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Normal Subgroup Definition

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1 1.विशिष्ट उपग्रुप की परिभाषा (Normal Subgroup Definition),विशिष्ट उपग्रुप (Normal Subgroup):

1.विशिष्ट उपग्रुप की परिभाषा (Normal Subgroup Definition),विशिष्ट उपग्रुप (Normal Subgroup):

विशिष्ट उपग्रुप की परिभाषा (Normal Subgroup Definition):-

प्रमेय (Theorem):6.किसी ग्रुप के किन्ही दो विशिष्ट उपग्रुपों का सर्वनिष्ठ उस ग्रुप का एक विशिष्ट उपग्रुप होता है।
(The intersection of any two normal subgroups of a group is a normal subgroup.)
उपपत्ति (Proof):माना कि N_{1} तथा N_{2} किसी ग्रुप G के दो विशिष्ट उपग्रुप हैं।हम जानते हैं कि दो उपग्रुपों का सर्वनिष्ठ एक उपग्रुप होता है।इसलिए N_{1} \cap N_{2} एक उपग्रुप है।
अब \forall n \in N_{1} \cap N_{2} \Rightarrow n \in N_{1} तथा n \in N_{2} साथ ही माना a \in G क्योंकि N_{1} ग्रुप G का एक विशिष्ट उपग्रुप है इसलिए a \in G, n \in N_{1} \Rightarrow ana^{-1} \in N_{1}
साथ ही N_{2} ग्रुप G का एक विशिष्ट उपग्रुप है इसलिए a \in G, n \in N_{2} \Rightarrow a n a^{-1} \in N_{2}
अतः a \in G, n \in N_{1} \cap N_{2} \\ \Rightarrow a n a^{-1} \in N_{1} तथा a n a^{-1} \in N_{2} \\ \Rightarrow ana^{-1} \in N_{1} \cap N_{2} \\ \therefore N_{1} \cap N_{2}, G का प्रसामान्य उपग्रुप है।
प्रमेय (Theorem):7.यदि ग्रुप G का एक उपग्रुप है और N ग्रुप G का विशिष्ट उपग्रुप है तो H \cap N उपग्रुप H का एक विशिष्ट उपग्रुप होता है।जबकि H \cap N का G में विशिष्ट उपग्रुप होना आवश्यक नहीं है।
(If H is a subgroup of G and N is a normal subgroup of G,then H \cap N is a normal sub group of H where H \cap N need not be normal in G.)
उपपत्ति (Proof):चूँकि किसी ग्रुप के दो उपग्रुपों का सर्वनिष्ठ एक उपग्रुप होता है इसलिए H \cap N ग्रुप G का उपग्रुप है।अब यह सिद्ध करना शेष है कि H \cap N, H का एक विशिष्ट उपग्रुप है अर्थात्
(i)H \cap N, H का उपग्रुप है।
(ii)x \in H, h \in H \cap N \Rightarrow x h x^{-1} \in H \cap N
अब H \cap N \subseteq H इसलिए H \cap N ग्रुप G का उपग्रुप है \Rightarrow H \cap N, H का उपग्रुप है
माना कि h \in H \cap N तथा x \in H तब
h \in H \cap N \Rightarrow h \in H  तथा h \in N
साथ ही क्योंकि H,ग्रुप G का उपग्रुप है इसलिए

\forall x \in H, h \in H \Rightarrow x h x^{-1} \in H
तथा h \in N , x \in H \Rightarrow h \in N, x \in G \\ \Rightarrow x h x^{-1} \in N[चूँकिN,G का एक विशिष्ट उपग्रुप है]

x h x^{-1} \in N, x h x^{-1} \in H \Rightarrow x h x^{-1} \in H \cap N
अतः h \in H \cap N, x \in H \Rightarrow x h x^{-1} \in H \cap N
H \cap N,H का एक विशिष्ट उपग्रुप है।
का G में विशिष्ट उपग्रुप होना आवश्यक नहीं है उदाहरणार्थ यदि S_{4} का उपग्रुप H तथा विशिष्ट उपग्रुप N है जहाँ

