1.यूनानी गणित का मुकुट यूदोक्सु (Crown of Greek Mathematics Eudoxus),गणितज्ञ यूदोक्सु (Mathematician Eudoxus):

Crown of Greek Mathematics Eudoxus

• यूनानी गणित का मुकुट यूदोक्सु (Crown of Greek Mathematics Eudoxus) क्निदेस निवासी थे।अत्यंत गरीब घर में पैदा होने पर भी यूदोक्सु प्लेटो की अकादमी में पढ़ने के लिए एथेंस नगर आया था।अपनी गरीबी के कारण वह अकादमी के नजदीक की धनी बस्ती में नहीं रह सकता था।वह एथेंस के बंदरगाह के नजदीक की पिरेयु बस्ती में रहता था।वहाँ भोजन तथा निवास दोनों सस्ते थे।
• प्लेटो स्वयं बहुत बड़े गणितज्ञ नहीं थे परंतु प्लेटों को हमें ‘गणितज्ञों का निर्माता’ तो मानना ही होगा। महान गणितज्ञ यूक्लिड यूनानी गणितज्ञ आर्किटस,यूनानी गणित का मुकुट यूदोक्सु तथा महान् दार्शनिक एवं गणितज्ञ अरस्तू ने शिक्षा प्लेटो की अकादमी में ही प्राप्त की थी।यूदोक्सु के निर्माण में भी प्लेटो का ही हाथ था।प्लेटो की अकादमी की स्थापना (387 ईस्वी पूर्व) के तीन वर्ष बाद,23 वर्ष की आयु में यूदोक्सु अकादमी में अध्ययन के लिए आए थे।प्लेटो ने यूदोक्सु की प्रतिभा को पहचाना। कहा जाता है कि इन दोनों ने मिलकर मिस्र देश की यात्रा की थी।उस समय यूदोक्सु के साथ एक ओर प्रसिद्धि यूनानी गणितज्ञ आर्किटस (428-347 ईस्वी पूर्व) भी प्लेटो की अकादमी में अध्ययन कर रहे थे।यूदोक्सु का जन्म 408 ईस्वी पूर्व में हुआ था और मृत्यु 53 वर्ष की आयु में हुई।
• आधुनिक युग के कुछ विद्वानों ने यूदोक्सु को ‘यूनानी गणित का मुकुट’ कहा है।यूदोक्सु के जीवन काल में उनकी प्रतिभा को शायद किसी ने नहीं पहचाना परंतु आज हम उनकी देन का सही मूल्यांकन कर सकते हैं।
• पाइथागोरस ने ऐसी संख्याओं (अपरिमेय) की खोज की थी जिनका मापन संभव नहीं है।इन अपरिमेय संख्याओं की खोज से गणितशास्त्र में एक नई उथल-पुथल मची।यदि दो रेखाएं या दो दूरियां परिमेय हों तो उनके अनुपातों (रेशियो) का गणित आसानी से समझ में आ जाता है।परंतु ये रेखाएं या दूरियां अपरिमेय हों तो अनुपात संबंधी परिकर्म कठिनाई पैदा करते हैं।
• यूदोक्सु ने इस कठिनाई को दूर किया।उन्होंने अपरिमेय संख्याओं के इस्तेमाल को बहुत आसान बना दिया।यूदोक्सु ने एक नए ‘अनुपात सिद्धांत (थ्योरी आफ प्रोपोर्शन) को जन्म दिया।यूक्लिड ने अपने ज्यामिति के ग्रंथ की पांचवी पुस्तक में यूदोक्सु के इस ‘अनुपात सिद्धांत’ का इस्तेमाल किया है।यूक्लिड की 5वीं पुस्तक को पढ़ते समय यह ध्यान रखना चाहिए कि इसका असली निर्माता यूक्लिड नहीं बल्कि यूदोक्सु है।
