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Rationalisation of Denominator

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1 1.हर का परिमेयकरण (Rationalisation of Denominator),वर्गमूलों से सम्बन्धित सर्वसमिकाएँ (Identities Related to Square Roots):

1.हर का परिमेयकरण (Rationalisation of Denominator),वर्गमूलों से सम्बन्धित सर्वसमिकाएँ (Identities Related to Square Roots):

हर का परिमेयकरण (Rationalisation of Denominator) तथा वर्गमूलों से सम्बन्धित सर्वसमिकाओं (Identities Related to Square Roots) का उपयोग अपरिमेय संख्याओं के सरलीकरण में किया जाता है।वर्गमूलों से सम्बन्धित कुछ सर्वसमिकाएँ (Identities) हैं विभिन्न विधियों से उपयोगी हैं।
(1.)वर्गमूलों से सम्बन्धित सर्वसमिकाएँ (Identities Related to Square Roots):

(1)\sqrt{a b}=\sqrt{a} \sqrt{b} 
(2)\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}
(3)(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b
(4)(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})=a^{2}-b
(5)(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{c}+\sqrt{d})=\sqrt{a c}+\sqrt{a d}+\sqrt{b c}+\sqrt{b d}
(6)(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}=a+2 \sqrt{a b}+b
मान लीजिए a और b वास्तविक संख्याएँ हैं।तब
ऊपर वर्णित सरलीकरण का अर्थ यह है कि व्यंजक को परिमेय संख्याओं और अपरिमेय संख्याओं के योग के रूप में लिखना चाहिए।
(2.)हर का परिमेयकरण (Rationalisation of Denominator):
जब एक व्यंजक के हर में वर्गमूल वाला पद होता है (या कोई संख्या करणी चिन्ह (radical sign) के अन्दर हो) [\sqrt{}को करणी चिन्ह (radical sign) कहा जाता है],तब इसे एक ऐसे तुल्य व्यंजक में जिसका हर एक परिमेय संख्या है,रूपान्तरित करने की क्रियाविधि को हर का परिमेयकरण (Rationalisation of Denominator) कहा जाता है।
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2.हर का परिमेयकरण के उदाहरण (Rationalisation of Denominator Examples):

Example:1.नीचे दी गई संख्याओं में कौन-कौनसी अपरिमेय हैं:
(i)2-\sqrt{5}
Solution:अपरिमेय संख्या है।
(ii)(3+\sqrt{23})-\sqrt{23}
Solution:(3+\sqrt{23})-\sqrt{23} \\ (3+\sqrt{23})-\sqrt{23} \\ =3+\sqrt{23}-\sqrt{23}\\ =3

परिमेय संख्या है।
(iii) \frac{2 \sqrt{7}}{7 \sqrt{7}}
Solution:\frac{2 \sqrt{7}}{7 \sqrt{7}} \\ =\frac{2}{7} परिमेय संख्या है।
(iv) \frac{1}{\sqrt{2}}
Solution:अपरिमेय संख्या है।
(v)2 \pi
Solution:अपरिमेय संख्या है।
Example:2.निम्नलिखित व्यंजकों में से प्रत्येक व्यंजक को सरल कीजिए:
(i)(3+\sqrt{3})(2+\sqrt{2})
Solution:(3+\sqrt{3})(2+\sqrt{2}) \\ =3(2+\sqrt{2})+\sqrt{3}(2+\sqrt{2}) \\ =6+3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}+\sqrt{6}
(ii)(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})
Solution:(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3}) \\ (3)^{2}+(\sqrt{3})^{2}
\left[(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})=a^{2}-b\right] सर्वसमिका से
=9-3
=6
(iii)(\sqrt{5}+\sqrt{2})^{2}
Solution:(\sqrt{5}+\sqrt{2})^{2} \\ =(\sqrt{5})^{2}+2(\sqrt{5})(\sqrt{2})+(\sqrt{2})^{2}
\left[(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})=a^{2}-b\right] सर्वसमिका से

