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The Ramanujan Summation in Mathematics

The Ramanujan Summation in Mathematics

1.श्रीनिवास रामानुजन का परिचय (Introduction of Srinivasa Ramanujan)-

श्री निवास रामानुजन् का जन्म तमिलनाडु प्रान्त के इरोद नामक ग्राम में एक निर्धन परिवार में 22 दिसम्बर, 1887 ई. को हुआ। इनके पिता कुम्भ कोनम् ग्राम के निवासी थे और वहीं पर एक कपड़े वाले के यहाँ मुनीमी करते थे।
रामानुजन् के जन्म के बारे में किंवदन्ती प्रचलित है। कहा जाता है कि विवाह होने के कई वर्ष बाद तक उनकी माता के कोई सन्तान नहीं हुई। इससे वह सदैव चिन्तित रहती थी। अपनी पुत्री को चिन्ताकुल देखकर रामानुजन् के नाना ने नामकल गाँव में जाकर वहाँ की नामागिरि देवी की आराधना की, उसी के फलस्वरूप श्रीनिवास रामानुजन् का जन्म हुआ।
5 वर्ष की आयु में रामानुजन् को स्कूल भेजा गया। वहाँ पर दो वर्ष पढ़ने के बाद वह कुम्भकोनम् हाईस्कूल में पढ़ने भेजे गए। उन्हें गणितशास्त्र में बड़ी दिलचस्पी थी। अपने साथियों और अध्यापकों से कभी वह नक्षत्रों के बारे में कुछ पूछ बैठते थे तो कभी परिधि के बारे में। जब वह तीसरे दर्जे में पढ़ते थे तो एक दिन अध्यापक समझा रहे थे कि किसी संख्या को उसी संख्या से भाग देने पर भजनफल एक होता है। रामानुजन् ने फौरन पूछा, “क्या यह नियम शून्य के लिए भी लागू होता है? “इसी दर्जे में बीजगणित की तीनों श्रेणियों – समान्तर श्रेणी, गुणोत्तर श्रेणी, हरात्मक श्रेणी जो कि आजकल इण्टरमीडिएट कक्षाओं में पढ़ाई जाती हैं – पढ़ लिया था, चौथे दर्जे में त्रिकोणमिति तथा पाँचवे दर्जे में ज्या और कोज्या का विस्तार समाप्त कर लिया था।
17 वर्ष की आयु में रामानुजन् ने हाईस्कूल परीक्षा अच्छे नम्बरों से पास की जिससे वह गणितशास्त्र में इतने लवलीन हो गए कि गणित के सिवाय और किसी काम के न रहे और परिणाम यह हुआ कि ये फेल हो गये। इससे इनकी छात्रवृत्ति रोक दी गयी। अतः आर्थिक स्थिति के खराब होने के कारण इनको अपनी विश्वविद्यालय की शिक्षा खत्म करनी पड़ी।
उन दिनों रामानुजन् को आर्थिक कठिनाईयों ने परेशान कर दिया। इसी समय इनका विवाह भी कर दिया गया। विवाह हो जाने पर कठिनाइयांँ दो गुनी हो गई और वह शीघ्र ही नौकरी ढूँढने के लिए मजबूर हो गए। बड़ी कठिनाईयों के बाद इनको मद्रास ट्रस्ट में 30 रुपये मासिक की नौकरी मिल गई। इसी बीच डाॅ. वाकर, गणित में उनकी दिलचस्पी से बहुत प्रभावित हुए। उनके प्रयत्न से रामानुजन् को मद्रास विश्वविद्यालय से दो वर्ष के लिए 75रु. मासिक छात्रवृत्ति मिल गयी तथा इनको क्लर्की से छुटकारा मिल गया और आर्थिक चिन्ताओं से मुक्त होकर उन्हें अपना सारा समय गणित के अध्ययन में लगाने का सुअवसर प्राप्त हुआ।
जब आपने अपने कुछ लेख ट्रिनिटी कालेज के गणित के फैलो डाॅ. हार्डी तथा दूसरे अंग्रेज गणितज्ञ बड़े प्रभावित हुए। अतः वे लोग रामानुजन् को क्रेम्ब्रिज बुलाने का प्रयत्न करने लगे।
सन् 1947 ई. में जब ट्रिनिटी कालेज के फैलो डाॅ. नोविल भारत आए तो डाॅ. हार्डी ने उनसे रामानुजन् से मिलने तथा उनको केम्ब्रिज लाने का अनुरोध कर दिया था। भारत आने पर प्रो. नोविल ने रामानुजन् से भेंट की। उन्होंने नोविल महोदय की प्रार्थना को स्वीकार कर लिया। इस पर नोविल साहब ने उनको 250 पौण्ड की छात्रवृत्ति देने के अतिरिक्त व्यय तथा यात्रा व्यय देना भी स्वीकार कर लिया। इससे 60 रुपये प्रतिमाह अपनी माता को देने का प्रबंध करके 17 मार्च, 1847 ई. को मि. नोविल के साथ रवाना हो गए।
20 फरवरी, 1918 को आप राॅयल सोसायटी के फैलो बनाए गये। यह सम्मान प्राप्त करने वाले आप पहले भारतीय थे। 27फरवरी, 1919 को आप लन्दन से भारत के लिए रवाना हुए और 27 मार्च को आप बम्बई पहुँचे। विदेश में रहने और जलवायु अनुकूल न होने से आप बहुत कमजोर हो गए।
स्वास्थ्य खराब होने से इनको कावेरी कोदू मण्डी ले जाया गया। वहाँ से वे कुम्भकोनम् ले जाए गए। इनका स्वास्थ्य दिन-पर-दिन बिगड़ता ही गया। लेकिन मस्तिष्क का प्रकाश अन्त तक मन्द नहीं हुआ। मृत्यु तक वह काम में लगे रहे। Mock Theta Functions पर उनका सब काम मृत्यु-शैय्या पर ही हुआ। हालत खराब होती देखकर वे मद्रास ले जाए गए। 26 अप्रैल, 1920 ई. को मद्रास के पास चेतपुर ग्राम में इस विश्वविख्यात गणितज्ञ का स्वर्गवास हो गया।

