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Differential equation in which variables can separate

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1 1.अवकल समीकरण जिनमें चर पृथक हो सकते हैं का परिचय (Introduction to Differential equation in which variables can separate)-

1.अवकल समीकरण जिनमें चर पृथक हो सकते हैं का परिचय (Introduction to Differential equation in which variables can separate)-

  • अवकल समीकरण  जिनमें चर पृथक हो सकते हैं (Differential equation in which variables can separate) का अध्ययन इस आर्टिकल में थ्योरी को उदाहरणों के द्वारा समझाया गया है।
  • अवकल समीकरण जिनमें चर पृथक हो सकते हैं (Differential equation in which variables can separate) प्रथम कोटि एवं प्रथम घात अवकल समीकरणों (Differential equation of first order and first degree) का ही अध्ययन करेंगे।प्रथम कोटि एवं प्रथम घात की अवकल समीकरण (Differential equation of first order and first degree) में स्वतन्त्र चर x , आश्रित चर y और विद्यमान होते हैं अतः प्रथम कोटि एवं प्रथम घात की अवकल समीकरण को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है।
    \frac { dy }{ dx } =f\left( x,y \right) जहां f(x,y) चर x तथा y का कोई फलन है।
    या \frac { dy }{ dx } =\frac { f\left( x,y \right) }{ g\left( x,y \right) }
    या f\left( x,y \right) dx+g\left( x,y \right) dy=0
  • जिस प्रकार प्रत्येक फलन का समाकलन करना सम्भव नहीं होता है,उसी प्रकार प्रत्येक अवकल समीकरण का हल ज्ञात करना तो सम्भव नहीं होता है। परन्तु यदि अवकल समीकरण निम्नलिखित मानक रूपों में से किसी एक रूप में हो तो उस अवकल समीकरण का हल ज्ञात करना सम्भव नहीं है।
    (1.)अवकल समीकरण जिसमें चरों को पृथक किया जाना सम्भव हो।
    (2.) प्रतिस्थापन द्वारा चरो का पृथक्कीकरण संभव हो।
    (3.)समघात रूप की अवकल समीकरण।
    (4.)समघात रूप में परिवर्तन संभव हो।
    (5.)रैखिक अवकल समीकरण।
    (6.)ऐसे अवकल समीकरण जिनकों रैखिक अवकल अवकल समीकरण के रूप में समानीत किया जाना सम्भव हो।
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2.अवकल समीकरण जिनमें चर पृथक हो सकते हैं (Differential equation in which variables can separate)-

  • अवकल समीकरण जिनमें चर पृथक हो सकते हैं (Differential equation in which variables can separate),वे समीकरण हैं जो ऐसे रूप में प्रदर्शित किए जा सकें,वे समीकरण हैं जो ऐसे रूप में प्रदर्शित किए जा सके जिनमें dx का गुणांक केवल चर x का फलन तथा dy का गुणांक केवल y का फलन हो।
    समीकरण M(x,y)dx +N(x,y)=0 में x तथा y को अलग-अलग कर निम्न रूप से व्यक्त करने पर
    f(x) dx +g(y) dy=0 ……………(1)
    यहां चर x तथा y पृथक-पृथक हो गए हैं,ऐसी स्थिति में समीकरण (1) के प्रत्येक पद का अलग-अलग समाकलन करने पर निम्न हल प्राप्त होता है।
    \int { f\left( x \right) dx } +\int { g\left( y \right) dy } =cजहां C कोई स्वेच्छ अचर है।

3.अवकल समीकरण जिनमें चर पृथक हो सकते हैं (Differential equation in which variables can separate),पर आधारित सवाल ,चर वियोज्य अवकल समीकरण समस्याएं और समाधान,विभेदक अवकल समीकरण अभ्यास समस्याएं समाधान के साथ अभ्यास (variable separable differential equations problems and solutions, separable  differential equations practice problems with solutions)-

Question-1.\left( x+1 \right) \frac { dy }{ dx } =2xy
Solution-\left( x+1 \right) \frac { dy }{ dx } =2xy
चरों को पृथक करने पर-

\Rightarrow \frac { dy }{ y } =\frac { 2x }{ x+1 } dx\\ \Rightarrow \frac { dy }{ y } =\frac { 2\left( x+1-1 \right) dx }{ x+1 } \\ \Rightarrow \frac { dy }{ y } =2dx-\frac { 2 }{ x+1 } dx
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर-

