Application of Binomial Theorem
1.द्विपद प्रमेय के अनुप्रयोग (Application of Binomial Theorem)-
- द्विपद प्रमेय के अनुप्रयोग (Application of Binomial Theorem)-प्रमेय और इसके सामान्यीकरण का उपयोग परिणाम को साबित करने और काम्बीनेट्रिक्स विज्ञान, बीजगणित, कलन और गणित के कई अन्य क्षेत्रों में समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है।द्विपद प्रमेय भी संगठित तरीके से संभावना का पता लगाने में मदद करता है: एक दोस्त का कहना है कि वह 5 बार एक सिक्का फ्लिप करेगा।
- द्विपद प्रमेय (या द्विपद विस्तार) द्विपद या दो पदों की राशि का विस्तार करने का एक परिणाम है।विस्तार में पदों के गुणांक द्विपद गुणांक (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) हैं।प्रमेय और इसके सामान्यीकरण का उपयोग परिणाम को साबित करने के लिए किया जा सकता है और काम्बीनेट्रिक्स, बीजगणित, कलन और गणित के कई अन्य क्षेत्रों में समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है।
- द्विपद प्रमेय विशेष मामलों को सामान्य करता है जो मूल बीजगणित के छात्रों के लिए सामान्य और परिचित हैं:
(x+y)^{ 1 }=x+y\\ (x+y)^{ 2 }=x^{ 2 }+2xy+y^{ 2 }\\ (x+y)^{ 3 }=x^{ 3 }+3x^{ 2 }y+3xy^{ 2 }+y^{ 3 }\\ (x+y)^{ 4 }=x^{ 4 }+4x^{ 3 }y+6x^{ 2 }y^{ 2 }+4xy^{ 3 }+y^{ 4 } - आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके ।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए ।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।
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2.द्विपद प्रमेय के अनुप्रयोग के उदाहरण (Application of Binomial Theorem Examples)-
Example-1.यदि x की तुलना में y बहुत कम हो तो सिद्ध कीजिए, \frac { { (x-y) }^{ n } }{ { (x+y) }^{ n } } =\frac { 1-2xy }{ x } जहां एवं { y }^{ 2 } उच्चतम घात उपेक्षणीय है।
Solution–\frac { { (x-y) }^{ n } }{ { (x+y) }^{ n } } =\frac { 1-2xy }{ x } \\ L.H.S=\frac { { (x-y) }^{ n } }{ { (x+y) }^{ n } } \\ =\frac { { x^{ n }(1-\frac { y }{ x } ) }^{ n } }{ x^{ n }{ (1+\frac { y }{ x } ) }^{ n } } \\ ={ (1-\frac { y }{ x } ) }^{ n }{ (1+\frac { y }{ x } ) }^{ -n }
सूत्र-{ (1-x) }^{ n }=1-nx+\frac { n(n-1) }{ 2! } { x }^{ 2 }+\frac { n(n-1)(n-2) }{ 3! } { x }^{ 3 }+......+\frac { n(n-1)(n-2).....(n-r+1) }{ r! } { x }^{ r } \\ =(1-n\frac { y }{ x } +\frac { n(n-1) }{ 2 } \frac { { y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } } +....)(1+(-n)\frac { y }{ x } +\frac { (-n)(-n-1) }{ 2! } \frac { { y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } } +....)
{ y }^{ 2 } एवं उच्चतम घातों को छोड़ने पर-
=(1-\frac { ny }{ x } )(1-\frac { ny }{ x } )\\ =(1-\frac { ny }{ x } -\frac { ny }{ x } )\\ =1-\frac { 2ny }{ x } =R.H.S
यदि x इतना छोटा है कि x के वर्ग एवं अन्य उच्च घात उपेक्षणीय है तो निम्नलिखित व्यंजकों के मान ज्ञात कीजिए:
Example-2.\frac { { (9+2x) }^{ \frac { 1 }{ 2 } }(3+4x) }{ { (1+x) }^{ \frac { 1 }{ 5 } } }
Solution–\frac { { (9+2x) }^{ \frac { 1 }{ 2 } }(3+4x) }{ { (1+x) }^{ \frac { 1 }{ 5 } } } \\ { 9 }^{ \frac { 1 }{ 2 } }{ (1+\frac { 2x }{ 9 } ) }^{ \frac { 1 }{ 2 } }.3(1+\frac { 4x }{ 3 } ){ (1+x) }^{ -\frac { 1 }{ 5 } }
सूत्र –{ (1-x) }^{ n }=1-nx+\frac { n(n-1) }{ 2! } { x }^{ 2 }+\frac { n(n-1)(n-2) }{ 3! } { x }^{ 3 }+......+\frac { n(n-1)(n-2).....(n-r+1) }{ r! } { x }^{ r }\\ =9(1+\frac { 1 }{ 2 } (\frac { 2x }{ 9 } )+........)(1+\frac { 4x }{ 3 } )(1-\frac { 1 }{ 5 } x+......)
