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Existence of Limit

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1 1.सीमा का अस्तित्व (Existence of Limit)-

1.सीमा का अस्तित्व (Existence of Limit)-

सीमा का अस्तित्व (Existence of Limit)-एक नियमित बहुभुज जो एक वृत्त के अन्तर्गत है,के क्षेत्रफल पर विचार करने पर हम देखते हैं कि
(i) बहुभुज की भुजाओं की संख्या कितनी भी हो उसका क्षेत्रफल वृत्त के क्षेत्रफल से अधिक नहीं होता है।
(ii) जैसे-जैसे बहुभुज की भुजाओं की संख्या बढ़ाते जाते हैं तो उसका क्षेत्रफल वृत्त के क्षेत्रफल के नजदीक पहुंचता जाता है।
(iii) बहुभुज की भुजाओं की संख्याओं को ओर बढ़ाने पर वृत्त एवं बहुभुज के क्षेत्रफलों का अन्तर बहुत छोटा होता चला जाता है।
(1.) x \rightarrow a का अर्थ (Meaning of x \rightarrow a )-
माना x एक चर है और a एक अचर है।जब x,a के अत्यन्त निकट से भी निकट मान ग्रहण करता हुआ a की ओर अग्रसर होता है तो हम कहते हैं x,a की ओर प्रवृत्त है किन्तु x,a के बराबर नहीं है और इसे लिखते हैं- x \rightarrow a
यदि x दायीं ओर से a की ओर प्रवृत्त होता है अर्थात् x,a से बड़ी संख्याओं से a की ओर प्रवृत्त होता है तो इसे हम लिखते हैं: x \rightarrow a^{+}
इसी प्रकार यदि x बायीं ओर से a की ओर प्रवृत्त अर्थात् x,a से छोटी संख्याओं से a की ओर प्रवृत्त होता है तो इसे हम लिखते हैं: x \rightarrow a^{-}
अब यदि एक धनात्मक संख्या \delta  है जो कितनी भी छोटी है तथा x इस प्रकार मान ग्रहण करता है कि 0<|x-a|<\delta तो हम कहते हैं कि x,a की ओर प्रवृत्त है और इसे हम लिखते हैं: x \rightarrow a
टिप्पणी: x के a की ओर अग्रसर होने का अर्थ है कि a को छोड़कर उसके सामीप्य (neighbourhood) में प्रत्येक मान 1.9,1.99,1.999,……. तथा 2.1,2.01,2.001,…. इत्यादि ग्रहण करता है किन्तु 2 नहीं।

(2.)फलन की सीमा की परिभाषा (Definition of Limit of a Function)-

माना कि फलन y=f(x) ,x=a पर अपरिभाषित या परिभाषित है किन्तु x=a के दाएं या बाएं लघुसामीप्य में फलन f(x) परिभाषित है तो वास्तविक संख्या l फलन f की सीमा कहलाती है,जब x का मान a की ओर प्रवृत्त हो यदि और केवल यदि स्वेच्छत: निर्दिष्ट धनात्मक संख्या \varepsilon के लिए एक धनात्मक संख्या \delta का अस्तित्व इस प्रकार हो कि |f(x)-l|<\varepsilon जबकि 0<|x-a|<\delta ,इसे संकेत रूप में निम्न प्रकार लिख सकते हैं: \lim _{x \rightarrow a}f(x)=l

(3.) दायीं सीमा (Right Hand Limit)-

यदि x दायीं ओर से a की ओर प्रवृत्त होता है तो f की सीमा को हम लिखते हैं: \lim_{x \rightarrow a^{+}} f(x)
अथवा f(a+0).दायीं सीमा ज्ञात करने के लिए हम फलन f(x) में x=a+h प्रतिस्थापित कर h \rightarrow 0 करते हैं, अतः f(a+0)=\lim _{h \rightarrow 0} f(a+h),(h>0)

