Angle Subtended by Arc of Circle
1.एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण (Angle Subtended by Arc of Circle),एक वृत्त के चाप द्वारा अन्तरित कोण कक्षा 9 (Angle Subtended by Arc of Circle Class 9):
एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण (Angle Subtended by Arc of Circle) के अतिरिक्त इस आर्टिकल में चक्रीय चतुर्भुज के बारे में अध्ययन करेंगे तथा इस पर आधारित प्रमेयों को समझेंगे।
प्रमेय (Theorem):10.8.एक चाप द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण वृत्त के शेष भाग के किसी बिन्दु पर अन्तरित कोण का दुगुना होता है।
दिया है (Given):एक वृत्त C(O, r) का एक चाप PQ जो केन्द्र O पर \angle POQ और शेष भाग पर \angle PAQ स्थित बिन्दु A पर अन्तरित करता है।
सिद्ध करना है (To Prove): \therefore \angle POQ=2 \angle PAQ
रचना (Construction):A को O से मिलाकर B तक बढ़ाया।
उपपत्ति (Proof):आकृति में दी गई तीन स्थितियों पर विचार करेंगे:
(i)में चाप PQ लघु है (ii)में चाप PQ अर्धवृत्त है तथा (iii) में चाप PQ दीर्घ है।
\triangle AOQ में
\angle BOQ=\angle OAQ+\angle AQO
(क्योंकि त्रिभुज का बहिष्कोण उसके दो अभिमुख अन्त:कोणों के योग के बराबर होता है।)
साथ ही \triangle OAQ में
OA=OQ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
अत: \angle OAQ=\angle AQO (बराबर भुजा के अभिमुख कोण)
इससे प्राप्त होता है: \angle BOQ=2 \angle OAQ \cdots(1)
इसी प्रकार, \angle BOP=2 \angle OAP \cdots(2)
(1) और (2) से:
\angle BOP+\angle BOQ=2(\angle OAP+\angle OAQ)
अर्थात् \angle POQ=2 \angle PAQ \cdots(3)
स्थिति (iii) के लिये,जहाँ PQ दीर्घ चाप है,(3) के स्थान पर
प्रतिवर्ती \angle POQ=2 \angle PAQ होगा।
प्रमेय (Theorem):10.9.एक ही वृत्तखण्ड के कोण बराबर होते हैं।
दिया है (Given):एक वृत्त C(O,r) है।चाप PQ एक ही वृत्तखण्ड में दो कोण \angle PAQ \text { और } \angle PCQ बनाती है।
सिद्ध करना है (To Prove): \angle PAQ = \angle PCQ
उपपत्ति (Proof):किसी चाप द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण वृत्त के शेष भाग में अन्तरित कोण का दुगुना होता है।अतः
\therefore \angle POQ=2 \angle PAQ \cdots(1) \\ \angle POQ=2 \angle PCQ \cdots(2)
(1) और (2) से:
2 \angle PAQ=2 \angle PCQ \\ \Rightarrow PAQ=\angle PCQ
प्रमेय (Theorem):10.10.यदि दो बिन्दुओं को मिलाने वाला रेखाखण्ड,उसको अंतर्विष्ट करने वाली रेखा के एक ही ओर स्थित दो अन्य बिन्दुओं पर समान कोण अन्तरित करे,तो चारों बिन्दु एक वृत्त पर होते हैं (अर्थात् वे चक्रीय होते हैं)।
दिया है (Given):चार बिन्दु A,B,C और D एक रेखाखण्ड AB तथा \angle ACB=\angle ADB
सिद्ध करना है (To Prove):A,B,C और D चक्रीय हैं।
रचना (Construction):माना एक वृत्त तीन बिन्दुओं A,B और C से होकर जाता है परन्तु चौथे बिन्दु D से नहीं गुजरता है,तो यह AD (या AD को बढ़ाने पर) एक बिन्दु E (या E’) पर काटता है।
उपपत्ति (Proof):यदि A,C,E और B एक वृत्त पर स्थित हैं,तो
\angle ACB=\angle AEB (एक ही वृत्तखण्ड के कोण)…..(1)
परन्तु \angle ACB=\angle ADB (दिया है)…….(2)
