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Discrete Numeric Function

1.विविक्त संख्यांक फलन (Discrete Numeric Function)-

विविक्त संख्यांक फलन  (Discrete Numeric Function) का अध्ययन विविक्त गणित में किया जाता है।विविक्त संख्यांक फलन (Discrete Numeric Function) उसे कहते हैं जिनका प्रान्त पूर्ण संख्याओं का समुच्चय तथा परिसर वास्तविक संख्याओं का कोई समुच्चय है।इसे संख्यांक फलन भी कहते हैं।
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2.दो संख्यांक फलनों का योगफल तथा गुणनफल (Sum and product of two Discrete Numeric Function)-

माना a तथा b दो विविक्त संख्यांक फलन हैं जिनके मान r पर क्रमशः { a }_{ r }\quad तथा \quad { b }_{ r } हैं।तब a और ‌b का योगफल c एक विविक्त संख्यांक फलन है जिसका मान r पर { C }_{ r },संख्यांक फलनों a तथा b के r पर मानों का योगफल होता है।

{ C }_{ r }={ a }_{ r }+{ b }_{ r };r\ge 0
a तथा b का गुणनफल d एक विविक्त संख्यांक फलन (Discrete Numeric Function) जिसका मान r पर { d }_{ r },संख्यांक फलनों a तथा b के r पर मानों का गुणनफल होता है।
अतः{ d }_{ r }={ a }_{ r }.{ b }_{ r };r\ge 0

3.विविक्त संख्यांक फलन a के लिए { s }^{ i }a तथा { s }^{ -i }a({ s }^{ i }a and { s }^{ -i }a for Discrete Numeric Function a)-

माना a कोई विविक्त संख्यांक फलन (Discrete Numeric Function) है तथा i एक धनात्मक पूर्णांक है।तब a के लिए { s }^{ i }aएक ऐसा विविक्त संख्यांक फलन (Discrete Numeric Function) b है जिसका मान r=0,1,2,3,……..,i-1 के लिए 0 तथा r\ge iके लिए{ a }_{ r-i } है।इसी प्रकार a के लिए { s }^{ -i }aएक ऐसा विविक्त संख्यांक फलन (Discrete Numeric Function) c है जिसका मान r\ge 0के लिए { a }_{ r+i }है।

4.विविक्त संख्यांक फलन का अग्रान्तर तथा पश्चान्तर (Forward difference and Backward differerence of Discrete Numeric Function)-

माना कि a एक विविक्त संख्यांक फलन(Discrete Numeric Function) है।तब a का अग्रान्तर (forward difference); \triangle aवह विविक्त संख्यांक फलन (Discrete Numeric Function) है जिसका r पर मान { a }_{ r+1 }-{ a }_{ r } है अर्थात् 

\triangle a={ a }_{ r+1 }-{ a }_{ r }

a का पश्चान्तर (backward differerence) ; \triangledown aवह विविक्त संख्यांक फलन (Discrete Numeric Function) है जिसका r पर मान { a }_{ r }-{ a }_{ r-1 } है r\ge 1अर्थात्

\triangledown a={ a }_{ r }-{ a }_{ r-1 };\left( r\ge 1 \right)

5.विविक्त संख्यांक फलन पर आधारित सवाल(Question based on discrete number function)-

विविक्त संख्यांक फलन (Discrete Numeric Function) को निम्न सवालों के हल द्वारा समझा जा सकता है-
निम्नलिखित जनक फलनों के लिए r=0,1,2,3,4,5 पर विविक्त संख्यांक फलन (Discrete Numeric Function) के मान ज्ञात कीजिए:
(The values of Discrete Numeric Function at r=0,1,2,3,4,5 for the following generating functions:)
Question-1.\frac { 1 }{ 1-7x+12{ x }^{ 2 } }
Solution-G\left( x \right) =\frac { 1 }{ 1-7x+12{ x }^{ 2 } } \\ =\frac { 1 }{ 1-4x-3x+12{ x }^{ 2 } } \\ =\frac { 1 }{ 1\left( 1-4x \right) -3x\left( 1-4x \right) } \\ =\frac { 1 }{ \left( 1-3x \right) \left( 1-4x \right) }
आंशिक भिन्नों में वियोजन करने पर-

