1.द्विपद विस्तार में गुणांक (Coefficient in binomial expansion)-

Coefficient in binomial expansion

द्विपद विस्तार में गुणांक (Coefficient in binomial expansion) से तात्पर्य है किसी विशिष्ट घात का गुणांक ज्ञात करना।द्विपद प्रसार में विशिष्ट घात का गुणांक ज्ञात करने के लिए व्यापक पद के सूत्र का प्रयोग किया जाता है।
व्यापक पद के सूत्र द्वारा विशिष्ट घात के पद को ज्ञात करके उसका गुणांक ज्ञात किया जा सकता है।
किसी द्विपद प्रसार में किसी विशिष्ट घात के गुणांक को एक द्विपद गुणांक के रूप में जाना जाता है।द्विपद गुणांक भी कॉम्बिनेटरिक्स में उत्पन्न होता है, जहां यह b तत्वों के विभिन्न संयोजनों की संख्या देता है जिन्हें n तत्वों के एक सेट से चुना जा सकता है।
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2.द्विपद प्रसार में विशिष्ट घात का गुणांक (Coefficient of special power in binomial expansion)-

Coefficient in binomial expansion

माना कि{ \left( a{ x }^{ p }\pm \frac { b }{ { x }^{ q } } \right) }^{ n } के प्रसार में यदि वें पद में { x }^{ m } आता है,तब

{ T }_{ r+1 }={ n }_{ { C }_{ r } }{ \left( a{ x }^{ p } \right) }^{ n-r }{ \left( \pm \frac { b }{ { x }^{ q } } \right) }^{ r }\\ ={ n }_{ { C }_{ r } }{ a }^{ n-r }{ \left( \pm b \right) }^{ r }{ x }^{ np-r(p+q) }
np-r(p+q)=m से r का मान ज्ञात करके विशिष्ट पद ज्ञात करते हैं।r सदैव धन पूर्णांक होता है।
इस प्रकार { x }^{ m } का गुणांक { n }_{ { C }_{ r } }{ a }^{ n-r }{ \left( \pm b \right) }^{ r } होगा।
यदि विस्तार में x रहित पद ज्ञात करना हो,तब

np-r(p+q)=0\\ \Rightarrow r=\frac { np }{ p+q }

3.द्विपद विस्तार में गुणांक के उदाहरण (Coefficient in binomial expansion examples)-

गुणांक ज्ञात कीजिए-
Example-1.{ \left( ax-\frac { 1 }{ b{ x }^{ 2 } } \right) }^{ 8 } के प्रसार में { x }^{ -7 } का
Solution–{ \left( ax-\frac { 1 }{ b{ x }^{ 2 } } \right) }^{ 8 }
माना कि{ x }^{ -7 };{ T }_{ r+1 },पद में आता है।तब

{ T }_{ r+1 }={ n }_{ { C }_{ r } }{ x }^{ n-r }{ a }^{ r }\\ n=8,x\Rightarrow ax,a=-\frac { 1 }{ b{ x }^{ 2 } } \\ { T }_{ r+1 }={ 8 }_{ { C }_{ r } }{ \left( ax \right) }^{ 8-r }{ \left( -\frac { 1 }{ b{ x }^{ 2 } } \right) }^{ r }\\ { T }_{ r+1 }={ \left( -1 \right) }^{ r }{ 8 }_{ { C }_{ r } }{ a }^{ 8-r }{ x }^{ 8-r }\frac { 1 }{ { b }^{ r }{ x }^{ 2r } } \\ \Rightarrow { T }_{ r+1 }={ \left( -1 \right) }^{ r }{ 8 }_{ { C }_{ r } }{ a }^{ 8-r }{ x }^{ 8-r-2r }{ b }^{ -r }\\ \Rightarrow { T }_{ r+1 }={ \left( -1 \right) }^{ r }{ 8 }_{ { C }_{ r } }{ a }^{ 8-r }{ x }^{ 8-3r }{ b }^{ -r }....(1)
इसमें x की घात -7 होनी चाहिए।
8-3r=-7\\ \Rightarrow 3r=8+7\\ \Rightarrow 3r=15\\ \Rightarrow r=5
समीकरण (1) में r=5 रखने पर-