(1) व (2) से:
\angle AEB=\angle ADB
यह तभी सम्भव है जब E,D के संपाती हो।
इसी प्रकार E’ भी D के संपाती होना चाहिए।
प्रमेय (Theorem):10.11.चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का एक युग्म का योग 180° होता है।
दिया है (Given):एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD
सिद्ध करना है (To Prove): \angle A+\angle C=180^{\circ} और \angle B+\angle D=180^{\circ}
रचना (Construction):AC और BD को मिलाया।
उपपत्ति (Proof): \angle ACB=\angle ADB \cdots(1)
(एक ही वृत्तखण्ड के कोण समान होते हैं)
\angle BAC=\angle BDC \cdots(2) (एक ही वृत्तखण्ड के कोण समान होते हैं)
(1) व (2) को जोड़ने पर:
\angle ACB+\angle BAC=\angle ADB+\angle BDC \\ \Rightarrow \angle ACB+\angle BAC=\angle ADC \cdots(3)
(3) के दोनों पक्षों में \angle ABC जोड़ने पर:
\angle ACB+\angle BAC+\angle ABC=\angle ADC+\angle ABC \\ \Rightarrow 180^{\circ}=\angle ABC+\angle ADC [ \triangle ABC के तीनों कोणों का योग]
\Rightarrow \angle ABC+\angle ADC=180^{\circ} \\ \Rightarrow \angle B+\angle D=180^{\circ} \cdots(4) \\ \angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ} (चतुर्भुज के चारों कोणों का योग)
\Rightarrow(\angle A+\angle C)+(\angle B+\angle D)=360^{\circ} \\ \Rightarrow \angle A+\angle C+180=360[(4) से]
\Rightarrow \angle A+\angle C=180^{\circ} \\ \angle A +\angle C=180^{\circ}, \angle B+\angle D=180^{\circ}
प्रमेय (Theorem):10.12.यदि किसी चतुर्भुज के सम्मुख कोणों के एक युग्म का योग 180° हो,तो चतुर्भुज चक्रीय होता है।
दिया है (Given):चतुर्भुज ABCD में \angle DAB+\angle DCB=180^{\circ} तथा \angle ABC+\angle ADC=180^{\circ}
सिद्ध करना है (To Prove):चतुर्भुज ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।
रचना (Construction):A,B और C से होकर एक वृत्त खींचा।माना यह D बिन्दु से होकर नहीं जाता है ऐसी स्थिति में यह AD को (या AD को बढ़ाने पर) E बिन्दु (या E’ बिन्दु) पर प्रतिच्छेद करता है।
उपपत्ति (Proof):यदि A,B, C व E एक वृत्त पर स्थित हैं तो
\angle DAB+\angle BED=180^{\circ} (चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण)…..(1)
परन्तु \angle BAD+\angle BCD=180^{\circ} (दिया है)……(2)
(1) व (2) से:
\angle BCD= \angle BED
परन्तु यह तभी सम्भव है जब E व C संपाती हों।इसी प्रकार E’ व C भी संपाती होंगे।
अतः ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।
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2.एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण के साधित उदाहरण (Angle Subtended by Arc of Circle Solved Examples):
Example:1.आकृति में केन्द्र O वाले वृत्त पर तीन बिन्दु A,B और C इस प्रकार हैं कि \angle BOC=30^{\circ} तथा \angle AOB=60^{\circ} है।यदि चाप ABC के अतिरिक्त वृत्त पर D एक बिन्दु है,तो \angle ADC ज्ञात कीजिए।
Solution:वृत्त के किसी चाप द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण वृत्त के शेष भाग में स्थित किसी बिन्दु पर अन्तरित कोण का दुगुना होता है।
