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Mathematical Induction

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1 1.गणितीय आगमन (Mathematical Induction), गणितीय आगमन सिद्धान्त (Principle of Mathematical Induction)-

1.गणितीय आगमन (Mathematical Induction), गणितीय आगमन सिद्धान्त (Principle of Mathematical Induction)-

  • गणितीय आगमन (Mathematical Induction) को समझने के लिए हमें आगमन और निगमन को समझना होगा।

(1.)आगमन (Induction)-

  • आगणन सामान्यतः अनुमान की वह विधि है जिसके द्वारा विज्ञानों में पाए जाने वाले सामान्य वाक्यों (Universal or General prepositions) की स्थापना होती है।
  • ऐसे वाक्यों की स्थापना कुछ उदाहरणों के वास्तविक निरीक्षण के आधार पर होती है।हम वास्तव में एक-एक कर कुछ उदाहरणों का निरीक्षण करते हैं और उन सभी में एक ही तरह की बात पाए जाने के आधार पर सामान्य रूप से कोई एक निष्कर्ष निकाल लेते हैं।आगमन के द्वारा स्थापित ये ही व्यापक वाक्य विभिन्न विज्ञानों के सामान्य नियम है।
  • एक उदाहरण से यह बात स्पष्ट होगी।हम वास्तव में इस बात का अनुभव करते हैं,निरीक्षण करते हैं कि एक-एक मनुष्य-राम,श्याम,मोहन इत्यादि मरणशील है और इन कुछेक वास्तविक उदाहरणों के अनुभव के आधार पर हम यह निष्कर्ष निकाल लेते हैं कि “सभी मनुष्य मरणशील हैं ” जो एक सामान्य वाक्य है।
  • यह वाक्य सिर्फ खास मनुष्यों पर लागू नहीं बल्कि भूत, वर्तमान और भविष्य के सभी मनुष्यों पर लागू होता है।
  • इस एक-एक मनुष्य की मरणशीलता के विषय में सामान्य वाक्य स्थापित करने की सम्पूर्ण क्रिया को आगमन कहा जाता है।विशेषों के ऐसे ही वास्तविक निरीक्षण के आधार पर सामान्य वाक्यों को स्थापना करने की क्रिया को आगमन की संज्ञा दी जाती है।

(2.) आगमन सिद्धान्त (Induction Principle)-

  • यदि कोई कथन या साध्य किसी विशिष्ट स्थितियों में सत्य होने पर व्यापक स्थिति में सत्य हो तो वह आगमन सिद्धान्त कहलाता है।

(3.)निगमन (Deduction)-

  • तर्कशास्त्र का मुख्य विषय अनुमान (Inference) के द्वारा हम कुछ आधार वाक्यों के बल पर एक निष्कर्ष पर आते हैं। हमारे निष्कर्ष की सत्यता के लिए हमारे आधार वाक्य प्रमाण या आधार का काम करते हैं।
    परन्तु प्रश्न उठता है कि इन आधार वाक्यों को हम कहां से प्राप्त करते हैं,उनकी सत्यता कारण ज्ञान हमें कहां से होता है।
  • निगमन में अनुमान की एक विधि है,इन आधार वाक्यों को सत्य मान लिया जाता है,उन्हें कहीं से ले लिया जाता है। चूंकि उनके साथ इस तरह का कोई प्रश्न नहीं जुटा रहता है कि वे वास्तविक दृष्टि से सत्य हैं या नहीं।
  • निगमन में आधार-वाक्यों की सत्यता को स्वीकार कर सिर्फ यह देखना हमारा काम होता है कि उनसे अनिवार्यतः क्या निष्कर्ष निकलता है।
  • दूसरे शब्दों में निगमन में हमारा संबंध सिर्फ इस बात से रहता है कि यदि आधार वाक्यों को सत्य मान लिया जाए तो उनसे किस वाक्य की सत्यता अनिवार्यतः निकलती है।
  • कहने का तात्पर्य यह है कि निगम की आधार वाक्यों अथवा निष्कर्ष की वास्तविक सत्यता (Material Truth) से कोई मतलब नहीं होता।उसका लक्ष्य सिर्फ आकारिक सत्यता (Formal Truth) प्राप्त करना होता है।
  • उदाहरण के लिए एक निगमनात्मक अनुमान के रूप में जितना सही यह अनुमान है कि
    सभी मनुष्य मरणशील है,
    राम एक मनुष्य है,
    राम मरणशील है,
  • उतना ही सही यह अनुमान भी है कि
    सभी मनुष्य अमर है,
    राम एक मनुष्य है,
    राम अमर है।
  • यद्यपि पहले में आधार-वाक्य तथा निष्कर्ष सभी वास्तविक दृष्टि से सत्य हैं जबकि दूसरे में आधार-वाक्यों में पहला तथा निष्कर्ष वास्तविक दृष्टि से सत्य नहीं है।
  • ये दोनों ही अनुमान समान रूप से सही या वैद्य इसलिए है चूंकि दोनों में निगमनात्मक अनुमान के इस आदर्श का पालन हुआ है कि यदि उनके आधार वाक्यों को सत्य मान लिया जाए (चाहे वे वास्तविकता में सत्य हों या नहीं) तो उनमें से प्रत्येक स्थिति में वही निष्कर्ष वैद्य रूप से निकलेगा जो सचमुच निष्कर्ष के रूप में यहां मौजूद है।
  • दोनों ही में समान रूप से आकारिक नियमों का पालन कर निष्कर्ष प्राप्त किया गया है।दोनों ही में स्थिति यह है कि आधार-वाक्यों को सत्य मान लिया जाए तो उनसे अनिवार्यतः वही निष्कर्ष निकलेगा जो सचमुच प्रत्येक स्थिति में निष्कर्ष रूप में मौजूद है।दोनों ही अनुमान आकारिक रूप से वैद्य हैं और इसलिए दोनों ही के द्वारा आकारिक सत्यता की प्राप्ति होती है जो निगमन का लक्ष्य है।

(4.)निगमन सिद्धांत Deduction Principle)-

  • यदि कोई कथन या साध्य व्यापक स्थिति में सत्य होने के आधार पर विशिष्ट स्थिति में सत्य हो तो वह निगमन सिद्धांत कहलाता है।
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2.गणितीय आगमन सिद्धान्त का प्रमाण (Proof of Principle of Mathematical Induction),गणितीय आगमन सिद्धान्त कक्षा 11 (principle of mathematical induction class 11)-