{ T }_{ 5+1 }={ \left( -1 \right) }^{ 5 }{ 8 }_{ { C }_{ 5 } }{ a }^{ 8-5 }{ x }^{ 8-3(5) }{ b }^{ -5 }\\ { T }_{ 6 }={ \left( -1 \right) }^{ 5 }{ 8 }_{ { C }_{ 5 } }{ a }^{ 3 }{ x }^{ -7 }{ b }^{ -5 }\\ { T }_{ 6 }=-\frac { 8\times 7\times 6\times 5! }{ 3\times 2\times 1\times 5! } { a }^{ 3 }{ x }^{ -7 }{ b }^{ -5 }\\ { T }_{ 6 }=-56{ a }^{ 3 }{ x }^{ -7 }{ b }^{ -5 }
अतः { x }^{ -7 } का गुणांक=-56{ a }^{ 3 }{ b }^{ -5 }\\ =\frac { -56{ a }^{ 3 } }{ { b }^{ 5 } }
Example-2.{ \left( { x }^{ 4 }+\frac { 1 }{ { x }^{ 3 } } \right) }^{ 15 }के प्रसार में { x }^{ 4 }का
Solution–{ \left( { x }^{ 4 }+\frac { 1 }{ { x }^{ 3 } } \right) }^{ 15 }
माना कि{ x }^{ 4 } ,{ T }_{ r+1 } पद में आता है।तब
{ T }_{ r+1 }={ n }_{ { C }_{ r } }{ x }^{ n-r }{ a }^{ r }\\ n=15\\ { T }_{ r+1 }={ 15 }_{ { C }_{ r } }{ \left( { x }^{ 4 } \right) }^{ 15-r }{ \left( \frac { 1 }{ { x }^{ 3 } } \right) }^{ r }\\ \Rightarrow { T }_{ r+1 }={ 15 }_{ { C }_{ r } }{ x }^{ 60-4r }\frac { 1 }{ { x }^{ 3r } } \\ \Rightarrow { T }_{ r+1 }={ 15 }_{ { C }_{ r } }{ x }^{ 60-4r-3r }\\ \Rightarrow { T }_{ r+1 }={ 15 }_{ { C }_{ r } }{ x }^{ 60-7r }..........(1)
इसमें x की घात 4 होनी चाहिए।

60-7r=4\\ \Rightarrow -7r=4-60\\ \Rightarrow -7r=-56\\ \Rightarrow r=8

समीकरण (1) में r=8 रखने पर-

{ T }_{ 9 }={ 15 }_{ { C }_{ 8 } }{ x }^{ 60-56 }\\ \Rightarrow { T }_{ 9 }=\frac { 15! }{ 7!8! } { x }^{ 4 }\\ \Rightarrow { T }_{ 9 }=\frac { 15\times 14\times 10\times 9\times 8\times 7! }{ 7!8! } { x }^{ 4 }\\ \Rightarrow { T }_{ 9 }=5\times 13\times 11\times 9{ x }^{ 4 }\\ \Rightarrow { T }_{ 9 }=6435{ x }^{ 4 }
{ x }^{ 4 } का गुणांक=6435
Example-3.{ \left( a-b{ x }^{ 2 } \right) }^{ 10 } के प्रसार में { x }^{ 6 } का
Solution–{ \left( a-b{ x }^{ 2 } \right) }^{ 10 }
माना कि{ x }^{ 6 },{ T }_{ r+1 } पद में आता है।तब

{ T }_{ r+1 }={ n }_{ { C }_{ r } }{ x }^{ n-r }{ a }^{ r }\\ n=10,x=a,a=-b{ x }^{ 2 }\\ { T }_{ r+1 }={ 10 }_{ { C }_{ r } }{ \left( a \right) }^{ 10-r }{ \left( -b{ x }^{ 2 } \right) }^{ r }\\ { T }_{ r+1 }={ 10 }_{ { C }_{ r } }{ \left( a \right) }^{ 10-r }\left( -{ b }^{ r }{ x }^{ 2r } \right) \\ { T }_{ r+1 }=-{ 10 }_{ { C }_{ r } }{ a }^{ 10-r }{ b }^{ r }{ x }^{ 2r }......(1)
इसमें x की घात 6 होनी चाहिए। अतः
2r=6\\ \Rightarrow r=\frac { 6 }{ 2 } =3
समीकरण (1) में r=3 रखने पर-

