Linear Equation by Elimination
1.विलोपन विधि द्वारा रैखिक समीकरणों का हल (Solving of Linear Equation by Elimination),विलोपन विधि द्वारा युगपत रैखिक समीकरणों का हल (Solving Simultaneous Linear Equation by Elimination):
विलोपन विधि द्वारा रैखिक समीकरणों का हल (Solving of Linear Equation by Elimination) प्रतिस्थापन द्वारा तथा गुणांकों को समान करके हल ज्ञात करने का अध्ययन करेंगे।इस पर आधारित निम्नलिखित उदाहरण हैं:
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2.विलोपन विधि द्वारा रैखिक समीकरणों का हल के उदाहरण (Solving of Linear Equation by Elimination Examples):
निम्नलिखित समीकरणों को विलोपन विधि (प्रतिस्थापन) द्वारा हल कीजिए:
Example:1.2x+3y=9,3x+4y=5
Solution:2x+3y=9,3x+4y=5
3y=9-2 x \Rightarrow y=\frac{9-2 x}{3} \cdots(1) \\ 3 x+4 y=5 \cdots(2)
समीकरण (1) से (2) में मान रखने पर:
3 x+4\left(\frac{9-2 x}{3}\right)=5 \\ \Rightarrow \frac{9 x+36-8 x}{3}=5 \\ \Rightarrow x+36=15 \\ \Rightarrow x=45-36 \\ \Rightarrow x=-21
x का मान समीकरण (1) में रखने पर:
y=\frac{9-2 \times -21}{3} \\ \Rightarrow y=\frac{9+42}{3} \\ \Rightarrow y=+\frac{51}{3}=17 \\ \Rightarrow y=17, x=-21
Example:2.x+2y=-1,2x-3y=12
Solution:x+2y=-1,2x-3y=12
\Rightarrow x=-1-2y ….. (1)
2x-3y=12 …. (2)
समीकरण (1) से x का मान समीकरण (2) में रखने पर:
2(-1-2 y)-3 y =12 \\ \Rightarrow-2-4 y-3 y=12 \\ -7 y=12+2 \\ \Rightarrow y=-\frac{16}{7} \\ \Rightarrow y=-2
y का मान समीकरण (1) में रखने पर:
x=-1-2 \times -2=-1+4 \\ \Rightarrow x=3, y=-2
Example:5.4x-5y=39,2x-7y=51
Solution:4x-5y=39,2x-7y=51
4 x=39+5 y \\ \Rightarrow x=\frac{39+5 y}{4} \cdots(1)\\ 2 x-7 y=51 \cdots(2)
समीकरण (1) से x का मान समीकरण (2) में रखने पर:
2\left(\frac{39+5 y}{4}\right)-7 y=51 \\ \Rightarrow\left(\frac{39+5 y}{2}\right)-7 y=51 \\ \Rightarrow \frac{39+5 y-14 y=51}{2} \\ \Rightarrow 39-9 y=102 \\ \Rightarrow-9 y=102-39 \\ \Rightarrow-9 y=63 \\ \Rightarrow y=\frac{63}{-9}=-7
y का मान समीकरण (1) में रखने पर:
x =\frac{39+5(-7)}{4} \\ =\frac{39-35}{4} \\ =\frac{4}{4}=1 \\ \Rightarrow x =1, y=-7
Example:6.5x-2y=19,3x+y=18
Solution: 5x-2y=19,3x+y=18
5x=19+2 y \\ \Rightarrow x =\frac{19+2 y}{5} \cdots(1) \\ 3 x+y=18 \cdots(2)
समीकरण (1) से x का मान समीकरण (2) में रखने पर:
3\left(\frac{19+2 y}{5}\right)+y=18 \\ \Rightarrow \frac{3(19+2 y)+5 y}{5}=18 \\ \Rightarrow 57+6 y+5 y=90 \\ \Rightarrow 11 y=90-57 \\ \Rightarrow 11 y=33 \\ \Rightarrow y=\frac{33}{11}=3
y का मान समीकरण (1) में रखने पर:
गुणांकों को समान बनाकर विलोपन विधि द्वारा निम्नलिखित समीकरणों को हल कीजिए:
Example:11. 3x-7y+10=0 ,y-2x=3
Solution:-3x-7y+10=0…. (1)
y-2x=3 …. (2)
समीकरण (2) को 7 से गुणा करने पर:
\begin{array}{cc} -14 x+7 y=21 \cdots(3) \\ 3 x-7 y+10=0 \cdots(1) \\ \quad \quad \quad \text{ जोड़ने पर } \\ \hline \end{array} \\ -11 x+10=21 \\ \Rightarrow-11 x=21-10 \\ \Rightarrow-11 x=11 \\ \Rightarrow x=\frac{11}{-11} \\ \Rightarrow x=-1
x का मान समीकरण (1) में रखने पर:
3 \times -1 -7 y+10=0 \\ \Rightarrow -3-7 y+10=0 \\ \Rightarrow -7 y+7=0 \\ \Rightarrow -7 y=-7 \\ \Rightarrow y=\frac{(-7)}{(-7)} \\ \Rightarrow y=1 \\ \Rightarrow x=-1, y=1
Example:12. 2 x+y=\frac{3}{2} \\ 2 x+y=\frac{3}{2}
Solution: x+2 y=\frac{3}{2} \cdots(1) \\ 2 x+y=\frac{3}{2} \cdots(2)
