1.सन्निकटन कक्षा 12 (Approximation Class 12),गणित में सन्निकटन (Approximation in Mathematics):

Approximation Class 12

सन्निकटन कक्षा 12 (Approximation Class 12) के इस आर्टिकल में हम कुछ राशियों के सन्निकटन मान को ज्ञात करने के लिए अवकलों का प्रयोग करेंगे।
सन्निकटन (Approximation):
मान लीजिए f: D \rightarrow R, D \subset R एक प्रदत्त फलन है और y=f(x) दी गई वक्र है।मान लीजिए x में होनेवाली किसी अल्प वृद्धि को प्रतीक \Delta x से प्रकट करते हैं।स्मरण कीजिए कि x में हुई अल्प वृद्धि \Delta x के संगत y में हुई वृद्धि को \Delta y से प्रकट करते है जहाँ \Delta y=f(x+\Delta x)- f(x) है।हम अब निम्नलिखित को परिभाषित करते हैंः
(i)x के अवकल को dx से प्रकट करते है तथा d x=\Delta x से परिभाषित करते हैं।
(ii)y के अवकलज को dy से प्रकट करते है तथा dy=f'(x) dx अथवा d y=\left(\frac{d y}{d x}\right) \Delta x से परिभाषित करते हैं।
इस दशा में x की तुलना में d x=\Delta x अपेक्षाकृत छोटा होता है तथा का एक उपयुक्त सन्निकटन dy होता है और इस बात को हम d y=\Delta y द्वारा प्रकट करते हैं।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके । यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए । आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:-Tangents and Normals Class 12

2.सन्निकटन कक्षा 12 के साधित उदाहरण (Approximation Class 12 Solved Examples):

Example:1.निम्नलिखित में से प्रत्येक का सन्निकट मान दशमलव के तीन स्थानों तक ज्ञात कीजिएः
Example:1(i). \sqrt{25.3}
Solution: \sqrt{25.3}
माना कि y=\sqrt{x} \ldots(1)
जहाँ x=25,  \Delta x=0.3 तथा x+\Delta x=25.3\\ \frac{d y}{d x}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}\\ \Delta y=\left(\frac{d y}{d x}\right) \Delta x\\ =\left(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\right)^{\Delta x}\\ =\frac{1}{2 \sqrt{25}} \times 0.3\\ =\frac{0.3}{10}\\ \Rightarrow \Delta y=0.03
समीकरण (1) सेः

y+\Delta y=(x+\Delta x)^{\frac{1}{2}} \\ x^{\frac{1}{2}}+\Delta y=(x+\Delta x)^{\frac{1}{2}} \\ \Rightarrow(x+\Delta x)^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{1}{2}}+\Delta y \\ \Rightarrow \sqrt{25.3}=(25)^{\frac{1}{2}}+0.03 \\ =5+0.03 \\ \Rightarrow \sqrt{25.3}=5.03
Example:1(ii). \sqrt{49.5}
Solution: \sqrt{49.5}
माना कि y=\sqrt{x} \ldots(1) 
जहाँ x=49 तथा \Delta x=0.5 तथा  x+\Delta x=49.5\\ \frac{d y}{d x}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}\\ \Delta y=\left(\frac{d y}{d x}\right) \Delta x\\ =\left(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\right) \Delta x\\ =\frac{1}{2 \times \sqrt{49}} \times 0.5\\ =\frac{0.5}{2 \times 7}\\ =\frac{0.5}{14}\\ \Rightarrow \Delta y=0.035
समीकरण (1) सेः

