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Examples of Subgroups

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1 1.उपग्रुप के उदाहरण (Examples of Subgroups),उपग्रुप (उपसमूह) उदाहरण (Subgroups Examples):
1.2 3.उपग्रुप के उदाहरण की समस्याएं (Examples of Subgroups Problems):-

1.उपग्रुप के उदाहरण (Examples of Subgroups),उपग्रुप (उपसमूह) उदाहरण (Subgroups Examples):

उपग्रुप के उदाहरण (Examples of Subgroups):यदि H ग्रुप (समूह) G का एक अरिक्त उपसमुच्चय है तथा G की द्विचर संक्रिया (binary operation) H में ऐसी द्विचर संक्रिया को प्रेरित (Induced Binary Composition) करें जिसके लिए H स्वयं भी ग्रुप हो तो H को ग्रुप G का उपग्रुप (उपसमूह) कहलाता है।
ग्रुप G के दो तुच्छ (Trival) उपग्रुप होते हैं इन्हें विषम उपग्रुप (Improper Subgroup) कहते हैं।(i)G (स्वयं) (ii){e},तत्समक ग्रुप
इनके अतिरिक्त अन्य सभी उपग्रुप उचित उपग्रुप (Proper Subgroup) कहलाते हैं।
प्रमेय (Theorem):4.किसी ग्रुप G एक अरिक्त उपसमुच्चय H उसका उपग्रुप होगा यदि और केवल यदि
(A non empty subset H of a group G is a subgroup of G if and only
(i) a \in H, b \in H \Rightarrow a b \in H
(ii)a \in H \Rightarrow a^{-1} \in H
उपपत्ति (Proof):प्रतिबन्ध की आवश्यकता (Necessary Condition):माना कि H,G का उपग्रुप है, इसलिए उपग्रुप की परिभाषा से a \in H, b \in H \Rightarrow a b \in H
तथा a \in H \Rightarrow a^{-1} \in H
जो कि प्रतिबन्ध (i) और (ii) है।
प्रतिबन्ध की पर्याप्तता (Sufficient Condition(:माना कि H,G का अरिक्त उपसमुच्चय है तो पहले प्रतिबन्ध a \in H, b \in H \Rightarrow a b \in H से स्पष्ट है कि जो द्विचर संक्रिया G में सत्य है वह H पर भी लागू होता है।अतः G का एक उपसमुच्चय H,G की द्विचर संक्रिया से युक्त है।
क्योंकि G ग्रुप है तथा इसमें साहचर्य नियम का पालन होता है इसलिए H में भी साहचर्य नियम सत्य है।
अब यदि a \in H \Rightarrow a^{-1} \in H [(ii) प्रतिबन्ध से]
पुनः प्रतिबन्ध (i) से a \in H \Rightarrow a^{-1} \in H \Rightarrow a a^{-1}=e \in H \forall a \in H
अतः H,G का उपग्रुप है।
प्रमेय (Theorem):5.किसी ग्रुप G के किन्हीं दो उपग्रुपों का सर्वनिष्ठ ग्रुप G का उपग्रुप होता है।
(The Intersection of any two subgroups of a group G is also a subgroup of G.)
उपपत्ति (Proof):माना कि H_{1} तथा H_{2} ग्रुप G के दो उपग्रुप है।अतः G का तत्समक अवयव e, H_{1} तथा H_{2} दोनों में विद्यमान है।
अतः H_{1} \cap H_{2} \neq \phi
अब माना कि a, b \in H_{1} \cap H_{2} \\ a \in H_{1} \cap H_{2} \Rightarrow a \in H_{1}, a \in H_{2} \\ b \in H_{1} \cap H_{2} \Rightarrow b \in H_{1}, b \in H_{2}
परन्तु H_{1}  तथा H_{2}  ग्रुप G के उपग्रुप है इसलिए