समीकरण (2) को 2 से गुणा करने पर:
\begin{array}{cc}4 x+2 y=3 \cdots(3) \\ x+2 y=\frac{3}{2} \cdots(1) \\ \quad - \quad - \quad - \quad \text { घटाने पर } \\ \hline \end{array} \\ 3 x=\frac{3}{2} \Rightarrow x=\frac{1}{2}
x का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\frac{1}{2}+2 y=\frac{3}{2} \\ \Rightarrow 2 y=\frac{3}{2}-\frac{1}{2} \\ \Rightarrow 2 y=\frac{3-1}{2} \\ \Rightarrow 2 y=\frac{2}{2} \\ \Rightarrow y=\frac{2}{2} \times \frac{1}{2} \\ \Rightarrow y=\frac{1}{2} \\ x=\frac{1}{2}, y=\frac{1}{2}
समीकरण हल कीजिए:
Example:14. \frac{1}{2 x}-\frac{1}{y}=-1, \frac{1}{x}+\frac{5}{2 y}=8
Solution: \frac{1}{2 x}-\frac{1}{y}=-1 \cdots(1) \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{2} y=8 \cdots(2)
समीकरण (1) को से गुणा करने पर:
\begin{array}{cc}\frac{1}{4 x}-\frac{1}{2} y=-\frac{1}{2} \cdots(3) \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{2 y}=8 \cdots(2) \text{ जोड़ने पर } \\ \hline \end{array} \\ \frac{1}{4 x}+\frac{1}{x}=-\frac{1}{2}+8 \\ \Rightarrow \frac{1+4}{4 x}=\frac{-1+16}{2} \\ \Rightarrow \frac{5}{4 x}=\frac{15}{2} \\ \Rightarrow 4 x=5 \times \frac{2}{15} \\ \Rightarrow x=\frac{2}{3} \times \frac{1}{4} \\ \Rightarrow x=\frac{1}{6}
x का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\frac{1}{2 \times \frac{1}{6}}-\frac{1}{y}=-1 \\ \Rightarrow \frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)}-\frac{1}{y}=-1 \\ \Rightarrow 3-\frac{1}{y}=-1 \\ \Rightarrow-\frac{1}{y}=-1-3 \\ \Rightarrow-\frac{1}{y}=-4 \\ \Rightarrow \frac{1}{y}=4 \\ \Rightarrow y=\frac{1}{4} \\ x=\frac{1}{6}, y=\frac{1}{4}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा विलोपन विधि द्वारा रैखिक समीकरणों का हल (Solving of Linear Equation by Elimination),विलोपन विधि द्वारा युगपत रैखिक समीकरणों का हल (Solving Simultaneous Linear Equation by Elimination) को समझ सकते हैं।
3.विलोपन विधि द्वारा रैखिक समीकरणों का हल पर आधारित सवाल (Questions Based on Solving of Linear Equation by Elimination):
(1.)प्रतिस्थापन विधि द्वारा निम्न समीकरणों के हल ज्ञात कीजिए:
x+3y=11,4x-y=5
(2.)समीकरण \frac{20}{x}+\frac{2}{y}=6, \frac{10}{x}-\frac{1}{y}=2 के हल ज्ञात कीजिए:
उत्तर (Answers):(1.)x=2,y=3 (2.)x=4,y=2
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर विलोपन विधि द्वारा रैखिक समीकरणों का हल (Solving of Linear Equation by Elimination),विलोपन विधि द्वारा युगपत रैखिक समीकरणों का हल (Solving Simultaneous Linear Equation by Elimination) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.विलोपन विधि द्वारा रैखिक समीकरणों का हल (Frequently Asked Questions Related to Solving of Linear Equation by Elimination),विलोपन विधि द्वारा युगपत रैखिक समीकरणों का हल (Solving Simultaneous Linear Equation by Elimination) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.दो चर वाले रैखिक समीकरण किसे कहते हैं? (What is Linear Equation With Two Variables?):
उत्तर:ऐसे समीकरण जिनमें दो अज्ञात राशि (चर) हों तथा चर की घातांक एक हो,दो चर वाले रैखिक समीकरण कहते हैं।
प्रश्न:2.प्रतिस्थापन द्वारा विलोपन विधि से क्या तात्पर्य है? (What Do You Mean by Method of Elimination by Substitution?):