  • कोई कथन या साध्य P(n),n के प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक मानों (Positive integral value) के लिए सत्य होगा यदि
    (1.)n=1 के लिए कथन अथवा साध्य P(1) सत्य है,तथा
    (2.) P(m) सत्य है P(m+1) या P(m+) सत्य है अर्थात् यदि कथन अथवा साध्य P(n) किसी धन पूर्णांक n=m के लिए सत्य होने पर वह कथन n=m+1 के लिए सत्य हो।
  • उपपत्ति (Proof): गणितीय आगमन सिद्धान्त (Principle of Mathematical Induction) को हम विरोधाभास (Contradiction) द्वारा सिद्ध करेंगे।
  • माना कि कोई कथन या साध्य P(n) ,n के प्रत्येक पूर्णांक मान के लिए सत्य नहीं है तो इस स्थिति में एक ऐसे धन पूर्णांक n=m का अस्तित्व इस प्रकार होगा कि
  • (1.)कथन अथवा साध्य n=m के लिए सत्य नहीं है और साथ ही
  • (2) n के ऐसे सभी धन पूर्णांक मान जो m से कम हैं के लिए कथन या साध्य सत्य है।
    अतः n=m सबसे प्रथम धन पूर्णांक है जिसके लिए कथन या साध्य P(n) असत्य है।
    क्योंकि कथन P(n),n=1 के लिए सत्य दिया हुआ है ,
  • फलत: m>1 \Rightarrow m-1 एक धन पूर्णांक है।इससे स्पष्ट है कि कथन n=m-1 के लिए सत्य है परंतु मानने के अनुसार n=m के लिए कथन सत्य नहीं है जो कि गणितीय आगमन सिद्धान्त (Principle of Mathematical Induction) के प्रतिबंध (2) का विरोधाभास है।
  • अतः कथन या साध्य P(n) ,n के प्रत्येक धन पूर्णांक मान के लिए सत्य है।
    प्राय:‌ गणितीय आगमन सिद्धान्त (Principle of Mathematical Induction) को अभिगृहीत मान लिया जाता है।

3.गणितीय आगमन के उदाहरण (Mathematical Induction Examples),गणितीय आगमन का सिद्धांत के हल कक्षा 11 (Principle of mathematical induction class 11 solutions)-

निम्नलिखित को गणितीय आगमन द्वारा n के सभी धन पूर्णांकीय मानों के लिए सिद्ध कीजिए:
(Prove that following by mathematical for all positive integral values of n:)
Example-1.{ 1 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 }+......+{ n }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 6 } n(n+1)(2n+1)
Solution-माना कि P(n) दिया हुआ कथन है अर्थात्

P(n):{ 1 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 }+......+{ n }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 6 } n(n+1)(2n+1) जहाँ n\in N
(1.) n=1 रखने पर- 
L.H.S. { 1 }^{ 2 }=1

R.H.S.=\frac { 1 }{ 6 } (1)(1+1)(2\times 1+1)\\ =\frac { 1 }{ 6 } (2)(2+1)\\ =\frac { 1 }{ 6 } \times 2\times 3\\ =1
L.H.S.=R.H.S. अतः कथन n=1 के लिए सत्य है।
(2.) माना कि यह कथन n=m के लिए सत्य है फलत:

p(m):{ 1 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 }+......+{ m }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 6 } m(m+1)(2m+1)..(2)
(3.)अब हमे उक्त n=m+1 के लिए सत्य सिद्ध करना है

p(m+1):{ 1 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 }+......+{ (m+1) }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 6 } (m+1)(m+2)(2m+3)
L.H.S. { 1 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 }+......+{ m }^{ 2 }+{ (m+1) }^{ 2 }\\ =\frac { 1 }{ 6 } m(m+1)(2m+1)+{ (m+1) }^{ 2 }[(2) के प्रयोग से]

=(m+1)[\frac { 1 }{ 6 } m(2m+1)+m+1]\\ =(m+1)[\frac { 2{ m }^{ 2 }+m }{ 6 } +\frac { m+1 }{ 1 } ]\\ =(m+1)[\frac { 2{ m }^{ 2 }+m+6m+6 }{ 6 } ]\\ =(m+1)[\frac { 2{ m }^{ 2 }+7m+6 }{ 6 } ]\\ =\frac { 1 }{ 6 } (m+1)[2{ m }^{ 2 }+4m+3m+6]\\ =\frac { 1 }{ 6 } (m+1)[2{ m }(m+2)+3(m+2)]\\ =\frac { 1 }{ 6 } (m+1)(m+2)(2m+3)=R.H.S\\ \therefore { 1 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 }+......+{ m }^{ 2 }+{ (m+1) }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 6 } (m+1)(m+2)(2m+3)
अतः कथन n=m+1 के लिए सत्य है।फलत: गणितीय आगमन सिद्धान्त (Principle of Mathematical Induction) द्वारा यह कथन n के प्रत्येक धन पूर्णांक मानों (i.e.n\in N )के लिए सत्य है।
Example-2.5+{ 5 }^{ 2 }+{ 5 }^{ 3 }+.....+{ 5 }^{ n }=\frac { 5 }{ 4 } ({ 5 }^{ n }-1)
Solution– माना कि P(n) दिया हुआ कथन है अर्थात्

p(n):5+{ 5 }^{ 2 }+{ 5 }^{ 3 }+.....+{ 5 }^{ n }=\frac { 5 }{ 4 } ({ 5 }^{ n }-1) जहां n\in N...(1)
(1.) n=1 रखने पर-
L.H.S.=5
R.H.S.=\frac { 5 }{ 4 } ({ 5 }^{ n }-1)\\ =\frac { 5 }{ 4 } ({ 5 }^{ 1 }-1)\\ =\frac { 5 }{ 4 } ({ 5 }-1)\\ =\frac { 5 }{ 4 } (4)\\ =5
L.H.S.=R.H.S.
अतः कथन n=1 के लिए सत्य है।
(2.)माना कि यह कथन n=m के लिए सत्य है फलत:

p(m):5+{ 5 }^{ 2 }+{ 5 }^{ 3 }+.....+{ 5 }^{ m }=\frac { 5 }{ 4 } ({ 5 }^{ m }-1)….(2)
(3.)अब हमें उक्त कथन n=m+1 के लिए सत्य सिद्ध करना है

p(m+1):5+{ 5 }^{ 2 }+{ 5 }^{ 3 }+.....+{ 5 }^{ m }+{ 5 }^{ m+1 }=\frac { 5 }{ 4 } ({ 5 }^{ m+1 }-1)
L.H.S.=5+{ 5 }^{ 2 }+{ 5 }^{ 3 }+.....+{ 5 }^{ m }+{ 5 }^{ m+1 }\\ =\frac { 5 }{ 4 } ({ 5 }^{ m }-1)+{ 5 }^{ m+1 }[(2) के प्रयोग से]