\left.\begin{matrix} a \in H_{1}, b \in H_{2} \Rightarrow a b^{-1} \in H_{2}\\ \text{ तथा  } a \in H_{2}, b \in H_{2} \Rightarrow a b^{-1} \in H_{2} \end{matrix}\right\} \Rightarrow ab^{-1} \in H_{1} \cap H_{2}
H_{1} \cap H_{2} भी G का उदाहरण है।
प्रमेय (Theorem):6.किसी ग्रुप G के दो उपग्रुपों का संघ एक उपसमूह है यदि और केवल यदि एक दूसरे में अन्तर्विष्ट (निहित) है।
(The union of two subgroups of a group G is a subgroup iff one is contained in the other .)
उपपत्ति (Proof):प्रतिबन्ध की आवश्यकता (Necessary Condition):माना कि H_{1}  तथा H_{2} ग्रुप G के कोई दो उपग्रुप हैं।माना H_{1} \subseteq H_{2} या H_{2} \subseteq H_{1} तब
H_{1} \cup H_{2} =H_{2} या H_{1} \Rightarrow H_{1} \cup H_{2} भी G में उपग्रुप है।
प्रतिबन्ध की पर्याप्तता (Sufficient Condition):माना H_{1}  तथा H_{2}, G के उपग्रुप हैं H_{1} \cup H_{2} भी G के उपग्रुप है, तब हमें सिद्ध करना है कि H_{1} \subseteq H_{2} या H_{2} \subseteq H_{1}
यदि सम्भव है तो माना H_{1} \nsubseteq H_{2} तथा H_{2} \nsubseteq H_{1}[/katex]
अब H_{2} \subseteq H_{2} \Rightarrow \Rightarrow \exists a \in H_{1} \quad \wedge a \notin H_{2}
इसी प्रकार H_{2} \nsubseteq H_{1} \Rightarrow \exists b \in H_{2} \wedge b \notin H_{1}
परन्तु a \in H_{1} \Rightarrow a \in H_{1} \cup H_{2} \\ b \in H_{2} \Rightarrow b \in H_{1} \cup H_{2}
साथ हमने यह माना कि H_{1} \cup H_{2} एक उपग्रुप है, इसलिए

a \in H_{1} \cup H_{2}, b \in H_{1} \cup H_{2} \Rightarrow a b \in H_{1} \cup H_{2}
परन्तु a b \in H_{1} \cup H_{2}, \Rightarrow  a b \in H_{1} या a b \in H_{2}
अब यदि a b \in H_{1} तथा H_{1} एक उपग्रुप होने के कारण

a \in H_{1} , ab \in H_{1}\Rightarrow a^{-1} \in H_{1}, a b \in H_{1} \\ \Rightarrow a^{-1} \cdot (a b) \in H_{1} \\ \Rightarrow(a^{-1} a) b \in H_{1}=e b \in H_{1} \\ \Rightarrow b \in H_{1}
जो उपर्युक्त का विरोधाभास (Contradiction) है।साथ ही यदि a b \in H_{2} तथा H_{2} एक उपग्रुप है।

a b \in H_{2}, b \in H_{2} \Rightarrow(a b)(b^{-1}) \in H_{2} \\ \Rightarrow a(b b^{-1}) \in H_{2} \\ \Rightarrow a e=a \in H_{2}
जो कि उपर्युक्त का पुनः विरोधाभास (Contradiction) है
H_{1} \nsubseteq H_{2} तथा H_{2} \nsubseteq H_{1}
इसलिए H_{1} \subseteq H_{2} या H_{2} \subseteq H_{1}
प्रमेय (Theorem):7.किसी ग्रुप के कोई दो उपग्रुपों के संघ का उपग्रुप होना आवश्यक नहीं है।
(The union of any two subgroups of a group is not necesarilly a subgroup.)
Example:1.माना कि पूर्णांक (Z,+) का एक ग्रुप है तथा स्पष्ट है कि