y+\Delta y=(x+\Delta x)^{\frac{1}{2}}\\ \Rightarrow(x+\Delta x)^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{1}{2}}+\Delta y\\ \sqrt{49.5}=(49)^{\frac{1}{2}}+0.035 \\ =7+0.035 \\ \Rightarrow \sqrt{49.5}=7.035
Example:1(iii). \sqrt{0.6}
Solution: \sqrt{0.6}
माना कि y=\sqrt{x} \ldots(1)
जहाँ x=0.64, \Delta x=-0.04 तथा x+\Delta x=0.6 \\ \frac{d y}{d x}=\frac{1}{2 \sqrt{x}} \\ \Delta y=\left(\frac{d y}{d x}\right) \Delta x \\ =\left(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\right) \Delta x \\ =\frac{1}{2 \sqrt{0.64}} \times(-0.04) \\ =-\frac{0.02}{0.8} \\ \Rightarrow \Delta y=-0.025
समीकरण (1) सेः y+\Delta y=(x+\Delta x)^{\frac{1}{2}} \\ \Rightarrow x^{\frac{1}{2}}+\Delta y=(x+\Delta x)^{\frac{1}{2}} \\ \Rightarrow (x+\Delta x)^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{1}{2}}+\Delta y \\ \Rightarrow \sqrt{0.6}=(0.64)^{\frac{1}{2}}-0.025 \\ =0.8-0.025 \\ \Rightarrow \sqrt{0.6}=0.775
Example:1(iv). (0.009)^{\frac{1}{3}}
Solution: (0.009)^{\frac{1}{3}}
माना कि y=x^{\frac{1}{3}} \ldots(1)
जहाँ x=0.008, \Delta x=0.001 तथा  x+\Delta x=0.009 \\ \frac{d y}{d x} =\frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \\ \Delta y =\left(\frac{d y}{d x}\right) \Delta x \\ =\left(\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}\right) \Delta x \\ =\frac{1}{3(0.008)^{\frac{2}{3}}} \times 0.001 \\ =\frac{0.001}{3 \times\left[(0.2)^3\right]^{\frac{2}{3}}} \\ \Rightarrow \Delta y =\frac{0.001}{3 \times 0.04} \\ =\frac{0.001}{0.12} \\ \Rightarrow \Delta y =0.0083
समीकरण (1) सेः

y+\Delta y=(x+\Delta x)^{\frac{1}{3}} \\ \Rightarrow x^{\frac{1}{3}}+\Delta y=(x+\Delta x)^{\frac{1}{3}} \\ \Rightarrow(x+\Delta x)^{\frac{1}{3}}=x^{\frac{1}{3}}+\Delta y \\ \Rightarrow(0.009)^{\frac{1}{3}}=(0.008)^{\frac{1}{3}}+0.0083 \\ =\left[(0.2)^3\right]^{\frac{1}{3}}+0.0083 \\ =0.2+0.0083 \\ \Rightarrow (0.009)^{\frac{1}{3}}=0.2083
Example:1(v). (0.999)^{\frac{1}{10}}
Solution: (0.999)^{\frac{1}{10}}
माना कि y=x^{\frac{1}{10}} \ldots(1)
जहाँ x=1,\Delta x=-0.001 तथा  x+\Delta x=0.990 \\ \frac{d y}{d x}=\frac{1}{10} \cdot x^{-\frac{9}{10}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{1}{10 x^{\frac{9}{10}}} \\ \Delta y=\left(\frac{d y}{d x}\right) \Delta x \\ =\left(\frac{1}{10 x^{\frac{9}{10}}}\right) \Delta x \\ =\frac{1}{10(1)^{\frac{9}{10}} }(-0.001) \\ =\frac{-0.001}{10} \\ \Rightarrow \Delta y =-0.0001
समीकरण (1) सेः y+\Delta y=(x+\Delta x)^{\frac{1}{10}} \\ \Rightarrow x^{\frac{1}{10}}+\Delta y=(x+\Delta x)^{\frac{1}{10}} \\ \Rightarrow (x+\Delta x)^{\frac{1}{10}}=x^{\frac{1}{10}}+\Delta y \\ \Rightarrow (0.999)^{\frac{1}{10}}=(1)^{\frac{1}{10}}-0.0001 \\ = 1-0.0001 \\ = 0.9999 \\ \Rightarrow (0.999)^{\frac{1}{10}}=0.9999
Example:1(vi). (15)^{\frac{1}{4}}
Solution: (15)^{\frac{1}{4}}
माना कि y=x^{\frac{1}{4}} \ldots(1)
जहाँ x=16, \Delta x=-1 तथा x+\Delta x=15 \\ \frac{d y}{d x}=\frac{1}{4} x^{-\frac{3}{4}} \\ \Rightarrow \left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{1}{4 x^\frac{3}{4}} \\ \Delta y=\left(\frac{d y}{d x}\right) \Delta x \\ =\left(\frac{1}{4 x^{\frac{3}{4}}}\right) \Delta x \\ =\frac{1}{4(16)^{\frac{3}{4}}} \cdot(-1) \\ =-\frac{1}{4\left(2^4\right)^{\frac{3}{4}}} \\ =-\frac{1}{4 \times 8} \\ =-\frac{1}{32} \\ \Rightarrow \Delta y =-0.03125
समीकरण (1) सेः 

