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Mathematician Felix Klein

1.गणितज्ञ फेलिक्स क्लेन का परिचय (Introduction to Mathematician Felix Klein)-

  • गणितज्ञ फेलिक्स क्लेन (Mathematician Felix Klein) का आधुनिक गणित विशेषतौर पर ज्यामिति में विशिष्ट योगदान रहा है।
  • आधुनिक गणित का जो स्वरूप आज हम देख रहे हैं तथा इसका हमारे जीवन में जो उपयोग हो रहा है,उसके पीछे कई गणितज्ञों का त्याग,समर्पण और विशेष योगदान रहा है।
  • जर्मन गणितज्ञ फेलिक्स क्लेन (Mathematician Felix Klein) भी उन्हीं गणितज्ञों में से एक हैं। उन्होंने गणित में इतना कार्य किया है कि उसका वर्णन इस छोटे से आर्टिकल में करना संभव नहीं है।
  • परंतु बहुत ही संक्षिप्त रूप में उनके कार्यों का वर्णन इसलिए कर रहे हैं कि जिससे हम हमारे महान् गणितज्ञ के बारे में जान सकें।
  • संसार में किसी भी व्यक्ति द्वारा सशरीर अमर होना तो संभव नहीं है क्योंकि प्रकृति का नियम है कि जो व्यक्ति जन्म लेता है उसकी मृत्यु निश्चित है।परंतु कोई भी व्यक्ति जब संसार में ऐसा विशिष्ट कार्य कर जाता है जिससे उसके द्वारा किए गए कार्यों के द्वारा हमेशा लोगों के दिल में वह याद रहे तो वह अमर हो जाता है।
  • गणितज्ञ फेलिक्स क्लेन (Mathematician Felix Klein) हमेशा उनके द्वारा किए गए कार्यों के द्वारा अमर रहेंगे।
  • उन्होंने विभिन्न पदों पर रहते हुए गणित के क्षेत्र में अद्भुत कार्य किया है।हालांकि शुरू में उनका रुझान भौतिक विज्ञान की तरफ था परंतु नियति को कुछ ओर ही मंजूर था और वह एक प्रसिद्ध गणितज्ञ बन गए।
  • उन्होंने कई पुस्तकें व जर्नल लिखी हैं जो आज भी उनके कार्यों को स्मरण कराते हैं।
  • सामान्य व्यक्ति उनके कार्यों को देखकर, पढ़कर आश्चर्यचकित हुए बिना नहीं रह सकता है।
  • हालांकि उनके द्वारा उस समय किए गए कार्यों को उनके समकालीनों द्वारा स्वीकार नहीं किया गया है परंतु उनके द्वारा किए गए कार्यों की नवीनता और उसका महत्त्व अब गणितज्ञों को समझ में आया है।
  • कई बार ऐसा होता है विशेषतौर पर पुरातन और मध्यकाल में महान् गणितज्ञों के कार्यों को पहचान उनके जीवित रहते हुए नहीं मिली है परंतु मरने के बाद उनके कार्यों की समीक्षा हुई है।
  • हालांकि गणितज्ञ फेलिक्स क्लेन (Mathematician Felix Klein) द्वारा किए गए उनके कार्यों को उस भी पहचान मिल गई थी इसलिए उनको पुरस्कार प्राप्त हुए हैं।
  • परन्तु उनके कार्यों की सम्पूर्ण समीक्षा और महत्त्व अब जाकर मालूम हुआ है।
    उनको गणित का कार्य खड़ा करने के लिए बहुत संघर्षों का सामना करना पड़ा था।एक बार तो उन्हें 1870 में फ्रैंको-परसिया में युद्ध छिड़ने के कारण पेरिस छोड़ना पड़ा था।
  • उन्होंने विभिन्न देशों की यात्राएं की तथा वहां के गणितज्ञों के संपर्क में आए।आपस में विचार-विमर्श करके विचारों का आदान-प्रदान किया।इस प्रकार वे कई विद्वानों के संपर्क में आए,उनसे बहुत सी बातें सीखीं।
  • जूलियस प्लूकर जो कि गणित और प्रायोगिक भौतिकी में प्रसिद्ध थे,गणितज्ञ फेलिक्स क्लेन (Mathematician Felix Klein) उनके सहायक बने।जूलियस प्लूकर ने ज्यामिति की पुस्तक भी लिखी है।इस प्रकार ज्यामिति में उनके विशेष योगदान में जूलियस प्लूकर का विशेष योगदान रहा है।
  • जूलियस प्लूकर के पास रहकर ही उन्होंने डॉक्टरेट अर्थात् पीएचडी की।
    इस प्रकार गणितज्ञ फेलिक्स क्लेन (Mathematician Felix Klein) विभिन्न गणितज्ञों के संपर्क में आते रहे और उनसे सीखते रहे।
  • आज उनके द्वारा किए गए कार्य की इतनी लंबी फेहरिस्त है जिसको देखकर उनके द्वारा गणित में किए गए योगदान का महत्त्व समझ में आता है।
    हमें अपने बच्चों को ऐसे महान् गणितज्ञों से परिचित अवश्य कराना चाहिए जिससे उन्हें आगे बढ़ने की प्रेरणा मिल सके।
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2.गणितज्ञ फेलिक्स क्लेन (Mathematician Felix Klein)-