H_{1}=\left \{ 0, \pm 4, \pm 8, \pm 12, \ldots \right \}
तथा H_{2}=\left \{ 0, \pm 5, \pm 10 \cdots \right \}
ग्रुप Z के दो उपग्रुप हैं।
परन्तु H_{1} \cup H_{2}=\{0, \pm 4, \pm 5, \pm 8, \pm 10, \cdots\}
से स्पष्ट है कि 4 \in H_{1} \cup H_{2}, 5 \in H_{1} \cup H_{2} परन्तु
4+5 \notin H_{1} \cup H_{2} अतः H_{1} \cup H_{2} ग्रुप G की संक्रिया के लिए संवृत्त नहीं है।
अतः H_{1} \cup H_{2},Z का उपग्रुप नहीं है।
Example:2.माना  H_{1}=\left\{(1),(1 \quad 2)\right\}, H_{2}=\left\{(1),(2 \quad  3)\}\right\} सममित ग्रुप S_{3} के दो उपग्रुप हैं।
परन्तु H_{1} \cup H_{2}=\{(1),(1 \quad  2),(2 \quad 3)\}
से स्पष्ट है कि (1 \quad  2)(2 \quad  3)=(1 \quad  2 \quad  3) \notin H_{1} \cup H_{2}
जबकि यह दोनों क्रमचय H_{1} \cup H_{2} के अवयव हैं।
अतः H_{1} \cup H_{2} ग्रुप संक्रिया के लिए संवृत्त नहीं है।
अतः H_{1} \cup H_{2},S_{3} का उपग्रुप नहीं है।
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2.उपग्रुप के उदाहरण निम्न हैं (Examples of Subgroups):-

Example:1.एक परिमेय संख्या के गुणज ग्रुप H का उपग्रुप ज्ञात कीजिए जिसका जनक 2 है।
(Find the subgroup of multiplicative group H of rationals generated 2.)
Solution:H=\left\{2^{n} \in Q, n \in N \right\}
स्पष्टतः G \neq \phi अतः G \in H
माना x_{1}=2^{n_{1}} ; x_{2}=2^{n_{2}}, n_{1}, n_{2} \in N \\ x_{2}^{-1}= \left(2^{n_{2}}\right)^{-1}=\frac{1}{2^{n_{2}}} \\ \Rightarrow x_{1} x_{2}^{-1} =2^{n_{1}}\left(\frac{1}{2^{n_{2}}}\right) \\ =2^{n_{1}-n_{2}} \in Q
अतः x_{1} \in G, x_{2} \in G \Rightarrow x_{1} x_{2}^{-1} \in G
फलतः G,H का उपग्रुप है।
Example:2.सिद्ध कीजिए कि इकाई के n वें मूलों का समुच्चय गुणात्मक ग्रुप \left ( C_{0},\cdot \right ) का एक उपग्रुप है।
(Prove that the set of the nth roots of unity is a subgroup of multiplicative group \left ( C_{0},\cdot \right ))
Solution:(1)^{\frac{1}{n}}=\cos \frac{2 m \pi}{n}+i \sin \frac{2 m \pi}{n}
m=0,1,2,3……….,n-1 रखने पर:

1, \cos \frac{2 \pi}{n}+i \sin \frac{2 \pi}{n}, \cos \frac{4 \pi}{n}+i \sin \frac{4 \pi}{\pi} ;\cdots \cos \frac{2(n-1) \pi}{n}+i \sin \frac{2(n-1) \pi}{\pi}
स्पष्टतः H \neq \phi अतः H \subset \left(C_{0},\cdot \right)
माना x_{1}=\cos \frac{2 \pi}{n}+i \sin \frac{2 \pi}{n}, x_{2}=\cos \frac{4 \pi}{n}+i \sin \frac{4 \pi}{n} \\ x_{2}^{-1} =\left[\cos \frac{4 \pi}{n}+i \sin \frac{4 \pi}{\pi}\right]^{-1} \\ =\cos \frac{4 \pi}{n}-i \sin \frac{4 \pi}{n} \\ x_{1} x_{2}^{-1} =\left(\cos \frac{2 \pi}{n}+i \sin \frac{2 \pi}{n}\right)\left(\cos \frac{4 \pi}{n}-i \sin \frac{4 \pi}{n}\right) \\ = \cos \frac{2 \pi}{n} \cdot \cos \frac{4 \pi}{n}+\sin \frac{2 \pi}{n} \cdot \sin \frac{4 \pi}{n}+i\left(\sin \frac{2 \pi}{n} \cos \frac{4 \pi}{n}-\sin \frac{4 \pi}{n} \cos \frac{2 \pi}{n}\right) \\ =\cos \left(\frac{4 \pi}{n}-\frac{2 \pi}{n}\right)-i \sin \left(\frac{4 \pi}{n}-\frac{2 \pi}{n}\right) \\ \Rightarrow x_{1} x_{2}^{-1}=\cos \frac{2 \pi}{n}-i \sin \frac{2 \pi}{n} \in H
अतः x_{1} \in H, x_{2} \in H \Rightarrow x_{1} x_{2}^{-1} \in H
अतः इकाई के n वें मूलों का समुच्चय गुणनात्मक ग्रुप \left ( C_{0},\cdot \right ) का एक उपग्रुप है।