{ T }_{ 4 }=-{ 10 }_{ { C }_{ 3 } }{ a }^{ 10-3 }{ b }^{ 3 }{ x }^{ 6 }\\ \Rightarrow { T }_{ 4 }=-\frac { 10! }{ 7!\times 3! } { a }^{ 7 }{ b }^{ 3 }{ x }^{ 6 }\\ \Rightarrow { T }_{ 4 }=-\frac { 10\times 9\times 8\times 7! }{ 7!\times 3\times 2\times 1 } { a }^{ 7 }{ b }^{ 3 }{ x }^{ 6 }\\ \Rightarrow { T }_{ 4 }=-10\times 3\times 4{ a }^{ 7 }{ b }^{ 3 }{ x }^{ 6 }\\ \Rightarrow { T }_{ 4 }=-120{ a }^{ 7 }{ b }^{ 3 }{ x }^{ 6 }
{ x }^{ 6 } गुणांक=-120{ a }^{ 7 }{ b }^{ 3 }

Coefficient in binomial expansion

Example-4.यदि { \left( ax+\frac { 1 }{ bx } \right) }^{ 11 }के प्रसार में { x }^{ 7 } का गुणांक तथा { x }^{ -7 } का गुणांक बराबर है तब सिद्ध कीजिए: { a }^{ 7 }{ b }^{ 7 }-1=0
Solution–{ \left( ax+\frac { 1 }{ bx } \right) }^{ 11 }
माना कि { x }^{ 7 },{ T }_{ r+1 } पद में आता है।तब
{ T }_{ r+1 }={ n }_{ { C }_{ r } }{ x }^{ n-r }{ a }^{ r }\\ n=11\\ { T }_{ r+1 }={ 11 }_{ { C }_{ r } }{ (ax) }^{ 11-r }{ \left( \frac { 1 }{ bx } \right) }^{ r }\\ \Rightarrow { T }_{ r+1 }={ 11 }_{ { C }_{ r } }{ a }^{ 11-r }{ x }^{ 11-r }{ \left( \frac { 1 }{ bx } \right) }^{ r }\\ \Rightarrow { T }_{ r+1 }={ 11 }_{ { C }_{ r } }{ a }^{ 11-r }{ x }^{ 11-r }\frac { 1 }{ { b }^{ r }{ x }^{ r } } \\ \Rightarrow { T }_{ r+1 }={ 11 }_{ { C }_{ r } }{ a }^{ 11-r }{ x }^{ 11-r }{ b }^{ -r }{ x }^{ -r }\\ \Rightarrow { T }_{ r+1 }={ 11 }_{ { C }_{ r } }{ a }^{ 11-r }{ x }^{ 11-2r }{ b }^{ -r }.......(1)
इसमें x की घात 7 होनी चाहिए।
11-2r=7\\ \Rightarrow -2r=7-11\\ \Rightarrow -2r=-4\\ \Rightarrow r=2
समीकरण (1) में r=2 रखने पर-

{ T }_{ 3 }={ 11 }_{ { C }_{ 2 } }{ a }^{ 11-2 }{ x }^{ 11-4 }{ b }^{ -2 }\\ \Rightarrow { T }_{ 3 }={ 11 }_{ { C }_{ 2 } }{ a }^{ 9 }{ x }^{ 7 }{ b }^{ -2 }

{ x }^{ 7 } का गुणांक =_{ \quad }^{ 11 }{ { c }_{ 2 } }{ a }^{ 9 }{ b }^{ -2 }\\ =\frac { 11! }{ 9!\times 2! } { a }^{ 9 }{ b }^{ -2 }\\ =\frac { 11\times 10\times 9! }{ 9!\times 2! } { a }^{ 9 }{ b }^{ -2 }\\ =55{ a }^{ 9 }{ b }^{ -2 }
इसी प्रकार माना कि { x }^{ -7 },{ T }_{ r+1 } पद में आता है।तब
{ T }_{ r+1 }=_{ \quad }^{ n }{ { c }_{ r } }{ x }^{ n-r }{ a }^{ r }\\ n=11\\ { T }_{ r+1 }=^{ 11 }{ { c }_{ r } }{ a }^{ 11-r }{ b }^{ -r }{ x }^{ 11-2r }.....(2)
इसमें x की घात -7 होनी चाहिए।
11-2r=-7\\ \Rightarrow -2r=-7-11\\ \Rightarrow -2r=-18\\ \Rightarrow r=\frac { 18 }{ 2 } \\ \Rightarrow r=9
समीकरण (2) में r का मान रखने पर-

