1.हर का परिमेयकरण (Rationalisation of Denominator),वर्गमूलों से सम्बन्धित सर्वसमिकाएँ (Identities Related to Square Roots):

Rationalisation of Denominator

हर का परिमेयकरण (Rationalisation of Denominator) तथा वर्गमूलों से सम्बन्धित सर्वसमिकाओं (Identities Related to Square Roots) का उपयोग अपरिमेय संख्याओं के सरलीकरण में किया जाता है।वर्गमूलों से सम्बन्धित कुछ सर्वसमिकाएँ (Identities) हैं विभिन्न विधियों से उपयोगी हैं।
(1.)वर्गमूलों से सम्बन्धित सर्वसमिकाएँ (Identities Related to Square Roots):

(1)\sqrt{a b}=\sqrt{a} \sqrt{b} 
(2)\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}
(3)(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b
(4)(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})=a^{2}-b
(5)(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{c}+\sqrt{d})=\sqrt{a c}+\sqrt{a d}+\sqrt{b c}+\sqrt{b d}
(6)(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}=a+2 \sqrt{a b}+b
मान लीजिए a और b वास्तविक संख्याएँ हैं।तब
ऊपर वर्णित सरलीकरण का अर्थ यह है कि व्यंजक को परिमेय संख्याओं और अपरिमेय संख्याओं के योग के रूप में लिखना चाहिए।
(2.)हर का परिमेयकरण (Rationalisation of Denominator):
जब एक व्यंजक के हर में वर्गमूल वाला पद होता है (या कोई संख्या करणी चिन्ह (radical sign) के अन्दर हो) [\sqrt{}को करणी चिन्ह (radical sign) कहा जाता है],तब इसे एक ऐसे तुल्य व्यंजक में जिसका हर एक परिमेय संख्या है,रूपान्तरित करने की क्रियाविधि को हर का परिमेयकरण (Rationalisation of Denominator) कहा जाता है।
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2.हर का परिमेयकरण के उदाहरण (Rationalisation of Denominator Examples):

Example:1.नीचे दी गई संख्याओं में कौन-कौनसी अपरिमेय हैं:
(i)2-\sqrt{5}
Solution:अपरिमेय संख्या है।
(ii)(3+\sqrt{23})-\sqrt{23}
Solution:(3+\sqrt{23})-\sqrt{23} \\ (3+\sqrt{23})-\sqrt{23} \\ =3+\sqrt{23}-\sqrt{23}\\ =3

परिमेय संख्या है।
(iii) \frac{2 \sqrt{7}}{7 \sqrt{7}}
Solution:\frac{2 \sqrt{7}}{7 \sqrt{7}} \\ =\frac{2}{7} परिमेय संख्या है।
(iv) \frac{1}{\sqrt{2}}
Solution:अपरिमेय संख्या है।
(v)2 \pi
Solution:अपरिमेय संख्या है।
Example:2.निम्नलिखित व्यंजकों में से प्रत्येक व्यंजक को सरल कीजिए:
(i)(3+\sqrt{3})(2+\sqrt{2})
Solution:(3+\sqrt{3})(2+\sqrt{2}) \\ =3(2+\sqrt{2})+\sqrt{3}(2+\sqrt{2}) \\ =6+3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}+\sqrt{6}
(ii)(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})
Solution:(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3}) \\ (3)^{2}+(\sqrt{3})^{2}
\left[(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})=a^{2}-b\right] सर्वसमिका से
=9-3
=6
(iii)(\sqrt{5}+\sqrt{2})^{2}
Solution:(\sqrt{5}+\sqrt{2})^{2} \\ =(\sqrt{5})^{2}+2(\sqrt{5})(\sqrt{2})+(\sqrt{2})^{2}
\left[(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})=a^{2}-b\right] सर्वसमिका से

=5+2 \sqrt{10}+2 \\ =7+2 \sqrt{10}
(iv)(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})
Solution:(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2}) \\ =(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{2})^{2} 
(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a-b  सर्वसमिका से
=5-2
=3
Example:3.आपको याद होगा कि π को एक वृत्त की परिधि (मान लीजिए c) और उसके व्यास (मान लीजिए d) के अनुपात से परिभाषित किया जाता है अर्थात् \pi=\frac{c}{d} है।यह इस तथ्य का अन्तर्विरोध करता हुआ प्रतीत होता है कि π अपरिमेय संख्या है।इस अन्तरविरोध का निराकरण आप किस प्रकार करेंगे?
उत्तर:इसका कोई अन्तर्विरोध नहीं है।जब कभी भी स्केल (पैमाने) से या किसी अन्य युक्ति से लम्बाई मापते हैं तब हमें केवल एक सन्निकट परिमेय मान प्राप्त होता है।अर्थात् सटीक 1,2,3,4,….की तरह निश्चित मान नहीं प्राप्त होता है।अतः हम यह अनुभव नहीं कर पाते कि c या d अपरिमेय है।

