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Subrings in Mathematics

1.गणित में उपवलय (Subrings in Mathematics),अमूर्त बीजगणित में उपक्षेत्र (Subfield in Abstract Algebra):

गणित में उपवलय (Subrings in Mathematics) किसी वलय के अरिक्त उपसमुच्चय को कहते हैं,यदि अरिक्त उपसमुच्चय वलय की द्विचर संक्रियाओं के लिए संवृत्त है।
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2.गणित में उपवलय के साधित उदाहरण (Subrings in Mathematics Solved Example):

Example:1.सिद्ध कीजिए कि वास्तविक संख्याओं पर सभी n×n कोटि की मैट्रिसेज वलय का परिमेय संख्याओं पर सभी n×n कोटि की मैट्रिसेज का समुच्चय उपवलय है।
(Prove that the set of all n×n matrices over ring of rational numbers is a subring of the ring of n×n matrices over the ring of real numbers.)
Solution:स्पष्टतः S \subset R तथा S \neq \phi
माना A व B,S के कोई दो n×n क्रम की मैट्रिसेज है जिसके अवयव परिमेय संख्याएँ हैं।
अब A-B \in S क्योंकि दो n×n मैट्रिसेज का व्यवकलन भी n×n क्रम की मैट्रिसेज होती है जिसके अवयव परिमेय संख्याएँ हैं।
तथा A.B \in S, दो n×n क्रम की मैट्रिसेज का गुणन भी n×n क्रम की मैट्रिक्स होगीं जिसके अवयव परिमेय संख्याएँ हैं।
उपर्युक्त से:

\forall A, B \in S \Rightarrow A-B \in S, A B \in S
फलतःS,R का उपवलय है।
Example:2.समुच्चय T_{1}=\{a, b\}, T_{2}=\{a, c\}, T_{3}=\{a, d\} वलय S={a,b,c,d} जिसके लिए दो द्विचर संक्रियाएँ निम्न सारणी से परिभाषित हैं,का उपवलय है।
(Set T_{1}=\{a, b\}, T_{2}=\{a, c\}, T_{3}=\{a, d\} are the subring of the ring S={a,b,c,d} with two binary compositions defined by the following tables):
\begin{array}{c|cccc}+ & a & b & c & d \\ \hline a & a & b & c & d \\ b & b & a & d & c \\ c & c & d & a & b \\ d & d & c & b & a\end{array} तथा(and) \begin{array}{l|llll}\bullet & a & b & c & d \\ \hline a & a & a & a & a \\b & a & b & a & b \\ c & a & a & c & c \\d & a & b & c & d\end{array}
Solution:(i)स्पष्टतः T_{1} \subset S तथा T_{1} \neq \phi
अब a \in T_{1} ; b \in T_{1} तब a-b=a+(b)=b \in T_{1}
[चूँकि संक्रिया सारणी से b का योग के सापेक्ष प्रतिलोम -b=b है]
तथा a.b=a \in T_{1}
अतः a \in T_{1}, b \in T_{1} \Rightarrow a-b \in T_{1}, a.b \in T_{1}
फलतः T_{1},S का उपवलय है।
(ii) T_{2}=\{a, c\} स्पष्टतः T_{2} \subset S, T_{2} \neq \phi
अब a \in T_{2}, c \in T_{2} तब

a-c=a+(-c)=a+c=c \in T_{2}
तथा a.c=a \in T_{2}
अतः a \in T_{2}, c \in T_{2} \Rightarrow a-c \in T_{2}, a.c \in T_{2}
फलतः T_{2}, S का उपवलय है।
(iii) T_{3}=\{a, d\} स्पष्टतः T_{3} \subset S, T_{3} \neq \phi
अब a \in T_{3}, d \in T_{3} तब