=\frac { 5 }{ 4 } ({ 5 }^{ m })-\frac { 5 }{ 4 } +5({ 5 }^{ m })\\ =\frac { 5 }{ 4 } ({ 5 }^{ m })[1+4]-\frac { 5 }{ 4 } \\ =\frac { 5 }{ 4 } ({ 5 }^{ m })(5)-\frac { 5 }{ 4 } \\ =\frac { 5 }{ 4 } ({ 5 }^{ m+1 })-\frac { 5 }{ 4 } \\ =\frac { 5 }{ 4 } ({ 5 }^{ m+1 }-1)=R.H.S\\ \therefore 5+{ 5 }^{ 2 }+{ 5 }^{ 3 }+.....+{ 5 }^{ m }+{ 5 }^{ m+1 }=\frac { 5 }{ 4 } ({ 5 }^{ m+1 }-1)
L.H.S.=R.H.S.
अतः कथन n=m+1 के लिए सत्य है।फलत: गणितीय आगमन सिद्धान्त द्वारा यह कथन n के प्रत्येक धन पूर्णांक मानों (i.e.n\in N ) के लिए सत्य है।
Example-3.{ 1 }^{ 5 }+{ 2 }^{ 5 }+.....+{ n }^{ 5 }=\frac { 1 }{ 12 } { n }^{ 2 }{ (n+1) }^{ 2 }{ (2{ n }^{ 2 }+2n-1) }
Solution– माना कि P(n) दिया हुआ कथन है अर्थात्

p(n):{ 1 }^{ 5 }+{ 2 }^{ 5 }+.....+{ n }^{ 5 }=\frac { 1 }{ 12 } { n }^{ 2 }{ (n+1) }^{ 2 }{ (2{ n }^{ 2 }+2n-1) } जहां n\in N....(1)
(1.) n=1 रखने पर-
L.H.S { 1 }^{ 5 }=1
R.H.S.=\frac { 1 }{ 12 } { n }^{ 2 }{ (n+1) }^{ 2 }{ (2{ n }^{ 2 }+2n-1) }\\ =\frac { 1 }{ 12 } { (1) }^{ 2 }{ (1+1) }^{ 2 }{ (2\times { (1) }^{ 2 }+2\times 1-1) }\\ =\frac { 1 }{ 12 } { (2) }^{ 2 }{ (2+2-1) }\\ =\frac { 1 }{ 12 } \times 4\times 3\\ =1
L.H.S.=R.H.S.
अतः कथन n=1 के लिए सत्य है।
(2.)माना कि कथन n=m के लिए सत्य है फलत:

p(m):{ 1 }^{ 5 }+{ 2 }^{ 5 }+.....+{ m }^{ 5 }=\frac { 1 }{ 12 } { m }^{ 2 }{ (m+1) }^{ 2 }{ (2{ m }^{ 2 }+2m-1) }...(2)
(3.) अब हमें उक्त कथन n=m+1 के लिए सत्य सिद्ध करना है।

p(m+1):{ 1 }^{ 5 }+{ 2 }^{ 5 }+.....+{ m }^{ 5 }+{ (m+1) }^{ 5 }=\frac { 1 }{ 12 } { (m+1) }^{ 2 }{ (m+2) }^{ 2 }{ [2{ (m+1) }^{ 2 }+2(m+1)-1] }\\ =\frac { 1 }{ 12 } { (m+1) }^{ 2 }{ (m+2) }^{ 2 }[2({ m }^{ 2 }+2m+1)+2m+2-1]\\ =\frac { 1 }{ 12 } { (m+1) }^{ 2 }{ (m+2) }^{ 2 }[2{ m }^{ 2 }+4m+2+2m+2-1]\\ =\frac { 1 }{ 12 } { (m+1) }^{ 2 }{ (m+2) }^{ 2 }[2{ m }^{ 2 }+6m+3]
L.H.S. { 1 }^{ 5 }+{ 2 }^{ 5 }+.....+{ m }^{ 5 }+{ (m+1) }^{ 5 }\\ =\frac { 1 }{ 12 } { m }^{ 2 }{ (m+1) }^{ 2 }{ (2{ m }^{ 2 }+2m-1) }+{ (m+1) }^{ 5 } [(2) के प्रयोग से]

={ (m+1) }^{ 2 }[\frac { 1 }{ 12 } { m }^{ 2 }{ (2{ m }^{ 2 }+2m-{ m }^{ 2 }) }+{ (m+1) }^{ 3 }]\\ ={ (m+1) }^{ 2 }[\frac { 1 }{ 12 } (2{ m }^{ 4 }+2{ m }^{ 3 }-{ m }^{ 2 })+{ m }^{ 3 }+3{ m }^{ 2 }+3m+1]\\ ={ (m+1) }^{ 2 }[\frac { 2{ m }^{ 4 }+2{ m }^{ 3 }-{ m }^{ 2 }+12{ m }^{ 3 }+3{ 6m }^{ 2 }+36m+12 }{ 12 } ]\\ =\frac { 1 }{ 12 } { (m+1) }^{ 2 }[2{ m }^{ 4 }+14{ m }^{ 3 }+3{ 5m }^{ 2 }+36m+12]\\ =\frac { 1 }{ 12 } { (m+1) }^{ 2 }[2{ m }^{ 4 }+4{ m }^{ 3 }+10{ m }^{ 3 }+20{ m }^{ 2 }+15{ m }^{ 2 }+30m+6m+12]\\ =\frac { 1 }{ 12 } { (m+1) }^{ 2 }[2{ m }^{ 2 }(m+2)+10{ m }^{ 2 }(m+2)+15{ m }(m+2)+6(m+2)]\\ =\frac { 1 }{ 12 } { (m+1) }^{ 2 }(m+2)[2{ m }^{ 2 }+10{ m }^{ 2 }+15{ m }+6]\\ =\frac { 1 }{ 12 } { (m+1) }^{ 2 }(m+2)[2{ m }^{ 2 }+4{ m }^{ 2 }+6{ m }^{ 2 }+12m+3{ m }+6]\\ =\frac { 1 }{ 12 } { (m+1) }^{ 2 }(m+2)[2{ m }^{ 2 }(m+2)+6{ m }(m+2)+3(m+2)]\\ =\frac { 1 }{ 12 } { (m+1) }^{ 2 }(m+2)(m+2)[2{ m }^{ 2 }+6{ m }+3]\\ =\frac { 1 }{ 12 } { (m+1) }^{ 2 }(m+2){ (m+2) }^{ 2 }(2{ m }^{ 2 }+6{ m }+3)=R.H.S\\ { 1 }^{ 5 }+{ 2 }^{ 5 }+.....+{ m }^{ 5 }+{ (m+1) }^{ 5 }=\frac { 1 }{ 12 } { (m+1) }^{ 2 }{ (m+2) }^{ 2 }(2{ m }^{ 2 }+6{ m }+3)=R.H.S
अतः कथन n=m+1 के लिए सत्य है।फलत: गणितीय आगमन सिद्धान्त (Principle of Mathematical Induction) द्वारा यह कथन n के प्रत्येक धन पूर्णांक मानों (i.e.n\in N ) के लिए सत्य है।
Example-4.\frac { 1 }{ 1.2 } +\frac { 1 }{ 2.3 } +\frac { 1 }{ 3.4 } +......+\frac { 1 }{ n(n+1) } =\frac { n }{ n+1 }
Solution-माना कि P(n) दिया हुआ कथन है अर्थात्

