1.विलोपन विधि द्वारा रैखिक समीकरणों का हल (Solving of Linear Equation by Elimination),विलोपन विधि द्वारा युगपत रैखिक समीकरणों का हल (Solving Simultaneous Linear Equation by Elimination):

Solving of Linear Equation by Elimination

विलोपन विधि द्वारा रैखिक समीकरणों का हल (Solving of Linear Equation by Elimination) प्रतिस्थापन द्वारा तथा गुणांकों को समान करके हल ज्ञात करने का अध्ययन करेंगे।इस पर आधारित निम्नलिखित उदाहरण हैं:
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2.विलोपन विधि द्वारा रैखिक समीकरणों का हल के उदाहरण (Solving of Linear Equation by Elimination Examples):

निम्नलिखित समीकरणों को विलोपन विधि (प्रतिस्थापन) द्वारा हल कीजिए:
Example:1.2x+3y=9,3x+4y=5
Solution:2x+3y=9,3x+4y=5

3y=9-2 x \Rightarrow y=\frac{9-2 x}{3} \cdots(1) \\ 3 x+4 y=5 \cdots(2)
समीकरण (1) से (2) में मान रखने पर:

3 x+4\left(\frac{9-2 x}{3}\right)=5 \\ \Rightarrow \frac{9 x+36-8 x}{3}=5 \\ \Rightarrow x+36=15 \\ \Rightarrow x=45-36 \\ \Rightarrow x=-21
x का मान समीकरण (1) में रखने पर:

y=\frac{9-2 \times -21}{3} \\ \Rightarrow y=\frac{9+42}{3} \\ \Rightarrow y=+\frac{51}{3}=17 \\ \Rightarrow y=17, x=-21
Example:2.x+2y=-1,2x-3y=12
Solution:x+2y=-1,2x-3y=12
\Rightarrow x=-1-2y ….. (1)
2x-3y=12 …. (2)
समीकरण (1) से x का मान समीकरण (2) में रखने पर:
2(-1-2 y)-3 y =12 \\ \Rightarrow-2-4 y-3 y=12 \\ -7 y=12+2 \\ \Rightarrow y=-\frac{16}{7} \\ \Rightarrow y=-2
y का मान समीकरण (1) में रखने पर:
x=-1-2 \times -2=-1+4 \\ \Rightarrow x=3, y=-2
Example:5.4x-5y=39,2x-7y=51
Solution:4x-5y=39,2x-7y=51

4 x=39+5 y \\ \Rightarrow x=\frac{39+5 y}{4} \cdots(1)\\ 2 x-7 y=51 \cdots(2)
समीकरण (1) से x का मान समीकरण (2) में रखने पर:

2\left(\frac{39+5 y}{4}\right)-7 y=51 \\ \Rightarrow\left(\frac{39+5 y}{2}\right)-7 y=51 \\ \Rightarrow \frac{39+5 y-14 y=51}{2} \\ \Rightarrow 39-9 y=102 \\ \Rightarrow-9 y=102-39 \\ \Rightarrow-9 y=63 \\ \Rightarrow y=\frac{63}{-9}=-7
y का मान समीकरण (1) में रखने पर:

x =\frac{39+5(-7)}{4} \\ =\frac{39-35}{4} \\ =\frac{4}{4}=1 \\ \Rightarrow x =1, y=-7
Example:6.5x-2y=19,3x+y=18
Solution: 5x-2y=19,3x+y=18

5x=19+2 y \\ \Rightarrow x =\frac{19+2 y}{5} \cdots(1) \\ 3 x+y=18 \cdots(2)
समीकरण (1) से x का मान समीकरण (2) में रखने पर:

3\left(\frac{19+2 y}{5}\right)+y=18 \\ \Rightarrow \frac{3(19+2 y)+5 y}{5}=18 \\ \Rightarrow 57+6 y+5 y=90 \\ \Rightarrow 11 y=90-57 \\ \Rightarrow 11 y=33 \\ \Rightarrow y=\frac{33}{11}=3
y का मान समीकरण (1) में रखने पर:

Solving of Linear Equation by Elimination

गुणांकों को समान बनाकर विलोपन विधि द्वारा निम्नलिखित समीकरणों को हल कीजिए:
Example:11. 3x-7y+10=0 ,y-2x=3