• एक सवाल है:किसी आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हम क्या करते हैं?
  हम आयत की भुजाओं को गुणा करेंगे।भुजाओं का मान परिमेय हो तो दो संख्याओं का गुणन कैसे होगा?
• वक्र रेखाओं तथा वक्र सतहों मापते समय कठिनाई ओर बढ़ जाती है।इस प्रकार के प्रश्नों को हल करने के लिए यूदोक्सु ने एक विशेष विधि का आविष्कार किया।इस विधि का ही यूक्लिड ने अपने ग्रंथ में क्षेत्रफल तथा आयतन ज्ञात करने में इस्तेमाल किया है।
• यूदोक्सु अंतरिक्ष यात्रा में बेहद रूचि रखते थे। उन्होंने कहा था:पाइथोन (जिसने अपोलो देवता के घोड़ों को सूर्य के बहुत नजदीक पहुंचा दिया था!) की तरह मैं भी खुशी-खुशी जल जाने को तैयार हूं,यदि इससे मुझे सूर्य को नजदीक से देखने तथा इसको परीक्षण करने का अवसर मिल जाए।
• कहा जाता है कि एक ऊंचे पहाड़ पर आकाश के तारों का अवलोकन करते-करते यूदोक्सु बुड्ढे हो गए!
• यूदोक्सु का जन्म और मृत्यु क्निदेस (Cnidus) (जिसे निडोस (Unidos) भी कहा जाता है) में हुआ था जो एशिया माइनर (Asia Minor) के दक्षिण-पश्चिमी तट पर एक शहर था।यूदोक्सु के जन्म और मृत्यु के वर्ष पूरी तरह से ज्ञात नहीं हैं, लेकिन हो सकता है कि सीमा (Range) 408–c. 355 BC या 390–c. 337 BC रही हो।
• यूदोक्सु के पिता,ऐशाइन्स ऑफ़ सिनिडस (Aeschines of Cnidus),रात में तारे देखना पसंद करते थे।
• प्लेटो (Plato) के व्याख्यानों में भाग लेने के लिए, वह प्रतिदिन प्रत्येक दिशा में 7 मील (11 किमी) चलता था।उनकी गरीबी के कारण,उनके दोस्तों ने खगोल विज्ञान और गणित के अपने अध्ययन को आगे बढ़ाने के लिए उन्हें मिस्र के हेलियोपोलिस (Heliopolis,Egypt) भेजने के लिए पर्याप्त धन जुटाया।वह वहां 16 महीने तक रहा।मिस्र से,उन्होंने फिर उत्तर से सिजिकस (Cyzicus) की यात्रा की,जो कि मर्मारा (Marmara) सागर के दक्षिण तट पर स्थित है,प्रोपोंटिस (Propontis)।उन्होंने दक्षिण की यात्रा मौसोलस (Mahsoos) के दरबार में की।अपनी यात्रा के दौरान उन्होंने अपने स्वयं के कई छात्रों को इकट्ठा किया।
• Cnidus में रहते हुए,उन्होंने एक वेधशाला का निर्माण किया और धर्मशास्त्र (Theology),खगोल विज्ञान (Astrology) और मौसम विज्ञान (Meteorology) पर लेखन और व्याख्यान जारी रखा।उनका एक बेटा,अरिस्तगोरस (Aristagoras) और तीन बेटियाँ,एक्टिस (Actis),फिलटिस (Philtis) और डेल्फ़िस (Delphis) थे।
• उपर्युक्त विवरण में यूनानी गणित का मुकुट यूदोक्सु (Crown of Greek Mathematics Eudoxus),गणितज्ञ यूदोक्सु (Mathematician Eudoxus) के बारे में बताया गया है।
  