a-d=a+(-d)=a+d=d \in T_{3}
तथा a.d=a \in T_{3}
अतः a \in T_{3}, d \in T_{3} \Rightarrow a-d \in T_{3}, a.d \in T_{3}
फलतः T_{3}, S का उपवलय है।
Example:3.सिद्ध कीजिए कि समुच्चय S=\{a+b \sqrt{2} \mid a, b \in Q\} वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र \left ( R,+,\bullet \right ) का उपक्षेत्र है
(Prove that the set S=\{a+b \sqrt{2} \mid a, b \in Q\} is a subfield \left ( R,+,\bullet \right ) of the of real numbers):
Solution:माना x=a_{1}+b_{1} \sqrt{2}, y=a_{2}+b_{2} \sqrt{2}
तथा x, y \in S, S \neq 0 \\ x-y=\left(a_{1}+b_{1} \sqrt{2}\right)-\left(a_{2}+b_{2} \sqrt{2}\right) \\ \Rightarrow x-y=\left(a_{1}-a_{2}\right)+\left(b_{1}+b_{2}\right) \sqrt{2} \in S \\ \left[a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2}; a_{1}-a_{2}, b_{1}-b_{2} \in Q\right]
तथा यदि x \neq 0 तो x का प्रतिलोम \frac{1}{x} होगा

x^{-1}=\frac{1}{a_{1}+b_{1} \sqrt{2}} \\ x^{-1} =\frac{1}{a_{1}+b_{1} \sqrt{2}} \times \frac{a_{1}-b_{1} \sqrt{2}}{a_{1}-b_{1} \sqrt{2}} \\ =\frac{\left(a_{1}-b_{1} \sqrt{2}\right)}{\left(a_{1}+b_{1} \sqrt{2}\right) \left(a_{1}-b_{1} \sqrt{2}\right)} \\ =\frac{a_{1}-b_{1} \sqrt{2}}{a_{1}^{2}-2 b_{1}^{2}} \\ =\frac{a_{1}}{a_{1}^{2}-2 b_{1}^{2}}-\frac{b_{1} \sqrt{2}}{a_{1}^{2}-2 b_{1}^{2}} \in S
साथ ही x \in S,y \in S \\ x \cdot y=\left(a_{1}+b_{1} \sqrt{2}\right)\left(a_{2}+b_{2} \sqrt{2}\right) \\ =a_{1} a_{2}+2 b_{1} b_{2}+\sqrt{2}\left(a_{1} b_{2}+b_{1} a_{2}\right) \in S \\ x \in S, y \in S \Rightarrow a_{1} a_{2}+2 b_{1} b_{2} ,a_{1} b_{2}+a_{2} b_{1} \in S \\ \forall x \in S, y \in S \Rightarrow x-y \in S \\ \forall x \in S, y \in S \Rightarrow x.y \in S \\ \forall x \in S, y \in S \Rightarrow x.y \in S \\ y \in S, x^{-1} \in S \Rightarrow y x^{-1} \in S
फलतः S क्षेत्र R का उपक्षेत्र है।

Example:4.समुच्चय S=\{a+b \sqrt{2} \mid a, b \in Z\}  क्या वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र \left ( R,+,\bullet \right ) एक उपक्षेत्र होगा?यदि उपक्षेत्र नहीं तो क्या यह पूर्णांकीय प्रान्त होगा?
(Set S=\{a+b \sqrt{2} \mid a, b \in Z\} then find whether S forms a subfield or not.If not a subfield,will it be an integral domain?):
Solution:माना x=a_{1}+b_{1} \sqrt{2}, y=a_{2}+b_{2} \sqrt{2}, x, y \in S तथा S \neq 0
जहाँ a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2} \in Z \\ x-y=\left(a_{1}+b_{1} \sqrt{2}\right)-\left(a_{2}+b_{2} \sqrt{2}\right) \\ x-y=\left(a_{1}-a_{2}\right)+\left(b_{1}-b_{2}\right) \sqrt{2} \in S
चूँकि a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2}, a_{1}-a_{2}, b_{1}-b_{2} \in Z
माना x का प्रतिलोम x^{-1}  है:

x^{-1} =\frac{1}{a_{1}+b_{1} \sqrt{2}} \\ = \frac{1}{a_{1}+b_{1} \sqrt{2}} \times \frac{a_{1}-b_{1} \sqrt{2}}{a_{1}-b_{1} \sqrt{2}} \\=\frac{a_{1}-b_{1} \sqrt{2}}{a_{1}^{2}-2 b_{1}^{2}} \\ \Rightarrow x^{-1}= \frac{a_{1}}{a_{1}^{2}-2 b_{1}^{2}}-\frac{\sqrt{2} b_{1}}{a_{1}^{2}-2 b_{1}^{2}} \notin Z
अतः प्रतिलोम का अस्तित्व नहीं है।
फलतः S उपक्षेत्र नहीं है।

