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Law of Exponents for Real Numbers

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1 1.वास्तविक संख्याओं के लिए घातांक नियम (Law of Exponents for Real Numbers),रीयल नम्बर्स के लिए घातांक नियम (Law of Indices for Real Numbers):
1.2 3.वास्तविक संख्याओं के लिए घातांक नियम के सवाल (Law of Exponents for Real Numbers Questions):

1.वास्तविक संख्याओं के लिए घातांक नियम (Law of Exponents for Real Numbers),रीयल नम्बर्स के लिए घातांक नियम (Law of Indices for Real Numbers):

वास्तविक संख्याओं के लिए घातांक नियम (Law of Exponents for Real Numbers) सर्वप्रथम फ्रांसीसी गणितज्ञ रेने देकार्त ने ज्ञात किया था।सत्रहवीं शताब्दी में रेने देकार्त ने एक ही संख्या का कई बार गुणा करने पर प्राप्त गुणनफल को एक विशेष नियम द्वारा प्रतिपादित किया जिसे घातांक नियम (Law of Exponents) कहा गया तथा इसको विपरीत क्रम में लिखने के नियम को करणी कहा गया।
महत्त्वपूर्ण सूत्र (Important Formulas):
(1.)यदि किसी संख्या को उसी संख्या से n बार गुणा किया जाय तो निम्न प्रकार लिखा जा सकता है:
a \times a \times a \times \ldots \times a \text { (n बार) }=a^{n}
(i)यहाँ n व a वास्तविक संख्याएँ हैं।
(ii) a को आधार (base) कहते हैं।
(iii)n को घातांक (Indices) कहते हैं।
(2.)गुणा करने पर यदि आधार बराबर (समान) हो तो घातांकों को जोड़ दिया जाता है जैसे:

(i)a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}

(ii)x^{a} \times x^{b} \times x^{c}=x^{a+b+c}
(3.)यदि घातांक बराबर हो तो गुणा करने पर सभी को एक साथ घात लगा दिया जाता है:

(i)a^{m} \times b^{m} \times c^{m}=(a b c)^{m}=a^{m} b^{m} c^{m}
(4.)भाग करते समय यदि आधार बराबर हो तो बड़ी घात में से छोटी घात को घटा दिया जाता है:

\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n},m>n
(5.)यदि किसी पूर्णांक पर ऋणात्मक घातांक हो तो उसका स्थान परिवर्तित करने पर धनात्मक में परिवर्तित हो जाती है:

a^{-m}=\frac{1}{a^{m}} या \frac{1}{a^{-m}}=a^{m}
(6.)यदि घातांक के ऊपर घातांक ओर हो तो घातांकों को आपस में गुणा कर दिया जाता है:

(i)\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m n}

(ii)\left(a^{m}\right)^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{m}{n}}

(iii)\left \{ (a^{m})^{n} \right \}^{p}=a^{mnp}
(7.)यदि आधार भिन्न के रूप का हो तो घातांक को अंश के अंक व हर के अंक के ऊपर अलग-अलग लिखा जा सकता है:

\left(\frac{a}{b}\right)^{m}=\frac{a^{m}}{b^{m}}
(8.)किसी संख्या पर घातांक शून्य हो तो उसका मान हमेशा 1 होता है:

x^{0}=y^{0}=1,(100)^{0}=1,(1255)^{0}=1

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2.वास्तविक संख्याओं के लिए घातांक नियम के उदाहरण (Law of Exponents for Real Numbers Examples):

Example:1.ज्ञात कीजिए:

(i)64^{\frac{1}{2}}
Solution:64^{\frac{1}{2}} \\ =(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2)^{\frac{1}{2}} \\ = \left(2^{6}\right)^{\frac{1}{2}} [(a^{m})^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{m}{n}} से]