p(n):\frac { 1 }{ 1.2 } +\frac { 1 }{ 2.3 } +\frac { 1 }{ 3.4 } +......+\frac { 1 }{ n(n+1) } =\frac { n }{ n+1 }
(1.) n=1 रखने पर-
L.H.S. \frac { 1 }{ 1.2 } =\frac { 1 }{ 2 }
R.H.S. \frac { n }{ n+1 } \\ =\frac { 1 }{ 1+1 } \\ =\frac { 1 }{ 2 }
L.H.S.=R.H.S.
अतः कथन n=1 के लिए सत्य है।
(2.)माना कि यह कथन n=m के लिए सत्य है फलत:

p(m):\frac { 1 }{ 1.2 } +\frac { 1 }{ 2.3 } +\frac { 1 }{ 3.4 } +......+\frac { 1 }{ m(m+1) } =\frac { m }{ m+1 }
(3.)अब हमें उक्त कथन n=m+1 के लिए सत्य सिद्ध करना है

p(m+1):\frac { 1 }{ 1.2 } +\frac { 1 }{ 2.3 } +\frac { 1 }{ 3.4 } +......+\frac { 1 }{ m(m+1) } +\frac { 1 }{ (m+1)(m+2) } =\frac { m+1 }{ m+2 }
L.H.S. \frac { 1 }{ 1.2 } +\frac { 1 }{ 2.3 } +\frac { 1 }{ 3.4 } +......+\frac { 1 }{ m(m+1) } +\frac { 1 }{ (m+1)(m+2) } \\ =\frac { m }{ m+1 } +\frac { 1 }{ (m+1)(m+2) } [(2) के प्रयोग से]

=\frac { 1 }{ (m+1) } [m+\frac { 1 }{ (m+2) } ]\\ =\frac { 1 }{ (m+1) } [\frac { { m }^{ 2 }+m+1 }{ (m+2) } ]\\ =\frac { 1 }{ (m+1) } \frac { { (m+1) }^{ 2 } }{ (m+2) } \\ =\frac { m+1 }{ m+2 } =R.H.S \\ \therefore \frac { 1 }{ 1.2 } +\frac { 1 }{ 2.3 } +\frac { 1 }{ 3.4 } +......+\frac { 1 }{ m(m+1) } +\frac { 1 }{ (m+1)(m+2) } =\frac { m+1 }{ m+2 }  
अतः कथन n=m के लिए सत्य है।फलत: गणितीय आगमन सिद्धान्त (Principle of Mathematical Induction) द्वारा यह कथन n के प्रत्येक धन पूर्णांक मानों (i.e.n\in N ) के लिए सत्य है।

Example-5.1+2+{ 2 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 3 }+.......+{ 2 }^{ n }={ 2 }^{ n+1 }-1
Solution– माना कि P(n) दिया हुआ कथन है अर्थात्

p(n):1+2+{ 2 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 3 }+.......+{ 2 }^{ n }={ 2 }^{ n+1 }-1...(1)
(1.) n=1 रखने पर-
L.H.S.=1+2=3
R.H.S. { 2 }^{ n+1 }-1\\ ={ 2 }^{ 1+1 }-1\\ ={ 2 }^{ 2 }-1\\ =4-1\\ =3
L.H.S.=R.H.S.
अतः कथन n=1 के लिए सत्य है।
(2.) माना कि यह कथन n=m के लिए सत्य है फलत:

p(m):1+2+{ 2 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 3 }+.......+{ 2 }^{ m }={ 2 }^{ m+1 }-1...(2)
(3.)अब हमें उक्त कथन n=m+1 के लिए सत्य सिद्ध करना है।

p(m+1):1+2+{ 2 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 3 }+.......+{ 2 }^{ m }+{ 2 }^{ m+1 }={ 2 }^{ m+2 }-1\\ 1+2+{ 2 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 3 }+.......+{ 2 }^{ m }+{ 2 }^{ m+1 }\\ ={ 2 }^{ m+1 }-1+{ 2 }^{ m+1 }\\ =2.{ 2 }^{ m+1 }-1\\ ={ 2 }^{ m+2 }-1=R.H.S.\\ 1++2+{ 2 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 3 }+.......+{ 2 }^{ m }+{ 2 }^{ m+1 }={ 2 }^{ m+2 }-1
अतः कथन n=m+1 के लिए सत्य है।गणितीय आगमन सिद्धान्त (Principle of Mathematical Induction) के द्वारा यह कथन n के प्रत्येक धन पूर्णांक मानों (i.e.n\in N ) के लिए सत्य है।
Example-6.\frac { 1 }{ 3.5 } +\frac { 1 }{ 5.7 } +.......+\frac { 1 }{ (2n+1)(2n+3) } =\frac { n }{ 3(2n+3) }
Solution– माना कि P(n) दिया हुआ कथन है अर्थात्

p(n):\frac { 1 }{ 3.5 } +\frac { 1 }{ 5.7 } +.......+\frac { 1 }{ (2n+1)(2n+3) } =\frac { n }{ 3(2n+3) }
(1.) n=1 रखने पर-