2.रामानुजन योग(The Ramanujan Summation) : 1 + 2 + 3 + Summ + -1 = -1/12?

The Ramanujan Summation in Mathematics

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“तुम्हारी बातें हैं किस बारे में? वहाँ कोई रास्ता नहीं है कि सच है! ”- मेरी माँ
यह मेरी माँ ने मुझे तब बताया जब मैंने उन्हें इस छोटी गणितीय विसंगति के बारे में बताया। और यह सिर्फ एक विसंगति है। आखिरकार, यह बुनियादी तर्क को धता बताता है। सकारात्मक संख्याओं को न केवल एक ऋणात्मक, बल्कि एक ऋणात्मक अंश के बराबर कैसे जोड़ा जा सकता है? क्या गला है?
शुरू करने से पहले: मुझे यह बताया गया है कि जब मैं इस लेख में योग के बारे में बात करता हूं, तो यह शब्द के पारंपरिक अर्थों में नहीं है। ऐसा इसलिए है क्योंकि स्वाभाविक रूप से निपटने वाली सभी श्रृंखलाएं एक विशिष्ट संख्या के लिए नहीं होती हैं, इसलिए हम एक अलग प्रकार की रकम के बारे में बात करते हैं, अर्थात् सेसैरो सारांश। गणित में रुचि रखने वाले किसी भी व्यक्ति के लिए, सेसरो योग कुछ अनंत राशियों को मान प्रदान करते हैं जो सामान्य अर्थों में परिवर्तित नहीं होते हैं। “सीज़ेरो राशि को सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है, क्योंकि एन अनंत तक जाता है, श्रृंखला के पहले n आंशिक रकम के अंकगणितीय साधनों के अनुक्रम के लिए” – विकिपीडिया। मैं यह भी कहना चाहता हूं कि इस पूरे लेख में मैं काउंटेबल इनफिनिटी की अवधारणा से निपटता हूं, एक अलग प्रकार की अनन्तता है जो एक अनंत संख्या में सेट से संबंधित है, लेकिन एक जहां अगर आपको पर्याप्त समय दिया जाता है तो आप सेट में किसी भी संख्या को गिन सकते हैं। यह मुझे गणित के कुछ नियमित गुणों का उपयोग करने की अनुमति देता है जैसे मेरे समीकरणों में कम्यूटेटिविटी (जो कि मैं पूरे लेख में उपयोग किया गया एक स्वयंसिद्ध है)।