Example:3.सिद्ध करो कि H={(a),(a \quad b),(c \quad d),(a \quad b)(c  \quad d)} क्रमविनिमेय समूह S_{A} जहाँ A={a,b,c,d} का परिमित क्रमविनिमेय उपग्रुप है।
(Prove that H={(a),(a \quad b),(c \quad d),(a \quad b)(c  \quad d)} is a finite abelian subgroup of S_{A} where A={a,b,c,d}
Solution:H={(a),(a \quad b),(c \quad d),(a \quad b)(c  \quad d)}
H=\phi अतः स्पष्टतः H \subset S_{A} \\ (a),(a \quad b) \in H \\ x_{1}=(a), \quad x_{2}=(a \quad b) \\ \Rightarrow x_{2}=\left(\begin{array}{ll} a & b\\ b & a\end{array}\right) \\ \Rightarrow x_{2}^{-1}=\left(\begin{array}{ll} b & a \\ a & b \end{array}\right) \\ \Rightarrow x_{2}^{-1} =\left(\begin{array}{ll} b & a \end{array}\right) \\ x_{1} x_{2}^{-1} =(a)(b \quad a) \\ =(a) \left(\begin{array}{ll} b & a \\ a & b \end{array}\right) \\ =(b \quad a) \\ =(b \quad a)(a) [(a) तत्समक है]