=5+2 \sqrt{10}+2 \\ =7+2 \sqrt{10}
(iv)(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})
Solution:(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2}) \\ =(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{2})^{2} 
(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a-b  सर्वसमिका से
=5-2
=3
Example:3.आपको याद होगा कि π को एक वृत्त की परिधि (मान लीजिए c) और उसके व्यास (मान लीजिए d) के अनुपात से परिभाषित किया जाता है अर्थात् \pi=\frac{c}{d} है।यह इस तथ्य का अन्तर्विरोध करता हुआ प्रतीत होता है कि π अपरिमेय संख्या है।इस अन्तरविरोध का निराकरण आप किस प्रकार करेंगे?
उत्तर:इसका कोई अन्तर्विरोध नहीं है।जब कभी भी स्केल (पैमाने) से या किसी अन्य युक्ति से लम्बाई मापते हैं तब हमें केवल एक सन्निकट परिमेय मान प्राप्त होता है।अर्थात् सटीक 1,2,3,4,….की तरह निश्चित मान नहीं प्राप्त होता है।अतः हम यह अनुभव नहीं कर पाते कि c या d अपरिमेय है।

Example:4.निम्नलिखित के हरों का परिमेयकरण कीजिए:
(i)\frac{1}{\sqrt{7}}
Solution:\frac{1}{\sqrt{7}}
\sqrt{7} अंश व हर को से गुणा करने पर:

=\frac{1}{\sqrt{7}} \times \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} \\ =\frac{\sqrt{7}}{49}
(ii)\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}
Solution:
अंश व हर को \sqrt{7}+\sqrt{6} से गुणा करने पर:

=\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{\sqrt{7}+\sqrt{6}} \\ =\frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{(\sqrt{7})^{2}-(\sqrt{6})^{2}} \\ =\frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{7-6} \\ =\frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{1} \\ =\sqrt{7}+\sqrt{6}
(iii) \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}
Solution: \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}
अंश व हर को \sqrt{5}-\sqrt{2} से गुणा करने पर:

=\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} \\=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{2})^{2}} \\=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{5-2} \\=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}
(iv)\frac{1}{\sqrt{7}-2}
Solution:\frac{1}{\sqrt{7}-2}
अंश व हर को \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}+2} से गुणा करने पर:

=\frac{1}{\sqrt{7}-2} \times \frac{\sqrt{7}+2}{\sqrt{7}+2} \\=\frac{\sqrt{7}+2}{(\sqrt{7})^{2}-(2)^{2}} \\=\frac{\sqrt{7}+2}{7-4} \\=\frac{\sqrt{7}+2}{3}
(v)\frac{1}{5 \sqrt{3}}
Solution:\frac{1}{5 \sqrt{3}}
अंश व हर को \frac{1}{\sqrt{3}}  से गुणा करने पर:

=\frac{1}{5 \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ =\frac{\sqrt{3}}{5 \times(13)^{2}} \\=\frac{\sqrt{3}}{5 \times 3} \\ =\frac{\sqrt{3}}{15}
(vi)\frac{1}{3 \sqrt{3}+4 \sqrt{5}}
Solution:\frac{1}{3 \sqrt{3}+4 \sqrt{5}}
अंश व हर को 3 \sqrt{3}-4 \sqrt{5} से गुणा करने पर:

=\frac{1}{3 \sqrt{3}+4 \sqrt{5}} \times \frac{3 \sqrt{3}-4 \sqrt{5}}{3 \sqrt{3}-4 \sqrt{5}} \\=\frac{3 \sqrt{3}-4 \sqrt{5}}{(3 \sqrt{3})^{2}-(4 \sqrt{5})^{2}} \\=\frac{3 \sqrt{3}-4 \sqrt{5}}{27-80}\\ =\frac{3 \sqrt{3}-4 \sqrt{5}}{-53} \\=\frac{-(4 \sqrt{5}-3 \sqrt{3})}{-53} \\=\frac{4 \sqrt{5}-3 \sqrt{3}}{53}
(vii) \frac{1}{3 \sqrt{3}-6}
Solution: \frac{1}{3 \sqrt{3}-6} \\ =\frac{1}{3(\sqrt{3}-2)}
अंश व हर को \sqrt{3}+2 से गुणा करने पर:

=\frac{1}{3(\sqrt{3}-2)} \times \frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}+2} \\ =\frac{\sqrt{3}+2}{3\left[(\sqrt{3})^{2}-(2)^{2}\right]} \\ =\frac{\sqrt{3}+2}{3(3-4)}\\=\frac{\sqrt{3}+2}{3(-1)} \\ =-\frac{1}{3}(\sqrt{3}+2)
Example:5.जाँच कीजिए कि 3\sqrt{5},3\pi-5,\sqrt{3} अपरिमेय संख्या है या नहीं।
Solution:3\sqrt{5} \\ \sqrt{5}=2.236067977….. 

अतः 3 \sqrt{5} =3(2.236067977 \ldots) \\ =6.708203932 \ldots \\ \pi=3.1415926535 \\ 3 \pi-5=3 \times(3.1415926535.....)-5 \\ =9.424777961....-5 \\ =4.424777961....\\ \sqrt{3}=1.732050808
ये सभी अनवसानी अनावर्ती दशमलव हैं।अतः ये सभी अपरिमेय संख्याएँ हैं।
Example:6.संख्या रेखा पर \sqrt{9.3} को निरूपित कीजिए।
Solution:एक दी हुई रेखा पर एक स्थिर बिन्दु A से 9.3 एकक की दूरी पर चिन्ह लगाने पर एक ऐसा बिन्दु B प्राप्त होता है जिससे कि AB=9.3 एकक (देखिए आकृति)।B से 1 एकक की दूरी पर चिन्ह लगाया और इस नए बिन्दु को C मान लिया।AC का मध्य-बिन्दु ज्ञात किया और उस बिन्दु को O मान लिया।O को केन्द्र और OC=4.65 एकक त्रिज्या लेकर एक अर्द्धवृत्त बनाया।AC पर लम्ब एक ऐसी रेखा खींची जो B से होकर जाती हो और अर्द्धवृत्त को D पर काटती हो।
तब BD= \sqrt{9.3} है।
गणितीय व्याख्या:
OA=OC=OD=\frac{1}{2}AC (अर्धवृत्त की त्रिज्याएँ)
OA=OC=OD

=\frac{1}{2} [AC=AB+BC]
[\because  AC=AB+BC]
=\frac{1}{2}[9.3+1.0] \\=\frac{1}{2} \times 10.3 \\ \Rightarrow OD=5.15
समकोण त्रिभुज \triangle OBD में:
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

O D^{2}=B D^{2}+O B^{2} \\ \Rightarrow B D^{2}=O D^{2}-O B^{2} \\ \Rightarrow B D=\sqrt{(O D+O B)(O D-O B)} \\ {\left[\because a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\right]} \\ \Rightarrow B D=\sqrt{(5.15+4.15)(5.15-4.15)} \\ {[\because O B=O C-B C=5.15-1=4.15]} \\ \Rightarrow B D=\sqrt{9.3 \times 1} \\ \Rightarrow B D=\sqrt{9.3}

उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा हर का परिमेयकरण (Rationalisation of Denominator),वर्गमूलों से सम्बन्धित सर्वसमिकाएँ (Identities Related to Square Roots) को समझ सकते हैं।

3.हर का परिमेयकरण के सवाल (Rationalisation of Denominator Questions):