  • ईसाई फेलिक्स क्लेन (Felix Klein) (जर्मन:25 अप्रैल 1849- 22 जून 1925) एक जर्मन गणितज्ञ और गणित के शिक्षक थे,जो समूह सिद्धांत,सम्मिश्र विश्लेषण,गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति, और ज्यामिति और समूह के बीच संघों के साथ अपने काम के लिए जाने जाते थे।उनका 1872 एर्लांगन कार्यक्रम,उनके बुनियादी समरूपता समूहों द्वारा ज्यामितीय वर्गीकरण, उस समय के अधिकांश गणित का एक प्रभावशाली संश्लेषण था।

(1.)गणितज्ञ फेलिक्स क्लेन का जीवन (Life of Mathematician Felix Klein)-

  • गणितज्ञ फेलिक्स क्लेन (Mathematician Felix Klein) का जन्म 25 अप्रैल 1849 को डसेलडोर्फ में परशियन माता-पिता से हुआ था।उनके पिता, कैस्पर क्लेन (1809-1889), राइन प्रांत में तैनात एक प्रशिया सरकार के आधिकारिक सचिव थे।उनकी मां सोफी एलिस क्लेन (1819-1890, नी कयेर) थीं।उन्होंने डसेलडोर्फ में जिमनैजियम में भाग लिया, फिर बॉन विश्वविद्यालय में गणित और भौतिकी का अध्ययन किया,1865-1866, भौतिक विज्ञानी बनने का इरादा किया।उस समय,जूलियस प्लुकर में गणित और प्रायोगिक भौतिकी में बॉन की प्रोफेसरशिप थी,लेकिन जब तक क्लेन उनका सहायक बन गया, 1866 में प्लकर की रुचि मुख्य रूप से ज्यामिति थी।क्लेन ने 1868 में बॉन विश्वविद्यालय से प्ल्यूकर की देखरेख में डॉक्टरेट की उपाधि प्राप्त की।
  • 1868 में प्ल्यूकर की मृत्यु हो गई,लाइन ज्यामिति के आधार के बारे में उनकी किताब अधूरी रह गई।क्लेन प्लककर के न्यु जियोमेट्री डेस राउम्स के दूसरे भाग को पूरा करने के लिए स्पष्ट व्यक्ति था और इस तरह अल्फ्रेड क्लेबश के साथ परिचित हो गया, जो 1868 में गोटिंगेन के साथ स्थानांतरित हो गया था।क्लेन अगले साल बर्लिन और पेरिस की यात्राओं के साथ, क्लीब क्लब्स को देखा।जुलाई 1870 में, फ्रेंको-प्रशिया युद्ध की शुरुआत में,वह पेरिस में थे और उन्हें देश छोड़ना पड़ा।थोड़े समय के लिए उन्होंने 1871 की शुरुआत में गौटिंगेन में लेक्चरर नियुक्त होने से पहले प्रशियाई सेना में एक चिकित्सकीय अर्दली के रूप में कार्य किया।
  • एरलंगेन ने 1872 में गणितज्ञ फेलिक्स क्लेन (Mathematician Felix Klein) प्रोफेसर की नियुक्ति की,जब वह केवल 23 वर्ष का था।इसके लिए, उन्हें क्लब्स द्वारा समर्थन दिया गया था,जो उन्हें अपने समय के सर्वश्रेष्ठ गणितज्ञ बनने की संभावना मानते थे।क्लेन एरलांगेन में रहने की इच्छा नहीं करता था, जहां बहुत कम छात्र थे, और 1875 में टेक्निसिच होच्चुले मुनेचेन में एक प्रोफेसर की पेशकश की कृपा थी।वहां उन्होंने और अलेक्जेंडर वॉन ब्रिल ने एडॉल्फ हर्विट्ज सहित कई उत्कृष्ट छात्रों को उन्नत पाठ्यक्रम प्रदान किए उन छात्रों में वाल्थर वॉन डायक,कार्ल रोहन, कार्ल रनगे, मैक्स प्लैंक, लुइगी बियानची, और ग्रेगोरियो रिकसी-कुर्बस्ट्रो शामिल थे।
  • 1875 में क्लेन ने दार्शनिक जॉर्ज विल्हेम फ्रेडरिक हेगेल की पोती ऐनी हेगेल से शादी की।
  • पांच साल तक टेक्निशे होच्चुले में बिताने के बाद,क्लेन को लीपज़िग में ज्यामिति की एक कुर्सी पर नियुक्त किया गया था।वहाँ उनके सहयोगियों में वाल्थर वॉन डायक,रोहन, एडुअर्ड स्टडी और फ्रेडरिक एंगेल शामिल थे।1880 से 1886 तक लीपज़िग में क्लेन के वर्षों ने मौलिक रूप से उनके जीवन को बदल दिया।1882 में, उनका स्वास्थ्य गिर गया;1883-1884 में, वह अवसाद से पीड़ित था।तो भी, उन्होंने अनुसंधान जारी रखा;1886 और 1888 के बीच प्रकाशित हाइपरलिप्टिक सिगमा कार्यों पर उनका सेमिनल कार्य,इस अवधि के आसपास से होता है।