(4.) बायीं सीमा (Left Hand Limit)-

यदि x बायीं ओर से a की ओर प्रवृत्त होता है तो f की बायीं सीमा को हम लिखते हैं:\lim_{x \rightarrow a^{-}} f(x) अथवा f(a-0)
बायीं सीमा ज्ञात करने के लिए हम फलन f(x) में x=a-h प्रतिस्थापित कर h \rightarrow 0 करते हैं, अतः f(a-0)=\lim _{h \rightarrow 0} f(a-h),(h>0)

(5.)सीमा का अस्तित्व (Existence of Limit)-

\lim _{x \rightarrow a}f(x) का अस्तित्व होता है यदि और केवल यदि बायीं सीमा अर्थात् \lim_{x \rightarrow a^{-}} f(x) और दायीं सीमा अर्थात् \lim_{x \rightarrow a^{+}} f(x) दोनो का अस्तित्व हो और एक-समान हो।अर्थात् का अस्तित्व है \Leftrightarrow  f(a-0)=f(a+0)
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2.सीमा का अस्तित्व के उदाहरण (Existence of Limit Examples),फलन की सीमा के उदाहरण (Limit of a function examples)-

Example-1.प्रदर्शित कीजिए कि फलन f(x)=\frac{\log _{e} x}{x-1} की x=1 पर दायीं सीमा एवं बायीं सीमा समान है तथा इसका मान 1 है।
Solutionf(x)=\frac{\log _{e} x}{x-1}

दायीं सीमा (R.H.L.) f(1+0)=\lim _{h \rightarrow 0} f(1+h) \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\log _{e}(1+h)}{1+h-1} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\left(h-\frac{h^{2}}{2}+\frac{h^{3}}{3}-\cdots\right)}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\not h\left(1-\frac{h}{2}+\frac{h^{2}}{3}-\cdots\right)}{\not h}
दायीं सीमा (R.H.L.) f(1+0)=1
बायीं सीमा (L.H.L.) f(1-0) =\lim _{h \rightarrow 0} f(1-h) \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\log _{e}(1-h)}{1-h-1} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\left(-h-\frac{h^{2}}{2}-\frac{h^{3}}{3}-\cdots\right)}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{-h\left(1+\frac{h}{2}+\frac{h^{2}}{3}+-\right)}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0}\left(1+\frac{h}{2}+\frac{h^{3}}{3}+\cdots\right) \\ f(1-0)=1 \\ f(1+0)=f(1-0)=1
अतः x=1 पर फलन की सीमा का अस्तित्व है।
Example-2.क्या x=0 पर फलन f(x)=\frac{x+|x|}{x} की सीमाएं अस्तित्व में है?
Solutionf(x)=\frac{x+|x|}{x}
मापांक रहित करने पर-
जब x<0 तो |x|=-x \\ f(x)=\frac{x-x}{x} \\ f(x)=\frac{0}{x} \\ f(x)=0
जब x \geq 0 तो |x|=x \\ f(x)=\frac{x+x}{x} \\ f(x)=\frac{2 x}{x} \\f(x)=2 \\ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0 ,\text { जब } x<0 \\ 2, \text { जब } x \geq 0 \end{array}\right.
दायीं सीमा (R.H.L.) के लिए f(x)=2

f(0+0) =\lim _{h \rightarrow 0} f(0+h) \\ =\lim _{h \rightarrow 0}(2) \\ \Rightarrow f(0+0) =2
बायीं सीमा के लिए f(x)=0

f(0-0) =\lim _{h \rightarrow 0} f(0-h) \\ =\lim _{h \rightarrow 0}(0) \\ =0 \\ f(0+0) \neq f(0-0)
अतः x=0 पर फलन की सीमा का अस्तित्व नहीं है।
Example-3. सिद्ध कीजिए कि x=0 पर फलन f(x)=|x|+|x-1| की सीमाएं अस्तित्व में हैं।
Solution-f(x)=|x|+|x-1|
मापांक रहित करने पर-
जब x<0 तो

f(x)=-(x)-(x-1)
f(x)=-x-x+1
f(x)=-2x+1
जब 0 \leq x<1 तो
f(x)=x-(x-1)
f(x)=x-x+1
f(x)=1
जब x \geq 1 तो
f(x)=x+x-1
f(x)=2x-1

f(x)=\left\{\begin{array}{ll} -2 x+1, \text { जब  } x<0 \\ 1, \quad \quad \text {   जब } 0 \leq x<1 \\ 2 x-1 , \text { जब } x\geq 1 \end{array}\right.