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(1.)यूदोक्सु का गणित में योगदान (Yudoxu’s Contribution of Eudoxus to Mathematics):

Crown of Greek Mathematics Eudoxus (Eudoxus’ Homocentre Spheres)

• गणितीय खगोल विज्ञान में उनकी प्रसिद्धि संकेंद्रित गोलों का परिचय (Introduction of the concentric spheres) और ग्रहों की गति को समझने में उनके प्रारंभिक योगदान (Contributions to understanding the movement of the planets) के कारण हैं। अनुपात पर उनका काम वास्तविक संख्याओं में अंतर्दृष्टि दिखाता है (Proportions shows insight into real numbers);यह सतत मात्राओं के कठोर उपचार की अनुमति देता है (It allows treatment of continuous quantities) और न केवल पूर्ण संख्याओं या यहां तक की परिमेय संख्याओं को भी (not just whole numbers or even rational numbers)।जब इसे 16वीं शताब्दी में टार्टाग्लिया (Tartaglia) और अन्य लोगों द्वारा पुनर्जीवित किया गया तो यह विज्ञान में कार्य का आधार बन गया और रिचर्ड डेडेकिंड के काम को प्रेरित किया (It became the basis for quantative work in science and inspired the work of Richard Dedekind)।
• उनके सम्मान में मंगल और चंद्रमा पर क्रेटरों का नाम रखा गया है (Creaters on Mars and the Moon are Named in his honour)।एक बीजीय वक्र [यूदोक्सु का काम्पाइल (Kample of Eudoxus) भी उनके नाम पर रखा गया है।
• यूदोक्सु को कुछ लोग शास्त्रीय यूनानी गणितज्ञों में सबसे महान मानते हैं और आर्कमिडीज (Archimeds) के बाद दूसरे स्थान पर यूदोक्सु को स्वीकार करते हैं।यूक्लिड की पांचवी पुस्तक (V book of Euclid’s Elements) के वास्तविक निर्माता यूदोक्सु ही है।यूदोक्सु ने एंटिफोन की प्रथम संवर्ग की विधि को विकसित किया जो इंटीग्रल कैलकुलस का अग्रदूत थी (He rigorously developed Antiphon’s method of exhaustion, a precursor to the integral calculus),जिसका उपयोग आर्कमिडीज द्वारा अगली शताब्दी में एक उत्कृष्ट तरीके से किया गया था।विधि को लागू करने में,यूदोक्सु ने इस तरह के गणितीय कथनों को साबित किया:वृत्तो के क्षेत्रफल एक दूसरे के लिए होते हैं जैसे कि उनकी त्रिज्या के वर्ग,गोले के आयतन एक दूसरे के लिए उनकी त्रिज्या के घन के रूप में होते हैं,पिरामिड का आयतन समान आधार और ऊंचाई वाले प्रिज्म का आयतन का एक तिहाई और शंकु का आयतन संबंधित बेलन के आयतन का एक तिहाई होता है।
• यूदोक्सु ने गैर-मात्राबद्ध (non-quantified) का गणितीय परिमाण का विचार पेश किया जो कि रेखा,कोण,क्षेत्रफल और आयतन जैसी संतत ज्यामितीय एन्टीटिजीज (Continuous Geometrical Entities) का वर्णन और काम करता है जिससे अपरिमेय संख्याओं के उपयोग से बचा जा सकता है।ऐसा करने में उन्होंने कठिन गणित (Rigorous Mathematics) के आधार के रूप में ज्यामितीय अवधारणाओं पर ध्यान केंद्रित करने के बजाय संख्या और अंकगणित पर पर पाइथागोरियन जोर (प्रभाव) को उलट दिया। कुछ पाइथागोरियन जैसे यूदोक्सु के शिक्षक आर्किटस (Archytas) का मानना था कि केवल अंकगणित ही प्रमाण के लिए आधार प्रदान कर सकता है।अतुलनीय मात्राओं (incommensurable quantities) को समझने और संचालित करने की आवश्यकता से प्रेरित होकर यूदोक्सु ने स्थापित किया कि स्पष्ट सिद्धान्तों के आधार पर गणित का पहला निगमनात्मक संगठन क्या हो सकता है।यूदोक्सु द्वारा फोकस में परिवर्तन ने गणित में विभाजन को प्रेरित किया जो 2000 वर्षों तक चला।व्यावहारिक समस्याओं से असंबद्ध ग्रीक बौद्धिक दृष्टिकोण के संयोजन में अंकगणित और बीजगणित में तकनीकों के विकास से एक महत्वपूर्ण वापसी हुई।
