How to Find Out Particular Integral?
1.विशिष्ट समाकल कैसे ज्ञात करें? (How to Find Out Particular Integral?),अवकल समीकरण में विशिष्ट समाकल निकालने की विधि (Method of Finding out Particular Integral in DE):
विशिष्ट समाकल कैसे ज्ञात करें? (How to Find Out Particular Integral?) क्योंकि विशिष्ट समाकल व पूरक फलन ज्ञात करने पर ही अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात किया जा सकता है।इस आर्टिकल में विशिष्ट समाकल ज्ञात करने के बारे में अध्ययन करेंगे।
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2.विशिष्ट समाकल कैसे ज्ञात करें पर आधारित उदाहरण (Examples Based on How to Find Out Particular Integral?):
निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):
Example:2. \frac{d^2 y}{d x^2}+y=\operatorname{cosec} x
Solution: \frac{d^2 y}{d x^2}+y=\operatorname{cosec} x
इसका पूरक फलन (C. F.) ज्ञात करने के लिए सहायक समीकरण होगा:
\left(D^2+1\right) y =\operatorname{cosec} x \\ \Rightarrow m^2+1 =0 \\ \Rightarrow m^2 =-1 \\ \Rightarrow m^2 =i^2 \\ \Rightarrow m = \pm i \\ \text{C.F.}=C_{1} \cos x+C_{2} \sin x
पुनः P.I.=\frac{1}{\left(D^2+1\right)} \operatorname{cosec} x \\ =\frac{1}{(D+i)(D-i)} \operatorname{cosec} x \\ =\frac{1}{(D+i)(D-i)} \operatorname{cosec} x \\ =\frac{1}{2 i}\left[\frac{1}{D-i}-\frac{1}{D+i}\right] \operatorname{cosec} x \\ =\frac{1}{2 i}\left[\frac{1}{D-i}(\operatorname{cosec} x)-\frac{1}{D+i} \operatorname{cosec} x\right] \\ =\frac{1}{2 i}\left[e^{i x} \int e^{-i x} \operatorname{cosec} x d x-e^{-i x}\int e^{i x} \operatorname{cosec} x d x\right] \\ =\frac{1}{2 i} \left[e^{i x} \int(\cos x-i \sin x) \operatorname{cosec} x d x -e^{-i x} \int(\cos x+i \sin x) \operatorname{cosec} x d x\right] \\ = \frac{1}{2 i}\left[e^{i x} \int \cot x d x-i e^{i x} \int d x -e^{-i x} \int \cot x d x-i e^{-i x} \int d x\right] \\ = \frac{1}{2 i}\left[\left(e^{i x}-e^{-i x}\right) \int \cot x dx-i\left(e^{i x}+e^{-i x}\right) \int d x\right] \\ = \frac{1}{2 i}\left[\left(e^{i x}-e^{-i x}\right) \log \sin x-i x\left(e^{i x}+e^{-i x}\right)\right] \\ =\frac{1}{2 i}[2 i \sin x \log \sin x-2 i x \cos x] \\ =\sin x \log \sin x-x \cos x \\ \Rightarrow \text{P.I.}=\sin x \log \sin x-x \cos x
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C. F. +P. I.
