1.कक्षा 10 में रैखिक समीकरण युग्म को हल करना (Solving Pair of Linear Equations 10th),दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables):

Solving Pair of Linear Equations 10th

कक्षा 10 में रैखिक समीकरण युग्म को हल करना (Solving Pair of Linear Equations 10th) के इस आर्टिकल में प्रतिस्थापन विधि,विलोपन विधि तथा वज्र-गुणन विधि के आधार पर रैखिक समीकरण युग्म के कुछ विशिष्ट सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.कक्षा 10 में रैखिक समीकरण युग्म को हल करना के साधित उदाहरण (Solving Pair of Linear Equations 10th Solved Examples):

Example:1.दो मित्रों अनी और बीजू की आयु में 3 वर्ष का अंतर है।अनी के पिता धरम की आयु अनी की आयु की दुगुनी और बीजू की आयु अपनी बहन कैथी की आयु की दुगुनी है।कैथी और धरम की आयु का अंतर 30 वर्ष है।अनी और बीजू की आयु ज्ञात कीजिए।
Solution:माना अनी की आयु=x वर्ष
तथा बीजू की आयु=y वर्ष
प्रश्नानुसार:
x-y=3  …. (1)
अनी के पिता धरम की आयु=2x
बीजू की बहन कैथी की आयु=\frac{y}{2} \\ 2 x-\frac{y}{2}=30 \\ \Rightarrow 2 x=30+\frac{y}{2} \\ \Rightarrow x=15+\frac{y}{4} \cdots(2)
x का मान समीकरण (1) में रखने पर:

15+\frac{y}{4}-y=3 \\ \Rightarrow \frac{y-4 y}{4}=3-15 \\ \Rightarrow \frac{-3 y}{4}=-12 \\ \Rightarrow y=\frac{12 \times 4}{3} \\ \Rightarrow y=16 वर्ष
y का मान समीकरण (2) में रखने पर:
x=15+\frac{16}{4} \\ =15+4 \\ x=19 वर्ष
अनी की आयु =19 वर्ष
बीजू की आयु=16 वर्ष
Example:2.एक मित्र दूसरे से कहता है कि ‘यदि आप मुझे दस दे दें,तो मैं आपसे छ: गुना धनी बन जाऊँगा।’बताइए कि उनकी क्रमशः क्या संपत्तियाँ हैं? (भास्कर II की बीजगणित से)
Solution:माना पहले मित्र के पास धन है=x रु.
तथा दूसरे मित्र के पास धन है=y रु.
प्रश्नानुसार:
x+100=2(y-100) \\ \Rightarrow x-2 y=-200-100 \\ \Rightarrow x-2 y=-300 \cdots(1) \\ 6(x-10)=(y+10) \\ \Rightarrow 6 x-y=60+10 \\ \Rightarrow 6 x-y=70 \cdots(2)
समीकरण (2) को 2 से गुणा करने पर:
\begin{array}{ll} 12 x-2 y=140 \cdots(3) \\ x-2 y=-300 \cdots(1) \\ - \quad + \quad + \quad \quad \\ \hline \end{array} \\ 11 x=440 \\ \Rightarrow x=\frac{440}{11} =40
x का मान समीकरण (1) में रखने पर:
40-2y=-300 \\ \Rightarrow-2 y=-300-40 \\ \Rightarrow-2 y=-340 \\ \Rightarrow y =340 \\ \Rightarrow y=170
पहले मित्र के पास धन=40 रु.
दूसरे मित्र के पास धन=170 रु.
Example:3.एक बेलगाड़ी कुछ दूरी समान चाल से तय करती है।यदि रेलगाड़ी 10 km/h अधिक तेज चलती होती,तो उसे नियत समय से 2 घंटे कम लगते और यदि रेलगाड़ी 10 km/h धीमी चलती होती,तो उसे नियत समय से 3 घंटे अधिक लगते।रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।
Solution:माना रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दूरी=x किमी तथा रेलगाड़ी की चाल=y km/h
प्रश्नानुसार:
समय=\frac{\text{दूरी}}{\text{चाल}}=\frac{x}{y}
रेलगाड़ी 10 km/h अधिक तेज चलती तो समय