• पाइथागोरस ने पाया कि एक वर्ग के विकर्ण में वर्ग की भुजाओं के साथ माप की एक सामान्य इकाई नहीं होती है;यह प्रसिद्ध खोज है कि 2 के वर्गमूल को दो पूर्णांकों के अनुपात में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।इस खोज ने पूर्णांकों और परिमेय भिन्नों से परे अतुलनीय मात्राओं (incommensurable quantities) के अस्तित्व की शुरुआत की थी लेकिन साथ ही इसने समग्ररूप से ज्यामिति में माप और गणना के विचार पर प्रश्नचिन्ह लगा दिया। उदाहरण के लिए यूक्लिड पाइथागाॅरियन प्रमेय का एक विस्तृत प्रमाण प्रदान करता है,क्षेत्रफलों को जोड़कर और केवल बाद में समरूप त्रिभुजों से एक सरल प्रमाण प्रदान करता है जो रेखाखंडों के अनुपात पर निर्भर करता है।
• प्राचीन यूनानी गणितज्ञों ने आज की तरह मात्राओं और समीकरणों के साथ गणना नहीं की बल्कि उन्होंने मात्राओं (quantities) के बीच संबंध को व्यक्त करने के लिए आनुपातिकता का उपयोग किया।इस प्रकार दो समरूप मात्राओं का अनुपात केवल एक संख्यात्मक मान नहीं था जैसा कि हम आज सोचते हैं दो समान मात्राओं का अनुपात उनके बीच एक पूर्वग संबंध (Primitive Relationship) था।
• यूदोक्सु दो अनुपातों के बीच समानता के अर्थ के लिए एक आश्चर्यजनक परिभाषा प्रदान करके आनुपातिकता के उपयोग में विश्वास बहाल करने में सक्षम था।अनुपात की यह परिभाषा यूक्लिड की पुस्तक V का विषय है।
  यूक्लिड की पुस्तक V की परिभाषा में हम पढ़ते हैं:
• परिमाणों Magnitudes) को एक ही अनुपात में कहा जाता है,पहले से दूसरे और तीसरे से चौथे के अनुपात में,जब पहले और तीसरे में से जो कुछ भी लिया जाए यदि कोई समगुणा (Equimultiple) हो और दूसरे और चौथे में से कोई भी समगुणा (Equimultiple) हो तो पूर्व के समान गुणक समान रूप से अधिक होते हैं।समान रूप से समान हैं या समान रूप से संगत क्रम में लिए गए बाद वाले समीकरणों से कम हैं।
• आधुनिक-युग के संकेतन का उपयोग करके,इसे इस प्रकार स्पष्ट किया जाता है।अगर हम चार मात्राएँ लेते हैं:a,b,c और d,तो पहली और दूसरी का अनुपात \frac{a}{b} है;इसी तरह तीसरे और चौथे का अनुपात \frac{c}{d}है।
• अब यह कहने के लिए कि \frac{a}{b}=\frac{c}{d} हम निम्न कार्य करते हैं:किन्हीं दो स्वेच्छ पूर्णांकों के लिए,m और n,पहले और तीसरे के समीकरण m·a और m·c बनाते हैं; इसी तरह दूसरे और चौथे के बराबर गुणक n·b और n·d बनाते हैं।
• अगर ऐसा होता है कि m·a; n·b,तो हमारे पास m·c; n·d भी होना चाहिए।अगर ऐसा होता है कि m·a=n·b, तो हमारे पास m·c = n·d भी होना चाहिए।अंत में,अगर ऐसा होता है कि m·a; n·b, तो हमारे पास m·c; n·d भी होना चाहिए।
• ध्यान दें कि परिभाषा समरूप मात्रा m·a और n·b, और समान मात्रा m·c और n·d की तुलना करने पर निर्भर करती है और इन मात्राओं को मापने की एक सामान्य इकाई के अस्तित्व पर निर्भर नहीं करती है।
• परिभाषा की जटिलता इसमें शामिल गहन वैचारिक और पद्धतिगत नवाचार को दर्शाती है।यह समानता के संबंध में यूक्लिड के प्रसिद्ध पांचवें अभिधारणा को ध्यान में लाता है जो अन्य अभिधारणाओं की तुलना में अपने शब्दों में अधिक व्यापक और जटिल है।
• आनुपातिकता की यूदोक्सियन परिभाषा,”प्रत्येक के लिए …” का उपयोग अनंत और अनंत का उपयोग करने के लिए करती है,जैसे कि सीमा और संततता की आधुनिक एप्सिलॉन-डेल्टा परिभाषाएं करती हैं।
• इसके अतिरिक्त, यूक्लिड की पुस्तक V की परिभाषा 4 के रूप में वर्णित आर्किमिडीज़ गुणधर्म मूल रूप से आर्किमिडीज़ के कारण नहीं बल्कि यूदोक्सु के कारण है।
• उपर्युक्त विवरण यूनानी गणित का मुकुट यूदोक्सु (Crown of Greek Mathematics Eudoxus),गणितज्ञ यूदोक्सु (Mathematician Eudoxus) का गणित में योगदान के बारे में बताया गया है।