x=0 पर
दायीं सीमा (R.H.L.) के लिए f(x)=1

f(x) =1 \\ f(0+0) =\lim _{h \rightarrow 0} f(0+h) \\ =\lim_{h \rightarrow 0}(1) \\ \Rightarrow f(0+0)=1
बायीं सीमा (L.H.L.) के लिए f(x)=-2x+1

f(0-0) =\lim _{h \rightarrow 0} f(0-h) \\ =\lim _{h \rightarrow 0} [-2(0-h)+1] \\ =\lim _{h \rightarrow 0}[2 h+1] \\ f(0-0)=1 \\ f(0+0)=f(0-0)
अतः x=0 पर फलन की सीमा का अस्तित्व है।
Example-4.सिद्ध कीजिए कि x=2 पर फलन
f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^{2}+x+1, \text { जब } x \geq 2 \\ x \quad \quad \quad \text { जब } x<2\end{array}\right.
की सीमाएं अस्तित्व में नहीं है।
Solutionf(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^{2}+x+1, \text { जब } x \geq 2 \\ x \quad \quad \quad \text { जब } x<2\end{array}\right.
x=2 पर
दायीं सीमा (R.H.L.) के लिए f(x)=x \\ f(2+0) =\lim _{h \rightarrow 0} f(2+h) \\ =\lim _{h \rightarrow 0}(2+h) \\f(2+0) =2
बायीं सीमा (L.H.L.) के लिए

f(x) =x^{2}+x+1 \\ f(2-0) =\lim _{h \rightarrow 0} f(2-h) \\ =\lim _{h \rightarrow 0}(2-h)^{2}+2-h+1 \\  =\lim _{h \rightarrow 0}\left(4-4 h+h^{2}+2-h+1\right) \\ =\lim _{h \rightarrow 0}\left(7-5 h+h^{2}\right) \\ f(2-0)=7 \\ f(2+0) \neq f(2-0)
अतः x=2 पर फलन की सीमा का अस्तित्व नहीं है।
Example-5.फलन f(x)=x \cos \left(\frac{1}{x}\right) की x=0 पर दायीं सीमा और बायीं सीमा ज्ञात कीजिए।
Solutionf(x)=x \cos \left(\frac{1}{x}\right)
x=0 पर
दायीं सीमा (R.H.L.) f(0+0) =\lim _{h \rightarrow 0} f(0+h) \\= \lim _{h \rightarrow 0}(0+h) \cos \left(\frac{1}{0+h}\right) \\ =\lim _{h \rightarrow 0} h \cos (\frac{1}{x})
बायीं सीमा (L.H.L.) f(0-0) =\lim _{h \rightarrow 0} f(0-h) \\ =\lim _{h \rightarrow 0}(0-h) \cos \left(\frac{1}{0-h}\right) \\ =\lim _{h \rightarrow 0}(-h) \cos (-\frac{1}{h}) \\ =\lim _{h \rightarrow 0}(-h \cos (-\frac{1}{h}))\\ \Rightarrow f(0-0)=0 \\ f(0+0)=f(0-0)=0

