Properties of Determinants Class 12
1.सारणिकों के गुणधर्म कक्षा 12 (Properties of Determinants Class 12),सारणिक कक्षा 12 (Determinants Clas 12):
सारणिकों के गुणधर्म कक्षा 12 (Properties of Determinants Class 12) के आधार पर एक पंक्ति या स्तम्भ में शून्य की संख्याओं को अधिकतम प्राप्त करने से सारणिक का मान ज्ञात करना सरल हो जाता है।ये गुणधर्म किसी भी कोटि के सारणिक के लिए सत्य हैं।
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2.सारणिकों के गुणधर्म कक्षा 12 पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Properties of Determinants Class 12):
बिना प्रसरण किए और सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके निम्नलिखित प्रश्न 1 से 5 को सिद्ध कीजिए:
Example:1. \left|\begin{array}{lll}x & a & x+a \\ y & b & y+b \\ z & c & z+c\end{array}\right|=0
Solution: \left|\begin{array}{lll}x & a & x+a \\ y & b & y+b \\ z & c & z+c\end{array}\right|=0 \\ \text{L.H.S.} \left|\begin{array}{lll}x & a & x+a \\ y & b & y+b \\ z & c & z+c\end{array}\right| \\ =\left|\begin{array}{lll}x & a & x \\ y & b & y \\ z & c & z\end{array}\right|+\left|\begin{array}{lll}x & a & a \\ y & b & b \\ z & c & c\end{array}\right|=0
[प्रथम सारणिक में C_{1} व C_{3} तथा द्वितीय सारणिक में C_{2} व C_{3} सर्वसम हैं]
=R.H.S
Example:2. \left|\begin{array}{lll}a-b & b-c & c-a \\ b-c & c-a & a-b \\ c-a & a-b & b-c\end{array}\right|=0
Solution: \left|\begin{array}{lll}a-b & b-c & c-a \\ b-c & c-a & a-b \\ c-a & a-b & b-c\end{array}\right| =0\\ R_1 \rightarrow R_1+R_2+R_3 संक्रिया से
=\left|\begin{array}{ccc}a-b+b-c+c-a & b-c+c-a+a-b & c-a+a-b+b-c \\ b-c & c-a & a-b \\ c-a & a-b & b-c\end{array}\right| \\ =\left|\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ b-c & c-a & a-b \\ c-a & a-b & b-c \end{array}\right| =0
[ \because R_{1} के सभी अवयव शून्य हैं]
Example:3. \left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 65 \\ 3 & 8 & 75 \\ 5 & 9 & 86\end{array}\right|=0
Solution: \left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 65 \\ 3 & 8 & 75 \\ 5 & 9 & 86\end{array}\right|=0 \\ \text { L.H.S. }\left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 65 \\ 3 & 8 & 75 \\ 5 & 9 & 86\end{array}\right| \\ C_3 \rightarrow C_3-9 C_2 संक्रिया से
=\left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 2 \\ 3 & 8 & 3 \\ 5 & 9 & 5\end{array}\right|=0=\text { R.H.S }
[ C_1 व C_3 सर्वसम हैं]
Example:4. \left|\begin{array}{lll}1 & b c & a(b+c) \\ 1 & c a & b(c+a) \\ 1 & a b & c(a+b)\end{array}\right|=0
Solution: \left|\begin{array}{lll}1 & b c & a(b+c) \\ 1 & c a & b(c+a) \\ 1 & a b & c(a+b)\end{array}\right|=0 \\ R_1 \rightarrow R_1-R_2 \text { व } R_2 \rightarrow R_2-R_3 संक्रिया से
\left|\begin{array}{lll} 0 & b c-c a & c(a-b) \\ 0 & c a-a b & a b-c a \\ 1 & a b & c(a+b) \end{array}\right| \\ C_1 के अनुसार प्रसरण करने पर
=0-0+1\left|\begin{array}{ll} b c-c a & c a-c b \\ c a-a b & a b-c a \end{array}\right| \\ =-\left|\begin{array}{ll} c a-b c & c a-c b \\ a b-c a & a b-c a \end{array}\right|=0=\text { R.H.S }
[ C_1 व C_2 सर्वसम हैं]
Example:5. \left|\begin{array}{lll}b+c & q+r & y+z \\ c+a & r+p & z+x \\ a+b & p+q & x+y\end{array}\right|=2\left|\begin{array}{lll}a & p & x \\ b & q & y \\ c & r & z\end{array}\right|