  • क्लेन ने 1886 में गोटिंगेन विश्वविद्यालय में एक प्रोफेसर की उपाधि स्वीकार की।तब से 1913 की सेवानिवृत्ति तक, उन्होंने गौटिंगेन को दुनिया के प्रमुख केंद्र के रूप में गणित अनुसंधान के लिए फिर से स्थापित करने की मांग की।हालांकि,वह कभी भी लीपज़िग से गोटिंगेन को ज्यामिति के विकासकर्ता के रूप में अपनी प्रमुख भूमिका में स्थानांतरित करने में कामयाब नहीं हुए।उन्होंने मुख्य रूप से गणित और भौतिकी के बीच इंटरफेस के विषय में,गौटिंगेन पर विभिन्न प्रकार के पाठ्यक्रम पढ़ाए,विशेष रूप से यांत्रिकी और संभावित सिद्धांत।
  • गोटिंगेन में स्थापित की गई अनुसंधान सुविधा क्लेन दुनिया भर में ऐसी बेहतरीन सुविधाओं के लिए मॉडल के रूप में कार्य करती है।उन्होंने साप्ताहिक चर्चा बैठकों की शुरुआत की और एक गणितीय वाचनालय और पुस्तकालय बनाया।1895 में क्लिन ने डेविड हिल्बर्ट को कोनिग्सबर्ग विश्वविद्यालय से भर्ती किया।यह नियुक्ति बहुत महत्व की साबित हुई हिल्बर्ट ने 1932 में अपनी सेवानिवृत्ति तक गणित में गौटिंगेन की प्रधानता को बढ़ाना जारी रखा।
  • क्लेन के संपादकीय के तहत, मैथिसिस एनलन दुनिया की सर्वश्रेष्ठ गणितीय पत्रिकाओं में से एक बन गई।क्लेबश द्वारा स्थापित, यह क्लेन के प्रबंधन के तहत विकसित हुआ, प्रतिद्वंद्वी के लिए, और अंततः बर्लिन विश्वविद्यालय के आधार पर, क्रेले के जर्नल से आगे निकल गया।क्लेन ने संपादकों की एक छोटी टीम की स्थापना की जो नियमित रूप से मिले, जिससे लोकतांत्रिक भावना में निर्णय लिया गया।पत्रिका पहले सम्मिश्र विश्लेषण,बीजीय ज्यामिति, और अपरिवर्तनीय सिद्धांत में विशेषीकृत हुई।यह वास्तविक विश्लेषण और नए समूह सिद्धांत के लिए एक महत्वपूर्ण आउटलेट भी प्रदान करता है।
  • 1893 में, क्लिन शिकागो में आयोजित अंतर्राष्ट्रीय गणितीय कांग्रेस में एक प्रमुख वक्ता थे,जो कि विश्व के कोलंबियन प्रदर्शनी के भाग के रूप में थे।आंशिक रूप से क्लेन के प्रयासों के कारण, गौटिंगेन ने 1893 में महिलाओं को स्वीकार करना शुरू किया।उन्होंने पहले पीएचडी की देखरेख की।आर्थर केली के एक अंग्रेजी छात्र ग्रेस चिशोल्म यंग द्वारा एक महिला द्वारा गौटिंगेन में लिखे गए गणित में थीसिस,जिसे क्लिन ने सराहा।1897 में क्लेन रॉयल नीदरलैंड्स अकादमी ऑफ़ आर्ट्स एंड साइंसेज का एक विदेशी सदस्य बन गया।
  • 1900 के आसपास, क्लेन स्कूलों में गणितीय निर्देश में दिलचस्पी लेने लगा।1905 में, उन्होंने उस विश्लेषणात्मक ज्यामिति, अवकलन और समाकलन की समझ और द्वितीयक स्कूलों में फंक्शन कॉन्सेप्ट की सिफारिश की जिसकी योजना तैयार करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई थी।यह सिफारिश धीरे-धीरे दुनिया भर के कई देशों में लागू की गई थी।1908 में, रोम के गणितज्ञों की अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस में गणितज्ञ फेलिक्स क्लेन (Mathematician Felix Klein) को गणितीय निर्देश पर अंतर्राष्ट्रीय आयोग का अध्यक्ष चुना गया।उनके मार्गदर्शन में,आयोग के जर्मन भाग ने जर्मनी में सभी स्तरों पर गणित के शिक्षण पर कई संस्करणों को प्रकाशित किया।
  • लंदन मैथेमेटिकल सोसाइटी ने 1893 में क्लेन को अपना डी मॉर्गन पदक प्रदान किया।वह 1885 में रॉयल सोसाइटी के सदस्य चुने गए, और 1912 में कोपले मेडल से सम्मानित किया गया।