\Rightarrow y=c_1 \cos x+c_2 \sin x+\sin x \log \sin x-x \cos x
Example:5. \left(D^2+a^2\right) y=\tan a x
Solution: \left(D^2+a^2\right) y=\tan a x
इसका पूरक फलन (C. F.) ज्ञात करने के लिए सहायक समीकरण होगा:
m^2+a^2=0 \\ \Rightarrow \dot{m}^2=-a^2 \\ \Rightarrow m^2=i^2 a^2 \\ \Rightarrow m= \pm i a \\ \therefore \text { C.F. }=a \cos a x+c_2 \sin a x
पुनः P.I. =\frac{1}{D^2+a^2} \tan a x \\ =\frac{1}{(D+i a)(D-i a)} \tan a x \\ =\frac{1}{2 i a} \left[\frac{1}{D-i a}-\frac{1}{b+i a}\right] \tan a x \\ =\frac{1}{2 i a}\left[\frac{1}{D-i a} \tan a x-\frac{1}{D+i a} \tan a x\right] \\ =\frac{1}{2 i a}\left[e^{i a x} \int e^{-i a x} \tan a x d x-e^{-i a x} \int e^{i a x} \tan a x d x\right] \\ =\frac{1}{2 i a}\left[e^{i a x} \int(\cos a x-i \sin a x) \tan a x d x-e^{-i a x} \int(\cos a x+i \sin a x) \tan a x d x\right] \\ =\frac{1}{2 i a} [e^{i a x} \left\{ \int \sin a x d x-i \int \sin a x \tan a x d x \right\} -e^{-i a x}\left\{\int \sin a x d x+i \int \sin a x \tan a x d x \right\} ]\\ =\frac{1}{2 i a}\left[\left(e^{i a x}-e^{-i a x}\right) \int \sin a x d x-i\left(e^{i a x}+e^{-iax}\right) \int \sin a x \tan d x d x\right] \\ =\frac{1}{a}\left(\frac{e^{i a x}-e^{-i a x}}{2 i}\right) \cdot\left(-\frac{1}{a}\right) \cos a x-\frac{\left(e^{i a x}+e^{-i a x}\right)}{2}\cdot \frac{1}{a} \int \frac{\sin ^2 a x}{\cos a x} d x \\ =-\frac{1}{a^2} \sin a x \cos a x-\frac{1}{a} \cos a x \int \frac{1-\cos ^2 a x}{\cos a x} d x \\ =-\frac{1}{a^2} \sin a x \cos a x-\frac{1}{a} \cos ax \int \sec a x d x +\frac{1}{a} \cos a x \int \cos a x d x \\ =-\frac{1}{a^2} \sin a x \cos a x-\frac{1}{a^2} \cos a x \log \tan \left(\frac{\pi}{4}+\frac{a x}{2}\right) +\frac{1}{a^2} \cos a x \sin a x \\ =-\frac{1}{a^2} \cos a x \log \tan \left(\frac{\pi}{4}+\frac{a x}{2}\right) \\ \Rightarrow \text { P.I.}=-\frac{1}{a^2} \cos a x \log \tan \left(\frac{\pi}{4}+\frac{a x}{2}\right)
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C. F. +P. I.
Example:6. \frac{d^2 y}{d x^2}-3 \frac{d y}{d x}+2 y=e^{5 x}
Solution: \frac{d^2 y}{d x^2}-3 \frac{d y}{d x}+2 y=e^{5 x} \\ \Rightarrow\left(D^2-3 D+2\right) y=e^{5 x}
इसका पूरक फलन (C. F.) ज्ञात करने के लिए सहायक समीकरण होगा:
m^2-3 m+2=0 \\ \Rightarrow m^2-2 m-m+2=0 \\ \Rightarrow m(m-2)-1(m-2)=0 \\ \Rightarrow(m-1)(m-2)=0 \\ \Rightarrow m=1,2 \\ \therefore \text{C.F.}=C_1 e^x+C_2 e^{2 x}
पुनः P.I.=\frac{1}{D^2-3 D+2} e^{5 x} \\ =\frac{1}{(D-1)(D-2)} e^{5 x} \\ =\left(\frac{1}{D-2}-\frac{1}{D-1}\right) e^{5 x} \\ = \left[\frac{1}{D-2} e^{5 x}-\frac{1}{D-1} e^{5 x}\right] \\ =e^{2 x} \int e^{-2 x} e^{5 x} d x-e^x \int e^{- x} e^{5 x} d x \\ = e^{2 x} \int e^{3 x} d x-e^x \int e^{4 x} d x \\ = e^{2 x} \cdot \frac{e^{3 x}}{3}-e^{x} \cdot \frac{e^{4 x}}{4} \\ = \frac{1}{3} e^{5 x}-\frac{1}{4} e^{5 x} \\ =\frac{1}{12} e^{5 x} \\ \Rightarrow \text{P.I.}=\frac{1}{12} e^{5 x}
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C. F. +P. I.