Solution: \left|\begin{array}{lll}b+c & q+r & y+z \\ c+a & r+p & z+x \\ a+b & p+q & x+y \end{array} \right| =2\left|\begin{array}{lll}a & r & x \\ b & q & y \\ c & r & z\end{array}\right| \\ \text{L.H.S.} =\left|\begin{array}{lll}b+c & q+r & y+z \\ c+a & r+p & z+x \\ a+b & p+q & x+y\end{array}\right| \\ R_1 \rightarrow R_1+R_2+R_3 संक्रिया से:
\left|\begin{array}{ccc} 2(a+b+c) & 2(p+q+r) & 2(x+y+z) \\ c+a & r+p & z+x \\ a+b & p+q & x+y \end{array}\right| \\ =2\left|\begin{array}{ccc} a+b+c & p+q+r & x+y+z \\ c+a & r+p & z+x \\ a+b & p+q & x+y \end{array}\right| \\ R_1 \rightarrow R_1-R_2 संक्रिया से:
=2\left|\begin{array}{ccc} b & q & y \\ a+b & r+p & z+x \\ a+q & p+q & x+y \end{array}\right| \\ R_3 \rightarrow R_3-R_1 संक्रिया से:
=2\left|\begin{array}{ccc} b & q & y \\ c+a & r+p & z+x \\ a & p & x \end{array}\right| \\ R_2 \rightarrow R_2-R_3 संक्रिया से:
=2\left|\begin{array}{ccc}b & q & y \\ c & r & z \\ a & p & x\end{array}\right| \\ R_2 \leftrightarrow R_3 संक्रिया से:
=-2\left|\begin{array}{ccc}b & q & y \\ a & p & x \\ c & r & z\end{array}\right| \\ R_1 \leftrightarrow R_2 संक्रिया से:
=2\left|\begin{array}{lll}a & p & x \\ b & q & y \\ c & r & z\end{array}\right|=\text{R.H.S.}
सारणिकों के गुणधर्म का प्रयोग करके प्रश्न 6 से 14 तक को सिद्ध कीजिए:
Example:6. \left|\begin{array}{ccc}0 & a & -b \\ -a & 0 & -c \\ b & c & 0\end{array}\right|=0
Solution:\left|\begin{array}{ccc}0 & a & -b \\ -a & 0 & -c \\ b & c & 0\end{array}\right|=0 \\ \text{L.H.S.} \left|\begin{array}{ccc}0 & a & -b \\ -a & 0 & -c \\ b & c & 0\end{array}\right| \\ C_2 \rightarrow C_2+\frac{a}{b} C_3 संक्रिया से:
\left|\begin{array}{ccc} 0 & 0 & -b \\ -a & \frac{-a c}{b} & -c \\ b & c & 0 \end{array}\right| \\ R_1 के अनुसार प्रसरण करने पर:
0-0-b\left|\begin{array}{cc} -a & -\frac{a c}{b} \\ b & c \end{array}\right| \\ =-b(-a c+a c)=0=\text { R.H.S }
Example:7. \left|\begin{array}{ccc}-a^2 & a b & a c \\ b a & -b^2 & b c \\ c a & c b & -c^2\end{array}\right|=4 a^2 b^2 c^2
Solution: [katex]\left|\begin{array}{ccc}-a^2 & a b & a c \\ b a & -b^2 & b c \\ c a & c b & -c^2\end{array}\right|=4 a^2 b^2 c^2 \\ \text { L.H.S. }\left|\begin{array}{ccc}-a^2 & a b & a c \\ b a & -b^2 & b c \\ c a & c b & -c^2\end{array}\right| \\ R_1 से a, R_2 से b, R_3 से c उभयनिष्ठ लेने पर:
=a b c\left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\ a & -b & c \\ a & b & -c \end{array}\right| \\ R_1 \rightarrow R_1+R_2 संक्रिया से:
=a b c\left|\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 2 c \\ a & -b & c \\ a & b & -c \end{array}\right| \\ R_{1} के अनुसार प्रसरण करने पर:
=2 a b c^2(a b+a b)=4 a^2 b^2 c^2=\text{R.H.S.}
Example:8(i). \left|\begin{array}{lll}1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2\end{array}\right|=(a-b)(b-c)(c-a)
Solution: \left|\begin{array}{lll}1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2\end{array}\right|=(a-b)(b-c)(c-a) \\ \text { L.H:S }=\left|\begin{array}{lll} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array}\right| \\ R_1 \rightarrow R_1-R_2 \text { व } R_2 \rightarrow R_2-R_3 संक्रिया से:
=\left|\begin{array}{ccc}0 & a-b & a^2-b^2 \\ 0 & b-c & b^2-c^2 \\ 1 & c & c^2\end{array}\right| \\ =\left|\begin{array}{lll}0 & a-b & (a-b)(a+b) \\ 0 & b-c & (b-0)(b+c) \\ 1 & c & c^2\end{array}\right| \\ R_{1} से a-b तथा R_{2} से b-c उभयनिष्ठ लेने परः