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(2.)यूनानी गणित का मुकुट यूदोक्सु का सारांश (Conclusion of Crown of Greek Mathematics Eudoxus):

Crown of Greek Mathematics Eudoxus (Animated Hippopede of Eudoxus)

• गणित के अध्ययन के लिए न तो किसी प्रयोगशाला की जरूरत है और नहीं बहुत अधिक धन की जरूरत है।भौतिक शास्त्र व रसायन शास्त्र जैसे विषयों को पढ़ने के लिए प्रयोगशाला की जरूरत होती है और उसके लिए बहुत अधिक धन की जरूरत होती है।परंतु गणित को यूदोक्सु जैसे अत्यंत गरीब घर में पैदा हुआ व्यक्ति भी पढ़ सकता है और गणित में रिसर्च कर सकता है।गणित के लिए यदि जरूरत है तो एक अच्छे दिमाग की,प्रतिभा की,लगन,जिज्ञासा और उत्साह की।
• यदि विज्ञान के विकास में अपना योगदान देना चाहें तो वह उपाय भी गणित के अध्ययन से संभव है। गणित सभी विज्ञानों का मुकुट है।गणित के अध्ययन द्वारा विज्ञान में योगदान दे सकते हैं।गणित का अध्ययन करने के लिए बहुत बड़े स्कूल,विश्वविद्यालय में भी पढ़ना आवश्यक नहीं है। आचार्य प्रफुल्लचंद्र राय,जगदीशचंद्र बसु,मेघनाथ साहा,रामानुजन आदि प्रख्यात वैज्ञानिक गांव में ही पैदा हुए और गांव के साधारण स्कूलों में ही उनकी पढ़ाई हुई।इससे सिद्ध होता है कि विद्वान बनने के लिए प्रारंभ में बड़े स्कूलों में पढ़ना आवश्यक नहीं है।

2.यूनानी गणित का मुकुट यूदोक्सु (Crown of Greek Mathematics Eudoxus),गणितज्ञ यूदोक्सु (Mathematician Eudoxus) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा यूनानी गणित का मुकुट यूदोक्सु (Crown of Greek Mathematics Eudoxus),गणितज्ञ यूदोक्सु (Mathematician Eudoxus) के बारे में जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

यूनानी गणित का मुकुट यूदोक्सु (Crown of Greek Mathematics Eudoxus) क्निदेस निवासी थे।अत्यंत गरीब घर में पैदा होने पर भी यूदोक्सु प्लेटो की अकादमी में पढ़ने के लिए एथेंस नगर आया था।अपनी गरीबी के कारण वह अकादमी के नजदीक की धनी बस्ती में नहीं रह सकता था।वह एथेंस के बंदरगाह के नजदीक की पिरेयु बस्ती में रहता था।वहाँ भोजन तथा निवास दोनों सस्ते थे।