Example-6.\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x-1}{2 x^{2}-7 x+5} का मान ज्ञात करो।
Solution\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x-1}{2 x^{2}-7 x+5} \\ =\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x-1}{2 x^{2}-5 x-2 x+5} \\ =\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x-1}{x(2 x-5)-1(2 x-5)} \\ =\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)}{(x-1)(2 x-5)} \\ =\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1}{2 x-5} \\ =\frac{1}{2(1)-5} \\ =\frac{1}{2-5} \\ =-\frac{1}{3}
Example-7.\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{\sin x}{x}\right) का मान ज्ञात करो।
Solution\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \\ =\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{\text { -1 से 1 के बीच परिमित मान }}{\infty}\right) \\ =0

Example-8. \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x e^{x}-\log _{e}(1+x)}{x^{2}} का मान ज्ञात करो।
Solution\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x e^{x}-\log _{e}(1+x)}{x^{2}} \\ =\lim _{x \rightarrow 0}\frac{x\left(1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3 !}+x\right)-\left(x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}....\right)}{x^{2}} \\ =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x+x^{2}+\frac{x^{3}}{2}+\frac{x^{4}}{3 !}+\cdots+x+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}+\cdots}{ x^{2}} \\ =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}\left[\frac{3}{2}+\frac{x}{6}-\cdots \cdot\right]}{x^{2}} \\ =\frac{3}{2}
Example-9.\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}\right) का मान ज्ञात करो।

Solution\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}\right) \\ =\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{2} \left[1-\left(\frac{1}{2 ^{n}}\right)\right]}{1-\frac{1}{2}} \\ =\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{2} \left[1-\left(\frac{1}{2 ^{n}}\right)\right]}{\frac{1}{2}} \\ =\lim _{x \rightarrow \infty} { \left[1-\left(\frac{1}{2 ^{n}}\right)\right]} =1
Example-10.\lim _{x \rightarrow \infty} x \sin \frac{\pi}{4 x} \cos \frac{\pi}{4 x}
Solution\lim _{x \rightarrow \infty} x \sin \frac{\pi}{4 x} \cos \frac{\pi}{4 x} \\= \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x}{2}\left(2 \sin \frac{\pi}{4 x} \cos \frac{\pi}{4 x}\right) \\= \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x}{2} \sin \left(\frac{\pi}{2 x}\right) \\ =\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x}{2}\left[\frac{\pi}{2 x}-\left(\frac{\pi}{2 x}\right)^{2} \cdot \frac{1}{3 !}+\left(\frac{\pi}{2 x}\right)^{5} \cdot \frac{1}{5!}....\right] \\ =\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x}{2} \cdot \frac{\pi}{2 x}\left[1-\left(\frac {\pi}{2 x}\right)^{2} \cdot \frac{1}{3!} +\left(\frac{\pi}{2 x}\right)^{4} \cdot \frac{1}{5!}....\cdot\right] \\ =\frac{\pi}{4}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सीमा का अस्तित्व (Existence of Limit) को समझ सकते हैं।

3.सीमा का अस्तित्व की समस्याएं (Existence of Limit Problems)-

(1.) प्रर्दशित कीजिए कि f(x) =\frac{1}{2+x} की x=2 पर सीमा का अस्तित्व है।
(2.) यदि फलन f(x)=\left\{\begin{array}{l} (\frac{1}{2})-x, \text { जब } 2<x<-\frac{1}{2} \\ (-\frac{3}{2})-x ,\text { जब }  \frac{1}{2}<x<1 \end{array}\right. हो तो प्रर्दशित कीजिए कि x=\frac{1}{2} पर सीमा का अस्तित्व नहीं है।
(3.) यदि फलन f(x)=\left\{\begin{array}{l} 5 x-4, \quad 0<x \leq 1 \\ 4 x^{3}-3 x, 1<x<2 \end{array}\right.
तब x=1 पर दायीं सीमा एवं बायीं सीमा का मान ज्ञात कीजिए।
(4.)सिद्ध करो-\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\sqrt{x^{2}+1}-x\right]=0
(5.)सिद्ध करो-\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{x^{3}}=\frac{1}{6}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सीमा का अस्तित्व (Existence of Limit) को ठीक से समझ सकते हैं।

