम में प्रवेश किया, जहाँ अंततः 6 जनवरी, 1918 को दिल का दौरा पड़ने से उनकी मृत्यु हो गई। उनकी मृत्यु तक उनके अंतिम प्रवेश से, उन्होंने लगातार अपनी पत्नी को घर आने की अनुमति देने के लिए लिखा।

18.पैराडाइज लॉस्ट?(Paradise lost?)-

1900 में जर्मन गणितज्ञ डेविड हिल्बर्ट ने 20 वीं सदी में गणित के भविष्य को आकार देने के लिए 23 सबसे महत्वपूर्ण समस्याओं में से एक के रूप में सातत्य परिकल्पना की पहचान की। अन्य गणितज्ञों द्वारा कैंटर के अनुमान को सिद्ध या अस्वीकृत करने के प्रयासों के कारण उनकी भविष्यवाणी सटीक निकली, जो इस प्रकार सेट सिद्धांत में अब तक के सबसे गहरे काम के लिए प्रेरित करती है।
यह 1940 तक नहीं होगा कि ऑस्ट्रो-हंगेरियाई तर्कशास्त्री कर्ट गोडेलकोनफिर ने निरंतरता की परिकल्पना की निरंतरता को दिखाते हुए कहा कि इसे सेट सिद्धांत के अन्य स्वयंसिद्धों से नहीं हटाया जा सकता है। तेईस साल बाद, अमेरिकी गणितज्ञ पॉल कोहेन ने यह दिखाते हुए अपनी स्वतंत्रता स्थापित की कि निरंतरता की परिकल्पना को सेट सिद्धांत के अन्य स्वयंसिद्धों से साबित नहीं किया जा सकता है। उन्होंने दूसरे शब्दों में कहा कि कथन c = other Zermelo-Fraenkel axiom प्रणाली से स्वतंत्र है जिसे आम तौर पर गणित की सबसे आम नींव के रूप में स्वीकार किया जाता है। कैंटर के अनुमान की स्थिरता और स्वतंत्रता का मतलब था कि सेट सिद्धांत के मान्य मॉडल का निर्माण संभव था जो सातत्य परिकल्पना और अन्य मॉडलों को संतुष्ट करता था जो नहीं किया था। इस और अन्य अप्रमाणित कथनों के अस्तित्व के अहसास ने गणित की प्रकृति को एक कठोर, तार्किक अनुशासन के रूप में बदल दिया, 1926 में हिल्बर्ट को कैंटोरियन सिद्धांत के बचाव में घोषित करने के लिए प्रेरित किया:

“स्वर्ग से, कि कैंटर

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