[उच्चतम घातों को नगण्य मानने पर]
=9(1+\frac { x }{ 9 } )(1+\frac { 4x }{ 3 } )(1-\frac { 1 }{ 5 } x)\\ =9(1+\frac { 4x }{ 3 } +\frac { x }{ 9 } +\frac { 4{ x }^{ 2 } }{ 27 } )(1-\frac { 1 }{ 5 } x)\\ =9(1+\frac { 13x }{ 9 } +\frac { 4{ x }^{ 2 } }{ 27 } -\frac { 1 }{ 5 } x-\frac { 13{ x }^{ 2 } }{ 45 } -\frac { 4{ x }^{ 3 } }{ 135 } )
[उच्चतम घातों को नगण्य मानने पर]
=9(1+\frac { 13x }{ 9 } -\frac { 1 }{ 5 } x)\\ =9(1+\frac { 65x-94x }{ 45 } )\\ =9(1+\frac { 56x }{ 45 } )\\ =(9+\frac { 56x }{ 5 } )
Example-3.\frac { \sqrt { (1-2x) } +{ (1+3x) }^{ \frac { 4 }{ 3 } } }{ 3+x+\sqrt { 4-x } }
Solution–\frac { \sqrt { (1-2x) } +{ (1+3x) }^{ \frac { 4 }{ 3 } } }{ 3+x+\sqrt { 4-x } } \\ \frac { { (1-2x) }^{ \frac { 1 }{ 2 } }+{ (1+3x) }^{ \frac { 4 }{ 3 } } }{ 3+x+2{ (1-\frac { x }{ 4 } ) }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }
सूत्र –{ (1-x) }^{ n }=1-nx+\frac { n(n-1) }{ 2! } { x }^{ 2 }+\frac { n(n-1)(n-2) }{ 3! } { x }^{ 3 }+......+\frac { n(n-1)(n-2).....(n-r+1) }{ r! } { x }^{ r }\\ =\frac { (1-(\frac { 1 }{ 2 } )2x+.....)+(1+\frac { 4 }{ 3 } (3x)+......) }{ 3+x+2(1-(\frac { 1 }{ 2 } )(\frac { x }{ 4 } )+.....) }
[उच्चतम घातों को नगण्य मानने पर]
=\frac { (1-x)+1+4x }{ 3+x+2(1-\frac { x }{ 8 } ) } \\ \frac { (1-x)+1+4x }{ 3+x+2-\frac { x }{ 4 } } \\ =\frac { 2+3x }{ 5+\frac { 3x }{ 4 } } \\ =\frac { (2+3x) }{ 5 } { (1+\frac { 3x }{ 20 } ) }^{ -1 }\\ =\frac { (2+3x) }{ 5 } { (1-\frac { 3x }{ 20 } +.......) }
[उच्चतम घातों को नगण्य मानने पर]
=\frac { 1 }{ 5 } (2-\frac { 3x }{ 10 } +3x-\frac { 9 }{ 100 } { x }^{ 2 })
[उच्चतम घातों को नगण्य मानने पर]
=\frac { 1 }{ 5 } (2+3x-\frac { 3x }{ 10 } )\\ =\frac { 1 }{ 5 } (2+\frac { 30x-3x }{ 10 } )\\ =\frac { 1 }{ 5 } (2+\frac { 27x }{ 10 } )\\ =\frac { 2 }{ 5 } +\frac { 27x }{ 50 }
मान ज्ञात कीजिए:
Example-4. \sqrt { 30 } का दशमलव के चार अंकों तक
Solution–\sqrt { 30 } \\ ={ (25+5) }^{ \frac { 1 }{ 2 } }\\ ={ 25 }^{ \frac { 1 }{ 2 } }{ (1+\frac { 5 }{ 25 } ) }^{ \frac { 1 }{ 2 } }\\ =5[1+(\frac { 1 }{ 2 } )(\frac { 1 }{ 5 } )+\frac { (\frac { 1 }{ 2 } )(\frac { 1 }{ 2 } -1) }{ 2! } { (\frac { 1 }{ 5 } ) }^{ 2 }+\frac { (\frac { 1 }{ 2 } )(\frac { 1 }{ 2 } -1)(\frac { 1 }{ 2 } -2) }{ 3! } { (\frac { 1 }{ 5 } ) }^{ 3 }+.......]