=(a-b)(b-c)\left|\begin{array}{lll}0 & 1 & a+b \\ 0 & 1 & b+c \\ 1 & c & c^2\end{array}\right|
के अनुसार प्रसरण करने पर:
=(a-b)(b-c)\left[0-0+1 \left| \begin{array}{ll}1 & a+b \\ 1 & b+c\end{array}\right|\right] \\ =(a-b)(b-c)(b+c-a-b) \\ =(a-b)(b-c)(c-a)=\text { R.H.S. }
Example:8(ii). \left|\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^3 & b^3 & c^3\end{array}\right|=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)
Solution: \left|\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^3 & b^3 & c^3\end{array}\right|=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) \\ \text{L.H.S.} \left|\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a_3 & b^3 & c^3\end{array}\right| \\ C_1 \rightarrow C_1-C_2 \text { तथा } C_2 \rightarrow C_2-C_3 संक्रिया से:
=\left|\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ a-b & b-c & c \\ a^3-b^3 & b^3-c^3 & c^3\end{array}\right| \\ =\left|\begin{array}{lll} 0 & 0 & 1 \\ a-b & b-c & c \\ (a-b)\left(a^2+a b+b^2\right) & (b-c)\left(b^2+b c+c^2\right) & c^3 \end{array}\right| \\ C_1 से (a-b) तथा C_{2} से (b-c) उभयनिष्ठ लेने पर:
=(a-b)(b-c)\left|\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & c \\ a^2+a b+b^2 & b^2+b c+c^2 & c^3 \end{array}\right| \\ R_{1} के अनुसार प्रसरण करने पर
=(a-b)(b-c)\left[0-0+1 \left| \begin{array}{cc}1 & 1 \\ a^2+a b+b^2 & b^2+b+c^2\end{array} \right|\right] \\ =(a-b)(b-c)\left(b^2+b c +c^2-a^2-a b-b^2\right) \\ =(a-b)(b-c)\left[c^2-a^2+b c-a b\right] \\ =(a-b)(b-c)[(c-a)(c+a)+b(c-a)] \\ =(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)=\text { R.H.S. }
Example:9. \left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & y z \\ y & y^2 & z x \\ z & z^2 & xy\end{array}\right|=(x-y)(y-z)(z-x)(x y+y z+z x)
Solution:\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & y z \\ y & y^2 & z x \\ z & z^2 & xy\end{array}\right|=(x-y)(y-z)(z-x)(x y+y z+z x) \\ \text{L.H.S.} \left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & y z \\ y & y^2 & z x \\ z & z^2 & xy\end{array}\right| \\ =\frac{1}{x y z}\left|\begin{array}{lll} x^2 & x^3 & x y z \\ y^2 & 3 & x y z \\ z^2 & z^3 & x y z\end{array}\right| \\ C_{3} से xyz उभयनिष्ठ लेने पर:
=\frac{x y z}{x y z}\left|\begin{array}{lll} x^2 & x^3 & 1 \\ y^2 & y^3 & 1 \\ z^2 & z^3 & 1\end{array}\right| \\ R_1 \rightarrow R_1-R_2 \text { तथा } R_2-R_3 संक्रिया से:
=\left|\begin{array}{ccc}x^2-y^2 & x^3-y^3 & 0 \\ y^2-z^2 & y^3-z^3 & 0 \\ z^2 & z^3 & 1\end{array}\right| \\ =\left|\begin{array}{ccc}(x-y)(x+y) & (x-y)\left(x^2+x y+y^2\right) & 0 \\ y-z)(y+z) & (y-z)\left(y^2+y z+z^2\right) & 0 \\ z^2 & z^3 & 1\end{array}\right| \\ R_{1} से x-y तथा R_{2} से y-z उभयनिष्ठ लेने पर:
=(x-y)(y-z)\left|\begin{array}{ccc}x+y & x^2+x y+y^2 & 0 \\ y+z & y^2+y z+z^2 & 0 \\ z^2 & z^3 & 1\end{array}\right| \\ C_3 के अनुसार प्रसरण करने पर:
=(x-y)(y-z)\left[0-0+1 \left|\begin{array}{ll}x+y & x^2+x y+y^2 \\ y+z & y^2+y z+z^2 \end{array}\right| \right] \\ =(x-y)(y-z)\left[(x+y)\left(y^2+y z+z^2\right)-(y+z) \left(x^2+xy+y^{2} \right)\right] \\ =(x-y)(y-z)\left(x y^2+x y z+x z^2+y^3+y^2 z+y z^2-x y^2-x y z-x^2 y-x^2 z-y^3-y^2 z\right) \\=(x-y)(y-z)\left(x y z-x^2 y+x z^2-x^2 z+y z^2-xyz\right) \\ = (x-y)(y-z)[x y(z-x)+x z(z-x)+y z(z-x)] \\ = (x-y)(y-z)(z-x)(x y+y z+z x)=\text {R.H.S. }