(1.)जाँच कीजिए कि 7 \sqrt{5}, \frac{7}{\sqrt{5}}, \sqrt{2}+21,\pi-2 अपरिमेय संख्याएँ हैं या नहीं।
(2.)2 \sqrt{2}+5 \sqrt{3} और \sqrt{2}-3 \sqrt{3} को जोड़िए।
(3.)6 \sqrt{5} को 2\sqrt{5} से गुणा कीजिए।
(4.)8 \sqrt{15} को 2 \sqrt{3} से भाग दीजिए।
(5.)\frac{1}{2+\sqrt{3}} के हर का परिमेयकरण कीजिए।
(6.) \frac{5}{\sqrt{3}-\sqrt{5}} के हर का परिमेयकरण कीजिए।
(7.)\frac{1}{7+3 \sqrt{2}} के हर का परिमेयकरण कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.)ये सभी अनवसानी अनावर्ती दशमलव हैं।अतः ये सभी अपरिमेय संख्याएँ हैं।

(2) 3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}
(3) 60
(4.) 4 \sqrt{5}
(5.) 2-\sqrt{3}
(6.) \left(-\frac{5}{2}\right)(\sqrt{3}+\sqrt{5})
(7.) \frac{7-3 \sqrt{2}}{31}

उपर्युक्त सवालों को हल करने पर हर का परिमेयकरण (Rationalisation of Denominator),वर्गमूलों से सम्बन्धित सर्वसमिकाएँ (Identities Related to Square Roots) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.हर का परिमेयकरण (Rationalisation of Denominator),वर्गमूलों से सम्बन्धित सर्वसमिकाएँ (Identities Related to Square Roots) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.परिमेय संख्याएं कौन कौन-सी संक्रियाओं को संतुष्ट करती हैं? (The rational numbers satisfy which operations?):

उत्तर:परिमेय संख्याएँ योग और गुणन के क्रमविनिमेय (commutative),साहचर्य (associative) और बंटन (distributive) नियमों को संतुष्ट करती हैं।साथ ही दो परिमेय संख्याओं को जोड़ें,घटाएं,गुणा करें या (शून्य छोड़कर) भाग दें तब भी हमें एक परिमेय संख्या प्राप्त होती है अर्थात् जोड़,घटाना,गुणा और भाग के सापेक्ष परिमेय संख्याएं संवृत (Closed) होती हैं।

प्रश्न:2.अपरिमेय संख्या कौन-कौनसी संक्रियाओं को संतुष्ट करती है? (The irrational number satisfies which operations?):

उत्तर:अपरिमेय संख्याएँ भी योग और गुणन के क्रमविनिमेय,साहचर्य और बंटन नियमों को संतुष्ट करती है।परंतु अपरिमेय संख्याओं के योग,अंतर,भागफल और गुणनफल सदा अपरिमेय नहीं होते हैं।उदाहरणार्थ \sqrt{3}- \sqrt{3} =0 ,( \sqrt{2} )( \sqrt{2} )=2,\frac{ \sqrt{5} }{ \sqrt{5} }=1 परिमेय संख्याएं हैं।

प्रश्न:3.परिमेय संख्या किस प्रकार की होती हैं? (What types are the rational number?):

उत्तर:परिमेय संख्याएं सांत दशमलव प्रसार (Terminating) अथवा असांत आवर्ती (Non-terminating Repeating) होती है।

प्रश्न:4.अपरिमेय संख्याएँ किस प्रकार की होती हैं? (What types are the irrational number?):

उत्तर:अपरिमेय संख्याएं असांत अनावर्ती अर्थात् अनवसानी अनावर्ती (Non-Terminating Not Repeating) प्रकार की होती हैं।

प्रश्न:5.करणी चिन्ह किसे कहते हैं? (What is the radical sign called?):

उत्तर: \sqrt{2}, \sqrt{3} ,\sqrt[3]{8} आदि में प्रयुक्त प्रतीक \sqrt{} को करणी चिन्ह (Radical Sign) कहा जाता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा हर का परिमेयकरण (Rationalisation of Denominator),वर्गमूलों से सम्बन्धित सर्वसमिकाएँ (Identities Related to Square Roots) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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(Identities Related to Square Roots) का उपयोग अपरिमेय संख्याओं के सरलीकरण में किया जाता है।

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