\frac{x}{y}-2=\frac{x}{y+10} \\ \Rightarrow \frac{x(y+10)}{y}-2(y+10)=x \\ \Rightarrow \frac{x y+10 x-2 y^2-20 y}{y}=x \\ \Rightarrow x y+10 x-2 y^2-20 y=x y \\ \Rightarrow 10 x-2 y^2-20 y=0 \cdots(1)
यदि रेलगाड़ी 10 km/h धीमी चलती तो समय
जोड़ने पर
\frac{x}{y}+3=\frac{x}{y-10} \\ \Rightarrow \frac{x(y-10)}{y}+3(y-10)=x \\ \Rightarrow \frac{x y-10 x+3 y^2-30 y}{y}=x \\ \Rightarrow x y-10 x+3 y^2-30 y=x y \\ \begin{array}{ll} \Rightarrow-10 x+3 y^2-30 y=0 \cdots(2) \\ 10 x-2 y^2-20 y=0 \cdots(1) \text{}\\ \hline \end{array} \\ y^2-50 y=0 \\ \Rightarrow y(y-50)=0 \\ \Rightarrow y=0 (असम्भव है)

y-50=0 \Rightarrow y=50
y का मान समीकरण (1) में रखने पर:

10 x-2(50)^2-20 \times 50=0 \\ \Rightarrow 10 x-5000-1000=0 \\ \Rightarrow 10 x=6000 \\ \Rightarrow x=\frac{6000}{10} \\ \Rightarrow x=600 km
अतः रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दूरी=600 किमी
Example:4.एक कक्षा के विद्यार्थियों को पंक्तियों में खड़ा होना है।यदि पंक्ति में 3 विद्यार्थी अधिक होते,तो 1 पंक्ति कम होती।यदि पंक्ति में 3 विद्यार्थी कम होते,तो 2 पंक्तियां अधिक बनती।कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Solution:माना कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या=x तथा पंक्तियों की संख्या=y
प्रत्येक पंक्ति में विद्यार्थियों की संख्या=\frac{x}{y}
प्रश्नानुसार:
यदि पंक्ति में 3 विद्यार्थी अधिक होते तो

\left(\frac{x}{y}+3\right) \times (y-1)=x \\ x+3 y-\frac{x}{y}-3=x \\ -x+3 y^2-3 y=0 \cdots(1)
यदि पंक्ति में 3 विद्यार्थी कम होते तो

\left(\frac{x}{y}-3\right)(y+2)=x \\ \Rightarrow x-3 y+\frac{2 x}{y}-6=x \\ \Rightarrow 2 x-3 y^2-6 y=0 \cdots(2)
समीकरण (1) को 2 से गुणा करने पर:
\begin{array}{ll}-2 x+6 y^2-6 y=0 \cdots(3)\\ 2 x-3 y^2-6 y=0 \cdots(2) \text{ जोड़ने पर } \\ \hline \end{array} \\ 3 y^2-12 y=0 \\ \Rightarrow 3 y(y-4)=0 \\ \Rightarrow y=0, y=4
y=0 (असम्भव है)
y=4 समीकरण (1) में रखने पर:

-x+3(4)^2-3 \times 4=0 \\ \Rightarrow -x+48-12=0 \\ \Rightarrow -x=-36 \\ \Rightarrow x=36
कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या=36
Example:5.एक \triangle ABC में, \angle C=3 \angle B=2(\angle A+\angle B) है।त्रिभुज के तीनों कोण ज्ञात कीजिए।
Solution: \angle C=3 \angle B=2(\angle A+\angle B)
प्रथम दो से:

\angle C=3 \angle B \Rightarrow 3 \angle B-\angle C=0 \cdots(1)
अन्तिम दो से:
3 \angle B=2(\angle A+\angle B) \\ \Rightarrow 3 \angle B=2 \angle A+2 \angle B \\ \Rightarrow 2 \angle A-\angle B=0 \cdots(2) \\ \angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ} (त्रिभुज के तीनों कोणों का योग)…….(3)
(1) व (3) को जोड़ने पर:

\angle A+4 \angle B=180^{\circ} \ldots(4)
समीकरण (2) को 4 से गुणा करने पर:
\begin{array}{ll}8 \angle A-4 \angle B=0 \cdots(5) \\ \angle A+4 \angle B=180^{\circ} \cdots(4) \text{ जोड़ने पर } \\ \hline \end{array} \\ 9 \angle A=180^{\circ} \\ \Rightarrow \angle A=\frac{180^{\circ}}{9} \\ \Rightarrow \angle A=20^{\circ} \\ \angle A का मान समीकरण (2) में रखने पर:
\Rightarrow 2 \times 20^{\circ}-\angle B=0 \\ \Rightarrow \angle B=40^{\circ} \\  \angle A व  \angle B का मान समीकरण (3) में रखने पर:

Solving Pair of Linear Equations 10th

Example:7.निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों को हल कीजिए:
Example:7(i).px+qy=p-q
qx-py=p+q
Solution:px+qy=p-q
qx-py=p+q

\Rightarrow  px+qy-(p-q)=0
qx-py-(p+q)=0
वज्र-गुणन विधि से हल करने पर:

\frac{x}{\begin{array}{ll} q & -(p-q)\\ -p & -(p+q)\end{array}}=\frac{y}{\begin{array}{ll} p & -(p-q)\\ q & -(p+q)\end{array}}=\frac{1}{\begin{array}{ll} q & q\\ q & -p\end{array}} \\ \Rightarrow \frac{x}{q \times-(p+q)+p \times-(p-q)}=\frac{y}{-(p-q) \times q-p \times-(p+q)}=\frac{1}{-p^2-q^2} \\ \Rightarrow \frac{x}{-p q-q^2-p^2+p q}=\frac{y}{-p q+q^2+p^2+p q}=\frac{1}{-p^2-q^2} \\ \Rightarrow \frac{x}{-p^2-q^2} =\frac{y}{p^2+q^2}=\frac{1}{-\left(p^2+q^2\right)} \\ \Rightarrow \frac{x}{-\left(p^2+q^2\right)} =\frac{y}{p^2+q^2}=\frac{1}{-\left(p^2+q^2\right)} \\ \Rightarrow \frac{x}{-\left(p^2+q^2\right)}=\frac{1}{-\left(p^2+q^2\right)} \Rightarrow x=1 \\ \Rightarrow \frac{y}{p^2+q^2}=\frac{1}{-\left(p^2+q^2\right)} \Rightarrow y=\frac{p^2+q^2}{-\left(p^2+q^2\right)} \\ \Rightarrow y=-1 \\ x=1, y=-1
Example:7(ii).ax+by=c,bx+ay=1+c
Solution:ax+by=c
bx+ay=1+c

ax+b y-c=0

bx+a y-(1+c)=0
वज्र-गुणन विधि से हल करने पर:

\frac{x}{\begin{array}{ll} b & -c \\ a & -(1+c) \end{array}}=\frac{1}{\begin{array}{ll} a & -c \\ b & -(1+c) \end{array}}=\frac{1}{\begin{array}{ll} a & b \\ b & a \end{array}} \\ \Rightarrow \frac{x}{b \times -(1+c)-a \times -c}=\frac{1}{-a \times -(1+c)+b \times -c}=\frac{1}{a^2-b^2} \\ \Rightarrow \frac{x}{-b-b c+a c} =\frac{y}{a+a c-b c}=\frac{1}{a^2-b^2} \\ \Rightarrow \frac{x}{a c-b c-b}=\frac{y}{a c-b c+a}= \frac{1}{a^2-b^2} \\ \Rightarrow \frac{x}{a c-b c-b}=\frac{1}{a^2-b^2} \Rightarrow x=\frac{a c-b c-b}{a^2-b^2} \\ \frac{y}{a c-b c+a}=\frac{1}{a^2-b^2} \Rightarrow y=\frac{a c-b c+a}{a^2-b^2} \\ x=\frac{a c-b c-b}{a^2-b^2}, y=\frac{a c-b c+a}{a^2-b^2}
Example:7(iii). \frac{x}{a}-\frac{y}{b}=0 \\ a x+b y=a^2+b^2
Solution: \frac{x}{a}-\frac{y}{b}=0 \\ a x+b y =a^2+b^2 \\ b x-a y+0 =0 \\ a x+b y-\left(a^2+ b^2\right)=0
वज्र-गुणन विधि से हल करने पर:

\frac{x}{\begin{array}{ll} -a & \quad \quad 0 \\ b & -\left(a^2+b^2\right) \end{array}}=\frac{y}{\begin{array}{ll} b & \quad 0 \\ a & \left(a^2+b^2\right) \end{array}}=\frac{1}{\begin{array}{ll} b & -a \\ a & b \end{array}} \\ \frac{x}{a\left(b^2+a^2\right)}=\frac{y}{0+b\left(a^2+b^2\right)}=\frac{1}{b^2+a^2} \\ \Rightarrow \frac{x}{a\left(a^2+b^2\right)}=\frac{y}{b\left(a^2+b^2\right)}=\frac{1}{a^2+b^2} \\ \frac{x}{a\left(a^2+b^2\right)}=\frac{1}{a^2+b^2} \Rightarrow x=a \\ \frac{y}{b\left(a^2+b^2\right)}=\frac{1}{a^2+b^2} \Rightarrow y=b \\ x=a, y=b
Example:7(iv). (a-b) x+(a+b) y-\left(a^2-2 a b-b^2\right)=0 \\ (a+b) (x+y)=a^2+b^2
Solution: (a-b) x+(a+b) y-\left(a^2-2 a b-b^2\right)=0 \\ (a+b) x+(a+b) y-\left(a^2+ b^2 \right)=0
वज्र-गुणन विधि से हल करने पर:

\frac{x}{\begin{array}{ll}a+b & -\left(a^2-2 a b-b^2\right) \\ a+b & -\left(a^2+b^2\right) \end{array}} =\frac{y}{\begin{array}{ll}a-b & -\left(a^2-2 a b-b^2\right) \\ a+b & -\left(a^2+b^2\right) \end{array}}= \frac{1}{\begin{array}{ll}a-b & a+b \\ a+b & a+b \end{array}} \\ \Rightarrow \frac{x}{-(a+b) \left(a^2+b^2 \right) +(a+b) \left(a^2-2 a b-b^2\right)}=\frac{y}{(a-b)\left(a^2+b^2\right)-(a+b) \left(a^2-2 a b-b^2 \right)} =\frac{1}{(a-b)(a+b)-(a+b)(a+b)} \\ \Rightarrow \frac{x}{-2 b\left(a^2+2 a b+b^2\right)}=\frac{y}{4 a b^2}=\frac{1}{-2 b(a+b)} \\ \Rightarrow \frac{x}{-2 b(a+b)^2}=\frac{y}{4 a b^2}=\frac{1}{-2 b(a+b)} \\ \Rightarrow \frac{x}{-2 b(a+b)^2}=\frac{1}{-2 b(a+b)} \\ \Rightarrow x=\frac{-2 b(a+b)^2}{-2 b(a+b)} \\ \Rightarrow x=a+b \\ \frac{y}{4 a b^2}=\frac{1}{-2 b(a+b)} \\ \Rightarrow y=\frac{4 a b^2}{-2 b(a+b)} \\ \Rightarrow y=\frac{-2 a b}{a+b} \\ x=a+b, y=-\frac{2 a b}{a+b}
Example:7(v).152x-378y=-74,-378x+152y=-604
Solution:152x-378y=-74
-378x+152y=-604
\frac{x}{\begin{array}{ll}-378 & 74 \\ 152 & 604 \end{array}}=\frac{y}{\begin{array}{ll} 152 & 74 \\ -378 & 604 \end{array}}=\frac{1}{\begin{array}{ll} 152 &-378 \\ -378 & 152 \end{array}} \\ \Rightarrow \frac{x}{-378 \times 604-74 \times 152}=\frac{y}{-152 \times 604+74 \times -378}= \frac{1}{152 \times 152-(-378)(-378)} \\ \Rightarrow \frac{x}{-228312-11248}=\frac{y}{-91808-27972}=\frac{1}{23104-142884} \\ \Rightarrow \frac{x}{-239560}=\frac{y}{-119780}=\frac{1}{-119780} \\ \frac{x}{-239560}=\frac{1}{-119780} \\ \Rightarrow \quad x=\frac{-239560}{-119780} \\ \Rightarrow x =2 \\ \frac{y}{-94600}=\frac{1}{-119780} \\ \frac{y}{-119780}=\frac{1}{-119780} \\ \Rightarrow y=\frac{-119780}{-119780}=1 \\ x=2, y=1
Example:8.ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है (देखिए आकृति)।इस चक्रीय चतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए।