Example:10(i). \left|\begin{array}{ccc}x+4 & 2 x & 2 x \\ 2 x & x+4 & x \\ 2 x & 2 x & x+4\end{array}\right|=(5+4)(4-x)^{2}
Solution:\left|\begin{array}{lll}x+4 & 2 x & 2 x \\ 2 x & x+4 & 2 x \\ 2 x & 2 x & x+4\end{array} \right| =(5 x+4)(4-x)^2 \\ \text{L.H.S.} \left|\begin{array}{lll}x+4 & 2 x & 2 x \\ 2 x & x+4 & 2 x \\ 2 x & 2 x & x+4\end{array}\right| \\ R_1 \rightarrow R_1+R_2+R_3 संक्रिया से:
\left|\begin{array}{ccc}5 x+4 & 5 x+4 & 5 x+4 \\ 2 x & x+4 & 2 x \\ 2 x & 2 x & x+4\end{array}\right|\\ R_{1} से 5x+4 उभयनिष्ठ लेने पर:
=(5x+4) \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 2 x & x+4 & 2 x \\ 2 x & 2 x & x+4\end{array}\right| \\ C_1 \rightarrow C_1-C_2 तथा C_2 \rightarrow C_2-C_3 संक्रिया से:
=(5 x+4)\left|\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ x-4 & 4-x & 2 x \\ 0 & x-4 & x+4\end{array}\right|\\=(5 x+4)\left|\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ -(4-x) & 4-x & 2 x \\ 0 & -(4-x) & x+4\end{array}\right| \\ C_{1} तथा C_{2} से (4-x) उभयनिष्ठ लेने पर:
=(5 x+4)(4-x)^2\left|\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 2 x \\ 0 & -1 & x+4\end{array}\right|\\ R_{1} के अनुसार प्रसरण करने पर:
=(5 x+4)(4-x)^2\left[0-0+1 \left| \begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 0 & -1\end{array}\right|\right] \\ =(5 x+4)(4-x)^2=\text { R.H.S. }[/katex]
Example:10(ii). \left|\begin{array}{ccc}y+k & y & y \\ y & y+k & y \\ y & y & y+k\end{array}\right|=k^2(3 y+k)
Solution: \left|\begin{array}{ccc}y+k & y & y \\ y & y+k & y \\ y & y & y+k\end{array}\right|=k^2(3 y+k) \\ \text{ L.H.S} \left|\begin{array}{ccc}y+k & y & y \\ y & y+k & y \\ y & y & y+k\end{array}\right| \\ R_1 \rightarrow R_1+R_2+R_3 संक्रिया से
=\left|\begin{array}{ccc} 3 y+k & 3 y+k & 3 y+k \\ y & y+k & y \\ y & y & y+k \end{array}\right| \\ R_1 से 3y+k उभयनिष्ठ लेने पर:
=(3 y+k)\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ y & y+k & y \\ y & y & y+k\end{array}\right| \\ C_1 \rightarrow C_{1}-C_2 \text { तथा } C_{2} \rightarrow C_2-C_3 संक्रिया से:
=(3 y+k)\left|\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ -k & k & y \\0 & -k & y+k \end{array}\right| \\ C_1 तथा C_{2} से k उभयनिष्ठ लेने पर:
=k^2(3 y+k)\left|\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & y \\ 0 & -1 & y+k \end{array}\right| \\R_{1} के अनुसार प्रसरण करने पर:
=k^2(3 y+k)\left[0-0+1\left|\begin{array}{cc} -1 & 1 \\ 0 & -1\end{array} \right|\right] \\ =k^2(3 y+k)=\text { R.H.S }
Example:11(i). \left|\begin{array}{ccc}a-b-c & 2 a & 2-a \\ 2 b & b-c-a & 2 b \\ 2 c & -2 c & c-a-b\end{array}\right|=(a+b+c)
Solution: \left|\begin{array}{ccc}a-b-c & 2 a & 2 a \\ 2 b & b-c-a & 2 b \\ 2 c & -2 c & c-a-b\end{array} \right|=(a+b+c)^3 \\ \text { L.H.S }=\left|\begin{array}{ccc}a-b-c & 2 a & 2 a \\ 2 b & b-c-a & 2 b \\ 2 c & 2 c & c-a-b\end{array}\right| \\ R_1 \rightarrow R_1+R_2+R_3 संक्रिया से:
=\left|\begin{array}{ccc}a+b+c & a+b+c & a+b+c \\ 2 b & b-c-a & 2 b \\ 2 c & 2 c & c-a-b\end{array}\right| \\ R_{1} से (a+b+c) उभयनिष्ठ लेने पर:
=(a+b+c)\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 2 b & b-c-a & 2 b \\ 2c & 2 c & c-a-b\end{array}\right| \\ C_1 \rightarrow C_1-C_2 \text { तथा } C_2 \rightarrow C_2-C_3 संक्रिया से:
=(a+b+c)\left|\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ a+b+c & -(a+b+c) & 2 b \\ 0 & a+b+c & c-a-b\end{array}\right| \\ C_{1} तथा C_{2} से (a+b+c) उभयनिष्ठ लेने पर:
=(a+b+c)^3\left|\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 2 b \\ 0 & 1 & c-a-b\end{array}\right| \\ R_1 के अनुसार प्रसरण करने पर:
=(a+b+c)^3\left[0-0+1 \left| \begin{array}{ccc} 1 & -1 \\ 0 & 1\end{array}\right|\right] \\ =(a+b+c)^3=\text { R.H.S. }
Example:11(ii). \left|\begin{array}{ccc}x+y+2 z & x & y \\ z & y+z+2 x & y \\ z & x & z+x+2 y\end{array}\right|=2(x+y+z)^3
Solution: \left|\begin{array}{ccc}x+y+2 z & x & y \\ z & y+z+2 x & y \\ z & x & z+x+2 y\end{array}\right|=2(x+y+z)^3 \\ \text { L.H.S }=\left|\begin{array}{ccc}x+y+2 z & x & y \\ z & y+z+2 x & y \\ z & x & z+x+2 y\end{array}\right| \\ R_1 \rightarrow R_1-R_2 \text { तथा } R_2 \rightarrow R_2-R_3 संक्रिया से:
=\left|\begin{array}{ccc} x+y+z & -(x+y+z) & 0 \\ 0 & x+y+z & -(x+y+z) \\ z & x & z+x+2 y \end{array}\right| \\ R_1 तथा R_2 से x+y+z उभयनिष्ठ लेने पर:
=(x+y+z)^2\left|\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ z & x & z+x+2 y \end{array}\right| \\ C_2 \rightarrow C_2+C_{1} संक्रिया से:
=(x+y+z)^2\left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ z & z+x & z+x+2 y\end{array}\right| \\ R_{1} के अनुसार प्रसरण करने पर:
=(x+y+z)^2\left[1\left|\begin{array}{cc}1 & -1 \\ z+x & z+x+2 y\end{array}\right|-0+0\right] \\ =(x+y+z)^2(z+x+2 y+z+x) \\ =2(x+y+z)^3=\text { R.H.S. }
Example:12. \left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^2 \\ x^2 & 1 & x \\ x & x^2 & 1\end{array} \right|=\left(1-x^3\right)^2
Solution:\left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^2 \\ x^2 & 1 & x \\ x & x^2 & 1\end{array}\right|=\left(1-x^2\right)^3 \\ \text { L.H.S.}=\left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^2 \\ x^2 & 1 & x \\ x & x^2 & 1\end{array}\right| \\ R_1 \rightarrow R_1+R_2+R_3 संक्रिया से:
=\left|\begin{array}{ccc}1+x+x^2 & 1+x+x^2 & 1+x+x^2 \\ x^2 & 1 & x \\ x & x^2 & 1\end{array}\right| \\ R_1 से 1+x+x^2 उभयनिष्ठ लेने पर:
=\left(1+x+x^2\right)\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x^2 & 1 & x \\ x & x^2 & 1 \end{array}\right| \\ \left(1+x+x^2\right)\left|\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ -(1-x)(1+x) & 1-x & x \\ x(1-x) & -(1+x)(1-x)& 1\end{array}\right|\\ C_1 \rightarrow C_1-C_2 तथा C_2 \rightarrow C_2-C_3 संक्रिया से:
=\left(1+x+x^2\right)\left|\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ x^2-1 & 1-x & x \\ x-x^2 & x^2-1 & 1\end{array}\right| \\ C_{1} तथा C_{2} से (1-x) उभयनिष्ठ लेने पर:
=(1-x)^2\left(1+x+x^2\right)\left|\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ -(1+x) & 1 & x \\ x & -(1+x) & 1\end{array}\right| \\ R_{1} के अनुसार प्रसरण करने पर:
=\left(1-x^2\right)\left(1+x+x^2\right)\left[0-0+1 \left|\begin{array}{cc}-(1+x) & 1 \\ x & -(1+x)\end{array}\right|\right] \\ =(1-x)^2\left(1+x+x^2\right)\left[(1+x)^2-x\right] \\ =(1-x)^2 \left(1+x+x^2\right)\left(1+x+x^2\right) \\ =\left[(1-x)\left(1+x+x^2\right]^2\right. \\ =(1-x 3)^2=\text { R.H.S }
Example:13. \left|\begin{array}{ccc}1+a^2-b^2 & 2 a b & -2 b \\ 2 a b & 1-a^2+b^2 & 2 a \\ 2 b & -2 a & 1-a^2-b 1\end{array}\right|=\left(1+a^2+b^2\right)^3