L.H.S. \frac { 1 }{ 3.5 } =\frac { 1 }{ 15 }

R.H.S. \frac { n }{ 3(2n+3) } \\ =\frac { 1 }{ 3(2\times 1+3) } \\ =\frac { 1 }{ 3(2+3) } \\ =\frac { 1 }{ 3(5) } \\ =\frac { 1 }{ 15 }
L.H.S.=R.H.S.
अतः कथन n=1 के लिए सत्य है।
(2.)माना कि यह कथन n=m के लिए सत्य है फलत:

p(m):\frac { 1 }{ 3.5 } +\frac { 1 }{ 5.7 } +.......+\frac { 1 }{ (2m+1)(2m+3) } =\frac { m }{ 3(2m+3) }
(3.) अब हमें उक्त कथन n=m+1 के लिए सत्य सिद्ध करना है

p(m+1):\frac { 1 }{ 3.5 } +\frac { 1 }{ 5.7 } +.......+\frac { 1 }{ (2m+1)(2m+3) } +\frac { 1 }{ (2m+3)(2m+5) } =\frac { m+1 }{ 3(2m+5) }
L.H.S.  \frac { 1 }{ 3.5 } +\frac { 1 }{ 5.7 } +.......+\frac { 1 }{ (2m+1)(2m+3) } +\frac { 1 }{ (2m+3)(2m+5) } \\ =\frac { m }{ 3(2m+3) } +\frac { 1 }{ (2m+3)(2m+5) } [(2) के प्रयोग से]

=\frac { 1 }{ (2m+3) } [\frac { m }{ 3 } +\frac { 1 }{ (2m+5) } ]\\ =\frac { 1 }{ (2m+3) } [\frac { 2{ m }^{ 2 }+5m+3 }{ 3(2m+5) } ]\\ =\frac { 1 }{ 3(2m+3)(2m+5) } [2{ m }^{ 2 }+5m+3]\\ =\frac { 1 }{ 3(2m+3)(2m+5) } [m(2{ m+3) }+1(2m+3)]\\ =\frac { (m+1)(2m+3) }{ 3(2m+3)(2m+5) } \\ =\frac { (m+1) }{ 3(2m+5) } \\ \frac { 1 }{ 3.5 } +\frac { 1 }{ 5.7 } +.......+\frac { 1 }{ (2m+1)(2m+3) } +\frac { 1 }{ (2m+3)(2m+5) } =\frac { m+1 }{ 3(2m+5) }
अतः कथन n=m+1 के लिए सत्य है।फलत: गणितीय आगमन सिद्धान्त (Principle of Mathematical Induction) द्वारा यह कथन n के प्रत्येक धन पूर्णांक मानों (i.e.n\in N ) के लिए सत्य है।
Example-7.(1+\frac { 3 }{ 1 } )(1+\frac { 5 }{ 4 } )(1+\frac { 7 }{ 9 } )....(1+\frac { 2n+1 }{ { n }^{ 2 } } )={ (n+1) }^{ 2 }
Solution– माना कि P(n) दिया हुआ कथन है अर्थात्

p(n):(1+\frac { 3 }{ 1 } )(1+\frac { 5 }{ 4 } )(1+\frac { 7 }{ 9 } )....(1+\frac { 2n+1 }{ { n }^{ 2 } } )={ (n+1) }^{ 2 } जहाँ  n\in N..(1)
(1.) n=1 रखने पर-

L.H.S.(1+\frac { 3 }{ 1 } )=4

R.H.S. { (n+1) }^{ 2 }\\ ={ (1+1) }^{ 2 }\\ =4
L.H.S.=R.H.S.
अतः कथन n=1 के लिए सत्य है।
(2.)माना कि यह कथन n=m के लिए सत्य है फलत:

p(m):(1+\frac { 3 }{ 1 } )(1+\frac { 5 }{ 4 } )(1+\frac { 7 }{ 9 } )....(1+\frac { 2m+1 }{ { m }^{ 2 } } )={ (m+1) }^{ 2 }...(2)
(3.) अब हमें उक्त कथन n=m+1 के लिए सत्य सिद्ध करना है

p(m+1):(1+\frac { 3 }{ 1 } )(1+\frac { 5 }{ 4 } )(1+\frac { 7 }{ 9 } )....(1+\frac { 2m+1 }{ { m }^{ 2 } } )(1+\frac { 2m+3 }{ ({ m+1) }^{ 2 } } )={ (m+2) }^{ 2 }
L.H.S. =(1+\frac { 3 }{ 1 } )(1+\frac { 5 }{ 4 } )(1+\frac { 7 }{ 9 } )....(1+\frac { 2m+1 }{ { m }^{ 2 } } )(1+\frac { 2m+3 }{ ({ m+1) }^{ 2 } } )\\ ={ (m+1) }^{ 2 }(1+\frac { 2m+3 }{ ({ m+1) }^{ 2 } } )[(2) के प्रयोग से]

={ (m+1) }^{ 2 }[\frac { ({ m+1) }^{ 2 }+2m+3 }{ ({ m+1) }^{ 2 } } ]\\ ={ m }^{ 2 }+2m+1+2m+3\\ ={ m }^{ 2 }+4m+4\\ ={ (m+2) }^{ 2 }=R.H.S\\ (1+\frac { 3 }{ 1 } )(1+\frac { 5 }{ 4 } )(1+\frac { 7 }{ 9 } )....(1+\frac { 2m+1 }{ { m }^{ 2 } } )(1+\frac { 2m+3 }{ ({ m+1) }^{ 2 } } )={ (m+2) }^{ 2 }
अतः कथन n=m+1 के लिए सत्य है।फलत: गणितीय आगमन सिद्धान्त (Principle of Mathematical Induction) द्वारा यह कथन n के प्रत्येक धन पूर्णांक मानों (i.e.n\in N ) के लिए सत्य है‌।
निम्न को गणितीय आगमन सिद्धान्त द्वारा सिद्ध कीजिए,इस प्रकार कि:
(Prove that the following by the principle of mathematical induction,such that:)
Example-8. \frac { { n }^{ 5 } }{ 5 } +\frac { { n }^{ 3 } }{ 3 } +\frac { 7n }{ 15 }  एक प्राकृतिक संख्या है (is a natural number),n\in N
Solution– माना कि P(n) दिया हुआ कथन है अर्थात्

p(n):\frac { { n }^{ 5 } }{ 5 } +\frac { { n }^{ 3 } }{ 3 } +\frac { 7n }{ 15 } एक प्राकृतिक संख्या है।
(1.) n=1 रखने पर-

p(1):\frac { { (1) }^{ 5 } }{ 5 } +\frac { { (1) }^{ 3 } }{ 3 } +\frac { 7(1) }{ 15 } \\ =\frac { 1 }{ 5 } +\frac { 1 }{ 3 } +\frac { 7 }{ 15 } \\ =\frac { 3+5+7 }{ 15 } \\ =\frac { 15 }{ 15 } \\ =1
जो कि प्राकृत संख्या है।
अतः P(1) सत्य है।
(2.)माना कि n=m के लिए उक्त कथन सत्य है तब
p(m):\frac { { m }^{ 5 } }{ 5 } +\frac { { m }^{ 3 } }{ 3 } +\frac { 7m }{ 15 } =k जहां k\in N
(3.) अब हमें उक्त कथन n=m+1 के लिए सत्य सिद्ध करना है।

p(m+1):\frac { ({ m+1) }^{ 5 } }{ 5 } +\frac { ({ m+1) }^{ 3 } }{ 3 } +\frac { 7(m+1) }{ 15 } ={ k }^{ \prime }जहां { k }^{ \prime }\in N