3.रामानुजन योग क्या है(What is Ramanujan Summation)- 

आप में से जो लोग इस श्रृंखला से अपरिचित हैं, जिन्हें श्रीनिवास रामानुजन नामक प्रसिद्ध भारतीय गणितज्ञ के बाद रामानुजन योग  के रूप में जाना जाता है, इसमें कहा गया है कि यदि आप सभी प्राकृतिक संख्‍याओं को जोड़ते हैं, तो वह है 1, 2, 3, 4 , और इसी तरह, अनंत के लिए सभी तरह से, आप पाएंगे कि यह -1/12 के बराबर है। YUP, -0.08333333333
मुझे विश्वास नहीं है? दो समान रूप से पागल दावों को साबित करके यह जानने के लिए पढ़ते रहें कि मैं यह कैसे साबित करता हूं:
1-1 + 1–1 + 1–1… = 1/2
1-2 + 3–4 + 5–6 … = 1/4
सबसे पहले, रोटी और मक्खन। यह वह जगह है जहां वास्तविक जादू होता है, वास्तव में इसके बिना अन्य दो प्रमाण संभव नहीं हैं।
मैं एक श्रृंखला के साथ शुरू करता हूं, ए, जो 1-1 + 1–1 + 1–1 के बराबर है और अनंत बार दोहराया गया है। मैं इसे इस प्रकार लिखूंगा:
A = 1–1 + 1–1 + 1–1 +
फिर मैं एक साफ छोटी चाल है। मैं A को 1 से निकालता हूं
1-A = 1- (1-1 + 1-1 + 1-1 ⋯)
अब तक सब ठीक है? अब यहां वह जगह है जहां विज़ार्ड होता है। यदि मैं समीकरण के दाईं ओर को सरल करता हूं, तो मुझे कुछ बहुत अजीब लगता है:
1-A = 1-1 + 1-1 + 1-1 + 1 ⋯
परिचित दिखता है? यदि आप इसे याद करते हैं, तो ए। हाँ, समीकरण के उस दाईं ओर, वह श्रृंखला है जिसे हमने शुरू किया था। तो मैं उस दाईं ओर के लिए A स्थानापन्न कर सकता हूं, उच्च विद्यालय बीजगणित और उछाल का एक सा कर सकता हूं!
1-A= A
1-A + A = A + A
1 = 2 A
1/2 = A
यह छोटी सुंदरता है दादी की श्रृंखला, जिसे इतालवी गणितज्ञ, दार्शनिक और पुजारी गुइडो ग्रैंड के बाद कहा जाता है। इस श्रृंखला में वास्तव में सब कुछ है, और जब तक यह मेरा व्यक्तिगत पसंदीदा है, इसके पीछे एक अच्छा इतिहास या खोज की कहानी नहीं है। हालांकि, यह बहुत सी रोचक चीजों को साबित करने के लिए दरवाजा खोलता है, जिसमें क्वांटम यांत्रिकी और यहां तक ​​कि स्ट्रिंग सिद्धांत के लिए एक बहुत ही महत्वपूर्ण समीकरण भी शामिल है। लेकिन उस पर बाद में। अभी के लिए, हम # 2: 1–2 + 3–4 + 5–6 ⋯ = 1/4 साबित करते हुए आगे बढ़ते हैं।
हम ऊपर के रूप में उसी तरह शुरू करते हैं, जिससे श्रृंखला B = 1–2 + 3–4 + 5–6 … हो जाती है। फिर हम इसके साथ खेलना शुरू कर सकते हैं। इस बार, 1 से B को घटाने के बजाय, हम इसे A. गणितीय रूप से घटाते जा रहे हैं, हमें यह मिलता है:
A-B = (1-1 + 1-1 + 1-1… ) -(1-2 + 3-4 + 5-6 …)
A-B = (1-1 + 1-1 + 1-1 …) – 1 + 2-3 + 4-5-6 ..
फिर हम थोड़ी-थोड़ी शर्तों के अनुसार फेरबदल करते हैं, और हम देखते हैं कि एक और दिलचस्प पैटर्न उभर रहा है।
A-B = (1-1) + (-1 + 2) + (1-3) + (-1 + 4) + (1-5) + (-1 + 6) …
A-B = 0 + 1–2 + 3–4 + 5 +
एक बार फिर, हमें वह श्रृंखला मिलती है जिसे हमने शुरू किया था, और पहले से, हम जानते हैं कि A = 1/2, इसलिए हम कुछ और मूल बीजगणित का उपयोग करते हैं और आज के हमारे दूसरे दिमाग को उड़ाने वाला तथ्य साबित करते हैं।
A-B = B
A = 2 B
1/2 = 2 B
1/4 = B