y+\Delta y =(x+\Delta x)^{\frac{1}{4}} \\ \Rightarrow x^{\frac{1}{4}}+\Delta y =(x+\Delta x)^{\frac{1}{4}} \\ \Rightarrow(x+\Delta x)^{\frac{1}{4}} =x^{\frac{1}{4}}+\Delta y \\ \Rightarrow(15)^{\frac{1}{4}} =(16)^{\frac{1}{4}}-0.03125 \\ =\left(2^{4}\right)^{\frac{1}{4}} -0.03125\\ =2-0.03125 \\ \Rightarrow (15)^{\frac{1}{4}} =1.96875
Example:1(vii). 26^{\frac{1}{3}}
Solution: 26^{ \frac{1}{3}}
माना कि y=x^{\frac{1}{3}} \ldots(1)
जहाँ x=27, \Delta x=-1 तथा x+\Delta x=26 \\ \frac{d y}{d x} =\frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \\ \Delta y =\left(\frac{d y}{d x}\right) \Delta x \\ =\left(\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}\right) \Delta x \\=\frac{1}{3(27)^{\frac{2}{3}}} \cdot(-1) \\ =-\frac{1}{3(3^{3})^{\frac{2}{3}}} \\ \Rightarrow \Delta y =-\frac{1}{27} \\ \Rightarrow \Delta y =-0.03703
समीकरण (1) सेः

Approximation Class 12

Example:1(viii). (255)^{\frac{1}{4}}
Solution: (255)^{\frac{1}{4}}
माना कि y=x^{\frac{1}{4}} \ldots(1)
जहाँ x=256, \Delta x=-1 तथा x+\Delta x=255 \\ \frac{d y}{d x}=\frac{1}{4} x^{-\frac{3}{4}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{1}{4 x^{\frac{3}{4}}} \\ \Delta y=\left(\frac{d y}{d x}\right) \Delta x \\=\left(\frac{1}{4 x^{\frac{3}{4}}}\right) \Delta x \\ =\frac{1}{4(256)^{\frac{3}{4}}} (-1) \\ =-\frac{1}{4\left(4^4\right)^{\frac{3}{4}}} \\ =-\frac{1}{4 \times 64} \\ =-\frac{1}{256} \\ \Rightarrow \Delta y =-0.00390625
समीकरण (1) सेः y+\Delta y =(x+\Delta x)^{\frac{1}{4}} \\\Rightarrow x^{\frac{1}{4}}+\Delta y=(x+\Delta x)^{\frac{1}{4}} \\\Rightarrow (x+\Delta x)^{\frac{1}{4}} =x^{\frac{1}{4}}+\Delta y \\ \Rightarrow(255)^{\frac{1}{4}} =(256)^{\frac{1}{4}}-0.00390625 \\ =4-0.00390625 \\ =3.99609375 \\ \Rightarrow(255)^{\frac{1}{4}}=3.9961
Example:1(ix). (82)^{\frac{1}{4}}
Solution: (82)^{\frac{1}{4}}
माना कि y=x^{\frac{1}{4}} \ldots (1)
जहाँ x=81, \Delta x=1 तथा x+\Delta x=82 \\ \frac{d y}{d x} =\frac{1}{4} x^{-\frac{3}{4}} \\ \Rightarrow \left(\frac{d y}{d x}\right) =\frac{1}{4 x^{\frac{3}{4}}} \\ \Delta y =\left(\frac{d y}{d x}\right) \Delta x \\ =\left(\frac{1}{4 x^{\frac{3}{4}}}\right) \Delta x \\ =\frac{1}{4(81)^{\frac{3}{4}}} \times 1 \\ =\frac{1}{4 \times(3^{4})^{\frac{3}{4}}} \\ =\frac{1}{4 \times 27} \\ =\frac{1}{108} \\ \Rightarrow \Delta y =0.009259
समीकरण (1) सेः