Solution:-3x-7y+10=0…. (1)
y-2x=3 …. (2)
समीकरण (2) को 7 से गुणा करने पर:
\begin{array}{cc} -14 x+7 y=21 \cdots(3) \\ 3 x-7 y+10=0 \cdots(1) \\ \quad \quad \quad \text{ जोड़ने पर } \\ \hline \end{array} \\ -11 x+10=21 \\ \Rightarrow-11 x=21-10 \\ \Rightarrow-11 x=11 \\ \Rightarrow x=\frac{11}{-11} \\ \Rightarrow x=-1
x का मान समीकरण (1) में रखने पर:
3 \times -1 -7 y+10=0 \\ \Rightarrow -3-7 y+10=0 \\ \Rightarrow -7 y+7=0 \\ \Rightarrow -7 y=-7 \\ \Rightarrow y=\frac{(-7)}{(-7)} \\ \Rightarrow y=1 \\  \Rightarrow x=-1, y=1
Example:12. 2 x+y=\frac{3}{2} \\ 2 x+y=\frac{3}{2}
Solution: x+2 y=\frac{3}{2} \cdots(1) \\ 2 x+y=\frac{3}{2} \cdots(2)
समीकरण (2) को 2 से गुणा करने पर:
\begin{array}{cc}4 x+2 y=3 \cdots(3) \\ x+2 y=\frac{3}{2} \cdots(1) \\ \quad - \quad - \quad - \quad \text { घटाने पर } \\ \hline \end{array} \\ 3 x=\frac{3}{2} \Rightarrow x=\frac{1}{2}
x का मान समीकरण (1) में रखने पर:

\frac{1}{2}+2 y=\frac{3}{2} \\ \Rightarrow 2 y=\frac{3}{2}-\frac{1}{2} \\ \Rightarrow 2 y=\frac{3-1}{2} \\ \Rightarrow 2 y=\frac{2}{2} \\ \Rightarrow y=\frac{2}{2} \times \frac{1}{2} \\ \Rightarrow y=\frac{1}{2} \\ x=\frac{1}{2}, y=\frac{1}{2}
समीकरण हल कीजिए:
Example:14. \frac{1}{2 x}-\frac{1}{y}=-1, \frac{1}{x}+\frac{5}{2 y}=8
Solution: \frac{1}{2 x}-\frac{1}{y}=-1 \cdots(1) \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{2} y=8 \cdots(2)
समीकरण (1) को से गुणा करने पर:
\begin{array}{cc}\frac{1}{4 x}-\frac{1}{2} y=-\frac{1}{2} \cdots(3) \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{2 y}=8 \cdots(2) \text{ जोड़ने पर } \\ \hline \end{array} \\ \frac{1}{4 x}+\frac{1}{x}=-\frac{1}{2}+8 \\ \Rightarrow \frac{1+4}{4 x}=\frac{-1+16}{2} \\ \Rightarrow \frac{5}{4 x}=\frac{15}{2} \\ \Rightarrow 4 x=5 \times \frac{2}{15} \\ \Rightarrow x=\frac{2}{3} \times \frac{1}{4} \\ \Rightarrow x=\frac{1}{6}
x का मान समीकरण (1) में रखने पर:

\frac{1}{2 \times \frac{1}{6}}-\frac{1}{y}=-1 \\ \Rightarrow \frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)}-\frac{1}{y}=-1 \\ \Rightarrow 3-\frac{1}{y}=-1 \\ \Rightarrow-\frac{1}{y}=-1-3 \\ \Rightarrow-\frac{1}{y}=-4 \\ \Rightarrow \frac{1}{y}=4 \\ \Rightarrow y=\frac{1}{4} \\ x=\frac{1}{6}, y=\frac{1}{4}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा विलोपन विधि द्वारा रैखिक समीकरणों का हल (Solving of Linear Equation by Elimination),विलोपन विधि द्वारा युगपत रैखिक समीकरणों का हल (Solving Simultaneous Linear Equation by Elimination) को समझ सकते हैं।

3.विलोपन विधि द्वारा रैखिक समीकरणों का हल पर आधारित सवाल (Questions Based on Solving of Linear Equation by Elimination):

Solving of Linear Equation by Elimination

(1.)प्रतिस्थापन विधि द्वारा निम्न समीकरणों के हल ज्ञात कीजिए:
x+3y=11,4x-y=5
(2.)समीकरण \frac{20}{x}+\frac{2}{y}=6, \frac{10}{x}-\frac{1}{y}=2  के हल ज्ञात कीजिए: 
उत्तर (Answers):(1.)x=2,y=3 (2.)x=4,y=2
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर विलोपन विधि द्वारा रैखिक समीकरणों का हल (Solving of Linear Equation by Elimination),विलोपन विधि द्वारा युगपत रैखिक समीकरणों का हल (Solving Simultaneous Linear Equation by Elimination) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.विलोपन विधि द्वारा रैखिक समीकरणों का हल (Frequently Asked Questions Related to Solving of Linear Equation by Elimination),विलोपन विधि द्वारा युगपत रैखिक समीकरणों का हल (Solving Simultaneous Linear Equation by Elimination) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

विलोपन विधि द्वारा रैखिक समीकरणों का हल (Solving of Linear Equation by Elimination)
प्रतिस्थापन द्वारा तथा गुणांकों को समान करके हल ज्ञात करने का अध्ययन करेंगे।