4.सीमा के अस्तित्व के लिए क्या शर्तें हैं? (What are the conditions for a limit to exist?)-

सीमा का अस्तित्व (Existence of Limit)-
का अस्तित्व होता है यदि और केवल यदि बायीं सीमा अर्थात् और दायीं सीमा अर्थात् दोनो का अस्तित्व हो और एक-समान हो।अर्थात् का अस्तित्व है f(a-0)=f(a+0)
यह कहने के लिए कि सीमा मौजूद है,फ़ंक्शन को उसी मान से संपर्क करना होगा,चाहे जिस दिशा से x आता हो (हमने इसे स्वतंत्र दिशा के रूप में संदर्भित किया है)।चूँकि यह x के लिए इस फ़ंक्शन के लिए सही नहीं है,क्योंकि दृष्टिकोण 0 तक सीमित नहीं है।

5.आपको कैसे पता चलेगा कि कोई सीमा मौजूद है? (How do you know if a limit exists?),क्या एक सीमा का एक छेद में अस्तित्व हो सकता है? (Can a limit exist at a hole?)-

यदि फ़ंक्शन के भिन्न मान के लिए कोई अन्य बिंदु नहीं होने के साथ, x जिस मान पर प्रवृत्त है, उस ग्राफ में एक छेद है, तो सीमा अभी भी मौजूद है।यदि ग्राफ़ दो अलग-अलग दिशाओं से दो अलग-अलग संख्याओं में आ रहा है, जैसे x किसी विशेष संख्या के पास आता है तो सीमा मौजूद नहीं है।

6.सीमा के पाँच नियम क्या हैं? (What are the five laws of limits?)-

एक योग की सीमा , सीमाओं के योग के बराबर है।अंतर की सीमा सीमाओं के अंतर के बराबर है।किसी फ़ंक्शन के अचर बार की सीमा फ़ंक्शन की सीमाओं के अचर बार के बराबर होती है।किसी गुणन की सीमा,सीमाओं के गुणन के बराबर है।

7.क्या एक अनंत सीमा का अस्तित्व है? (Does an infinite limit exist?)-

हमें बताता है कि जब भी x ,a के करीब होता है, तो f (x) एक बड़ी ऋणात्मक संख्या होती है और जैसे-जैसे x करीब आता है और a के करीब होता है, f (x) का मान बिना बंधे घटता जाता है।चेतावनी: जब हम एक सीमा = ∞ कहते हैं, तकनीकी रूप से यह सीमा मौजूद नहीं है। \lim _{x \rightarrow a}f(x)=L केवल एक संख्या होने पर ही तकनीकी रूप से अर्थ रखती है।

8.सीमा की परिभाषा (Definition of limit)-

गणित में, एक सीमा वह मान है जो एक फ़ंक्शन (या अनुक्रम) “एप्रोच” को इनपुट (या इंडेक्स) के रूप में “एप्रोच” से कुछ मूल्य देता है।कैलकुलस और गणितीय विश्लेषण के लिए सीमाएं आवश्यक हैं और सांतत्य, डेरिवेटिव और समाकल को परिभाषित करने के लिए उपयोग किया जाता है।

9.एक पक्षीय सीमाएं (One-sided limits)-

एक-पक्ष सीमा वह मान है जो फ़ंक्शन एप्रोच के रूप में एक्स-वैल्यू की सीमा को * एक पक्ष से * तक पहुंचाता है। उदाहरण के लिए f (x) = \frac {| x |} { x} ऋणात्मक संख्याओं के लिए -1 मान देता है,धनात्मक संख्याओं के लिए 1 और इसलिए 0 के लिए परिभाषित नहीं है।x = 0 पर f की एक पक्ष * दायीं * सीमा 1 है।और x = 0 पर एक पक्ष * बायीं * सीमा -1 है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा सीमा का अस्तित्व (Existence of Limit) को भली-भांति समझा जा सकता है।

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