y+\Delta y=(x+\Delta x)^{\frac{1}{4}} \\ x^{\frac{1}{4}}+\Delta y=(x+\Delta x)^{\frac{1}{4}} \\ \Rightarrow (x+\Delta x)^{\frac{1}{4}}=x^{\frac{1}{4}}+\Delta y \\ \Rightarrow (82)^{\frac{1}{4}}=(81)^{\frac{1}{4}}+0.009259 \\ =3+0.009259 \\ \Rightarrow (82)^{\frac{1}{4}}=3.009259
Example:1(x). (401)^{\frac{1}{2}}
Solution: (401)^{\frac{1}{2}}
माना कि y=x^{\frac{1}{2}} \ldots(1)
जहाँ x=400, \Delta x=1 तथा x+\Delta x=401 \\ \frac{d y}{d x} =\frac{1}{2 \sqrt{x}} \\ \Delta y =\left(\frac{d y}{d x}\right) \Delta x \\ =\left(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\right) \Delta x \\ =\frac{1}{2 \sqrt{400}} \times 1 \\ =\frac{1}{2 \times 20} \\ =\frac{1}{40} \\ \Rightarrow \Delta y =0.025
समीकरण (1) सेः y+\Delta y=(x+\Delta x)^{\frac{1}{2}} \\ x^{\frac{1}{2}}+\Delta y=(x+\Delta x)^{\frac{1}{2}} \\ \Rightarrow (x+\Delta x)^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{1}{2}}+\Delta y \\ \Rightarrow (401)^{\frac{1}{2}}=(400)^{\frac{1}{2}}+0.025 \\ = 20+0.025 \\ \Rightarrow (401)^{\frac{1}{2}}=20.025
Example:1(xi). (0.0037)^{\frac{1}{2}}
Solution: (0.0037)^{\frac{1}{2}}
माना कि y=x^{\frac{1}{2}} \ldots(1)
जहाँ x=0.0036, \Delta x=0.0001 तथा x+\Delta x=0.0037 \\ \frac{d y}{d x}=\frac{1}{2 \sqrt{x}} \\ \Delta y =\left(\frac{d y}{d x}\right) \Delta x \\ =\left(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\right) \Delta x \\ =\frac{1}{2 \sqrt{0.0036}} \times 0.0001 \\ =\frac{0.0001}{2 \times 0.06} \\ =\frac{0.0001}{0.12} \\ \Rightarrow \Delta y=0.00083
समीकरण (1) सेः y+\Delta y=(x+\Delta x)^{\frac{1}{2}} \\ \Rightarrow x^{\frac{1}{2}}+\Delta y=(x+\Delta x)^{\frac{1}{2}} \\ \Rightarrow(x+\Delta x)^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{1}{2}}+\Delta y \\ \Rightarrow (0.0037)^{\frac{1}{2}}=(0.0036)^{\frac{1}{2}}+0.00083 \\ =0.06+0.00083 \\ \Rightarrow (0.0037)^{\frac{1}{2}}=0.06083
Example:1(xii). (26.57)^{\frac{1}{3}}
Solution: (26.57)^{\frac{1}{3}}
माना कि y=x^{\frac{1}{3}} \ldots(1)
जहाँ x=27, \Delta x=-0.43 तथा x+\Delta x=26.57 \\ \frac{d y}{d x}=\frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} \\ \frac{d y}{d x} =\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \\ \Delta y =\left(\frac{d y}{d x}\right) \Delta x \\ =\left(\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}\right) \Delta x \\ =\frac{1}{3(27)^{\frac{2}{3}}}(-0.43) \\ = \frac{-0.43}{3\left(3^3 \right)^{\frac{2}{3}}} \\ =\frac{-0.43}{3 \times 9} \\ =-\frac{0.43}{27} \\ \Rightarrow \Delta y =-0.015925925
समीकरण (1) सेः y+\Delta y=(x+\Delta x)^{\frac{1}{3}} \\ \Rightarrow x^{\frac{1}{3}}+\Delta y=(x+\Delta x)^{\frac{1}{3}} \\ \Rightarrow (x+\Delta x)^{\frac{1}{3}}=x^{\frac{1}{3}}+\Delta y \\ \Rightarrow (26.57)^{\frac{1}{3}}=(27)^{\frac{1}{3}}-0.015925925 \\ =2.984074075 \\ \Rightarrow(26.57)^{\frac{1}{3}} =2.984
Example:1(xiii). (81.5)^{\frac{1}{4}}
Solution: (81.5)^{\frac{1}{4}}
माना कि y=x^{\frac{1}{4}} \ldots(1)