\therefore \angle AOC=2 \angle ADC \\ \Rightarrow \angle BOC+\angle AOB=2 \angle ADC \\ \Rightarrow 30^{\circ}+60^{\circ}=2 \angle ADC \\ \Rightarrow \angle ADC=\frac{90^{\circ}}{2} \\ \Rightarrow \angle ADC=45^{\circ}
Example:2.किसी वृत्त की एक जीवा वृत्त की त्रिज्या के बराबर है।जीवा द्वारा लघु चाप के किसी बिन्दु पर अन्तरित कोण ज्ञात कीजिए तथा दीर्घ चाप के किसी बिन्दु पर भी अन्तरित कोण ज्ञात कीजिए।
Solution:OA=OB=AB (दिया है)
\therefore \triangle OAB समबाहु त्रिभुज है।
\therefore \angle A O B=60^{\circ} \\ 2 \angle ACB=\angle AOB
[वृत्त के किसी चाप द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण वृत्त के शेष भाग में स्थित किसी बिन्दु पर अन्तरित कोण का दुगुना होता है।]
2 \angle ACB=60^{\circ} \Rightarrow \angle ACB=30^{\circ} \\ \because ADBC चक्रीय चतुर्भुज है।
\because \angle A C B+\angle A D B=180^{\circ} (चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण सम्पूरक होते हैं)
\Rightarrow 30^{\circ}+\angle A D B=180^{\circ} \\ \Rightarrow \angle A D B= 180^{\circ}-30^{\circ} \\ \Rightarrow \angle A D B=150^{\circ}, \angle A C B=30^{\circ}
Example:3.आकृति में, \angle PQR=100^{\circ} है जहाँ P,Q तथा R केन्द्र O वाले एक वृत्त पर स्थित हैं। \angle OPR ज्ञात कीजिए।
Solution:वृत्त के किसी चाप द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण वृत्त के शेष भाग में स्थित किसी बिन्दु पर अन्तरित कोण का दुगुना होता है।
अतः प्रतिवर्ती \angle POR=2 \angle PQR
प्रतिवर्ती \angle POR=2 \times 100
प्रतिवर्ती \angle POR=200^{\circ}
प्रतिवर्ती \angle P O R+\angle P O R=360^{\circ} (एक बिन्दु पर बने कोण)
\Rightarrow 200^{\circ}+\angle POR=360^{\circ} \\ \Rightarrow \angle POR= 360^{\circ}-200^{\circ} \\ \Rightarrow \angle POR=160^{\circ} \\ \triangle POR में OP=OR
\angle O P R=\angle O R P (बराबर भुजा के अभिमुख कोण)…..(2)
\angle P O R+\angle O P R+\angle O R P=180^{\circ} ( \triangle POR के तीनों कोणों का योग)
160^{\circ}+\angle O P R+\angle O P R=180^{\circ} [(1) व (2) से]
\Rightarrow 2 \angle O P R=180^{\circ}-160^{\circ} \\ \Rightarrow \angle O P R=\frac{20^{\circ}}{2} \\ \Rightarrow \angle O P R=10^{\circ}
Example:4.आकृति में, \angle ABC=69^{\circ} और \angle ACB=31^{\circ} हो तो \angle BDC ज्ञात कीजिए।
Solution: \triangle B A C में
\angle ABC+\angle ACB+\angle BAC=180^{\circ} ( \triangle ABC के तीनों कोणों का योग)
69^{\circ}+31^{\circ}+\angle B A C=180^{\circ} \\ \Rightarrow 100^{\circ}+\angle BAC= 180^{\circ} \\ \Rightarrow \angle B A C=180^{\circ}-100^{\circ} \\ \Rightarrow \angle BAC=80^{\circ}
Example:5.आकृति में,एक वृत्त पर A,B,C और D चार बिन्दु हैं।AC और BD एक बिन्दु E पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि \angle BEC=130^{\circ} तथा \angle ECD=20^{\circ} है। \angle BAC ज्ञात कीजिए।
Solution: \triangle EDC में