\Rightarrow \int { \frac { dy }{ y } } =2\int { dx } -2\int { \frac { 1 }{ x+1 } } dx\\ \Rightarrow logy=2x-2\log { \left( x+1 \right) +c } \\ \Rightarrow \log { y } =2\left[ x-\log { \left( x+1 \right) } \right] +c

Question-2.\left( { e }^{ y }+1 \right) cosxdx+{ e }^{ y }sinxdy=0
Solution\left( { e }^{ y }+1 \right) cosxdx+{ e }^{ y }sinxdy=0
चरों को पृथक करने पर-

\Rightarrow \frac { cosx }{ sinx } dx+\frac { { e }^{ y } }{ { e }^{ y }+1 } dy=0
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर-

\Rightarrow \int { \frac { cosx }{ sinx } dx } +\int { \frac { { e }^{ y } }{ { e }^{ y }+1 } dy } =0\\ \Rightarrow \log { \left( sinx \right) } +\log { \left( { e }^{ y }+1 \right) } =\log { c } \\ \Rightarrow \log { \left( sinx\left( { e }^{ y }+1 \right) \right) } =\log { c } \\ \Rightarrow sinx\left( { e }^{ y }+1 \right) =c

Question-3.{ sec }^{ 2 }xtanydy+{ sec }^{ 2 }ytanxdx=0
Solution{ sec }^{ 2 }xtanydy+{ sec }^{ 2 }ytanxdx=0
चरों को पृथक करने पर-

\frac { \tan { ydy } }{ \sec ^{ 2 }{ y } } +\frac { \tan { xdx } }{ \sec ^{ 2 }{ x } } =0\\ \Rightarrow \sin { y } \cos { y } dy+\sin { x } \cos { x } dx=0\\ \Rightarrow 2\sin { y } \cos { y } dy+2\sin { x } \cos { x } dx=0\\ \Rightarrow \sin { 2y } dy+\sin { 2x } dx=0
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर-

\Rightarrow \int { \sin { 2y } dy } +\int { \sin { 2x } dx } =0\\ \Rightarrow \cos { 2y } +\cos { 2x } =c

Question-4.\frac { dy }{ dx } =\frac { 2\left( 2\log { x } +1 \right) }{ \sin { y } +y\cos { y } }
Solution-\frac { dy }{ dx } =\frac { 2\left( 2\log { x } +1 \right) }{ \sin { y } +y\cos { y } }
चरों को पृथक करने पर-

\Rightarrow \left( \sin { y } +y\cos { y } \right) dy=\left( 2x\log { x } +x \right) dx\\ \Rightarrow \sin { y } dy+y\cos { y } dy=2x\log { x } dx+x\quad dx
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर-

\Rightarrow \int { \sin { y } dy } +\int { y\cos { y } dy } =\int { 2x\log { x } dx } +\int { x\quad dx } \\ \Rightarrow -\cos { y } +y\int { cosydy } -\int { \left\{ \frac { d }{ dy } \left( y \right) \int { cosy } dy \right\} } dy=2\log { x } \int { x\quad dx } -2\int { \left\{ \frac { d }{ dx } \left( logx \right) \int { xdx } \right\} } dx+\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \\ \Rightarrow -\cos { y } +ysiny-\int { \sin { y } dy } ={ x }^{ 2 }\log { x } -\int { \frac { 1 }{ x } { x }^{ 2 } } dx+\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \\ \Rightarrow -\cos { y } +ysiny+cosy={ x }^{ 2 }\log { x } -\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +c\\ \Rightarrow y\sin { y } ={ x }^{ 2 }\log { x } +c

Question-5.\left( 1+\cos { x } \right) dy=\left( 1-\cos { x } \right) dx
Solution-\left( 1+\cos { x } \right) dy=\left( 1-\cos { x } \right) dx
चरों को पृथक करने पर-

\left( 1+\cos { x } \right) dy=\left( 1-\cos { x } \right) dx\\ \Rightarrow dy=\frac { 1-\cos { x } }{ 1+\cos { x } } dx\\ \Rightarrow dy=\frac { 1-\left( 1-2\sin ^{ 2 }{ \frac { x }{ 2 } } \right) dx }{ 1+2\cos ^{ 2 }{ \frac { x }{ 2 } } -1 } \\ \Rightarrow dy=\frac { 2\sin ^{ 2 }{ \frac { x }{ 2 } } }{ 2\cos ^{ 2 }{ \frac { x }{ 2 } } } dx\\ \Rightarrow dy=\tan ^{ 2 }{ \frac { x }{ 2 } } dx\\ \Rightarrow dy=\left( \sec ^{ 2 }{ \frac { x }{ 2 } } -1 \right) dx\\ \Rightarrow dy=\sec ^{ 2 }{ \frac { x }{ 2 } } dx-dx
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर-