जहाँ x=81, \Delta x=0.5 तथा x+\Delta x=81.5 \\ \frac{d y}{d x} =\frac{1}{4} x^{-\frac{3}{4}} \\ \Rightarrow\left(\frac{d y}{d x}\right) =\frac{1}{4 x^{\frac{3}{4}}} \\ \Delta y =\left(\frac{d y}{d x}\right) \Delta x \\ =\left(\frac{1}{4 x^{\frac{3}{4}}}\right)\Delta x\\ =\frac{1}{4(81)^{\frac{3}{4}}} \times 0.5 \\ =\frac{0.5}{4\left(3^4\right)^{\frac{3}{4}}} \\ =\frac{0.5}{4 \times 27} \\ =\frac{0.5}{108} \\ \Rightarrow \Delta y =0.004629
समीकरण (1) सेः y+\Delta y=(x+\Delta x)^{\frac{1}{4}} \\ \Rightarrow x^{\frac{1}{4}}+\Delta y=(x+\Delta x)^{\frac{1}{4}} \\ \Rightarrow (x+\Delta x)^{\frac{1}{4}}=x^{\frac{1}{4}}+\Delta y \\ \Rightarrow (81.5)^{\frac{1}{4}}=(81)^{\frac{1}{4}}+0.004629 \\ = 3+0.004629 \\ \Rightarrow(81.5)^{\frac{1}{4}} =3.004629
Example:1(xiv). (3.968)^{\frac{3}{2}}
Solution: (3.968)^{\frac{3}{2}}
माना कि y=x^{\frac{3}{2}} \ldots(1)
जहाँ x=4, \Delta x=-0.032 तथा x+\Delta x=3.968 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}\\ \Delta y=\left(\frac{d y}{d x}\right) \Delta x\\ =\left(\frac{3 \sqrt{x}}{2}\right) \Delta x\\ =\frac{3 \times(4)^{\frac{1}{2}}}{2} \times-0.032\\ =3 \times -0.032\\ \Rightarrow \Delta y=-0.096
समीकरण (1) सेः y+\Delta y=(x+\Delta x)^{\frac{3}{2}} \\ \Rightarrow x^{\frac{3}{2}}+\Delta y=(x+\Delta x)^{\frac{3}{2}} \\ \Rightarrow(x+\Delta x)^{\frac{3}{2}}=x^{\frac{3}{2}}+\Delta y \\ \Rightarrow (3.968)^{\frac{3}{2}}=(4)^{\frac{3}{2}}-0.096 \\ = 8-0.096 \\ \Rightarrow (3.968)^{\frac{1}{2}}=7.904
Example:1(xv). (32.15)^{\frac{1}{5}}
Solution: (32.15)^{\frac{1}{5}}
माना कि y=x^{\frac{1}{5}} \ldots(1)
जहाँ x=32, \Delta x=0.15 तथा x+\Delta x=32.15 \\ \frac{d y}{d x}=\frac{1}{5} x^{-\frac{4}{5}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} \\ \Delta y=\left(\frac{d y}{d x}\right) \Delta x \\ =\left(\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} \right)^{\Delta x} \\ =\frac{1}{5(32)^{\frac{4}{5}}}(0.15) \\ =\frac{0.03}{16} \\ \Rightarrow \Delta y =0.001875
समीकरण (1) सेः y+\Delta y=(x+\Delta x)^{\frac{1}{5}} \\ \Rightarrow x^{\frac{1}{5}} +\Delta y=(x+\Delta x)^{\frac{1}{5}} \\ \Rightarrow(x+\Delta x)^{\frac{1}{5}} =x^{\frac{1}{5}}+\Delta y \\ \Rightarrow (32.15)^{\frac{1}{5}}=(32)^{\frac{1}{5}}+0.001875 \\ \Rightarrow (32.15)^{\frac{1}{5}}=2+0.001875 \\ \Rightarrow (32.15)^{\frac{1}{5}}=2.001875
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सन्निकटन कक्षा 12 (Approximation Class 12),गणित में सन्निकटन (Approximation in Mathematics) को समझ सकते हैं।

3.सन्निकटन कक्षा 12 पर आधारित सवाल (Questions Based on Approximation Class 12):

Approximation Class 12

निम्नलिखित में से प्रत्येक का सन्निकट मान दशमलव के तीन स्थानों तक ज्ञात कीजिएः
(1.) \frac{1}{(2.002)^2}
(2.) \log _{10} 10.1 दिया हुआ है \log_{10} e=0.4343
(3 .) \sqrt{26}
उत्तर (Answers):(1.)0.2495 (2.)1.004343 (3.)5.1
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सन्निकटन कक्षा 12 (Approximation Class 12),गणित में सन्निकटन (Approximation in Mathematics) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:-Normals and Tangents Class 12

4.सन्निकटन कक्षा 12 (Approximation Class 12),गणित में सन्निकटन (Approximation in Mathematics):

सन्निकटन कक्षा 12 (Approximation Class 12) के इस आर्टिकल में हम कुछ राशियों के
सन्निकटन मान को ज्ञात करने के लिए अवकलों का प्रयोग करेंगे।