\frac { 1 }{ \left( 1-3x \right) \left( 1-4x \right) } =\frac { A }{ \left( 1-3x \right) } +\frac { B }{ \left( 1-4x \right) }
1=A(1-4x)+B(1-3x)
1=A+B+(-4A-3B)x
तुलना करने पर-
-4A-3B=0 …………(1)
A+B=1 ………….(2)
समीकरण (2) को 3 से गुणा करने पर-
4A-3B=0 …………(1)
3A+3B=3 ………….(3)
…..……………………………
जोड़ने पर-
-A=3
A=-3
A का मान समीकरण (2) में रखने पर-
-3+B=1
B=4

G\left( x \right) =\frac { 4 }{ 1-4x } -\frac { 3 }{ 1-3x }
G(x) के संगत विविक्त संख्यांक फलन (Discrete Numeric Function) है-

{ a }_{ r }=4.{ \left( 4 \right) }^{ r }-3.{ \left( 3 \right) }^{ r }\\ { a }_{ r }={ 4 }^{ r+1 }-{ 3 }^{ r+1 }
Question-2.\frac { x+21 }{ 2{ x }^{ 2 }-7x-15 }

Solution:-G\left( x \right) =\frac { x+21 }{ 2{ x }^{ 2 }-7x-15 } \\ =\frac { x+21 }{ 2{ x }^{ 2 }-10x+3x-15 } \\ =\frac { x+21 }{ 2{ x }\left( x-5 \right) +3\left( x-5 \right) } \\ =\frac { x+21 }{ \left( 2x+3 \right) \left( x-5 \right) }
आंशिक भिन्नों में वियोजन करने पर-

\frac { x+21 }{ \left( 2x+3 \right) \left( x-5 \right) } =\frac { A }{ 2x+3 } +\frac { B }{ x-5 }
x+21=A(x-5)+B(2x+3)
x+21=Ax-5A+2Bx+3B
x+21=(A+2B)x-5A+3B
तुलना करने पर-
A+2B=1 …………( 1)
-5A+3B=21 ……….(2)
समीकरण (1) को 5 से गुणा करने पर-
5A+10B=5 ……….( 3)
-5A+3B=21 ……….(2)
——————————–
जोड़ने पर
13B=26
B=2
B का मान समीकरण (1) में रखने पर-
A+2(2)=1
A+4=1
A=-3

G\left( x \right) =-\frac { 3 }{ 2x+3 } +\frac { 2 }{ x-5 } \\ G\left( x \right) =-\frac { 3 }{ 3\left( 1+\frac { 2x }{ 3 } \right) } -\frac { 2 }{ 5\left( 1-\frac { x }{ 5 } \right) } \\ G\left( x \right) =-\frac { 1 }{ \left( 1+\frac { 2x }{ 3 } \right) } -\frac { 2 }{ 5\left( 1-\frac { x }{ 5 } \right) }
G(x) के संगत विविक्त संख्यांक फलन (Discrete Numeric Function) है-

{ a }_{ r }=\left( -1 \right) { \left( -\frac { 2 }{ 3 } \right) }^{ r }-\frac { 2 }{ 5 } { \left( \frac { 1 }{ 5 } \right) }^{ r }\\ \\ { a }_{ r }={ \left( -1 \right) }^{ r+1 }\left( \frac { { 2 }^{ r } }{ { 3 }^{ r } } \right) -\frac { 2 }{ { 5 }^{ r+1 } }
Question-3.\frac { 9 }{ 4\left( 2+x \right) } -\frac { 13 }{ 12\left( 2-x \right) } -\frac { 4 }{ 3\left( x+1 \right) } -\frac { 1 }{ x-1 }
Solution:-G\left( x \right) =\frac { 9 }{ 4\left( 2+x \right) } -\frac { 13 }{ 12\left( 2-x \right) } -\frac { 4 }{ 3\left( x+1 \right) } -\frac { 1 }{ x-1 } \\ =\frac { 9 }{ 8\left( 1+\frac { x }{ 2 } \right) } -\frac { 13 }{ 24\left( 1-\frac { x }{ 2 } \right) } -\frac { 4 }{ 3\left( 1+x \right) } +\frac { 1 }{ 1-x }
G(x) के संगत विविक्त संख्यांक फलन (Discrete Numeric Function) है-

{ a }_{ r }=\frac { 9 }{ 8 } { \left( -\frac</span> <span style="font-size: 14pt;">{ 1 }{ 2 } \right) }^{ r }-\frac { 13 }{ 24 } .{ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ r }-\frac { 4 }{ 3 } { \left( -1 \right) }^{ r }+1
उपर्युक्त उदाहरणों की सहायता से विविक्त संख्यांक फलन (Discrete Numeric Function) को समझा जा सकता है।

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