\Rightarrow y=C_1 e^x+C_{2} e^{2 x}+\frac{1}{12} e^{5 x}
Example:8. \frac{d^2 y}{d x^2}+y=\sec ^2 x
Solution: \frac{d^2 y}{d x^2}+y=\sec ^2 x \\ \left(D^2+1\right) y=\sec ^2 x
इसका पूरक फलन (C. F.) ज्ञात करने के लिए सहायक समीकरण होगा:
m^2+1=0 \\ \Rightarrow m^2 =-1 \\ \Rightarrow m^2 =i^2 \\ \Rightarrow m = \pm i \\ \therefore \text{C.F.} =C_{1} \cos x+C_2 \sin x
पुनः P.I.=\frac{1}{D^2+1} \sec ^2 x \\ =\frac{1}{(D+i)(D-i)} \sec ^2 x \\ =\frac{1}{2 i}\left[\frac{1}{D-i}-\frac{1}{D+i}\right]\left(\sec ^2 x\right) \\ = \frac{1}{2 i}\left[\frac{1}{D-i} \sec ^2 x-\frac{1}{D+i} \sec ^2 x\right] \\ =\frac{1}{2 i} e^{i x} \int e^{-i x} \sec ^2 x d x-\frac{1}{2 i} \cdot e^{-i x} \int e^{i x} \sec ^2 x d x \\ =\frac{1}{2 i}\left[e^{i x} \int(\cos x-i \sin x) \sec ^2 x d x-e^{-i x} \int(\cos x+i \sin x) \sec ^2 x d x\right] \\=\frac{1}{2 i}\left[e^{2 i x} \int \sec x d x-i e^{i n} \int \sec x \tan x d x-e^{-i x} \int \sec x d x-i e^{-i x} \int \sec x \tan x d x \right] \\ = \frac{1}{2 i}\left[\left(e^{i x}-e^{-i x}\right) \int \sec x d x-i\left(e^{i x}+e^{-i x}\right) \int \sec x \tan x d x\right] \\ =\left( \frac{e^{i x}-e^{-i x}}{2 i}\right) \int \sec x d x-\frac{\left(e^{i x}+e^{-i x}\right)}{2} \int \sec x \tan x d x \\ = \sin x \log (\sec x+\tan x)-\cos x \sec x \\ \Rightarrow \text{P.I.}= \sin x \log (\sec x+\tan x)-\cos x \sec x
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C. F. +P. I.
\Rightarrow y=C_{1} \cos x+C_2 \sin x+\sin x \log (\sec x +\tan x)-\cos x \sec x \\ \Rightarrow y=C_1 \cos x+C_2 \sin x+\sin x \log (\sec x+\tan x) -1
Example:9. \left(D^2-9 D+18\right) y=e^{e^{-3 x}}
Solution: \left(D^2-9 D+18\right) y=e^{e^{-3 x}}
इसका पूरक फलन (C. F.) ज्ञात करने के लिए सहायक समीकरण होगा:
m^2-9 m+18=0 \\ \Rightarrow m^2-6 m-3 m+18=0 \\ \Rightarrow m(m-6)-3(m-6)=0 \\ \Rightarrow (m-3)(m-6)=0 \\ \Rightarrow m=3,6 \\ \therefore \text{C.F.}=C_{1} e^{3 x}+C_2 e^{6 x}
पुनः P.I.=\frac{1}{D^2-9 D+18} e^{e^{-3 x}} \\ =\frac{1}{(D-3)(D-6)} e^{e^{-3 x}} \\ =\frac{1}{3}\left[\frac{1}{D-6}-\frac{1}{D-3}\right] e^{e^{-3 x}} \\ =\frac{1}{3}\left[\frac{1}{D-6} e^{-3 x}-\frac{1}{D-3} e^{e^{-3 x}}\right] \\ =\frac{1}{3}\left[e^{6 x} \int e^{-6 x} \cdot e^{e^{-3 x}} d x-e^{3 x} \int e^{-3 x} e^{e^{-3 x}} d x\right] \\ =\frac{1}{3} e^{6 x} \int e^{-6 x} e^{e^{-3 x}} d x-\frac{1}{3} e^{3 x} \int e^{-3 x} e^{e^{-3 x}} d x \\ \text{put } e^{-3 x}=t \Rightarrow-3 e^{-3 x} d x=d t \\ =\frac{1}{3} e^{6x} \int \left ( \frac{t}{-3} \right )e^t d t-\frac{1}{3} e^{3 x} \int\left(-\frac{1}{3}\right) e^t d t \\ =-\frac{1}{9} e^{6 x}\left(t e^t-e^t\right)+\frac{1}{9} e^{3 x} e^t d t \\ =-\frac{1}{9} e^{6 x} \cdot\left(e^{-3 x} e^{e^{-3 x}}-e^{-3 x}\right)+\frac{1}{9} e^{3 x} e^{-3 x} \\ =-\frac{1}{9} e^{3 x} e^{e^{-3 x}}+\frac{1}{9} e^{6 x} e^{-3 x}+\frac{1}{9} e^{3 x} e^{-3 x} \\ \Rightarrow \text{P.I.}=\frac{1}{9} e^{6 x} e^{-3 x}
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C. F. +P. I.