Rationalisation of Denominator

Example:4.निम्नलिखित के हरों का परिमेयकरण कीजिए:
(i)\frac{1}{\sqrt{7}}
Solution:\frac{1}{\sqrt{7}}
\sqrt{7} अंश व हर को से गुणा करने पर:

=\frac{1}{\sqrt{7}} \times \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} \\ =\frac{\sqrt{7}}{49}
(ii)\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}
Solution:
अंश व हर को \sqrt{7}+\sqrt{6} से गुणा करने पर:

=\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{\sqrt{7}+\sqrt{6}} \\ =\frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{(\sqrt{7})^{2}-(\sqrt{6})^{2}} \\ =\frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{7-6} \\ =\frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{1} \\ =\sqrt{7}+\sqrt{6}
(iii) \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}
Solution: \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}
अंश व हर को \sqrt{5}-\sqrt{2} से गुणा करने पर:

=\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} \\=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{2})^{2}} \\=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{5-2} \\=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}
(iv)\frac{1}{\sqrt{7}-2}
Solution:\frac{1}{\sqrt{7}-2}
अंश व हर को \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}+2} से गुणा करने पर:

=\frac{1}{\sqrt{7}-2} \times \frac{\sqrt{7}+2}{\sqrt{7}+2} \\=\frac{\sqrt{7}+2}{(\sqrt{7})^{2}-(2)^{2}} \\=\frac{\sqrt{7}+2}{7-4} \\=\frac{\sqrt{7}+2}{3}
(v)\frac{1}{5 \sqrt{3}}
Solution:\frac{1}{5 \sqrt{3}}
अंश व हर को \frac{1}{\sqrt{3}}  से गुणा करने पर:

=\frac{1}{5 \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ =\frac{\sqrt{3}}{5 \times(13)^{2}} \\=\frac{\sqrt{3}}{5 \times 3} \\ =\frac{\sqrt{3}}{15}
(vi)\frac{1}{3 \sqrt{3}+4 \sqrt{5}}
Solution:\frac{1}{3 \sqrt{3}+4 \sqrt{5}}
अंश व हर को 3 \sqrt{3}-4 \sqrt{5} से गुणा करने पर:

=\frac{1}{3 \sqrt{3}+4 \sqrt{5}} \times \frac{3 \sqrt{3}-4 \sqrt{5}}{3 \sqrt{3}-4 \sqrt{5}} \\=\frac{3 \sqrt{3}-4 \sqrt{5}}{(3 \sqrt{3})^{2}-(4 \sqrt{5})^{2}} \\=\frac{3 \sqrt{3}-4 \sqrt{5}}{27-80}\\ =\frac{3 \sqrt{3}-4 \sqrt{5}}{-53} \\=\frac{-(4 \sqrt{5}-3 \sqrt{3})}{-53} \\=\frac{4 \sqrt{5}-3 \sqrt{3}}{53}
(vii) \frac{1}{3 \sqrt{3}-6}
Solution: \frac{1}{3 \sqrt{3}-6} \\ =\frac{1}{3(\sqrt{3}-2)}
अंश व हर को \sqrt{3}+2 से गुणा करने पर:

=\frac{1}{3(\sqrt{3}-2)} \times \frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}+2} \\ =\frac{\sqrt{3}+2}{3\left[(\sqrt{3})^{2}-(2)^{2}\right]} \\ =\frac{\sqrt{3}+2}{3(3-4)}\\=\frac{\sqrt{3}+2}{3(-1)} \\ =-\frac{1}{3}(\sqrt{3}+2)
Example:5.जाँच कीजिए कि 3\sqrt{5},3\pi-5,\sqrt{3} अपरिमेय संख्या है या नहीं।
Solution:3\sqrt{5} \\ \sqrt{5}=2.236067977….. 