[उच्चतम घातों को नगण्य मानने पर]
=5[1+(\frac { 1 }{ 10 } )+(\frac { 1 }{ 8 } ){ (\frac { 1 }{ 25 } ) }+\frac { (\frac { 1 }{ 2 } )(-\frac { 1 }{ 2 } )(-\frac { 3 }{ 2 } ) }{ 6 } { (\frac { 1 }{ 125 } ) }]\\ =5[1+0.1+0.005+(\frac { 1 }{ 16 } ){ (\frac { 1 }{ 125 } ) }]\\ =5[1.095+\frac { 1 }{ 2000 } ]\\ =5[1.095+0.0005]\\ =5(1.0955)\\ =5.4775
Example-5. \frac { 1 }{ { (8.16) }^{ \frac { 1 }{ 3 } } } का दशमलव के चार अंकों तक
Solution–\frac { 1 }{ { (8.16) }^{ \frac { 1 }{ 3 } } } \\ ={ (8.16) }^{ -\frac { 1 }{ 3 } }\\ ={ (8+0.16) }^{ -\frac { 1 }{ 3 } }\\ ={ 8 }^{ -\frac { 1 }{ 3 } }{ [1+0.02] }^{ -\frac { 1 }{ 3 } }\\ ={ 8 }^{ -\frac { 1 }{ 3 } }{ [1+(-\frac { 1 }{ 3 } )0.02+\frac { (-\frac { 1 }{ 3 } )(-\frac { 1 }{ 3 } -1) }{ 2! } { (0.02) }^{ 2 }+......] }
[उच्चतम घातों को नगण्य मानने पर]
=\frac { 1 }{ 2 } [1-\frac { 0.02 }{ 3 } ]\\ =\frac { 1 }{ 2 } [1-0.0066]\\ =\frac { 1 }{ 2 } (0.9934)\\ =0.4967
Example-6. 126 का घनमूल दशमलव के 5 अंकों तक।
Solution–{ (126) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\\ ={ (125+1) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\\ ={ (125) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }{ (1+\frac { 1 }{ 125 } ) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\\ ={ ({ 5 }^{ 3 }) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }{ { (1+\frac { 1 }{ ({ 5 }^{ 3 }) } ) } }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\\ =5[1+\frac { 1 }{ 3 } \frac { 1 }{ ({ 5 }^{ 3 }) } +\frac { \frac { 1 }{ 3 } (\frac { 1 }{ 3 } -1) }{ 2! } { \frac { 1 }{ ({ 5 }^{ 3 }) } }^{ 2 }+.......]\\ =5[1+\frac { 1 }{ 3 } \frac { 1 }{ { 5 }^{ 3 } } +\frac { \frac { 1 }{ 3 } (-\frac { 2 }{ 3 } ) }{ 2! } { \frac { 1 }{ ({ 5 }^{ 6 }) } }+.......]\\ =5[1+\frac { 1 }{ 3 } \frac { 1 }{ { 5 }^{ 3 } } +\frac { 1 }{ 9 } { \frac { 1 }{ ({ 5 }^{ 6 }) } }+.......]\\ =5[1+\frac { 1 }{ 3\times { 5 }^{ 3 } } -\frac { 1 }{ 9 } { \frac { 1 }{ ({ 5 }^{ 6 }) } }+.......]\\ =5+\frac { 1 }{ 3\times { 5 }^{ 2 } } -\frac { 1 }{ 9 } { \frac { 1 }{ ({ 5 }^{ 5 }) } }+.....\\ =5+0.01333+0.000035\\ =5+0.013298\\ =5.01330
यदि x लगभग 1 के बराबर हो तो सिद्ध कीजिए:
Example-7.\frac { m{ x }^{ m }-n{ x }^{ n } }{ m-n } ={ x }^{ m+n }
Solution–\frac { m{ x }^{ m }-n{ x }^{ n } }{ m-n } ={ x }^{ m+n }\\ L.H.S=\frac { m{ x }^{ m }-n{ x }^{ n } }{ m-n }
माना x=1+k , जहां k इतना छोटा है कि इसके वर्ग और अन्य घातों को नगण्य मानते हैं।
=\frac { m{ (1+k) }^{ m }-n{ (1+k) }^{ n } }{ m-n } \\ =\frac { m{ (1+km) }-n{ (1+kn) } }{ m-n } \\ =\frac { m+k{ m }^{ 2 }-n-{ n }^{ 2 }k }{ m-n } \\ =\frac { (m-n)+k({ m }^{ 2 }-{ n }^{ 2 }) }{ m-n } \\ =\frac { (m-n)+k({ m }-{ n })(m+n) }{ m-n } \\ =\frac { (m-n)[1+k(m+n)] }{ m-n } \\ =1+k(m+n)...(1)\\ R.H.S={ x }^{ m+n }\\ ={ (1+k) }^{ m+n }\\ =1+(m+n)k=L.H.S
R.H.S=L.H.S