\angle ECD+\angle BDC=\angle BEC (त्रिभुज का बहिष्कोण उसके दो अन्तराभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है)
20^{\circ}+\angle B D C=130^{\circ} \\ \Rightarrow \angle B D C=130^{\circ}-20^{\circ} \\ \Rightarrow \angle B D C=110^{\circ} \\ \angle B A C=\angle B D C (एक ही वृत्तखण्ड के कोण बराबर होते हैं)
\Rightarrow \angle B A C=110^{\circ}
Example:6.ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसके विकर्ण एक बिन्दु E पर प्रतिच्छेद करते हैं।यदि \angle DBC=70^{\circ} और [katex]\angle BAC=30^{\circ} हो तो ज्ञात कीजिए।पुन: यदि AB=BC हो,तो \angle ECD ज्ञात कीजिए।
Solution: \angle BDC=\angle BAC
[एक ही वृत्तखण्ड के कोण बराबर होते हैं]
\angle BDC=30^{\circ} \\ \triangle BCD में
\angle BDC+\angle DBC+\angle BCD=180^{\circ} (त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है)
\Rightarrow 30^{\circ}+70^{\circ}+\angle BCD=180^{\circ} \\ \Rightarrow \angle BCD=180^{\circ}-100^{\circ} \\ \Rightarrow \angle BCD=80^{\circ} \cdots(1) \\ \triangle ABC में AB=BC (दिया है)
\angle BCA=\angle BAC (बराबर भुजा के अभिमुख कोण बराबर होते हैं)
\Rightarrow \angle BCA=30^{\circ}
(1) से: \angle BCD=80^{\circ} \\ \Rightarrow \angle ECD+\angle BCA=80^{\circ} \\ \Rightarrow \angle ECD+30^{\circ}=80^{\circ} \\ \Rightarrow \angle ECD=80^{\circ}-30^{\circ} \\ \Rightarrow \angle ECD=50^{\circ}
Example:7.यदि एक चक्रीय चतुर्भुज के विकर्ण उसके शीर्षों से जाने वाले वृत्त के व्यास हों,तो सिद्ध कीजिए कि वह एक आयत है।
Solution:दिया है (Given):एक चक्रीय चतुर्भुज के विकर्ण AC और BD एक वृत्त के व्यास हैं जो चतुर्भुज ABCD के शीर्ष A,B,C और D हैं।
सिद्ध करना है (To Prove):चतुर्भुज ABCD एक आयत है।
उपपत्ति (Proof):एक वृत्त की सभी त्रिज्याएँ बराबर होती हैं।
\therefore OA=OB=OC=OD \\ \Rightarrow OA=OC=\frac{1}{2} AC
तथा OB=OD=\frac{1}{2} B D \\ \Rightarrow A C=B D \\\therefore चतुर्भुज ABCD के विकर्ण बराबर हैं तथा एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
चतुर्भुज ABCD एक आयत है।
Example:8.यदि समलम्ब की असमान्तर भुजाएँ बराबर हों,तो सिद्ध कीजिए कि वह चक्रीय है।
Solution:दिया है (Given):ABCD एक समलम्ब है जिसकी दो असमान्तर भुजाएँ AD=BC हैं।
सिद्ध करना है (To Prove):समलम्ब ABCD चक्रीय है।
रचना (Construction): BE \| AD खींचा।
उपपत्ति (Proof): AB \| DE(दिया है)
AD \| BE(रचना से)
अत: ABED समान्तर चतुर्भुज है।
\angle A+\angle ABE=180^{\circ} \cdots(1)
(समान्तर चतुर्भुज के आसन्न कोणों का योग)
\angle ABE=\angle BEC (एकान्तर कोण)....(2)
AD=BE (समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)… (3)
AD=BC (दिया है)…. (4)
(3) व (4) से:
BC=BE
\angle BEC=\angle C \cdots(5)
(त्रिभुज की बराबर भुजाओं के अभिमुख कोण बराबर होते हैं)
(1) व (2) से:
\angle A+\angle BEC=180 \cdots(6)
(5) व (6) से:
\angle A+\angle C=180^{\circ} \cdots(7) \\ \angle A+\angle A B C+\angle C+\angle D=360^{\circ} (चतुर्भुज के चारों कोणों का योग)