=x_{2}^{-1} x_{1}
अतः x_{1} \in H_{1} x_{2} \in H \Rightarrow x_{1} x_{2}^{-1} \in H
अतः H,S_{A} का परिमित क्रमविनिमेय उपग्रुप है।
Example:4.यदि A={a,b,c,d} तथा S_{A} ,A का क्रमचय ग्रुप है तो सिद्ध कीजिए कि T_{a}=\left\{\rho \in S_{A}: \rho(A)=a\right\}, S_{A} का उपग्रुप है।
(If A={a,b,c,d} and is a group of pormutations of the set A then prove that T_{a}=\left\{\rho \in S_{A}: \rho(A)=a\right\},  is a subgroup of S_{A}.)
Solution: S_{A}=(a),(b),(c),(d),(a \quad b),(b \quad c),(c \quad d),(a \quad b \quad c),(b \quad c \quad d),\\ (a \quad c \quad d), (a  \quad b \quad c \quad d), (a \quad b)(c \quad d),(a \quad c)(b \quad d), \\ (a \quad d)(b \quad c)
माना \rho(a)= a, \rho(b \quad c)=b c, a, b \in S_{A} \\ \rho(b  \quad c)=\left(\begin{array}{ll} b & c \\ c & b \end{array} \right),\left[\rho(b)\right]^{-1}=\left(\begin{array}{ll} c & b \\ b & c \end{array}\right) \\ \rho(a) \rho(b \quad c)^{-1}= (a) \left(\begin{array}{ll} c & b \\ b & c \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} c & b \\ b & c \end{array}\right) =(c \quad b) \in S_{A} \\ \rho(a) \in T_{a},\rho(b \quad c) \in T_{a} \Rightarrow \rho(a) [\rho(b \quad c)]^{-1} \in T_{a}
फलतः T_{a},S_{A} का एक उपग्रुप है।
Example:5.क्या \left(Q_{0} , \cdot \right)  ग्रुप \left ( G,\cdot \right ) का उपग्रुप है?जहाँ G=\left\{(a+b \sqrt{2}) \mid a, b \in Q \text{ तथा } a^{2}+b^{2} \neq 0 \right\}
(Is a subgroup of? Where G=\left\{(a+b \sqrt{2}) \mid a, b \in Q \text{and} a^{2}+b^{2} \neq 0 \right\}
Solution:\left(Q_{0} , \cdot \right) \neq 0 स्पष्टतः \left(Q_{0} ,\cdot \right) \subset \left(G, \cdot \right)
माना x_{1}=a_{1}+b_{1} \sqrt{2}, x_{2}=a_{2}+b_{2} \sqrt{2} जहाँ a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2} \in Q
तथा a^{2}+b^{2} \neq 0 \\ x_{2}^{-1}=\frac{1}{a_{2}+b_{2} \sqrt{2}} \times \frac{a_{2}-b_{2} \sqrt{2}}{a_{2}-b_{2} \sqrt{2}} \\ x_{2}^{-1}=\frac{a_{2}-b \sqrt{2}}{a_{2}^{2}-2 b_{2}^{2}} \\ \Rightarrow x_{1} x_{2}^{-1}=\left(a_{1}+ b_{1} \sqrt{2} \right) \frac{\left(a_{2}-b_{2} \sqrt{2}\right)}{\left(a_{2}^{2}-2 b_{2}^{2}\right)} \\ =\frac{a_{1}a_{2}-\sqrt{2}a_{1} b_{2}+\sqrt{2} a_{2} b_{1}-2 b_{1} b_{2}}{a_{2}^{2}-2 b_{2}^{2}} \\ =\frac{a_{1} a_{2}-2 b_{1} b_{2}}{a_{2}^{2}-2b_{2}^{2}}+\sqrt{2} \frac{\left(a_{2} b_{1}-a_{1} b_{2}\right)}{a_{2}^{2}-2 b_{2}^{2}}
a_{2}^{2}-2 b_{2}^{2} \neq 0 क्योंकि a_{2}^{2}-2 b^{2}=0 \Rightarrow a_{2}^{2}=2 b_{2}^{2} \Rightarrow a_{2}=\pm \sqrt{2} b_{2} \notin Q
जो असत्य है तथा a_{2}^{2}+b_{2}^{2} \neq 0 \Rightarrow a_{2}^{2} \neq 0, b_{2}^{2} \neq 0
अतः x_{1} \in H, x_{2} \in H \Rightarrow x_{1} x_{2}^{-1} \in H
फलतः H,ग्रुप (G,.) का उपग्रुप है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा उपग्रुप के उदाहरण (Examples of Subgroups), उपग्रुप (उपसमूह) उदाहरण (Subgroups Examples) को समझ सकते हैं।

3.उपग्रुप के उदाहरण की समस्याएं (Examples of Subgroups Problems):-

(1.)सिद्ध कीजिए कि H=\{a+i b \mid a, b \in Q\} समूह (C,+) का उपसमूह है।
(Prove that H=\{a+i b \mid a, b \in Q\} subgroup of (C,+).)
(2.)सममित ग्रुप के दो उपसमूह H={(1),(1 2)} और K={(1),(1 3)} है तो सिद्ध कीजिए कि HK \neq KH
(Let H={(1),(1 2)} and K={(1),(1 3)} be two subgroups of the symetric group,then show that HK \neq KH.)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर उपग्रुप के उदाहरण (Examples of Subgroups),
उपग्रुप (उपसमूह) उदाहरण (Subgroups Examples) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.मुख्य बातें (Highlights):