L.H.S.=\frac { { m }^{ 5 }+5{ m }^{ 4 }+10{ m }^{ 3 }+10{ m }^{ 2 }+5m+1 }{ 5 } +\frac { { m }^{ 3 }+3{ m }^{ 2 }+3m+1 }{ 3 } +\frac { 7m+7 }{ 15 } \\ =(\frac { { m }^{ 5 } }{ 5 } +\frac { { m }^{ 3 } }{ 3 } +\frac { 7m }{ 15 } )+(\frac { 5{ m }^{ 4 }+10{ m }^{ 3 }+10{ m }^{ 2 }+5m+1 }{ 5 } +\frac { 3{ m }^{ 2 }+3m+1 }{ 3 } +\frac { 7 }{ 15 } )\\ =k+({ m }^{ 4 }+2{ m }^{ 3 }+2{ m }^{ 2 }+m+\frac { 1 }{ 5 } +{ m }^{ 2 }+m+\frac { 1 }{ 3 } +\frac { 7 }{ 15 } ) [(1) के प्रयोग से]

=k+({ m }^{ 4 }+2{ m }^{ 3 }+3{ m }^{ 2 }+2m+\frac { 3+5+7 }{ 15 } )\\ =k+({ m }^{ 4 }+2{ m }^{ 3 }+3{ m }^{ 2 }+2m+1)\\ ={ k }^{ \prime }
जहां { k }^{ \prime }=k+({ m }^{ 4 }+2{ m }^{ 3 }+3{ m }^{ 2 }+2m+1)
k’ प्राकृत संख्या है।
अतः कथन n=m+1 के लिए सत्य है।फलत: गणितीय आगमन सिद्धान्त (Principle of Mathematical Induction) द्वारा यह कथन n\in N के प्रत्येक मान के लिए सत्य है।
Example-9. { 5 }^{ 2n+2 }-24n-25 ,576 से विभाज्य है (is divisible by 576 \forall n\in N)
Solution– माना कि P(n) दिया हुआ कथन है अर्थात्
p(n):{ 5 }^{ 2n+2 }-24n-25 ,576 से विभाज्य है।
(1.) n=1 रखने पर-

p(1):{ 5 }^{ 2(1)+2 }-24\times 1-25\\ ={ 5 }^{ 4 }-24-25\\ =625-49\\ =576
जो कि 576 से विभाज्य है।
अतः कथन n=1 के लिए सत्य है।
(2.)माना कि यह कथन n=m के लिए सत्य है फलत:

p(m):{ 5 }^{ 2m+2 }-24m-25=576k जहां k\in N....(1)
(3.)अब हमें उक्त कथन n=m+1 के लिए सत्य सिद्ध करना है।

p(m+1):{ 5 }^{ 2m+4 }-24(m+2)-25=576{ k }^{ \prime }\\ p(m+1):{ 5 }^{ 2m+4 }-24m-49=576{ k }^{ \prime } जहां { k }^{ \prime }\in N

L.H.S. { 5 }^{ 2m+4 }-24m-49\\ =25({ 5 }^{ 2m+2 })-25\times 24m-25\times 25+25\times 24m+25\times 25-49\\ =25({ 5 }^{ 2m+2 }-24m-25)+25\times 24m-24m+625-49\\ =25(576k)+24\times 24m+576 [(2) के प्रयोग से]

=25(576k)+576m+576\\ =576(25k+m+1)\\ =576{ k }^{ \prime }
जहां k’=25k+m+1 प्राकृत संख्या है।
576 k’,576 से विभाज्य है।

अतः कथन n=m+1 के लिए सत्य है।फलत: गणितीय आगमन सिद्धान्त (Principle of Mathematical Induction) द्वारा यह कथन k\in N के प्रत्येक धन मान  के लिए सत्य है।
Example-10.{ 7 }^{ 2n }-48n-1,2304 से विभाज्य है,प्रत्येक धन पूर्णांक n>1 (is divisible by 2304 for all positive integer n greater than unity.)

Solution:-माना कि P(n) दिया हुआ कथन है अर्थात्

p(n):{ 7 }^{ 2n }-48n-1,2304 से विभाज्य है।

(1)n=2 रखने पर-

p(2):{ 7 }^{ 2\times 2 }-48\times 2-1\\ =49\times 49-96-1\\ =2401-96-1\\ =2304

जो कि 2304 से विभाज्य है।
अतः कथन n=2 के लिए सत्य है।

(2)माना कि यह कथन n=m के लिए सत्य है फलत:

p(m):{ 7 }^{ 2m }-48m-1=2304k जहां k\in N....(1)
(3)अब हमें उक्त कथन n=m+1 के लिए सत्य सिद्ध करना है।

p(m+1):{ 7 }^{ 2m+2 }-48(m+1)-1=2304{ k }^{ \prime }\\ p(m+1):{ 7 }^{ 2m+2 }-48m-49=2304{ k }^{ \prime }\\ L.H.S={ 7 }^{ 2m+2 }-48m-49\\ =49({ 7 }^{ 2m })-48m\times 49-49+48m\times 49-48m\\ =49({ 7 }^{ 2m }-48m-1)+48m(49-1)\\ =49\times 2304k+48m\times 48[(2) के प्रयोग से]

=49\times 2304k+48m\times 48\\ =49\times 2304k+2304m\\ =2304(49k+m)\\ =2304{ k }^{ \prime } जहां { k }^{ \prime }\in N
2304 k’,2304 से विभाज्य है।
अतः कथन n=m+1 के लिए सत्य है।फलत: गणितीय आगमन सिद्धान्त (Principle of Mathematical Induction) द्वारा यह कथन n>1 के प्रत्येक धन पूर्णांक के लिए सत्य है।
Example-11.असमिका (Inequality) { (1+x) }^{ n }\ge 1+nx जब भी x धनात्मक तथा n धन पूर्णांक (wherever x is positive and n is a positive integer.)
Solution-सिद्ध करना है { (1+x) }^{ n }\ge 1+nx जहां n>0
माना कि P(n) दिया हुआ कथन है अर्थात्