180^{\circ}+\angle A B C+\angle D=360^{\circ} \\ \angle ABC+\angle D=360^{\circ}-180^{\circ} \\ \Rightarrow \angle A B C+\angle D=180^{\circ} तथा \angle A+\angle C=180^{\circ}
सम्मुख कोणों का योग सम्पूरक है अतः ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।
Example:9.दो वृत्त दो बिन्दुओं B और C पर प्रतिच्छेद करते हैं।B से जाने वाले दो रेखाखण्ड ABD और PBQ वृत्तों को A,D और P,Q पर क्रमशः प्रतिच्छेद करते हुए खींचे गए हैं (देखिए आकृति)।सिद्ध कीजिए कि \angle ACP=\angle QCD है।
Solution:दिया है (Given):दो वृत्त दो बिन्दुओं B और C पर प्रतिच्छेद करते हैं।B से जाने वाले दो रेखाखण्ड ABD और PBQ वृत्तों को A,D और P,Q पर क्रमशः प्रतिच्छेद करते हुए खींचे गए हैं।
सिद्ध करना है (To Prove): \angle ACP=\angle QCD
उपपत्ति (Proof): \angle ACP=\angle ABP \cdots(1)
(एक ही वृत्तखण्ड के कोण बराबर होते हैं)
\angle QCD=\angle QBD \cdots(2)
(एक ही वृत्तखण्ड के कोण बराबर होते हैं)
\angle ABP=\angle QBD (शीर्षाभिमुख कोण).....(3)
(2) व (3) से:
\angle QCD=\angle ABP \cdots(4)
(1) व (4) से:
\angle ACP=\angle QCD
Example:10.यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को व्यास मानकर वृत्त खींचे जाएँ,तो सिद्ध कीजिए कि इन वृत्तों का प्रतिच्छेद बिन्दु तीसरी भुजा पर स्थित है।
Solution:दिया है (Given):एक त्रिभुज ACD जिसमें AC और AD को व्यास मानकर दो वृत्त खींचे गए हैं।
सिद्ध करना है (To Prove):B,C और D संरेख हैं।
उपपत्ति (Proof):AC वृत्त का व्यास है
\angle ABC=90^{\circ} (अर्धवृत्त का कोण)
\angle ABD=90^{\circ} (अर्धवृत्त का कोण समकोण होता है)
(1) व (2) को जोड़ने पर:
\angle ABC+\angle ABD=90^{\circ}+90^{\circ} \\ \Rightarrow \angle ABC+\angle ABD=180^{\circ} \\ \therefore \angle ABC और \angle ABD रैखिक कोण युग्म हैं।अतः B,C और D संरेख हैं अर्थात् बिन्दु B भुजा CD पर है।
Example:11.उभयनिष्ठ कर्ण AC वाले दो समकोण त्रिभुज ABC और ADC हैं।सिद्ध कीजिए कि \angle CAD=\angle CBD है।
Solution:दिया है (Given):दो समकोण \triangle ABC और \triangle ADC उभयनिष्ठ कर्ण AC पर खींचे गए हैं।
सिद्ध करना है (To Prove): \angle CAD=\angle CBD
उपपत्ति (Proof): \angle ADC=90^{\circ}(दिया है)
\angle ABC=90^{\circ}(दिया है)
अतः दोनों अर्धवृत्त में बने कोण हैं अर्थात् एक वृत्त बिन्दुओं B और D से होकर जाता है जिसका व्यास AC है।
अब CD वृत्त की एक जीवा है।
अतः \angle CAD=\angle CBD
(एक ही वृत्तखण्ड में बने कोण बराबर होते हैं)
Example:12.सिद्ध कीजिए कि चक्रीय समान्तर चतुर्भुज आयत होता है।
Solution:दिया है (Given):एक चक्रीय समान्तर चतुर्भुज ABCD
सिद्ध करना है (To Prove):ABCD एक आयत है।
उपपत्ति (Proof): \angle B=\angle D \cdots(1)
(समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)
\angle B+\angle D=180^{\circ} (चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण सम्पूरक होते हैं).....(2)
(1) व (2) से:
\angle B+\angle B=180^{\circ} \Rightarrow 2 \angle B=180^{\circ} \\ \Rightarrow \angle B=90^{\circ}