और वोइला! इस समीकरण में एक फैंसी नाम नहीं है, क्योंकि यह कई गणितज्ञों ने वर्षों से सिद्ध किया है जबकि एक साथ एक विरोधाभासी समीकरण को लेबल किया जा रहा है। फिर भी, इसने शिक्षाविदों के बीच एक बहस छेड़ दी, और यहां तक ​​कि बेसल समस्या में यूलर के शोध का विस्तार करने और रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन जैसे महत्वपूर्ण गणितीय कार्यों की ओर ले जाने में मदद की।
अब केक पर आइसिंग के लिए, जिस चीज का आप इंतजार कर रहे हैं, वह बड़ी चीज है। एक बार फिर से हम श्रृंखला C = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 … को शुरू करते हैं, और आप यह अनुमान लगाने में सक्षम हो सकते हैं, हम B से C को घटाते जा रहे हैं।
B-C = (1–2 + 3–4 + 5–6 1) – (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 1)
क्योंकि गणित अभी भी भयानक है, हम यहां कुछ नंबरों के क्रम को फिर से व्यवस्थित करने जा रहे हैं, इसलिए हमें कुछ ऐसा मिलता है जो परिचित दिखता है, लेकिन शायद आप जिस पर संदेह कर रहे हैं वह न हो।
B-C = (1-2 + 3-4 + 5-6 1-2) -1-2-3-4-5-6 =
B-C = (1-1) + (-2-2) + (3-3) + (-4-4) + (5-5) + (-6-6)…
B-C = 0-4 + 0-8 + 0-12 +
B-C = -4-8-12-
नहीं क्या आप सही उम्मीद कर रहे थे? अच्छी तरह से अपने मोज़े पर पकड़, क्योंकि मैं अपनी आस्तीन ऊपर एक आखिरी चाल है कि यह सब इसके लायक बनाने जा रहा है।यदि आप ध्यान दें, दाईं ओर की सभी शर्तें -4 के गुणक हैं, तो हम उस स्थिर कारक को बाहर निकाल सकते हैं, और लो n ‘निहारना, हमें वही मिलता है जो हमने शुरू किया था।
B-C = -4 (1 + 2 + 3) …
B-C = -4 C
B = -3 C
और चूंकि हमारे पास B = 1/4 के लिए एक मान है, हम बस उस मूल्य को डालते हैं और हम अपना जादुई परिणाम प्राप्त करते हैं:
1/4 = -3 सC
1 / -12 = C या C = -1/12
अब, यह महत्वपूर्ण क्यों है। शुरुआत के लिए अच्छी तरह से, यह स्ट्रिंग सिद्धांत में प्रयोग किया जाता है। दुर्भाग्य से स्टीफन हॉकिंग संस्करण नहीं है, लेकिन वास्तव में स्ट्रिंग सिद्धांत के मूल संस्करण में (जिसे बोसोनिक स्ट्रिंग थ्योरी कहा जाता है)। अब दुर्भाग्य से बोसोनिक स्ट्रिंग सिद्धांत को ब्याज के वर्तमान क्षेत्र द्वारा कुछ हद तक खत्म कर दिया गया है, जिसे सुपरसिमेट्रिक स्ट्रिंग सिद्धांत कहा जाता है, लेकिन मूल सिद्धांत का अभी भी सुपरस्ट्रिंग्स को समझने में इसका उपयोग होता है, जो कि उपरोक्त अद्यतन सिद्धांत के अभिन्न अंग हैं।
रामानुजन योग  का सामान्य भौतिकी के क्षेत्र में भी बड़ा प्रभाव पड़ा है, विशेष रूप से इस घटना के समाधान को कासिमिर प्रभाव के रूप में जाना जाता है। हेंड्रिक कैसिमिर ने भविष्यवाणी की कि एक निर्वात में रखी गई दो अपरिवर्तित प्रवाहकीय प्लेटें, क्वांटम उतार-चढ़ाव द्वारा आभासी कणों की ब्रेड की उपस्थिति के कारण इन प्लेटों के बीच एक आकर्षक बल मौजूद है। कासिमिर के समाधान में, वह बहुत ही राशि का उपयोग करता है जिसे हमने प्लेटों के बीच ऊर्जा की मात्रा को साबित करने के लिए सिद्ध किया है। और यही कारण है कि यह मूल्य इतना महत्वपूर्ण है।
तो आपके पास यह है, रामानुजन योग , जो कि 1900 की शुरुआत में खोजा गया था, जो अभी भी भौतिकी की कई विभिन्‍न शाखाओं में लगभग 100 वर्षों से प्रभाव डाल रहा है, और अभी भी ऐसे लोगों के खिलाफ दांव जीत सकता है, जो समझदार नहीं हैं।

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