S=\{a+\sqrt{2} b \mid a, b \in z\}
(i)संवृत्तता (Closure property):
माना x_{1}, x_{2} \in S तथा x_{1}=a_{1}+b_{1} \sqrt{2} तथा x_{2}=a_{2}+b_{2} \sqrt{2} \\ x_{1}+x_{2}= \left(a_{1} + b_{1} \sqrt{2}\right)+\left(a_{2}+b_{2} \sqrt{2}\right)\\ =\left(a_{1}+a_{2}\right)+ \left(b_{1}+ b_{2} \right) \sqrt{2} \\ a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}, a_{1}+b_{1}, b_{1}+b_{2} \in Z \\ x_{1} \cdot x_{2}=\left(a_{1}+b_{1} \sqrt{2}\right) \cdot \left(a_{2} +b_{2} \sqrt{2}\right)= \left(a_{1} a_{2}+2 b_{1} b_{2}\right)+\left(a_{1} b_{2}+b_{1} a_{2}\right) \sqrt{2} \in S
चूँकि a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}, a_{1} b_{2}+b_{1} a_{2} \in Z
अतः पूर्णांकों के समुच्चय Z में योग तथा गुणन संक्रिया में द्विआधारी संक्रिया है।
(ii)तत्समक अवयव का अस्तित्व (Existence of Identity Element):
योग का तत्समक 0+\sqrt{2} .0 का अस्तित्व है।
0+\sqrt{2} .0 शून्य अवयव है।
1+\sqrt{2} .0 गुणन संक्रिया का तत्समक अवयव है।
अतःयोग तथा गुणन के सापेक्ष तत्समक अवयव का अस्तित्व है।
(iii)प्रतिलोम का अस्तित्व (Existence of Inverse Element):
a+\sqrt{2} b \in S तथा -a-\sqrt{2} b \in S
जो कि योग के सापेक्ष प्रतिलोम का अवयव है।
गुणन संक्रिया का प्रतिलोम अवयव है।

\left ( a+\sqrt{2} b \right )^{-1}=\frac{1}{a+\sqrt{2}b}=\frac{a}{a^{2}-2b^{2}}-\frac{\sqrt{2} b}{a^{2}-2b^{2}} \in S
अतः योग तथा गुणन के सापेक्ष प्रतिलोम का अस्तित्व है।
(iv)शून्य भाजक रहित है क्योंकि कोई भी दो अवयवों \left(a_{1}+\sqrt{2} b_{1}\right) तथा \left(a_{2}+b_{2} \sqrt{2}\right) का गुणन शून्य नहीं होता है।
अर्थात् \left(a_{2}+b_{2} \sqrt{2}\right) \cdot\left(a_{1}+\sqrt{2} b_{1}\right) \neq 0
इसलिए पूर्णांकों का समुच्चय शून्य भाजक नहीं है।
फलतः \left ( R,+,\bullet \right ) पूर्णांकीय प्रान्त है।
Example:5.सिद्ध कीजिए कि किसी क्षेत्र के दो उपक्षेत्रों का सर्वनिष्ठ भी एक उपक्षेत्र होता है।
(Prove that the intersection of two subfield of a field is also a subfield.)
Solution:माना कि S तथा T किसी क्षेत्र < R,+,\bullet > के दो उपक्षेत्र हैं।
माना कि a,b कोई दो अवयव S \cap T के हैं।
अब a \in S \cap T \Rightarrow a \in S तथा a \in T \\ b \in S \cap T \Rightarrow b \in S  तथा b \in T
चूँकि S,T दोनों क्षेत्र R के उपक्षेत्र हैं इसलिए
a \in S, b \in S \Rightarrow a-b \in S तथा a.b \in S \\ a \in T, b \in T \Rightarrow a-b \in T  तथा a.b \in T
साथ ही a-b \in S, a-b \in T \Rightarrow a-b \in S \cap T
यदि b \neq 0 तो b का प्रतिलोम होगा, तब