(2.) फेलिक्स क्लेन की मृत्यु कैसे हुई (How did Felix Klein die)-

  • उन्होंने अगले साल बीमार स्वास्थ्य के कारण सेवानिवृत्त हुए, लेकिन आगे के कई वर्षों तक अपने घर से गणित पढ़ाना जारी रखा।
  • क्लेन नाइन्टी थ्री के मैनिफेस्टो के नाईन्टी थ्री हस्ताक्षरकर्ताओं में से एक था जो कि प्रथम विश्व युद्ध के शुरुआती चरणों में बेल्जियम के जर्मन आक्रमण के समर्थन में एक दस्तावेज था।
  • 1925 में गोटिंगेन में उनकी मृत्यु हो गई।

(3.)गणित में फेलिक्स क्लेन का योगदान (Felix Klein contributions to mathematics)-

  • क्लेन के शोध प्रबंध,लाइन ज्यामिति और यांत्रिकी के अपने अनुप्रयोगों पर, प्राथमिक विभाजकों के वीयरस्ट्रैस सिद्धांत का उपयोग करके दूसरी डिग्री लाइन परिसरों को वर्गीकृत किया गया है।
  • क्लेन की पहली महत्वपूर्ण गणितीय खोज 1870 के दौरान की गई थी।सोफस ले के सहयोग से, उन्होंने कुमेर की सतह पर स्पर्श रेखाओं के मूलभूत गुणों की खोज की।उन्होंने बाद में डब्लू-कर्व्स की जांच की,जो प्रॉपर ट्रांसफॉर्मेशन के एक समूह के तहत अपरिवर्तनीय थे।यह झूठ था जिसने क्लेन को समूह की अवधारणा से परिचित कराया, जिसकी बाद के काम में एक प्रमुख भूमिका थी।क्लेन ने कैमिल जॉर्डन के समूहों के बारे में भी जाना।