Solution: \left|\begin{array}{ccc}1+a^2-b^2 & 2 a b & -2 b \\ 2 a b & 1-a^2+b^2 & 2 a \\ 2 b & -2 a & 1-a^2-b^2\end{array}\right|=\left(1+a^2+b^3\right)^3 \\ \text{L.H.S.} \left|\begin{array}{ccc}1+a^2-b^2 & 2 a b & -2 b \\ 2 a b & 1-a^2+b^2 & 2 a \\ 2 b & -2 a & 1-a^2-b^2\end{array}\right| \\ C_1 \rightarrow C_1+\frac{b}{a} C_2 \text { तथा } C_2 \rightarrow C_2+a C_3 संक्रिया से:
=\left|\begin{array}{ccc}1+a^2+b^2 & 0 & -2 b \\ \frac{b}{a}\left(1+a^2+b^2\right) & 1+a^2+b^2 & 2 a \\ 0 & -a\left(1+a^2+b^2\right) & 1-a^2-b^2\end{array}\right|\\ C_{1} तथा C_{2} में 1+a^2+b^2 उभयनिष्ठ लेने पर:
=\left(1+a^2+b^2\right)^2\left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & -2 b \\ \frac{b}{a} & 1 & 2 a \\ 0 & -a & 1-a^2-b^2\end{array}\right| \\ R_3 \rightarrow R_3+a R_2 संक्रिया से:
=\left(1+a^2+b^2\right)^2\left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & -2 b \\ \frac{b}{a} & 1 & 2 a \\ b & 0 & 1+a^2-b^2\end{array}\right| \\ C_{2} के अनुसार प्रसरण करने पर:
=\left(1+a^2+b^2\right)^2\left[-0+1\left|\begin{array}{cc}1 & -2 b \\ 1 & 1+a^2-b^2\end{array} \right|-0\right] \\ =\left(1+a^2+b^2\right)^2\left(1+a^2-b^2+2 b^2\right) \\ =\left(1+a^2+b^2 \right)^2\left(1+a^2+b^2\right) \\ =\left(1+a^2+b^2\right)^3=\text { R.H.S }
Example:14. \left|\begin{array}{ccc}a^2+1 & a b & a c \\ a b & b^2+1 & b c \\ c a & c b & c^2+1\end{array}\right|=1+a^2+b^2+c^2
Solution: \left|\begin{array}{lll}a^2+1 & a b & a c \\ a b & b^2+1 & b c \\ c a & c b & c^2+1\end{array}\right|=1+a^2+b^2+c^2 \\ R_{1} \rightarrow R_{1}+\frac{b}{a} R_{2}+\frac{c}{a} R_{3} संक्रिया से:
=\left|\begin{array}{lll}\left(1+a^2+b^2+c^2\right) & \frac{b}{a}\left(1+a^2+b^2+c^2\right) & \frac{c}{a}\left(1+a^2+b^2+c^2\right) \\ a b & b^2+1 & b c \\c a & c b & c^2+1 \end{array}\right| \\ R_1 मे से 1+a^2+b^2+c^2 में से उभयनिष्ठ लेने पर:
=\left(1+a^2+b^2+c^2\right)\left|\begin{array}{lll}1 & \frac{b}{a} & \frac{c}{a} \\ a b & b^2+1 & b c \\ c a & c b & c^2+1\end{array}\right| \\ C_1 \rightarrow C_1-\frac{a}{b} C_2 तथा C_2 \rightarrow C_2-\frac{b}{c} C_3 संक्रिया से:
=\left(1+a^2+b^2+c^2\right)\left|\begin{array}{ccc}0 & 0 & \frac{c}{a} \\ a b-a b-\frac{a}{b} & b^2+1-b^2 & bc \\ 0 & c b-b c-\frac{b}{c} & c^2+1\end{array}\right| \\ =\left(1+a^2+b^2+c^2\right) \left|\begin{array}{ccc}0 & 0 & \frac{c}{a} \\ -\frac{a}{b} & 1 & b c \\ 0 & -\frac{b}{c} & c^2+1 \end{array}\right| \\ R_{1} के अनुसार प्रसरण करने पर:
=\left(1+a^2+b^2+c^2\right)\left[0-0+\frac{c}{a} \left|\begin{array}{lll}-\frac{a}{b} & 1 \\ 0 & -\frac{b}{c} \end{array}\right|\right] \\ =\left(1+a^2+b^2+c^2\right)\left[\frac{c}{a} \times \frac{a}{c}\right] \\ =\left(1+a^2+b^2+c^2\right)=\text { R.H.S }
प्रश्न संख्या 15 तथा 16 में सही उत्तर चुनिए
Example:15.यदि A एक 3×3 कोटि का वर्ग आव्यूह है तो |KA| का मान होगा:
(A) K|A| (B) K^2|A|(C) K^3|A| (D) 3 K|A|
Solution: A=\left[\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right] \\ \Rightarrow K A=\left[\begin{array}{lll} k a_{11} & k a_{12} & k a_{13} \\ k a_{21} & k a_{22} & k a_{23} \\ k a_{31} & k a_{32} & k a_{33} \end{array}\right] \\ \Rightarrow|K A|= \left|\begin{array}{lll}k a_{11} & k a_{12} & a_{13} \\ k a_{21} & k a_{22} & k a_{23} \\ k a_{31} & k a_{32} & k a_{33}\end{array}\right| \\ R_{1},R_{2},R_{3} से k उभयनिष्ठ लेने पर:
\Rightarrow|K A|=K^3\left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_3\end{array}\right| \\ \Rightarrow|K A|=K^3 \mid A \mid
Example:16.निम्नलिखित में से कौनसा कथन सही है।
(A)सारणिक एक वर्ग आव्यूह है।
(B)सारणिक एक आव्यूह से संबद्ध एक संख्या है।
(C)सारणिक एक वर्ग आव्यूह सेे संबद्ध एक संख्या है।
(D)इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:विकल्प (C) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सारणिकों के गुणधर्म कक्षा 12 (Properties of Determinants Class 12),सारणिक कक्षा 12 (Determinants Clas 12) को समझ सकते हैं।
3.सारणिकों के गुणधर्म कक्षा 12 की समस्याएँ (Properties of Determinants Class 12 Problems):
(1.)सिद्ध कीजिए कि:
\left|\begin{array}{ccc}a & a+b & a+2 b \\ a+2 b & a & a+b \\ a+b & a+2 b & a\end{array}\right|=9(a+b) b^2
(2.)यदि p+q+r=0 हो तो सिद्ध कीजिए कि:
\left|\begin{array}{llll} p a & q b & r c \\ q c & ra & p b \\ rb & p c & qa \end{array}\right|=p q r\left|\begin{array}{lll} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{array}\right|
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सारणिकों के गुणधर्म कक्षा 12 (Properties of Determinants Class 12),सारणिक कक्षा 12 (Determinants Clas 12) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.सारणिकों के गुणधर्म कक्षा 12 (Frequently Asked Questions Related to Properties of Determinants Class 12),सारणिक कक्षा 12 (Determinants Clas 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.सारणिकों में डेल्टा से क्या तात्पर्य है? (What Do You Mean by Delta in Determinants?):
उत्तर:डेल्टा \Delta से सारणिक को व्यक्त किया जाता है।
जैसे: \Delta=\left|\begin{array}{lll}a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3\end{array}\right|
प्रश्न:2.सारणिक की प्रारम्भिक संक्रियाओं से क्या तात्पर्य है? (What Do You Mean by Elementary Operations of Determinants?):
उत्तर:यदि सारणिक \Delta का क्रम n \geq 2 तो R_1, R_2,R_3 \ldots से क्रमशः प्रथम पंक्ति,द्वितीय पंक्ति,तृतीय पंक्ति……. तथा C_1 C_2, C_3 \ldots से क्रमशः प्रथम स्तम्भ,द्वितीय स्तम्भ,तृतीय स्तम्भ…. को प्रकट करते हैं।
(1.)संक्रिया R_{i} \leftrightarrow R_{j} से तात्पर्य है कि iवें एवं jवें पंक्तियों को परस्पर बदला जा सकता है तथा C_{i} \leftrightarrow C_{j} से तात्पर्य है कि iवें एवं jवें स्तम्भों को परस्पर बदला गया है।
(2.)संक्रिया R_{i} \rightarrow k R_{j} से तात्पर्य है कि iवें पंक्ति के प्रत्येक अवयव को k से गुणा किया गया है।जबकि C_{i} \rightarrow k C_{j} से तात्पर्य है कि iवें स्तम्भ के प्रत्येक अवयव को k से गुणा किया गया है।
(3.)संक्रिया R_i=R_i+K R_j से तात्पर्य है कि iवें पंक्ति के प्रत्येक अवयव में jवें पंक्ति के संगत अवयवों को k से गुणा कर जोड़ा गया है तथा C_i=C_i+K C_j से तात्पर्य है कि iवें स्तम्भ के प्रत्येक अवयव को jवें स्तम्भ के संगत अवयवों को k से गुणा करके जोड़ा गया है।
प्रश्न:3.तृतीय क्रम के दो सारणिकों के गुणनफल का सूत्र लिखिए। (Write the Formula for the Product of Two Determinants of Third Order):
उत्तर:तृतीय क्रम के दो सारणिकों का गुणनफल निम्न प्रकार किया जाता है।
(1.)पंक्ति से स्तम्भ गुणा