\Rightarrow y =c_1 e^{3 x}+c_2 e^{6 x}+\frac{1}{9} e^{6 x} e^{-3 x}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा विशिष्ट समाकल कैसे ज्ञात करें? (How to Find Out Particular Integral?),अवकल समीकरण में विशिष्ट समाकल निकालने की विधि (Method of Finding out Particular Integral in DE) को समझ सकते हैं।
3.विशिष्ट समाकल कैसे ज्ञात करें पर आधारित सवाल (Questions Based on How to Find Out Particular Integral?):
निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):
(1.) \frac{d^2 y}{d x^2}-3 \frac{d y}{d x}+2 y=e^x
(2.) \frac{d^{3} y}{d x^3}+3 \frac{d^2 y}{d x^2}+3 \frac{d y}{d x}+y=e^{-x}
उत्तर (Answers): (1.) y=C_{1} e^x+C_2 e^{2 x}-x e^x
(2.) y=\left(C_1+C_2 x+C_3 x^2\right) e^{-x}+\frac{1}{6} x^3 e^{-x}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर विशिष्ट समाकल कैसे ज्ञात करें? (How to Find Out Particular Integral?),अवकल समीकरण में विशिष्ट समाकल निकालने की विधि (Method of Finding out Particular Integral in DE) को ठीक से समझ सकते हैं।
Also Read This Article:- DE of 1st Order But Not of 1st Degree
4.विशिष्ट समाकल कैसे ज्ञात करें? (Frequently Asked Questions Related to How to Find Out Particular Integral?),अवकल समीकरण में विशिष्ट समाकल निकालने की विधि (Method of Finding out Particular Integral in DE) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.अवकल समीकरण का पूरक फलन किसे कहते हैं? (What is the Complementary Function of Differential Equation?):
उत्तर: \left[D^n+a_1 D^{n-1}+a_2 D^{n-2}+\ldots+a_n\right] y=Q(x) \cdots(1) \\ \Rightarrow f(D)y=Q(x) \cdots(2)
समीकरण (1) के दाहिने पक्ष Q(x) को शून्य के बराबर मान लिया जाए अर्थात्
f(D)y=0 …. (3)
इसको हम रैखिक अवकल समीकरण के व्यापक रूप (1) का समान भाग (homogenous part) भी कहते हैं।
रैखिक अवकल समीकरण (3) का एक बहुत महत्त्वपूर्ण गुण यह है कि यदि y_1(x), y_2(x), \ldots \ldots, y_n(x) इसके एकघाततः n स्वतन्त्र हल हों (n linearly independent solutions),तो
C_1 y_1+C_2 y_2+\ldots+C_n y_n \ldots(4)
भी समीकरण (3) का हल होगा,जहाँ C_1, C_2, \ldots C_n ,n स्वेच्छ अचर (arbitrary constants) हैं।
व्यंजक (4) को हम अवकल समीकरण (1) अथवा (2) का पूरक-फलन (Complementary function) भी कहते हैं और इसे संक्षेप में C. F. लिखते हैं।अतः
C.F.=C_{1} y_1+C_{2} y_2+\ldots+C_{n} y_n=u(x)
प्रश्न:2.अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल किसे कहते हैं? (What is the Particular Integral of Differential Equation?):
उत्तर:समीकरण (2) का दाहिना पक्ष Q(x) शून्य नहीं है अर्थात् Q(x) \neq 0 । इसको हम रैखिक अवकल समीकरण का असमान भाग (Non-homogeneous part) कहते हैं।माना किसी विधि द्वारा,समीकरण (2) का एक विशिष्ट हल (particular solution) v(x) है जो उसकी तुष्टि करता है अर्थात् f(D)v=C(x)
हम v(x) को अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल (particular integral) कहते हैं ;जिसे संक्षेप में P. I. लिखते हैं।अतः
P. I.=v(x) (माना)
प्रश्न:3.अवकल समीकरण का व्यापक हल किसे कहते हैं? (What is the General Solution of Differential Equation?):
उत्तर:व्यापक हल पूरक फलन तथा विशिष्ट समाकल को मिलाने से बनता है।
व्यापक हल=पूरक फलन+विशिष्ट हल
General Solution=Complementary Function+Particular Integral
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा विशिष्ट समाकल कैसे ज्ञात करें? (How to Find Out Particular Integral?),अवकल समीकरण में विशिष्ट समाकल निकालने की विधि (Method of Finding out Particular Integral in DE) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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विशिष्ट समाकल कैसे ज्ञात करें? (How to Find Out Particular Integral?) क्योंकि विशिष्ट समाकल
व पूरक फलन ज्ञात करने पर ही अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात किया जा सकता है।
About Author
Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
