Important Examples of Lines and Angles
1.रेखाएँ एवं कोण के महत्त्वपूर्ण उदाहरण का परिचय (Introduction to Important Examples of Lines and Angles),रेखाएँ एवं कोण कक्षा 9 (Lines and Angles Class 9):
रेखाएँ एवं कोण के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Examples of Lines and Angles) के इस आर्टिकल में समान्तर रेखाओं तथा उनको प्रतिच्छेद करने वाली तिर्यक रेखा के द्वारा बने संगत कोण,एकान्तर कोण,अन्तःकोण आदि पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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रेखाएँ एवं कोण के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Examples of Lines and Angles):
Example:1.दी गई आकृति से बताइए कि क्या रेखाएँ l तथा m समान्तर हैं? कारण स्पष्ट कीजिए।
Solution:55° का एकान्तर कोण 180°-125°=55° जो बराबर हैं अतः रेखाएँ l \| m हैं।
Example:2.दिए गए चित्र में रेखाएँ EF \| GH हों तो \angle x का मान ज्ञात कीजिए।
Solution: EF \| GH
अतः \angle EFH+\angle G H F=180^{\circ} (अन्तःकोण)
\Rightarrow 115^{\circ}+\angle x+32^{\circ}=180^{\circ} \\ \Rightarrow \angle x+147^{\circ}=180^{\circ} \\ \Rightarrow \angle x=180^{\circ}-147^{\circ} \\ \Rightarrow \angle x=33^{\circ}
Example:3.एक चतुर्भुज के तीन कोण 105°,45°,70° हैं।चौथा कोण ज्ञात कीजिए।
Solution:चतुर्भुज के तीन कोण 105°,45°,70°
माना चौथा कोण=x°
105°+45°+70°+x°=360°
\Rightarrow 220°+x°=360°
\Rightarrow x°=360°-220°
\Rightarrow x°=140°
Example:4.सामने आकृति में प्रतिवर्ती कोण \angle AOB=290^{\circ} हो तो \angle x का मान बताइए।
Solution: \angle x+290^{\circ}=360^{\circ} \\ \Rightarrow \angle x=360^{\circ}-290^{\circ} \\ \Rightarrow \angle x=70^{\circ}
Example:5.चित्र में रेखाएँ AB \| CD हैं।चित्र में दिए गए कोणों से \angle x तथा \angle y ज्ञात कीजिए।
Solution: \angle ABC=\angle BCD (एकान्तर कोण)
\Rightarrow \angle 80^{\circ}+\angle x=1180^{\circ} \\ \Rightarrow \angle x=1160^{\circ} -80^{\circ} \\ \Rightarrow \angle x=36^{\circ} \\ \angle x+\angle y+80^{\circ}=180^{\circ} \\ \Rightarrow 36^{\circ}+\angle y+80^{\circ}=180^{\circ} \\ \Rightarrow \angle y=180^{\circ}-116^{\circ} \\ \Rightarrow \angle y=64^{\circ}
Example:6.सामने दी गई आकृति में AC \| PQ एवं AB \| RS तो \angle y का मान ज्ञात कीजिए।प्रयोग में आने वाले कथन के कारण भी लिखिए।
Solution: PQ \| AC \\ \angle QBC=\angle ACB (एकान्तर कोण)
\Rightarrow \angle QBC=30^{\circ} \ldots(1) \\ \angle SMC+\angle RMC=180^{\circ} (रैखिक कोण युग्म)
\Rightarrow 80^{\circ}+\angle R M C=180^{\circ} \\ \Rightarrow \angle R M C=180^{\circ} -80^{\circ} \\ \Rightarrow \angle R M C=100^{\circ} \\ AB \| RS \\ \angle ABC=\angle RMC(संगत कोण)
\Rightarrow \angle A B C=100^{\circ} \\ \angle PBA+\angle ABC+\angle QBC=180^{\circ} (रैखिक कोण युग्म)
\Rightarrow \angle y+100^{\circ}+30^{\circ}=180^{\circ} \\ \Rightarrow \angle y=180^{\circ} -130^{\circ} \\ \Rightarrow \angle y=50^{\circ}
Example:7.एक कोण अपने पूरक कोण का आधा है तो उस कोण का मान ज्ञात करो।
Solution:माना पूरक कोण=x
कोण का मान= \frac{1}{2} x
प्रश्नानुसार:
x+\frac{1}{2} x^{\circ}=90^{\circ} \\ \Rightarrow 3 x^{\circ}=90^{\circ} \\ \Rightarrow x^0=90 \times \frac{2}{3} \\ \Rightarrow x^{\circ}=60^{\circ}
कोण का मान=\frac{1}{2} x^{\circ}=\frac{1}{2} \times 60^{\circ}=30^{\circ}
Example:8.आकृति में,a और b से एक समकोण के एक-तिहाई भाग से बड़ा हो,तो a एवं b के मान ज्ञात करो।
Solution: a-b=\frac{1}{3} \times 90^{\circ}=30^{\circ} \ldots(1) \\ a+b=180^{\circ} (रैखिक कोण युग्म) ……. (2)(1) व (2) को जोड़ने पर:
2 a=210^{\circ} \Rightarrow a=105^{\circ}
a का मान समीकरण (2) में रखने पर:
105^{\circ}+b=180^{\circ} \\ \Rightarrow b=180^{\circ}-105^{\circ} \\ \Rightarrow b=75^{\circ} \\ \Rightarrow a=105^{\circ}, b=75^{\circ}
Example:9.चित्र में POQ एक सरल रेखा है।x का मान है
Solution:40°+4x°+3x°=180° (रैखिक कोण युग्म)
\Rightarrow 7 x^{\circ}=180^{\circ}-40^{\circ} \\ \Rightarrow 7 x^{\circ}=140^{\circ} \\ \Rightarrow x^{\circ}=\frac{140^{\circ}}{7} \\ \Rightarrow x^{\circ}=20^{\circ}
Example:10.आकृति में दो रेखाएँ m तथा n की तिर्यक रेखा p है। \angle 1=60^{\circ} और \angle 2=\frac{2}{3} (समकोण) है।सिद्ध करो कि m \| n