\Rightarrow \int { dy } =\int { \sec ^{ 2 }{ \frac { x }{ 2 } } dx } -\int { dx } +c\\ \Rightarrow y=2\tan { \frac { x }{ 2 } } -x+c

Question-6.\frac { dy }{ dx } =\frac { 3{ e }^{ 2x }+3{ e }^{ 4x } }{ { e }^{ x }+{ e }^{ -x } }
Solution-\frac { dy }{ dx } =\frac { 3{ e }^{ 2x }+3{ e }^{ 4x } }{ { e }^{ x }+{ e }^{ -x } } \\ \Rightarrow \frac { dy }{ dx } =\frac { 3{ e }^{ 2x }\left( 1+{ e }^{ 2x } \right) }{ { e }^{ -x }\left( { e }^{ 2x }+1 \right) } \\ \Rightarrow \frac { dy }{ dx } =3{ e }^{ 3x }
चरों को पृथक करने पर-

\Rightarrow dy=3{ e }^{ 3x }dx
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर-

\Rightarrow \int { dy } =3\int { { e }^{ 3x }dx } \\ \Rightarrow y={ e }^{ 3x }+c

Question-7.\left( 1+{ x }^{ 2 } \right) dy=\left( 1+{ y }^{ 2 } \right) dx
Solution-\left( 1+{ x }^{ 2 } \right) dy=\left( 1+{ y }^{ 2 } \right) dx
चरों को पृथक करने पर-

\frac { dy }{ 1+{ y }^{ 2 } } =\frac { dx }{ 1+{ x }^{ 2 } }
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर-

\Rightarrow \int { \frac { dy }{ 1+{ y }^{ 2 } } } =\int { \frac { dx }{ 1+{ x }^{ 2 } } } \\ \Rightarrow \tan ^{ -1 }{ y } =\tan ^{ -1 }{ x } +\tan ^{ -1 }{ C } \\ \Rightarrow \tan ^{ -1 }{ y } -\tan ^{ -1 }{ x } =\tan ^{ -1 }{ C } \\ \Rightarrow \tan ^{ -1 }{ \left( \frac { y-x }{ 1+xy } \right) } =\tan ^{ -1 }{ C } \\ \Rightarrow \frac { y-x }{ 1+xy } =C\\ \Rightarrow y-x=C\left( 1+xy \right)
उपर्युक्त सवालों के हल द्वारा अवकल समीकरण जिनमें चर पृथक हो सकते हैं (Differential equation in which variables can separate) को समझा जा सकता है।

4.चरों के पृथक्करण का उपयोग कब किया जा सकता है? (When can separation of variables be used?)-

  • चर के पृथक्करण का उपयोग तब किया जा सकता है: सभी y शब्द (dy सहित) को समीकरण के एक तरफ ले जाया जा सकता है, और अन्य के लिए सभी x शब्द (dx सहित) दूसरे पक्ष की तरफ ले जाया जा सकता है।

5.आपको कैसे पता चलेगा कि एक अवकल समीकरण वियोज्य है? (How do you know if a differential equation is separable?)-

  • एक प्रथम ऑर्डर डिफरेंशियल इक्वेशन y ′ = f (x, y) एक अवकल समीकरण कहलाता है यदि फंक्शन (x, y) को x और y के दो फंक्शन्स के प्रोडक्ट में फैक्टर किया जा सकता है:
    f(x,y) = p (x) h(y),
    जहाँ p (x) और h (y) संतत फलन हैं।

6.एक गैर वियोज्य अवकल समीकरण क्या है? (What is a non separable differential equation?)-

  • गणित में, एक अविभाज्य अवकल समीकरण एक सामान्य अवकल समीकरण है जिसे चर के पृथक्करण का उपयोग करके हल नहीं किया जा सकता है। एक अविभाज्य अवकल समीकरण को हल करने के लिए, कई अन्य तरीकों को नियोजित किया जा सकता है, जैसे लाप्लास परिवर्तन, प्रतिस्थापन, आदि।

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