(1.) समूह G का एक उपसमुच्चय जो समान संक्रिया के नियम के साथ एक समूह बनाता है।
(2.)प्रत्येक ग्रुप के दो तुच्छ उपग्रुप (Trival Subgroup )होते हैं,ग्रुप स्वयं तथा तत्समक ग्रुप {e} (Identity group)।ये दो तुच्छ उपग्रुप होते हैं।
(3.)तुच्छ उपग्रुप (Trival Subgroup) के अतिरिक्त अन्य सभी उपग्रुप उचित उपग्रुप (Proper Subgroups) होते हैं।
(4.)यदि H किसी ग्रुप का उपग्रुप है तो H का तत्समक वही अवयव है जो G का तत्समक अवयव (Identity Element) है।
(5.)यदि H किसी ग्रुप का उपग्रुप है तो H के किसी अवयव a का प्रतिलोम अवयव (Inverse Element) वही है जो G में a का प्रतिलोम है।
(6.)यदि H किसी ग्रुप का उपग्रुप है तो H के किसी अवयव a की कोटि (Order) वही है जो G में a की कोटि है।

5.उपग्रुप (उपसमूह) उदाहरण (Subgroups Examples) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.समूह का उपसमूह क्या है? (What is subgroup of a group?):

उत्तर:(1.)एक उपसमूह (subgroup) समूह के समूह अवयवों (group elements) का एक उपसमूह है।जो चार समूह आवश्यकताओं को पूरा करता है।इसलिए इसमें तत्समक अवयव (identity element) होना चाहिए।”
(2.)समूह G का उपसमूह G का एक उपसमुच्चय है जो समान संक्रिया के नियम के साथ एक समूह बनाता है।उदाहरण के लिए, सम संख्याएँ योग के समूह नियम के साथ पूर्णांकों के समूह का एक उपसमूह बनाती हैं।

प्रश्न:2.एक समूह में कितने उपसमूह हो सकते हैं? (How many subgroups can a group have?):

उत्तर:एक अभाज्य संख्या (prime number) के केवल भाजक (divisors) 1 और अभाज्य संख्या स्वयं ही होते हैं।इसलिए,प्राइम ऑर्डर (prime order) वाले प्रत्येक समूह में ठीक दो उपसमूह होते हैं अर्थात् समूह स्वयं और तुच्छ उपसमूह (trivial subgroup) जिसका एकमात्र अवयव समूह का तत्समक (identity) है।

प्रश्न:3.समूह सिद्धांत में उपसमूह क्या हैं? (What are subgroups in group theory?):

उत्तर:समूह (group) G का एक उपसमूह (subgroup) G का एक उपसमुच्चय है जो समान संक्रिया के नियम के साथ समूह बनाता है।उदाहरण के लिए,सम संख्याएँ योग के समूह नियम के साथ पूर्णांकों के समूह का एक उपसमूह बनाती हैं।किसी भी समूह G में कम से कम दो उपसमूह होते हैं:तुच्छ उपसमूह (trivial subgroup) {1} और स्वयं G (G itself)।

प्रश्न:4.समूह के तुच्छ उपसमूह क्या हैं? (What are the trivial subgroups of a group?):

उत्तर:किसी समूह (group) के उपसमूह (subgroup) को तुच्छ उपसमूह (trivial subgroup) कहा जाता है या तुच्छ गुण (trivial property) को संतुष्ट करता है यदि और केवल यदि यह तुच्छ समूह है (trivial group) (अर्थात एक अवयव वाला समूह, तत्समक अवयव (identity element))।

प्रश्न:5.सांख्यिकी में उपसमूह क्या हैं? (What are subgroups in statistics?)एक उपसमूह क्या है?(What is a subgroup?):

उत्तर:एक उपसमूह इकाइयों का एक समूह है जो समान शर्तों के तहत बनाया जाता है।उपसमूह (Subgroups) (या परिमेय उपसमूह (rational subgroups)) प्रक्रिया के “स्नैपशॉट (snapshot)” का प्रतिनिधित्व करते हैं। इसलिए,एक उपसमूह के भीतर माप समय में एक साथ लिया जाना चाहिए लेकिन फिर भी एक दूसरे से स्वतंत्र (independent) होना चाहिए।

प्रश्न:6.क्या किसी समूह में 0 अवयव हो सकते हैं? (Can a group have 0 elements?):