(4.)फेलिक्स क्लेन बोतल (Felix Klein Bottle)-

  • क्लेन ने “क्लेन बोतल” का नामकरण अपने नाम पर किया, एक तरफा बंद सतह जिसे तीन-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एम्बेड नहीं किया जा सकता है,लेकिन इसे एक सिलेंडर के रूप में विसर्जित किया जा सकता है, जो “अंदर” से इसके दूसरे छोर से जुड़ने के लिए स्वयं के माध्यम से वापस लूप करता है ”।यह यूक्लिडियन आयाम 4 और उच्चतर के अंतरिक्ष में एम्बेडेड हो सकता है
  • क्लेन बोतल की अवधारणा को 3-आयामी मोबियस पट्टी के रूप में तैयार किया गया था,जिसमें निर्माण की एक विधि दो मोबीस स्ट्रिप्स के किनारों का लगाव था।
  • 1890 के दशक के दौरान, गणितज्ञ फेलिक्स क्लेन (Mathematician Felix Klein) ने गणितीय भौतिकी का अधिक गहन अध्ययन करना शुरू किया,अर्नोल्ड सोमरफेल्ड के साथ जाइरोस्कोप पर लेखन।1894 के दौरान,उन्होंने अपने अनुप्रयोगों सहित गणित के एक विश्वकोश के विचार की शुरुआत की,जो एन्सीक्लोप्लाडी डेर मैथमैटिसचेन विसेनशाफ्टेन बन गया।यह उद्यम जो 1935 तक समाप्त हुआ, ने स्थायी मूल्य का एक महत्वपूर्ण मानक संदर्भ प्रदान किया।