{ T }_{ 10 }={ 11 }_{ { C }_{ 9 } }{ x }^{ 11-18 }{ a }^{ 11-9 }{ b }^{ -9 }\\ \Rightarrow { T }_{ 10 }=\frac { 11! }{ 9!2! } { x }^{ -7 }{ a }^{ 2 }{ b }^{ -9 }\\ \Rightarrow { T }_{ 10 }=\frac { 11\times 10\times 9! }{ 9!2! } { a }^{ 2 }{ b }^{ -9 }{ x }^{ -7 }\\ \Rightarrow { T }_{ 10 }=55{ a }^{ 2 }{ b }^{ -9 }{ x }^{ -7 }
{ x }^{ -7 } का गुणांक=55{ a }^{ 2 }{ b }^{ -9 }
{ x }^{ 7 } तथा { x }^{ -7 } का गुणांक बराबर है अतः

55{ a }^{ 9 }{ b }^{ -2 }=55{ a }^{ 2 }{ b }^{ -9 }\\ \Rightarrow { a }^{ 9 }{ b }^{ -2 }={ a }^{ 2 }{ b }^{ -9 }\\ \Rightarrow \frac { { a }^{ 9 } }{ { b }^{ -9 } } =\frac { { a }^{ 2 } }{ { b }^{ -2 } } \\ \Rightarrow { a }^{ 9 }{ b }^{ 9 }={ a }^{ 2 }{ b }^{ 2 }\\ \Rightarrow { a }^{ 9 }{ b }^{ 9 }-{ a }^{ 2 }{ b }^{ 2 }=0\\ \Rightarrow { a }^{ 2 }{ b }^{ 2 }({ a }^{ 7 }{ b }^{ 7 }-1)=0\\ \Rightarrow { a }^{ 7 }{ b }^{ 7 }-1=0
Example-5.m का धनात्मक मान ज्ञात कीजिए,{ \left( 1+x \right) }^{ m } के प्रसार में { x }^{ 2 } का गुणांक 6 हो।
Solution–{ \left( 1+x \right) }^{ m }
माना कि { x }^{ 2 },{ T }_{ r+1 } पद में आता है।तब
{ T }_{ r+1 }={ n }_{ { C }_{ r } }{ x }^{ n-r }{ a }^{ r }\\ n=m\\ { T }_{ r+1 }={ m }_{ { C }_{ r } }{ x }^{ m-r }{ (1) }^{ r }
इसमें x की घात 2 होनी चाहिए।
अतः m-r=2\Rightarrow r=m-2
समीकरण (1) में r=m-2 रखने पर-

{ T }_{ m-1 }={ m }_{ { C }_{ m-2 } }{ x }^{ 2 }
{ x }^{ 2 } का गुणांक={ m }_{ { C }_{ m-2 } }
का गुणांक 6 है तो-

{ m }_{ { C }_{ m-2 } }=6\\ \Rightarrow \frac { m! }{ (m-2)!2! } =6\\ \Rightarrow \frac { m(m-1)(m-2)! }{ (m-2)!2 } =6\\ \Rightarrow m(m-1)=12\\ \Rightarrow { m }^{ 2 }-m=12\\ \Rightarrow { m }^{ 2 }-m-12=0\\ \Rightarrow { m }^{ 2 }-4m+3m-12=0\\ \Rightarrow m(m-4)+3(m-4)=0\\ \Rightarrow (m-4)(m+3)=0\\ \Rightarrow m=4,-3\\ \Rightarrow m=4
उपर्युक्त उदाहरणों से द्विपद विस्तार में गुणांक (Coefficient in binomial expansion) को समझ सकते हैं।

4.द्विपद विस्तार में गुणांक की समस्याएं (Coefficient in binomial expansion problems)-

(1.){ \left( { x }^{ 4 }-\frac { 1 }{ { x }^{ 3 } } \right) }^{ 15 } के विस्तार में { x }^{ -17 } का गुणांक ज्ञात कीजिए।
(2.){ \left( 1+2x \right) }^{ 6 }{ \left( 1-x \right) }^{ 7 } के प्रसार में { x }^{ 5 } का गुणांक ज्ञात कीजिए।
(3.)x<3  हो,तो { \left( 3-x \right) }^{ -8 } के प्रसार में { x }^{ 5 } का गुणांक ज्ञात कीजिए।
(4.){ \left( a+2b{ x }^{ 2 } \right) }^{ -3 } के प्रसार में { x }^{ 6 } का गुणांक ज्ञात कीजिए।
(5.)\frac { \left( 1+3{ x }^{ 2 } \right) }{ { \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) }^{ 3 } } के प्रसार में { x }^{ 10 } का गुणांक ज्ञात कीजिए।
उत्तर-(1) -1365\qquad (2)171\qquad (3)\frac { 88 }{ { 3 }^{ 11 } } \qquad (4)-80{ a }^{ -6 }{ b }^{ 3 }\qquad (5)66
उपर्युक्त समस्याओं को हल करने पर द्विपद विस्तार में गुणांक (Coefficient in binomial expansion) को ठीक से समझा जा सकता है।