Example-8.\frac { a{ x }^{ b }-b{ x }^{ a } }{ { x }^{ b }-{ x }^{ a } } =\frac { 1 }{ 1-x }
Solution-\frac { a{ x }^{ b }-b{ x }^{ a } }{ { x }^{ b }-{ x }^{ a } } =\frac { 1 }{ 1-x }
माना x=1+k , जहां k इतना छोटा है कि इसके वर्ग और अन्य घातों को नगण्य मानते हैं।
=\frac { a{ (1+k) }^{ b }-b{ (1+k) }^{ a } }{ { (1+k) }^{ b }-{ (1+k) }^{ a } } \\ =\frac { a{ (1+bk) }-b{ (1+ak) } }{ { (1+bk) }-{ (1+ak) } } \\ =\frac { a{ +abk }-b-{ abk } }{ { 1+bk }-{ 1-ak } } \\ =\frac { a-b }{ -k(a-b) } \\ =-\frac { 1 }{ k } \\ =-\frac { 1 }{ x-1 } \\ =\frac { 1 }{ 1-x } =R.H.S
Example-9.यदि p तथा q लगभग-लगभग बराबर हो तो सिद्ध कीजिए:
\frac { q+2p }{ p+2q } ={ (\frac { p }{ q } ) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }
Solution-\frac { q+2p }{ p+2q } ={ (\frac { p }{ q } ) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\\ L.H.S=\frac { q+2p }{ p+2q } \\ =\frac { q(1+\frac { 2p }{ q } ) }{ q(2+\frac { p }{ q } ) } \\ put\quad \frac { p }{ q } =1+h\\ =\frac { [1+2(1+h)] }{ [2+1+h] } \\ =\frac { 3+2h }{ 3+h } \\ =\frac { 1 }{ 3 } (3+2h){ (1+\frac { h }{ 3 } ) }^{ -1 }\\ =\frac { 1 }{ 3 } (3+2h){ (1-\frac { h }{ 3 } ) }\\ =\frac { 1 }{ 3 } (3-h+2h-{ \frac { 2{ h }^{ 2 } }{ 3 } ) }\\ =\frac { 1 }{ 3 } (3+h)\\ =(1+\frac { h }{ 3 } )\\ ={ (1+h) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\\ ={ (\frac { p }{ q } ) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }=R.H.S
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा द्विपद प्रमेय के अनुप्रयोग (Application of Binomial Theorem) को समझ सकते हैं।
3.द्विपद प्रमेय के अनुप्रयोग के सवाल (Application of Binomial Theorem Questions)-
(1.)यदि x इतना छोटा है कि x के वर्ग एवं अन्य घात उपेक्षणीय है तो व्यंजक \frac { { (1+\frac { 3x }{ 4 } ) }^{ 4 }\sqrt { 16-3x } }{ { (8+x) }^{ \frac { 2 }{ 3 } } } का मान ज्ञात करो।
(2.){ (1.03) }^{ \frac { 1 }{ 3 } } का दशमलव के 4 अंकों तक मान ज्ञात कीजिए:
(3.){ (1.003) }^{ 4 } का मान दशमलव के तीन स्थान तक ज्ञात कीजिए।
(4.)यदि x इतना छोटा हो कि इसके वर्ग तथा उच्च घातों की उपेक्षा की जा सके तो सिद्ध कीजिए:
\frac { \sqrt { 1+2x } +{ (16+3x) }^{ \frac { 1 }{ 4 } } }{ { (1-x) }^{ 2 } } =3+\frac { 227x }{ 32 }
(5.)यदि p और q लगभग बराबर हो तब सिद्ध कीजिए:
\frac { (n+1)p+(n-1)q }{ (n-1)p+(n+1)q } ={ (\frac { p }{ q } })^{ \frac { 1 }{ n } }
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर द्विपद प्रमेय के
अनुप्रयोग (Application of Binomial Theorem) को ठीक से समझा जा सकता है।
उत्तर (Answer)-
(1.)[1-\frac { 305x }{ 96 } ]
(2.) 1.0099
(3.) 1.012
4.द्विपद प्रमेय का उपयोग कहां किया जाता है? (Where is binomial theorem used?)-
- द्विपद प्रमेय हमें बताता है कि कैसे (a + b)^nके रूपों के व्यंजकों का विस्तार किया जाए, उदाहरण के लिए, (x + y)^7।जितनी बड़ी घात होती है, उतनी ही सरलता से इस तरह के व्यंजकों का विस्तार करना कठिन होता है।लेकिन द्विपद प्रमेय के साथ, प्रक्रिया अपेक्षाकृत तेज है!