(5.)फेलिक्स क्लेन एर्लांगन कार्यक्रम (Felix Klein Erlanger Program)-

  • मुख्य लेख: एर्लांगन कार्यक्रम
    1871 में, गौटिंगेन में, गणितज्ञ फेलिक्स क्लेन (Mathematician Felix Klein) ने ज्यामिति में प्रमुख खोजें कीं।उन्होंने तथाकथित गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति पर दो पत्र प्रकाशित किए जिसमें दिखाया गया था कि यूक्लिडियन और गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति को केली-क्लेन मीट्रिक द्वारा निर्धारित मीट्रिक रिक्त स्थान माना जा सकता है।इस अंतर्दृष्टि का मूलाधार था कि गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति, यदि केवल और केवल यूक्लिडियन ज्यामिति थी, तो ज्यामितीय यूक्लिडियन और गैर-यूक्लिडियन को समान दर्जा देता है, और गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के सभी विवादों को समाप्त करता है।आर्थर केली ने गणितज्ञ फेलिक्स क्लेन (Mathematician Felix Klein) के तर्क को कभी स्वीकार नहीं किया, यह मानते हुए कि यह वृत्तीय है।
  • अंतरिक्ष के गुणों के अध्ययन के रूप में ज्यामिति के क्लेन का संश्लेषण,जो परिवर्तनों के दिए गए समूह के तहत अपरिवर्तनीय है,एर्लांगन कार्यक्रम (1872) के रूप में जाना जाता है, ने गणित के विकास को गहराई से प्रभावित किया।इस कार्यक्रम की शुरुआत एलेनगेन में प्रोफेसर के रूप में क्लेन के उद्घाटन व्याख्यान से हुई थी, हालांकि यह वास्तविक भाषण नहीं था जो उन्होंने इस अवसर पर दिया था।कार्यक्रम ने ज्यामिति की एक एकीकृत प्रणाली प्रस्तावित की जो स्वीकृत आधुनिक पद्धति बन गई है।  क्लेन ने दिखाया कि उन गुणों को संरक्षित करने वाले परिवर्तनों के समूह द्वारा किसी दिए गए ज्यामिति के आवश्यक गुणों का प्रतिनिधित्व कैसे किया जा सकता है।इस प्रकार कार्यक्रम की ज्यामिति की परिभाषा में यूक्लिडियन और गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति दोनों शामिल हैं।
  • वर्तमान में, ज्यामिति में क्लेन के योगदान का महत्व स्पष्ट है।वे गणितीय सोच का इतना हिस्सा बन गए हैं कि पहली बार प्रस्तुत किए जाने पर उनकी नवीनता की सराहना करना मुश्किल है, और इस तथ्य को समझें कि उन्हें तुरंत अपने सभी समकालीनों द्वारा स्वीकार नहीं किया गया था।
  • सम्मिश्र विश्लेषण
  • गणितज्ञ फेलिक्स क्लेन (Mathematician Felix Klein) ने सम्मिश्र विश्लेषण पर अपने काम को गणित में अपने प्रमुख योगदान के रूप में देखा, विशेष रूप से उनके काम पर:
  • रीमैन और अपरिवर्तनीय सिद्धांत के कुछ विचारों के बीच की कड़ी,
    संख्या सिद्धांत और अमूर्त बीजगणित;
  • समूह सिद्धांत;
  • 3 से अधिक आयामों और अवकल समीकरणों में ज्यामिति, विशेष रूप से उन्होंने जो आविष्कार किए, वे अण्डाकार मॉड्यूलर फलनों और ऑटोमोर्फिक फलनों से संतुष्ट हैं।
  • क्लेन ने दिखाया कि मॉड्यूलर समूह सम्मिश्र समतल के मूल क्षेत्र को स्थानांतरित करता है ताकि समतल को शांत किया जा सके।1879 में, उन्होंने पीएसएल (2,7) की कार्रवाई की जांच की, जिसे मॉड्यूलर समूह की एक छवि के रूप में माना जाता है,और एक रीमैन सतह का एक स्पष्ट प्रतिनिधित्व प्राप्त किया, जिसे अब क्लेन क्वार्टिक कहा जाता है।उन्होंने दिखाया कि यह एक सम्मिश्र वक्र था, जो कि प्रायोगिक स्थान पर था, इसका समीकरण x^3y + y^3z + z^3x = 0 था, और यह कि इसका समरूपता क्रम PS 168 (2,7) था।इंटीगेल (1882) एक ज्यामितीय तरीके से सम्मिश्र विश्लेषण का इलाज करता है,जो संभावित सिद्धांत और संकेंद्रित मैपिंग को जोड़ता है।यह कार्य द्रव गतिकी से धारणाओं पर आकर्षित हुआ।
  • क्लेन ने डिग्री >4 के समीकरणों पर विचार किया, और पांचवीं डिग्री के सामान्य समीकरण को हल करने के लिए ट्रान्सेंडैंटल विधियों का उपयोग करने में विशेष रूप से दिलचस्पी थी।चार्ल्स हरमाईट और लियोपोल्ड क्रोनकर के तरीकों पर निर्माण करते हुए, उन्होंने ब्रियोची के समान परिणामों का उत्पादन किया और बाद में इकोसाहेड्रल समूह के माध्यम से समस्या को पूरी तरह से हल किया।इस काम ने उन्हें अण्डाकार मॉड्यूलर फलनों पर पत्रों की एक श्रृंखला लिखने में सक्षम बनाया।
  • इक्कोहेड्रॉन पर अपनी 1884 की पुस्तक में, क्लेन ने स्वप्रेरित कार्यों का एक सिद्धांत स्थापित किया, जो बीजगणित और ज्यामिति को जोड़ता है।पोनकारे ने 1881 में अपने सिद्धांत को स्वचालित फलनों के रूप में प्रकाशित किया था,जिसके परिणामस्वरूप दोनों पुरुषों के बीच मित्रता थी।दोनों ने एक समान एकरूपता प्रमेय साबित करने और साबित करने की कोशिश की, जो नए सिद्धांत को पूरी तरह से स्थापित करेगा।क्लेन इस तरह की प्रमेय तैयार करने और इसे साबित करने की रणनीति का वर्णन करने में सफल रहा।
  • क्लेन ने एक चार मात्रा के ग्रंथ में ऑटोमोर्फिक और अण्डाकार मॉड्यूलर फलनों पर अपने काम को संक्षेप में लिखा,लगभग 20 वर्षों की अवधि में रॉबर्ट फ्रिक के साथ लिखा।