5.द्विपद विस्तार में गुणांक के योग (Sum of coefficients in binomial expansion)-

Coefficient in binomial expansion

विस्तार में x = 1 रखने पर { (1+x) }^{ n }=^{ n }{ { c }_{ 0 } }+^{ n }{ { c }_{ 1 }x }+^{ n }{ { c }_{ 2 }{ x }^{ 2 } }+......+^{ n }{ { c }_{ n }{ x }^{ n } }, हम प्राप्त करते हैं,
{ 2 }^{ n }=^{ n }{ { c }_{ 0 } }+^{ n }{ { c }_{ 1 } }+^{ n }{ { c }_{ 2 } }+......+^{ n }{ { c }_{ n } }
हमने x = 1 रखा, और वांछित परिणाम प्राप्त किया यानी \overset { n }{ \underset { r=0 }{ \sum { \quad } } } { c }_{ r }={ 2 }^{ n }
नोट: यह एक बहुत सरल चित्रण है कि कैसे हम x का कुछ मूल्य रखते हैं और समस्या का समाधान प्राप्त करते हैं।यह बहुत महत्वपूर्ण है कि आप द्विपद विस्तार के इस गुणधर्म का कितना विवेकपूर्ण उपयोग करते हैं।

6.कैसे द्विपद विस्तार में गुणांक खोजते हैं? (How to find coefficient in binomial expansion?)-

जब एक द्विपद पूरी संख्या घातों के लिए उठाया जाता है, तो विस्तार में पदों के गुणांक एक पैटर्न बनाते हैं।ये अभिव्यक्तियाँ कई प्रतिमानों को प्रदर्शित करती हैं: प्रत्येक विस्तार में द्विपद पर एक से अधिक पद हैं।विस्तार में प्रत्येक पद में विस्तार का योग द्विपद पर घात के समान है।

7.द्विपद प्रमेय सूत्र (Binomial theorem formula)-

द्विपद प्रमेय कथन है कि, जहाँ n एक धनात्मक पूर्णांक है: { (a+b) }^{ n }={ a }_{ n }+^{ n }{ { c }_{ 1 }{ a }^{ n-1 } }b+^{ n }{ { c }_{ 2 }{ a }^{ n-2 } }{ b }^{ 2 }+........

8.द्विपद गुणांक (Binomial coefficient)-

Coefficient in binomial expansion

गणित में, द्विपद गुणांक धनात्मक पूर्णांक होते हैं जो द्विपद प्रमेय में गुणांक के रूप में होते हैं।आमतौर पर, एक द्विपद गुणांक पूर्णांक n ≥ k ≥ 0 की एक जोड़ी द्वारा अनुक्रमित किया जाता है और लिखा जाता है।{ x }^{ 2 } शब्द का गुणांक है।

9.नकारात्मक घातों के लिए द्विपद विस्तार (Binomial expansion for negative powers)-

धनात्मक पूर्णांक घातांक n के लिए द्विपद प्रमेय को नकारात्मक पूर्णांक घातांक के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।यह कैलकुलस और गणित के अन्य क्षेत्रों में कई अनुप्रयोगों के साथ कई परिचित मैकलॉरीन श्रृंखला को जन्म देता है।f (x) = { (1+x) }^{ -n } एक बहुपद नहीं है।

10.द्विपद विस्तार विधि (Binomial expansion method)-

Coefficient in binomial expansion

द्विपद प्रमेय एक द्विपद अभिव्यक्ति के विस्तार की एक बीजगणितीय विधि है।अनिवार्य रूप से, यह दर्शाता है कि क्या होता है जब आप खुद से एक द्विपद गुणा करते हैं (जितनी बार आप चाहते हैं)।उदाहरण के लिए,अभिव्यक्ति { (4x+y) }^{ 7 } पर विचार करें।

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