P(n):{ (1+x) }^{ n }\ge 1+nx 
(1.) n=1 रखने पर-

{ (1+x) }\ge 1+x….(1)

अतः कथन n=1 के लिए सत्य है।
(2.)माना कि यह कथन n=m के लिए सत्य है।

P(m):{ (1+x) }^{ m }\ge 1+mx…..(2)
(3.)अब हमें उक्त कथन n=m+1 के लिए सत्य सिद्ध करना है।

P(m+1):{ (1+x) }^{ m+1 }\ge 1+(m+1)x\\ L.H.S.\quad { (1+x) }^{ m+1 }\\ ={ (1+x) }^{ m }(1+x)\ge (1+mx)(1+x)\\ \ge 1+x+mx+{ x }^{ 2 }\\ \ge 1+(m+1)x+m{ x }^{ 2 }\\ { (1+x) }^{ m+1 }\ge 1+(m+1)x
अतः कथन n=m+1 के लिए सत्य है।फलत: गणितीय आगमन सिद्धान्त (Principle of Mathematical Induction) द्वारा यह कथन प्रत्येक n धन पूर्णांक के लिए सत्य है।
Example-12.\sin { \theta } +\sin { 2\theta } +\sin { 3\theta } +......+\sin { n\theta } =\frac { \sin { (\frac { n+1 }{ 2 } )\theta } \sin { \frac { n\theta }{ 2 } } }{ \sin { \frac { \theta }{ 2 } } }
Solution– माना कि P(n) दिया हुआ कथन है अर्थात्

P(n):\sin { \theta } +\sin { 2\theta } +\sin { 3\theta } +......+\sin { n\theta } =\frac { \sin { (\frac { n+1 }{ 2 } )\theta } \sin { \frac { n\theta }{ 2 } } }{ \sin { \frac { \theta }{ 2 } } } ...(1)
(1.) n=1 रखने पर-

L.H.S=\sin { \theta }

R.H.S=\frac { \sin { (\frac { 1+1 }{ 2 } )\theta } \sin { \frac { 1\theta }{ 2 } } }{ \sin { \frac { \theta }{ 2 } } } \\ =\frac { \sin { \theta } \sin { \frac { \theta }{ 2 } } }{ \sin { \frac { \theta }{ 2 } } } \\ =\sin { \theta }
L.H.S.=R.H.S.
अतः कथन n=1 के लिए सत्य है।
(2.)माना कि यह कथन n=m के लिए सत्य है।

P(m):\sin { \theta } +\sin { 2\theta } +\sin { 3\theta } +......+\sin { m\theta } =\frac { \sin { (\frac { m+1 }{ 2 } )\theta } \sin { \frac { m\theta }{ 2 } } }{ \sin { \frac { \theta }{ 2 } } } …..(2)
(3.)अब हमें उक्त कथन n=m+1 के लिए सत्य सिद्ध करना है।

P(m+1):\sin { \theta } +\sin { 2\theta } +\sin { 3\theta } +......+\sin { (m+1)\theta } =\frac { \sin { (\frac { m+1 }{ 2 } )\theta } \sin { \frac { (m+2)\theta }{ 2 } } }{ \sin { \frac { \theta }{ 2 } } }
L.H.S. \sin { \theta } +\sin { 2\theta } +\sin { 3\theta } +......+\sin { m\theta } +\sin { (m+1)\theta } \\ =\frac { \sin { (\frac { m+1 }{ 2 } )\theta } \sin { \frac { m\theta }{ 2 } } }{ \sin { \frac { \theta }{ 2 } } } +2\sin { (\frac { m+1 }{ 2 } )\theta } \cos { (\frac { m+1 }{ 2 } )\theta }  [(2) के प्रयोग से]

=\sin { (\frac { m+1 }{ 2 } )\theta } [\frac { \sin { \frac { m\theta }{ 2 } } }{ \sin { \frac { \theta }{ 2 } } } +2\cos { (\frac { m+1 }{ 2 } )\theta } ]\\ =\sin { (\frac { m+1 }{ 2 } )\theta } [\frac { \sin { \frac { m\theta }{ 2 } } +2\sin { \frac { \theta }{ 2 } } \cos { (\frac { m+1 }{ 2 } )\theta } }{ \sin { \frac { \theta }{ 2 } } } ]\\ =\sin { (\frac { m+1 }{ 2 } )\theta } [\frac { \sin { \frac { m\theta }{ 2 } } +\sin { (\frac { m+2 }{ 2 } )\theta } -\sin { \frac { m\theta }{ 2 } } }{ \sin { \frac { \theta }{ 2 } } } ]\\ =\frac { \sin { (\frac { m+1 }{ 2 } )\theta } \sin { (\frac { m+2 }{ 2 } )\theta } }{ \sin { \frac { \theta }{ 2 } } } =R.H.S\\ \sin { \theta } +\sin { 2\theta } +\sin { 3\theta } +......+\sin { (m+1)\theta } =\frac { \sin { (\frac { m+1 }{ 2 } )\theta } \sin { \frac { (m+2)\theta }{ 2 } } }{ \sin { \frac { \theta }{ 2 } } }
अतः कथन n=m+1 के लिए सत्य है।फलत: गणितीय आगमन सिद्धान्त (Principle of Mathematical Induction) द्वारा यह कथन प्रत्येक n धन पूर्णांक के लिए सत्य है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा गणितीय आगमन (Mathematical Induction), गणितीय आगमन सिद्धान्त (Principle of Mathematical Induction) को समझ सकते हैं।

4.गणितीय आगमन की समस्याएं (Mathematical Induction Problems)-

  • निम्नलिखित को गणितीय आगमन सिद्धान्त द्वारा n के सभी धन पूर्णांकीय मानों के लिए सिद्ध कीजिए:
    (Prove the following by mathematical induction for all positive integral values of n:)