b^{-1}=\frac{1}{b} \in S \cap T \quad[\because b \neq 0]
  \left.\begin{matrix} \text{ S उपक्षेत्र है इसलिए } o \in S\\ \text{ T उपक्षेत्र है इसलिए } o \in T \end{matrix}\right\} \Rightarrow o \in S \cap T \Rightarrow S \cap T \neq \phi

a-b \in S, a-b \in T \Leftrightarrow a-b \in S \cap T \\ a.b \in S, a-b \in T \Rightarrow a.b \in S \cap T \\ a \in S \cap T, b^{-1} \in S \cap T \Rightarrow ab^{-1} \in S \cap T
अतः दो उपक्षेत्रों S व T का सर्वनिष्ठ S \cap T भी क्षेत्र R का उपक्षेत्र है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा गणित में उपवलय (Subrings in Mathematics),अमूर्त बीजगणित में उपक्षेत्र (Subfield in Abstract Algebra) को समझ सकते हैं।

3.गणित में उपवलय पर आधारित सवाल (Questions Based on Subrings in Mathematics):

(1.)यदि D एक पूर्णांकीय प्रान्त हो तो सिद्ध कीजिए कि D^{\prime}=\{m e \mid m \in z\}
D का एक उपपूर्णांकीय प्रान्त है जहाँ e,D का तत्समक है।
(If D is an integral domain,then show that D^{\prime}=\{m e \mid m \in z\} is a sub-integral domain of D,e is being a unity element of D.)
(2.)यदि a किसी वलय R का एक अवयव है तो सिद्ध कीजिए कि R में a का प्रसामान्यक N(a)=\{r \in R \mid a r=r a\},R का उपवलय है।
(If R be a ring and a \in R,then show that the normalizer of a in N(a)=\{r \in R \mid a r=r a\} is a subring of R.)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर गणित में उपवलय (Subrings in Mathematics),अमूर्त बीजगणित में उपक्षेत्र (Subfield in Abstract Algebra) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:-Characteristic of a Ring in Algebra

4.गणित में उपवलय (Subrings in Mathematics),अमूर्त बीजगणित में उपक्षेत्र (Subfield in Abstract Algebra) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.सबसे छोटी उपवलय होने की क्या शर्त है? (What is the condition of having the smallest subring?):

उत्तर:एक वलय के दिए गए उपसमुच्चय वाली सबसे छोटी उपवलय:
मान लीजिए R एक वलय है और M,R का कोई उपसमुच्चय है।इसके अलावा S,R का उपवलय है जैसे कि M \subseteq S और यदि T,M युक्त R का कोई उपवलय है तो S \subseteq T ।तब S को उपसमुच्चय M द्वारा उत्पन्न (Generated) R की उपवलय कहा जाता है।संक्षिप्त में यदि S,R की सबसे छोटी उपवलय है जिसमें M निहित है (Containing) तब S को M द्वारा उत्पन्न उपवलय कहा जाता है।इसके अलावा हम S=(M) लिखते हैं।

प्रश्न:2.अभिलक्षण से क्या तात्पर्य है? (What is meant by characteristic?):

उत्तर:जबकि हम कहते हैं कि R का अभिलक्षण n है तो हमारा तात्पर्य है कि n सबसे छोटा धन पूर्णांक वलय में हमेशा इस प्रकार के सम्बन्ध na=0 के लिए सत्य है।

प्रश्न:3.दो उपवलयों का संघ कब उपवलय होता है? (When the union of two subrings subring?):

उत्तर:दो उपवलय का संघ एक उपवलय है यदि एक दूसरे में निहित है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा गणित में उपवलय (Subrings in Mathematics),अमूर्त बीजगणित में उपक्षेत्र (Subfield in Abstract Algebra) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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गणित में उपवलय
(Subrings in Mathematics)

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गणित में उपवलय (Subrings in Mathematics) किसी वलय के अरिक्त उपसमुच्चय
को कहते हैं,यदि अरिक्त उपसमुच्चय वलय की द्विचर संक्रियाओं के लिए संवृत्त है।

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