=2^{6 \times \frac{1}{2}}=2^{3} \\=2 \times 2 \times 2=8
(ii)32^{\frac{1}{5}}
Solution:32^{\frac{1}{5}} \\ =(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2)^{\frac{1}{5}} \\ =\left(2^{5}\right)^{\frac{1}{5}} \\ =2^{5 \times \frac{1}{5}} [(a^{m})^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{m}{n}} से]
=2
(iii)(125)^{\frac{1}{3}}
Solution:(125)^{\frac{1}{3}} \\=(5 \times 5 \times 5)^{\frac{1}{3}} \\=\left(5^{3}\right)^{\frac{1}{3}} \\ =5^{3 \times \frac{1}{3}} [(a^{m})^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{m}{n}} से]
=5
Example:2.ज्ञात कीजिए:
(i)9^{\frac{3}{2}}
Solution:9^{\frac{3}{2}} \\ =\left(3^{2}\right)^{\frac{3}{2}} \\ =3^{2 \times \frac{3}{2}} [(a^{m})^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{m}{n}} से]
=3^{3} \\=3 \times 3 \times 3 \\ =27
(ii)(32)^{\frac{2}{5}}
Solution:(32)^{\frac{2}{5}} \\=(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2)^{\frac{2}{5}} \\=\left(2^{5}\right)^{\frac{2}{5}}\\=2^{5 \times \frac{2}{5}} [(a^{m})^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{m}{n}} से]
=2^{2} \\ =2 \times 2=4
(iii)16^{\frac{3}{4}}
Solution:16^{\frac{3}{4}} \\ =(2 \times 2 \times 2 \times 2)^{\frac{3}{4}} \\ =\left(2^{4}\right)^{\frac{3}{4}} [(a^{m})^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{m}{n}} से]
=2^{3} \\=8
(iv)125^{-\frac{1}{3}}
Solution:125^{-\frac{1}{3}} \\ =(5 \times 5 \times 5)^{-\frac{1}{3}} \\ =\left(5^{3}\right)^{-\frac{1}{3}} \\ =5^{3 \times-\frac{1}{3}}[(a^{m})^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{m}{n}} से]
=5^{-1} \\ =\frac{1}{5}
Example:3.सरल कीजिए:
(i)2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{5}}
Solution:2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{5}} \\ =2^{\frac{2}{3}+\frac{1}{5}} [ a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n} से]
=2^{\frac{10+3}{15}} \\ =2^{\frac{13}{15}}
(ii)\left(\frac{1}{3^{3}}\right)^{7}
Solution:\left(\frac{1}{3^{3}}\right)^{7} \\ =\frac{1}{3^{3 \times 7}} [(a^{m})^{n}=a^{mn} से]
=\frac{1}{3^{21}} \\ =3^{-21}
(iii)\frac{11^{\frac{1}{2}}}{11^{\frac{1}{4}}}
Solution:\frac{11^{\frac{1}{2}}}{11^{\frac{1}{4}}} \\ =11^{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}} [ \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n} से]
=11^{\frac{2-1}{4}} \\ = 11^{\frac{1}{4}}
(iv)7^{\frac{1}{2}} \cdot 8^{\frac{1}{2}}
Solution:7^{\frac{1}{2}} \cdot 8^{\frac{1}{2}} \\ =(7 \times 8)^{\frac{1}{2}} [a^{m} \times b^{m}=(a b)^{m n} से]
=56^{\frac{1}{2}}

(v)2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{7}}

Solution:2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{7}} \\ 2^{\frac{2}{3}+\frac{1}{7}} [a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n} से]

=2^{\frac{14+3}{21}} \\ 2^{\frac{17}{21}}

Example:4.x का मान ज्ञात कीजिए:

\left(\frac{3}{5}\right)^{x}\left(\frac{5}{3}\right)^{2 x}=\frac{125}{27}
Solution:\left(\frac{3}{5}\right)^{x}\left(\frac{5}{3}\right)^{2 x}=\frac{125}{27} \\ \Rightarrow \left(\frac{5}{3}\right)^{-x}\left(\frac{5}{3}\right)^{2 x}=\frac{5 \times 5 \times 5}{3 \times 3 \times 3} \\ \Rightarrow \left(\frac{5}{3}\right)^{2 x-x}=\left(\frac{5}{3}\right)^{3} \\ \Rightarrow \left(\frac{5}{3}\right)^{x}=\left(\frac{5}{3}\right)^{3} \\ \Rightarrow x=3
Example:5.मान ज्ञात कीजिए:

\left(\frac{65536}{43046721}\right)^{\frac{3}{16}}
Solution:\left(\frac{65536}{43046721}\right)^{\frac{3}{16}} \\ =\left[\left(\frac{2^{16}}{3^{16}}\right) \right]^{\frac{3}{16}}\left[2^{16}=65536,3^{16}=43046721\right] \\ =\frac{2^{16 \times \frac{3}{16}}}{3^{16 \times \frac{3}{16}}} [\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m n} से ]  
=\frac{2^{3}}{3^{3}} \\ =\frac{8}{27}
Example:6.निम्न को सरल कीजिए:

(9261)^{\frac{1}{3}} \times(441)^{\frac{2}{3}} \times(189)^{-\frac{4}{3}}
Solution:(9261)^{\frac{1}{3}} \times(441)^{\frac{2}{3}} \times(189)^{-\frac{4}{3}} \\ =(3 \times 3 \times 3 \times 7 \times 7 \times 7)^{\frac{1}{3}} \times(3 \times 3 \times 7 \times 7)^{\frac{2}{3}} \times(3 \times 3 \times 3 \times 7)^{-\frac{4}{3}} \\=\left(3^{3} \times 7^{3}\right)^{\frac{1}{3}} \times\left(3^{2} \times 7^{2}\right)^{\frac{2}{3}} \times\left(3^{3} \times 7\right)^{-\frac{4}{3}} \\ =3^{3 \times \frac{1}{3}} \times 7^{3 \times \frac{1}{3}} \times 3^{2 \times \frac{2}{3}} \times 7^{2 \times \frac{2}{3}} \times 3^{3 \times-\frac{4}{3}} \times 7^{-\frac{4}{3}} [ (a^{m})^{n}=a^{m n} से]
=3 \times 7 \times 3^{\frac{4}{3}} \times 7^{\frac{4}{3}} \times 3^{-4} \times 7^{-\frac{4}{3}} \\ =3^{1+\frac{4}{3}-4} \times 7^{1+\frac{4}{3}-\frac{4}{3}} \\ =3^{\frac{3+4-12}{3}} \times 7^{1} \\ =3^{-\frac{5}{3}} \times 7 \\ =\frac{7}{3^{\frac{5}{3}}} \\=\frac{7}{\sqrt[3]{3^{5}}}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा वास्तविक संख्याओं के लिए घातांक नियम (Law of Exponents for Real Numbers),रीयल नम्बर्स के लिए घातांक नियम (Law of Indices for Real Numbers) को समझ सकते हैं।

3.वास्तविक संख्याओं के लिए घातांक नियम के सवाल (Law of Exponents for Real Numbers Questions):

(1.)सरल कीजिए:

\text{(i)}\left(\frac{1}{3^{5}}\right)^{4} \\ \text { (ii) } \frac{7^{\frac{1}{5}}}{7^{\frac{1}{3}}} \\ \text { (iii) } 13^{\frac{1}{5}} \cdot 17^{\frac{1}{5}}
(2.)ज्ञात कीजिए:

(i) (9261)^{\frac{1}{3}} (ii) (1331)^{\frac{2}{3}}
उत्तर (Answers):(1) (i) 3^{\frac{4}{5}} (ii) 7^{-\frac{2}{15}} (iii) (221)^{\frac{1}{5}}