(6.)फेलिक्स क्लेन किताबें (Felix Klein Books)-

  • 1882: बीजीय कार्यों और उनके समाकल जेएफएम के रीमैन के सिद्धांत के बारे में
    ई-पाठ प्रोजेक्ट गुटेनबर्ग में,कॉर्नेल से भी उपलब्ध है
    1884: आईसीओसहेड्रोन पर व्याख्यान और 5 वीं डिग्री के समीकरणों का समाधान
  • जी. मॉरिसिस द्वारा अंग्रेजी अनुवाद (1888) इकोसाहेड्रोन पर व्याख्यान;और इंटरनेट पुरालेख के माध्यम से पांचवें डिग्री के समीकरणों का समाधान
    1886: हाइपरलिप्टिक सिगमा फलनों पर पहला लेख पी.  मैथमेटिश एनलन वॉल्यूम 2।
  • 1888: हाइपरलिप्टिक सिगमा कार्यों पर, दूसरा लेख पी.मैथ। एनलन, वॉल्यूम 32।
  • 1894: हाइपरजोमेट्रिक फ़ंक्शन के बारे में
  • 1894: दूसरे क्रम के रैखिक अवकल समीकरणों के बारे में
  • 1897: (अर्नोल्ड सोमरफेल्ड के साथ) जाइरो का सिद्धांत (बाद के संस्करणों: 1898, 1903, 1910)
  • 1890: (रॉबर्ट फ्रिक के साथ) अण्डाकार मॉड्यूल फलनों के सिद्धांत पर व्याख्यान (2 खंड) और 1892)
  • 1894: इवानस्टन कोलोक्वियम (1893) की रिपोर्ट और ज़िवेट (न्यूयॉर्क, 1894) द्वारा प्रकाशित।
  • फ्रिक, रॉबर्ट;  क्लेन, फेलिक्स (1897), ऑटोमोटिव फलनों के सिद्धांत पर व्याख्यान।पहली मात्रा;  समूह सैद्धांतिक मूल बातें (जर्मन में), लिपजिग: बी. जी. टेबनेर, आईएसबीएन 978-1-4297-0551-6, जेएफएम दूसरा खंड। 1901
    1901: गॉस की वैज्ञानिक डायरी, 1796-1814।  फेलिक्स क्लेन के अनुप्रयोगों के साथ
  • फ्रिक, रॉबर्ट;  क्लेन, फेलिक्स (1912), थ्योरी ऑन ऑटोमोटिव फंक्शंस।दूसरा खंड: कार्यात्मक सिद्धांत संस्करण और अनुप्रयोग।पहली डिलीवरी: ऑटोमोर्फिक फ़ंक्शंस का संकीर्ण सिद्धांत (जर्मन में), लीपज़िग: बी. जी. टेबनेर।
  • 1897: गणितीय सिद्धांत का शीर्ष (प्रिंसटन का पता, न्यूयॉर्क)
  • 1895: प्राथमिक ज्यामिति के चयनित प्रश्नों पर व्याख्यान
  • 1897: डब्ल्यू. डब्ल्यू. बमन और डी. ई.स्मिथ द्वारा अंग्रेजी अनुवाद इंटरनेट आर्काइव के माध्यम से प्राथमिक ज्यामिति की प्रसिद्ध समस्याएँ
  • 1908: उच्चतर दृष्टिकोण से प्राथमिक गणित (लीपज़िग)
  • 1926: 19 वीं सदी में गणित के विकास पर व्याख्यान (2 खंड), जूलियस स्प्रिंगर वर्लाग, बर्लिन और 1927. एस. फेलिक्स क्लेन व्याख्यान 19 वीं सदी में गणित के विकास पर।
  • 1928: गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति पर व्याख्यान, बुनियादी गणितीय विज्ञान, स्प्रिंगर वर्लग
  • 1933: हाइपरजोमेट्रिक फ़ंक्शन पर व्याख्यान, गणितीय विज्ञान की बुनियादी शिक्षाएँ, स्प्रिंगर वर्लाग
  • उपर्युक्त विवरण में गणितज्ञ फेलिक्स क्लेन (Mathematician Felix Klein) के बारे में बताया गया है।

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