(1)1+2+3+......+n=\frac { 1 }{ 2 } n(n+1)\\ (2)2+4+6+......2n=n(n+1)\\ (3)1+3+5+.....+(2n-1)={ n }^{ 2 }\\ (4)1+4+7+........+(3n-2)=\frac { 1 }{ 2 } n(3n-1)\\ (5)1-{ 2 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 }-{ 4 }^{ 2 }+.......+{ (-1) }^{ n-1 }{ n }^{ 2 }={ (-1) }^{ n-1 }\frac { n(n+1) }{ 2 } \\ (6){ 1 }^{ 3 }+{ 2 }^{ 3 }+.......+{ n }^{ 3 }={ \{ \frac { n(n+1) }{ 2 } \} }^{ 2 }\\ (7)1+\frac { 1 }{ 1+2 } +\frac { 1 }{ 1+2+3 } +.......+\frac { 1 }{ 1+2+3....+n } =\frac { 2n }{ n+1 } \\ (8)1+5+{ 5 }^{ 2 }+.......+{ 5 }^{ n-1 }=\frac { { 5 }^{ n-1 } }{ 4 }

  • निम्न को गणितीय आगमन सिद्धान्त द्वारा सिद्ध कीजिए,इस प्रकार कि
    (Prove that following by the principle of mathematical induction,such that)
    (9.){ 3 }^{ 2n+2 }-8n-9,64 से विभाज्य है यदि n धन पूर्णांक है (is divisible by 64 ,if n is a positive integer.)
    (10.){ n }^{ 4 }-4{ n }^{ 2 },3 से विभाज्य है प्रत्येक धन पूर्णांक n के लिए (is divisible by 3 n\in N).
  • (11){ (11) }^{ n+2 }+{ (12) }^{ 2n+1 },133 से विभाज्य है प्रत्येक धन पूर्णांक n के लिए (is divisible by 133 n\in I).
    (12.)5+55+555+.......+555.....5(nअंक)=\frac { 5 }{ 81 } ({ 10 }^{ n+1 }-9n-16)
  • उपर्युक्त सवालों को हल करने पर गणितीय आगमन (Mathematical Induction),गणितीय आगमन सिद्धान्त (Principle of Mathematical Induction) को ठीक से समझ सकते हैं।

5.गणितीय आगमन का सिद्धांत क्या हैं? (What are the principles of mathematical induction?)-

  • गणितीय आगमन का सिद्धांत
    n = 1 के लिए कथन सत्य है, अर्थात, X (1) सत्य है, और।
    यदि कथन n = k के लिए सत्य है, जहाँ k एक धनात्मक पूर्णांक है, तो कथन n = k + 1 के सभी मामलों के लिए भी सत्य है, अर्थात, X (k) के सत्य X(k + 1) की ओर जाता है।

6.गणितीय आगमन का पहला सिद्धांत क्या है? (What is the first principle of mathematical induction?),गणितीय आगमन का पहला सिद्धांत (First principle of mathematical induction)-

  • पहले हम इंडक्शन सिद्धांत को बताते हैं।गणितीय इंडक्शन का सिद्धांत: यदि P पूर्णांक का एक सेट है जैसे कि (i) a में P, (ii) सभी k ≥ a के लिए है, यदि पूर्णांक k, P में है, तो पूर्णांक k + 1 भी P में है।फिर P = {x ∈ Z | x ≥ a} अर्थात P, सभी पूर्णांकों का समुच्चय है जो a से अधिक या बराबर होता है।

7.गणितीय आगमन का दूसरा सिद्धांत क्या है? (What is the second principle of mathematical induction?)-

  • गणितीय आगमन का दूसरा सिद्धांत
    P(n) लें
    n एक अभाज्य संख्या है या n अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है।
  • मान लीजिए कि हम यह साबित करने के लिए इंडक्शन का उपयोग करना चाहते हैं कि P(n), 1 से अधिक सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सही है। हमने देखा है कि इंडक्शन द्वारा एक प्रूफ में इंडक्टिव स्टेप का विचार यह साबित करना है कि यदि एक अनंत सूची में एक स्टेटमेंट कथनों का सत्य है, तो अगला कथन भी सत्य होना चाहिए।
  • यहां समस्या यह है कि जब हम एक संयुक्त संख्या के गुणनखंड बनाते हैं, तो हम पिछले मामले में नहीं आते हैं। उदाहरण के लिए, यदि मान लें कि P.39 / सत्य है और हम यह साबित करना चाहते हैं कि P (40) सत्य है, तो हम 40 को 40 = 2 (20) कह सकते हैं।हालांकि, यह धारणा कि P (39) सत्य है, हमें यह साबित करने में मदद नहीं करता है कि P(40) सत्य है।
  • इस कार्य का उद्देश्य प्रेरण के एक और सिद्धांत की आवश्यकता को दर्शाना है।प्रेरण द्वारा एक प्रमाण के आगमनात्मक चरण में, हम मानते हैं कि एक कथन सत्य है और सिद्ध होता है कि अगला सत्य है।इस नए सिद्धांत का विचार यह मानना ​​है कि पिछले सभी कथन सत्य हैं और अगले कथन को सही साबित करने के लिए इस धारणा का उपयोग करें।
  • यह गणितीय संकेत के दूसरे सिद्धांत में प्राकृतिक संख्याओं के सबसेट के रूप में औपचारिक रूप से कहा गया है।इस सिद्धांत को दो संस्करणों में बताने के बजाय, हम दूसरे सिद्धांत के विस्तारित संस्करण को बताएंगे।कई मामलों में, हम M = 1 या M = 0 का उपयोग करेंगे।

8.गणितीय आगमन के सिद्धांत को बताएं (State the principle of mathematical induction)-

  • पूर्णांकों के एक वर्ग (class) को वंशानुगत कहा जाता है, यदि कोई पूर्णांक x वर्ग का है, तो x का उत्तराधिकारी (यानी पूर्णांक x + 1) भी वर्ग का है। गणितीय आगमन का सिद्धांत तब है: यदि पूर्णांक 0 वर्ग F से संबंधित है और F वंशानुगत है, तो हर गैर-पूर्णांक पूर्णांक F से संबंधित है।

9.गणितीय आगमन में कितने चरण होते हैं? (How many steps are there in mathematical induction?)-

  • गणितीय आगमन चीजों को साबित करने का एक विशेष तरीका है।इसके केवल 2 चरण हैं:
    चरण 1 आमतौर पर आसान है, हमें सिर्फ यह साबित करना है कि यह n = 1 के लिए सही है
    चरण 2 इस तरह से किया जाता है:
    मान लें कि यह n = k के लिए सही है
    सिद्ध करें कि यह n = k + 1 के लिए सही है (हम n = k मामले को एक तथ्य के रूप में उपयोग कर सकते हैं।)
  • उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा गणितीय आगमन (Mathematical Induction), गणितीय आगमन सिद्धान्त (Principle of Mathematical Induction) को ओर ठीक से समझ सकते हैं।

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