(2.) (i) 21 (ii) 121
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर वास्तविक संख्याओं के लिए घातांक नियम (Law of Exponents for Real Numbers),रीयल नम्बर्स के लिए घातांक नियम (Law of Indices for Real Numbers) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.वास्तविक संख्याओं के लिए घातांक नियम (Law of Exponents for Real Numbers),रीयल नम्बर्स के लिए घातांक नियम (Law of Indices for Real Numbers) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.वास्तविक संख्याएँ क्या हैं? (What are the Real Numbers?):

उत्तर:सभी परिमेय संख्याओं और अपरिमेय संख्याओं को एक साथ लेने पर वास्तविक संख्याओं का संग्रह प्राप्त होता है।

प्रश्न:2.घातांक नियम कौनसी स्थिति में लागू किया जा सकता है? (In which case can the exponent rule be applied?):

उत्तर:घातांक नियम उस स्थिति में लागू हो सकते हैं जबकि घातांक परिमेय संख्या हो।ये नियम वहाँ भी लागू हो सकते हैं जहाँ घातांक वास्तविक संख्या हो।

प्रश्न:3.निम्नलिखित को घातांकी रूप में लिखिए (Write the following as a exponential):

(i) \sqrt{7} (ii) \sqrt[3]{7^{2}} (iii) \sqrt[5]{\frac{7}{11}}
उत्तर:\text{(i)}\sqrt{7}=7^{\frac{1}{2}} \\ \text{ (ii)} \sqrt[3]{7^{2}}=7^{\frac{2}{3}} \\ \text{ (iii) } \sqrt[5]{\frac{7}{11}}=\left(\frac{7}{11}\right)^{\frac{1}{5}}

प्रश्न:4.निम्नलिखित को करणी रूप में लिखिए।(Write the following in Radical form):

(i)(13)^{\frac{2}{3}} (ii)(21)^{\frac{3}{7}}\left(\frac{13}{27}\right)^{\frac{4}{5}}
उत्तर:\text{(i)}(13)^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{13^{2}} \\ \text{(ii)}(21)^{\frac{3}{7}}=\sqrt[7]{21^{3}} \\ \text{(iii)} \left(\frac{13}{27}\right)^{\frac{4}{5}}=\sqrt[5]{\left(\frac{13}{27}\right)^{4}}

प्रश्न:5.परिमेय संख्याएँ किसे कहते हैं? (What are the Rational Numbers Called?):

उत्तर:एक परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार या तो सांत होता है या अनवसानी आवर्ती होता है।साथ ही वह संख्या जिसका दशमलव प्रसार सांत या अनवसानी आवर्ती है,परिमेय होती है।

प्रश्न:6.संख्या रेखा पर वास्तविक संख्याओं का निरूपण कैसे करते हैं? (How do you represent the Rational Numbers on the Number Line?):

उत्तर:किसी भी वास्तविक संख्या का एक दशमलव प्रसार होता है।इसकी सहायता से हम इस संख्या को संख्या रेखा पर निरूपित कर सकते हैं।संख्या रेखा के संगत एक वास्तविक संख्या होती है।साथ ही प्रत्येक वास्तविक संख्या के संगत संख्या रेखा पर एक अद्वितीय बिन्दु होता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा वास्तविक संख्याओं के लिए घातांक नियम (Law of Exponents for Real Numbers),रीयल नम्बर्स के लिए घातांक नियम (Law of Indices for Real Numbers) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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वास्तविक संख्याओं के लिए घातांक नियम
(Law of Exponents for Real Numbers)

Law of Exponents for Real Numbers

वास्तविक संख्याओं के लिए घातांक नियम (Law of Exponents for Real Numbers) सर्वप्रथम फ्रांसीसी गणितज्ञ
रेने देकार्त ने ज्ञात किया था।सत्रहवीं शताब्दी में रेने देकार्त ने एक ही संख्या का कई बार गुणा करने पर प्राप्त
गुणनफल को एक विशेष नियम द्वारा प्रतिपादित किया

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