5.वास्तविक जीवन में द्विपद विस्तार का उपयोग कैसे किया जाता है? (How is binomial expansion used in real life?)-
- अर्थशास्त्रियों ने द्विपदीय प्रमेय का उपयोग उन संभावनाओं को गिनाने के लिए किया है जो अगले कुछ वर्षों में अर्थव्यवस्था के व्यवहार के तरीके का अनुमान लगाने के लिए कई और बहुत वितरित चर पर निर्भर करती हैं। यथार्थवादी भविष्यवाणियों के साथ आने में सक्षम होने के लिए, इस क्षेत्र में द्विपद प्रमेय का उपयोग किया जाता है। बुनियादी ढांचे के डिजाइन में।
6. आप एक द्विपद प्रमेय कैसे लिखते हैं? (How do you write a binomial theorem?)-
- अब द्विपदीय पर।हम सरल द्विपद a + b का उपयोग करेंगे,लेकिन यह कोई भी द्विपद हो सकता है।
{ (a+b) }^{ 2 }=(a+b)(a+b)={ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+2ab\\ { (a+b) }^{ 3 }=({ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+2ab)(a+b)={ a }^{ 3 }+3a{ b }^{ 2 }+3{ a }^{ 2 }b+{ b }^{ 3 }
अब, एक के घातांक को नोटिस करें।
इसी तरह b के चरघातांक ऊपर की ओर जाते हैं: 0, 1, 2, 3
7.गणित में द्विपद प्रमेय का अनुप्रयोग (Application of Binomial Theorem in Mathematics)-
- यह प्रमेय एक बहुत ही उपयोगी प्रमेय है और यह आपको किसी भी घात के लिए उठाए गए द्विपद के विस्तार का पता लगाने में मदद करता है।यह आपको द्विपदीय समस्याओं के जवाब खोजने में मदद कर सकता है जैसे:
{ (3x+4y) }^{ 5 }\\ { (10x-2y) }^{ 10 }\\ { (x+y) }^{ 12 } - ध्यान दें कि कैसे इन द्विपद को केवल वर्ग या तिगुना नहीं किया जाता है।नहीं, इनमें बहुत अधिक घातें हैं।अब,आप इन्हें मैन्युअल (हाथ) से कर सकते हैं, लेकिन गणना कागज पर नज़र रखने के बजाय गड़बड़ और कठिन हो सकती है। ज़रा सोचिए कि जब आप द्विपद को वर्ग करते हैं तो आपको कितने पद मिलते हैं।जब आप 4 या अधिक की घातों का उपयोग करेंगे तो आपके पास कई और अधिक होंगे।इससे गड़बड़ हो सकती है।इसलिए, गणितज्ञों ने
- इन समस्याओं को हल करने के लिए द्विपद प्रमेय को साबित किया।यहाँ एक औपचारिक तरीके से व्यक्त प्रमेय है।
- उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर,द्विपद प्रमेय के अनुप्रयोग के उदाहरणों तथा सवालों को हल करके द्विपद प्रमेय के
अनुप्रयोग (Application of Binomial Theorem) को भली-भांति समझ सकते हैं।
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