Solution: \angle 2=\frac{2}{3} (समकोण)
=\frac{2}{3} \times 90^{\circ} \\ \angle 2=60^{\circ} \\ \angle 3=\angle 2 (सम्मुख कोण)
\angle 3=60^{\circ} \\ \angle 1=60^{\circ} (दिया है)
\angle 3=\angle 1=60^{\circ}
परन्तु ये संगत कोण है और बराबर हैं।
अतः m \| n
Example:11.आकृति में AB और CD दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ हैं।\angle BOD और \angle AOC के कोण-समद्विभाजक क्रमशः OP और OQ हैं।दिखाओ कि OP और OQ विपरीत किरणें हैं।
Solution: \angle BOD का कोण समद्विभाजक OP है।
\therefore \angle 1=\angle 2 \\ \because \angle AOC का कोण समद्विभाजक OQ है।
\therefore \angle 3=\angle 4 \ldots(2)
चूँकि AB और CD,O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
\angle 5=\angle 6 (शीर्षाभिमुख कोण)
(1),(2) और (3) का योग करने पर:
\angle 1+\angle 5+\angle 3=\angle 2+\angle 6+\angle 4 \ldots(4)\\ \angle 1+\angle 5+\angle 3+\angle 4+\angle 6+\angle 2=360^{\circ}
(एक बिन्दु पर बने कोणों का योग=360°)
\Rightarrow(\angle 1+\angle 5+\angle 3)+(\angle 1+\angle 5+23)=360^{\circ} \\ \Rightarrow 2 \times(\angle 1+\angle 5+\angle 3)=360^{\circ} [(4) से]
\Rightarrow \angle 1+\angle 5+\angle 3=\frac{360^{\circ}}{2} \\ \Rightarrow \angle 1+\angle 5+\angle 3=180^{\circ} \\ \Rightarrow \angle P O Q=180^{\circ}
अतः OP और OQ विपरीत किरणें हैं।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा रेखाएँ एवं कोण के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Examples of Lines and Angles),रेखाएँ एवं कोण कक्षा 9 (Lines and Angles Class 9) को समझ सकते हैं।
3.रेखाएँ एवं कोण के महत्त्वपूर्ण उदाहरण के सवाल (Important Examples of Lines and Angles Questions):
(1.)चित्र में रेखाएँ l \| m हो तो समान कोणों को ज्ञात कीजिए।कारण भी बताइए।
(2.)चित्र में m और n दो समतल दर्पण हैं जो परस्पर लम्बवत हैं।दर्शाइए कि आपतित किरण CA परावर्तित किरण BD के समान्तर है।
उत्तर (Answer):(1.) \angle 1=\angle 2(एकान्तर कोण), \angle 3=\angle 4 (एकान्तर कोण), \angle 5=\angle 6 (शीर्षाभिमुख कोण), \angle 3=\angle 7 (शीर्षाभिमुख कोण) , \angle 4=\angle 7 (संगत कोण)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर रेखाएँ एवं कोण के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Examples of Lines and Angles),रेखाएँ एवं कोण कक्षा 9 (Lines and Angles Class 9) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.रेखाएँ एवं कोण के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Frequently Asked Questions Related to Important Examples of Lines and Angles),रेखाएँ एवं कोण कक्षा 9 (Lines and Angles Class 9) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.तिर्यक रेखा किसे कहते हैं? (What is a Transversal Line?):
उत्तर:दो या दो से अधिक रेखाओं के समूह को एक रेखा प्रत्येक रेखा को भिन्न बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करें,तिर्यक रेखा कहलाती है।
प्रश्न:2.क्रमागत अन्त:कोण किसे कहते हैं? (What are Successive Interior Angles?):
उत्तर:तिर्यक रेखा के एक ही ओर के कोणों को क्रमागत अन्तःकोण कहते हैं।इन्हें सम्बन्धित कोण या सह अन्तःकोण नाम से भी लिखा या पढ़ा जा सकता है।
प्रश्न:3.संगत कोण कब बराबर होते हैं? (When Are the Corresponding Angles Equal?):
उत्तर:यदि दो या दो से अधिक समान्तर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा प्रतिच्छेद करें तो संगत कोण बराबर होते हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा रेखाएँ एवं कोण के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Examples of Lines and Angles),रेखाएँ एवं कोण कक्षा 9 (Lines and Angles Class 9) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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रेखाएँ एवं कोण के महत्त्वपूर्ण उदाहरण
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(Important Examples of Lines and Angles)
रेखाएँ एवं कोण के महत्त्वपूर्ण उदाहरण
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आर्टिकल में समान्तर रेखाओं तथा उनको प्रतिच्छेद करने वाली तिर्यक रेखा के द्वारा बने संगत कोण
,एकान्तर कोण,अन्तःकोण आदि पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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Satyam
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