अतः ABCD एक आयत है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण (Angle Subtended by Arc of Circle),एक वृत्त के चाप द्वारा अन्तरित कोण कक्षा 9 (Angle Subtended by Arc of Circle Class 9) को समझ सकते हैं।
3.एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण पर आधारित सवाल (Questions Based on Angle Subtended by Arc of Circle):
(1.)दी गई आकृति में, \triangle ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु P इस प्रकार है कि AB=AP।यदि AP बढ़ाने पर \triangle ABC के परिवृत्त को Q पर मिले तो सिद्ध करो कि: CP=CQ
(2.)आकृति में, एक वृत्त के व्यास AB द्वारा निर्मित अर्धव्यास C और D दो बिन्दु हैं।यदि \angle BAD=70^{\circ} और \angle DBC=30^{\circ} हों तो \angle ABD और \angle DBC ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answer): (2) \angle ABD=20^{\circ}, \angle BDC=40^{\circ}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण (Angle Subtended by Arc of Circle),एक वृत्त के चाप द्वारा अन्तरित कोण कक्षा 9 (Angle Subtended by Arc of Circle Class 9) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण (Frequently Asked Questions Related to Angle Subtended by Arc of Circle),एक वृत्त के चाप द्वारा अन्तरित कोण कक्षा 9 (Angle Subtended by Arc of Circle Class 9) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.वृत्त तल को कितने भागों में विभाजित करता है? (In How Many Parts Does the Circle Divide the Plane?):
उत्तर:एक वृत्त तल को,जिस पर वह स्थित है,तीन भागों में विभाजित करता है।ये हैं:(i)वृत्त के अन्दर का भाग जिसे अभ्यन्तर (interior) भी कहते हैं। (ii) वृत्त एवं (iii)वृत्त के बाहर का भाग जिसे बहिर्भाग (exterior) भी कहते हैं।
प्रश्न:2.चक्रीय चतुर्भुज किसे कहते हैं? (What is a Cyclic Quadrilateral?):
उत्तर:एक चतुर्भुज ABCD चक्रीय कहलाता है,यदि इसके चारों शीर्ष एक वृत्त पर स्थित होते हैं।
प्रश्न:3.किसी वृत्त के दो समान चापों में क्या सम्बन्ध होता है? (What is Relation Between Two Equal Arcs of a Circle?):
उत्तर:यदि किसी वृत्त की दो जीवाएँ बराबर हों तो उनके संगत चाप सर्वांगसम होते हैं तथा विलोमत: यदि दो चाप सर्वांगसम हों तो उनके संगत जीवाएँ बराबर होती हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण (Angle Subtended by Arc of Circle),एक वृत्त के चाप द्वारा अन्तरित कोण कक्षा 9 (Angle Subtended by Arc of Circle Class 9) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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Angle Subtended by Arc of Circle
एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण
(Angle Subtended by Arc of Circle)
Angle Subtended by Arc of Circle
एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण (Angle Subtended by Arc of Circle) के अतिरिक्त इस
आर्टिकल में चक्रीय चतुर्भुज के बारे में अध्ययन करेंगे तथा इस पर आधारित प्रमेयों को समझेंगे।
About Author
Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