अतः 3 \sqrt{5} =3(2.236067977 \ldots) \\ =6.708203932 \ldots \\ \pi=3.1415926535 \\ 3 \pi-5=3 \times(3.1415926535.....)-5 \\ =9.424777961....-5 \\ =4.424777961....\\ \sqrt{3}=1.732050808
ये सभी अनवसानी अनावर्ती दशमलव हैं।अतः ये सभी अपरिमेय संख्याएँ हैं।
Example:6.संख्या रेखा पर \sqrt{9.3} को निरूपित कीजिए।
Solution:एक दी हुई रेखा पर एक स्थिर बिन्दु A से 9.3 एकक की दूरी पर चिन्ह लगाने पर एक ऐसा बिन्दु B प्राप्त होता है जिससे कि AB=9.3 एकक (देखिए आकृति)।B से 1 एकक की दूरी पर चिन्ह लगाया और इस नए बिन्दु को C मान लिया।AC का मध्य-बिन्दु ज्ञात किया और उस बिन्दु को O मान लिया।O को केन्द्र और OC=4.65 एकक त्रिज्या लेकर एक अर्द्धवृत्त बनाया।AC पर लम्ब एक ऐसी रेखा खींची जो B से होकर जाती हो और अर्द्धवृत्त को D पर काटती हो।
तब BD= \sqrt{9.3} है।
गणितीय व्याख्या:
OA=OC=OD=\frac{1}{2}AC (अर्धवृत्त की त्रिज्याएँ)
OA=OC=OD

=\frac{1}{2} [AC=AB+BC]
[\because  AC=AB+BC]
=\frac{1}{2}[9.3+1.0] \\=\frac{1}{2} \times 10.3 \\ \Rightarrow OD=5.15
समकोण त्रिभुज \triangle OBD में:
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

O D^{2}=B D^{2}+O B^{2} \\ \Rightarrow B D^{2}=O D^{2}-O B^{2} \\ \Rightarrow B D=\sqrt{(O D+O B)(O D-O B)} \\ {\left[\because a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\right]} \\ \Rightarrow B D=\sqrt{(5.15+4.15)(5.15-4.15)} \\ {[\because O B=O C-B C=5.15-1=4.15]} \\ \Rightarrow B D=\sqrt{9.3 \times 1} \\ \Rightarrow B D=\sqrt{9.3}

Rationalisation of Denominator

उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा हर का परिमेयकरण (Rationalisation of Denominator),वर्गमूलों से सम्बन्धित सर्वसमिकाएँ (Identities Related to Square Roots) को समझ सकते हैं।

3.हर का परिमेयकरण के सवाल (Rationalisation of Denominator Questions):

Rationalisation of Denominator

(1.)जाँच कीजिए कि 7 \sqrt{5}, \frac{7}{\sqrt{5}}, \sqrt{2}+21,\pi-2 अपरिमेय संख्याएँ हैं या नहीं।
(2.)2 \sqrt{2}+5 \sqrt{3} और \sqrt{2}-3 \sqrt{3} को जोड़िए।
(3.)6 \sqrt{5} को 2\sqrt{5} से गुणा कीजिए।
(4.)8 \sqrt{15} को 2 \sqrt{3} से भाग दीजिए।
(5.)\frac{1}{2+\sqrt{3}} के हर का परिमेयकरण कीजिए।
(6.) \frac{5}{\sqrt{3}-\sqrt{5}} के हर का परिमेयकरण कीजिए।
(7.)\frac{1}{7+3 \sqrt{2}} के हर का परिमेयकरण कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.)ये सभी अनवसानी अनावर्ती दशमलव हैं।अतः ये सभी अपरिमेय संख्याएँ हैं।

(2) 3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}
(3) 60
(4.) 4 \sqrt{5}
(5.) 2-\sqrt{3}
(6.) \left(-\frac{5}{2}\right)(\sqrt{3}+\sqrt{5})
(7.) \frac{7-3 \sqrt{2}}{31}

उपर्युक्त सवालों को हल करने पर हर का परिमेयकरण (Rationalisation of Denominator),वर्गमूलों से सम्बन्धित सर्वसमिकाएँ (Identities Related to Square Roots) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.हर का परिमेयकरण (Rationalisation of Denominator),वर्गमूलों से सम्बन्धित सर्वसमिकाएँ (Identities Related to Square Roots) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

हर का परिमेयकरण (Rationalisation of Denominator) तथा वर्गमूलों से सम्बन्धित सर्वसमिकाओं
(Identities Related to Square Roots) का उपयोग अपरिमेय संख्याओं के सरलीकरण में किया जाता है।