\left|\begin{array}{lll}a_1 & b_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right| \times \left| \begin{array}{lll}\alpha_1 & \beta_1 & \gamma_1 \\ \alpha_2 & \beta_2 & \gamma_2 \\ \alpha_3 & \beta_3 & \gamma_3\end{array} \right| \\ =\left|\begin{array}{lll} a_1 \alpha_1+b_1 \alpha_2+c_1 \alpha_3 & a_1 \beta_1+b_1 \beta_2+c_1 \beta_3 & a_1 \gamma_1+b_1 \gamma_2+c_1 \gamma_3 \\ a_2 \alpha_2+b_2 \alpha_2+c_2 \alpha_3 & a_2 \beta_1+b_2 \beta_2+c_2 \beta_3 & a_1 \gamma_1+b_2 \gamma_2+c_2 \gamma_3 \\ a_3 \alpha_1+b_3 \alpha_2+c_3 \alpha_3 & a_3 \beta_1+b_3 \beta_2+c_3 \beta_3 & a_3 \gamma_1+b_3 \gamma_2+c_3 \gamma_3 \end{array}\right|
(2.)पंक्ति से पंक्ति गुणा
\left|\begin{array}{lll} a_1 \alpha_1+b_1 \beta_1+c_1 \gamma_1 & a_1 \alpha_2+b_1 \beta_2+c_1 \gamma_2 & a_1 \gamma_3+b_1 \beta_3+c_1 \gamma_3 \\ a_2 \alpha_1+b_2 \beta_1+c_2 \gamma_1 & a_2 \alpha_2+b_2 \beta_2+c_2 \gamma_2 & a_2 \alpha_3+b_3 \beta_3+c_2 \gamma_3 \\ a_3 \alpha_1+b_3 \beta_1+c_3 \gamma_1 & c_3 \alpha_2+b_3 \beta_2+c_3 \gamma_2 & a_3 \alpha_3+b_3 \beta_3+c_3 \gamma_{3} \end{array}\right|
प्रश्न:4.सारणिकों के गुणधर्म क्या हैं? (What are Properties of Determinants?):
उत्तर:(1.)किसी सारणिक का मान इसकी पंक्तियों और स्तम्भों के परस्पर परिवर्तित करने पर अपरिवर्तित रहता है।
(2.)यदि एक सारणिक की कोई दो पंक्तियों (या स्तम्भों) को परस्पर परिवर्तित कर दिया जाता है तब सारणिक का चिन्ह परिवर्तित हो जाता है।
(3.)यदि एक सारणिक की कोई दो पंक्तियाँ (अथवा स्तम्भ) समान हैं (सभी संगत अवयव समान है),तो सारणिक का मान शून्य होता है।
(4.)यदि एक सारणिक के किसी एक पंक्ति (अथवा स्तम्भ) को एक अचर k,से गुणा करते हैं तो उसका मान भी k से गुणित हो जाता है।
टिप्पणी:(i).इस गुणधर्म के अनुसार हम एक सारणिक की किसी पंक्ति या स्तम्भों से सार्व उभयनिष्ठ बाहर निकाल सकते हैं।
(ii)यदि एक सारणिक की किन्हीं दो पंक्तियों (या स्तम्भों) के संगत अवयव समानुपाती (उसी अनुपात में) है,तब उसका मान शून्य होता है।
(5.)यदि एक सारणिक की एक पंक्ति या स्तम्भ के कुछ या सभी अवयव दो (या अधिक) पदों के योगफल के रूप में व्यक्त हों तो सारणिक को दो (या अधिक) सारणिकों के योगफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
(6.)दि एक सारणिक के किसी पंक्ति या स्तम्भ के प्रत्येक अवयव में,दूसरी पंक्ति या स्तम्भ के संगत अवयवों के समान गुणजों को जोड़ दिया जाता है तो सारणिक का मान वही रहता है।अर्थात् यदि हम R_i \rightarrow R_i+K R_j या C_i \rightarrow C_i+K C_j का प्रयोग करें तो सारणिक का मान वही रहता है।
टिप्पणी:(i).यदि सारणिक \Delta में R_i \rightarrow K R_j या C_i \rightarrow K C_j के प्रयोग से प्राप्त सारणिक \Delta_{1} है तो \Delta_{1}=k \Delta
(ii)यदि एक साथ R_i \rightarrow R_i+K R_j जैसी संक्रियाओं का एक से अधिक बार प्रयोग किया गया हो तो ध्यान देना चाहिए कि पहली संक्रिया से प्रभावित पंक्ति का अन्य संक्रिया में प्रयोग नहीं होना चाहिए।ठीक इसी प्रकार की टिप्पणी स्तम्भों की संक्रियाओं में प्रयोग की जाती है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा सारणिकों के गुणधर्म कक्षा 12 (Properties of Determinants Class 12),सारणिक कक्षा 12 (Determinants Clas 12) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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Properties of Determinants Class 12
सारणिकों के गुणधर्म कक्षा 12
(Properties of Determinants Class 12)
Properties of Determinants Class 12
सारणिकों के गुणधर्म कक्षा 12 (Properties of Determinants Class 12) के आधार पर
एक पंक्ति या स्तम्भ में शून्य की संख्याओं को अधिकतम प्राप्त करने से सारणिक का मान
ज्ञात करना सरल हो जाता है।
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