Solving Pair of Linear Equations 10th

Solution:चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण सम्पूरक होते हैं अतः

\angle A+\angle C=180^{\circ} \\ \Rightarrow 4 y+20-4 x=180^{\circ} \\ \Rightarrow-4 x+4 y=160^{\circ} \\ \Rightarrow-x+y-40^{\circ}=0 \\ \angle B+\angle D=180^{\circ} \\ 3 y-5-7 x+5= 180^{\circ} \\ \Rightarrow -7 x+3 y-180^{\circ}=0 \\ \quad-x+y-40^{\circ}=0
वज्र-गुणन विधि से हल करने पर:

\frac{x}{\begin{array}{ll} 3 & -180^{\circ} \\ 1 & -40^{\circ} \end{array}}=\frac{y}{\begin{array}{ll} -7 & -180^{\circ} \\ -1 & -40^{\circ} \end{array}}=\frac{1}{\begin{array}{ll} -7 & 3 \\ -1 & 1 \end{array}} \\ \Rightarrow \frac{x}{3 \times -40^{\circ}-1 \times-180^{\circ}}=\frac{y}{-(1) \times 180^{\circ}-(-7)(-40)^{\circ}}=\frac{1}{ -7 \times 1-3 \times-1} \\ \Rightarrow \frac{x}{-120^{\circ}+180^{\circ}}=\frac{y}{180^{\circ}-280^{\circ}}=\frac{1}{-7+3} \\ \Rightarrow \frac{x}{60}=\frac{y}{-100}=\frac{1}{-4} \\ \Rightarrow \frac{x}{60}=\frac{1}{-4} \Rightarrow x=\frac{60}{-4}=-15 \\ \frac{y}{-100}=\frac{1}{-4} \Rightarrow y=\frac{-100}{-4}=25 \\ \angle A=4 y+20=4 \times 25+20=100+20 \\ \Rightarrow \angle A=120^{\circ} \\ \angle B=3 y-5=3 \times 25-5=75-5=70^{\circ} \\ \angle C=-4 x=-4 \times -15= 60^{\circ} \\ \angle D=-7 x+5=-7 \times-15+5=105+5=110^{\circ} \\ \angle A=120^{\circ}, \angle B=70^{\circ}, \angle C=60^{\circ}, \angle D=110^{\circ}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कक्षा 10 में रैखिक समीकरण युग्म को हल करना (Solving Pair of Linear Equations 10th),दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables) को समझ सकते हैं।

3.कक्षा 10 में रैखिक समीकरण युग्म को हल करना की समस्याएँ (Solving Pair of Linear Equations 10th Problems):

Solving Pair of Linear Equations 10th

(1.)एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD के चारों कोण ज्ञात कीजिए यदि \angle A=(2 x-1)^{\circ}, \angle B=(y+5)^{\circ}, \angle C=(2 y+15)^{\circ} तथा \angle D=(4x-7)^{\circ} तथा \angle A व \angle C  और \angle B व \angle D परस्पर सम्मुख कोण हैं।
(2.)निम्न समीकरण युग्म को हल करोः

a(x+y)+b(x-y)=a^2-a b+b^2 \\ a(x-y)-b(x-y)=a^2+a b+b^2
उत्तर (Answers): (1) \angle A=65^{\circ} ; \angle B=55^{\circ} , \angle C=115^{\circ}, \angle D=125^{\circ} 

(2)x=\frac{b^2}{2 a}, y=\frac{b^2+2 a^2}{2 a}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर कक्षा 10 में रैखिक समीकरण युग्म को हल करना (Solving Pair of Linear Equations 10th),दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.कक्षा 10 में रैखिक समीकरण युग्म को हल करना (Frequently Asked Questions Related to Solving Pair of Linear Equations 10th),दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

कक्षा 10 में रैखिक समीकरण युग्म को हल करना (Solving Pair of Linear Equations 10th) के
इस आर्टिकल में प्रतिस्थापन विधि,विलोपन विधि तथा वज्र-गुणन विधि के आधार पर रैखिक
समीकरण युग्म के कुछ विशिष्ट सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।