जिस ग्रुप में शून्य अवयव नहीं हो सकते है क्योंकि ऐसा ग्रुप ग्रुप के गुणधर्मों का पालन नहीं करता है।ग्रुप एक अरिक्त समुच्चय ही नहीं है बल्कि यह एक बीजीय पद्धति है।

प्रश्न:7.क्या तुच्छ उपसमूह एक उचित उपसमूह है? (Is the trivial subgroup a proper subgroup?):

उत्तर:किसी भी समूह का तुच्छ उपसमूह (trivial subgroup) उपसमूह {e} होता है जिसमें केवल तत्समक अवयव (identity element) होता है।समूह G का एक उचित उपसमूह एक उपसमूह H है जो G (अर्थात, H ≠ G) का एक उचित उपसमुच्चय है।
कुछ लेखक तुच्छ समूह को उचित होने से भी बाहर कर देते हैं (अर्थात, H≠{e})।

प्रश्न:8.पूर्वनिर्धारित उपसमूह विश्लेषण क्या है? (What is prespecified subgroup analysis?)

उत्तर:एक पूर्वनिर्धारित उपसमूह विश्लेषण वह है जिसे डेटा की किसी भी परीक्षा से पहले नियोजित (planned) और प्रलेखित (documented) किया जाता है,अधिमानतः (preferably) अध्ययन प्रोटोकॉल (protocol) में।इस विश्लेषण में अंत बिंदु की विशिष्टता,आधारभूत विशेषता, और एक बातचीत के परीक्षण के लिए उपयोग की जाने वाली सांख्यिकीय पद्धति शामिल है।

प्रश्न:9.क्या किसी समूह में एक अवयव हो सकता है? (Can a group have one element?):

उत्तर:एक समूह में कम से कम एक अवयव (one element) होना चाहिए, जिसमें अद्वितीय (unique) (तुल्यकारिता (isomorphism) तक) एकल-तत्व समूह (single-element group) को तुच्छ समूह (trivial group) के रूप में जाना जाता है।समूहों के अध्ययन को समूह सिद्धांत के रूप में जाना जाता है।यदि अवयवों की एक सीमित संख्या है,तो समूह को एक परिमित समूह (finite group) कहा जाता है और अवयवों की संख्या को समूह का समूह क्रम (group order) कहा जाता है।

प्रश्न:10.एक प्राथमिक उपसमूह विश्लेषण क्या है? (What is a priori subgroup analysis?):

उत्तर:एक प्राथमिक उपसमूह विश्लेषण वह है जिसे डेटा की जांच से पहले नियोजित (planned) और प्रलेखित (documented) किया जाता है, अधिमानतः अध्ययन प्रोटोकॉल (protocol) में और आदर्श रूप से प्रभाव की एक परिकल्पित (hypothesize) दिशा शामिल होती है।रिपोर्ट किए जाने पर,यह जानकारी अक्सर लेख के तरीके अनुभाग में पाई जा सकती है।

प्रश्न:11.कौन सा समूह नहीं है? (Which is not a group?):

उत्तर:एक समूह एक द्विआधारी संक्रिया (binary operation) से सुसज्जित समुच्चय है जो किन्हीं दो अवयवों को मिलाकर एक तीसरा अवयव इस प्रकार बनाता है कि समूह अभिगृहीत (group axioms) कहलाने वाली चार शर्तें संतुष्ट हों अर्थात् क्लोजर (closure),एसोसिएटिविटी (associativity), आइडेंटिटी (identity) और इनवर्टिबिलिटी (invertibility)।जो इन चारों गुणधर्मों को पूरा नहीं करता है वह समूह नहीं है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा उपग्रुप के उदाहरण (Examples of Subgroups),उपग्रुप (उपसमूह) उदाहरण (Subgroups Examples) के बारे में ओर अधिक समझ सकते हैं।

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा उपग्रुप के उदाहरण (Examples of Subgroups),उपग्रुप (उपसमूह) उदाहरण (Subgroups Examples) के बारे में ओर अधिक समझ सकते हैं।

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