उत्तर:इस विधि में युगपत समीकरण निकाय के एक समीकरण से एक चर का मान दूसरे चर के रूप में व्यक्त कर लेते हैं।अब दूसरे चर के रूप में लिए गए इस चर के मान को समीकरण निकाय के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित कर देते हैं।परिणामस्वरूप दूसरा समीकरण एक चर वाले समीकरण के रूप में परिवर्तित हो जाता है।एक चर वाले समीकरण को हल करके चर का मान ज्ञात कर लेते हैं।अब चर के इस ज्ञात मान को दिए गए समीकरणों में से किसी एक में प्रतिस्थापित कर अन्य चर का मान ज्ञात कर लेते हैं।
प्रश्न:3.गुणांकों को समान बनाकर विलोपन विधि से क्या तात्पर्य है? (What Do You Mean by Method of Elimination by Equating Co-efficients?):
उत्तर:इस विधि में समीकरण निकाय के दोनों समीकरणों को ऐसी उपयुक्त संख्याओं से गुणा करते हैं जिससे प्राप्त हुए दोनों समीकरणों के दो चरों में से एक के गुणक समान हो जाए।अब दोनों समीकरणों को स्थिति के अनुसार योग अथवा व्यवकलन करने पर हमें समीकरण प्राप्त होता है,जिसमें एक ही चर होता है (क्योंकि अन्य चर निरस्त हो जाता है) प्राप्त एक चर वाले समीकरण को हल कर चर का मान ज्ञात कर लेते हैं तथा चर के ज्ञात मान को दिए गए किसी समीकरण में प्रतिस्थापित करके दूसरे चर का मान भी ज्ञात कर लेते हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा विलोपन विधि द्वारा रैखिक समीकरणों का हल (Solving of Linear Equation by Elimination),विलोपन विधि द्वारा युगपत रैखिक समीकरणों का हल (Solving Simultaneous Linear Equation by Elimination) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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विलोपन विधि द्वारा रैखिक समीकरणों का हल
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विलोपन विधि द्वारा रैखिक समीकरणों का हल (Solving of Linear Equation by Elimination)
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About Author
Sanjay Kumawat
(1.)**Satyam Narain Kumawat** **Website Name:Satyam Mathematics** *Owner:satyamcoachingcentre.in* *Sthan:Manoharpur,Jaipur (Rajasthan)* **Teaching Mathematics aur Anya Anubhav** ***Shiksha:**B.sc.,B.Ed.,(M.sc. star Ke Mathematics Ko Padhane ka Anubhav),B.com.,M.com. Ke vishayon Ko Padhane ka Anubhav,Philosophy,Psychology,Religious,sanskriti Mein Gahri Ruchi aur Adhyayan ***Anubhav:**phichale 23 varshon se M.sc.,M.com.,Angreji aur Vigyan Vishayon Mein Shikshaka Ka Lamba Anubhav ***Visheshagyata:*Maths,Adhyatma (spiritual),Yog vishayon ka vistrit Gyan* ****In Brief:I have read about M.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.A dedicated math expert with 23+ years of teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.After guiding thousands of students through Satyam Coaching Center,now share Mathematics,Trigonometry (Upto M.sc) and Educational Strategies in simple language on this blog from December 2018.* (2.)**(Technical Expert & Co-Admin):** ***Name:Sanjay Kumawat* *Qualification:Graduate in Mechanical Engineering (B.Tec) in 2013* *Profession:Physics Lecturer* *Teaching Experience:15 Years and Teaching to NEET,JEE Students* *Technical Experience:5 Years Coding and Article Editing,Classic Photo Editing by Laptop in Satyam Coaching Centre Blog* *A school lecturer and digital content strategist.On this blog,he handles all the responsibility of coding,image editing,SEO, and technical management,so that the mathematical content reaches the readers in a very accurate and beautiful form.* Updated on 15.06.2026