H=\{(1),(1 \quad 2 \quad 3 \quad 4),(1 \quad 3)(2 \quad 4),(1 \quad 4 \quad 3 \quad 2)(1 \quad 2)(3 \quad 4),\\(1 \quad 4)(2 \quad 3),(1 \quad 3)(2 \quad 4)\}
तथा N=\{(1),(1 \quad 2 \quad 3),(1 \quad 2 \quad 4),(1 \quad 3 \quad 2),(1 \quad 3 \quad 4),(1 \quad 4 \quad 2) \\(1 \quad 4 \quad 3),(2 \quad 3 \quad 4) ,(2 \quad 4 \quad 3),(1 \quad 2)(3 \quad 4),(1 \quad 3)(2 \quad 4) \\ (1\quad 4)(2 \quad 3)\}
किन्तु H \cap N ,S_{4} का विशिष्ट उपग्रुप नहीं है।
प्रमेय (Theorem):8.मान लें कि f ग्रुप G से ग्रुप H में समाकारिता है।यदि N,G का विशिष्ट उपग्रुप है तो सिद्ध कीजिए कि प्रतिबिम्ब f(N),f(G) का विशिष्ट उपग्रुप है।
(Let f be a homorphism from a group G to a group H.Show that if N is a normal subgroup of G then the image f(N) is a normal subgroup of f(G).)
उपपत्ति (Proof):सर्वप्रथम हम यह सिद्ध करेंगे कि f(N),f(G) का उपग्रुप है।
\forall a, b \in f(N) तब a=f\left(n_{1}\right) तथा b=f\left(n_{2}\right) जहाँ n_{1}, n_{2} \in N है।
अब n_{1}, n_{2} \in N \Rightarrow n_{1} \cdot n_{2}^{-1} \in N \\ \Rightarrow f\left(n_{1} n_{2}^{-1}\right) \in f(N) \\ \Rightarrow f\left(n_{1}\right) f\left(n_{2}^{-1}\right) \in f(N) [चूँकि f समाकारिता है]

\Rightarrow f\left(n_{1}\right) \cdot\left[f\left(n_{2}\right)\right]^{-1} \in f(N)
फलतः f\left(n_{1}\right) \in f(N), f\left(n_{2}\right) \in f(N) \\ \Rightarrow f\left(n_{1}\right) \left[f\left(n_{2}\right)\right]^{-1} \in f(N)
अतः f(N),f(G) का उपग्रुप है।
अब हम सिद्ध करेंगे f(N),f(G) का विशिष्ट उपग्रुप है।
माना x \in G तथा  k \in f(N) तो f(x) \in f(G)
साथ k=f(x) ही जहाँ n \in N \\ f(x) \cdot k[f(x)]^{-1}=f(n) f(x)[f(x)]^{-1}=f(xn) f\left(x^{-1}\right)
[चूँकि f समाकारिता है]

=f\left(x n x^{-1}\right)
क्योंकि N,G में विशिष्ट ग्रुप है।

x n x^{-1} \in N \\ \Rightarrow f\left(x n x^{-1}\right) \in f(N) \Rightarrow f(x) k(f(x))^{-1} \in f(N)
प्रमेय (Theorem):9.सिद्ध कीजिए कि एक समूह के विशिष्ट उपग्रुप के दो सहकुलक या तो असंयुक्त होंगे या समान होंगे।
(Prove that two cosets of a normal subgroup are either disjoint or identical.)
उपपत्ति (Proof):माना कि N ग्रुप G का एक विशिष्ट उपग्रुप है तो G में N के प्रत्येक वाम सहसमुच्चय उसके दक्षिण सहसमुच्चय के समान है अर्थात्

N x=x N \forall x \in G \ldots(1)
माना कि Nx तथा Ny,N के दो दक्षिण सहसमुच्चय हैं,यह भी माना कि Nx \cap Ny \neq \phi तब कम से कम एक अवयव z (माना) ऐसा होगा कि z \in Nx तथा z \in Ny

माना z=n_{1} x तथा z=n_{2} y  जहाँ n_{1} ,n_{2} \in z तब

n_{1} x=n_{2} y \\ \Rightarrow n_{1}^{-1} \left(n_{1} x\right)=n_{1}^{-1} \left(n_{2} y\right) \\ \Rightarrow e x=\left(n_{1}^{-1} n_{2}\right) y \Rightarrow x=\left(n_{1}^{-1} n_{2}\right) y
क्योंकि N,G का विशिष्ट उपग्रुप है इसलिए उपग्रुप भी है।

n_{1} \in N, n_{2} \in N \Rightarrow n_{1}^{-1} n_{2} \in N
माना n_{1}^{-1} n_{2}=n_{3} तब x=n_{3}y
अब Nx=Nn_{3}y=\left ( Nn_{3} \right )y=Ny
यदि Nx \cap Ny \neq \phi तो  N x=Ny जहाँ Nx तथा Ny ग्रुप G के कोई दो दक्षिण सहसमुच्चय हैं।
परन्तु Nx=xN जब G में N विशिष्ट उपग्रुप है।
अतः एक ग्रुप (समूह) के विशिष्ट उपग्रुप के दो सहकुलक (सहसमुच्चय) या तो असंयुक्त होंगे या समान होंगे।
प्रमेय (Theorem):10.सिद्ध कीजिए कि किसी समूह G से समूह G’ पर परिभाषित किसी समाकारिता f की अष्टि,G का एक प्रसामान्य उपसमूह है।
(Prove that the kernel of a homomorphism of a group G to a group G’ is a normal subgroup G.)
उपपत्ति (Proof):माना कि K समाकारिता f की अष्टि है तो अष्टि की परिभाषा से:

K=\{x \in G=f(x)=e^{\prime} \}
जहाँ e’,G’ का तत्समक अवयव है।
अब क्योंकि f(e)=e^{\prime} ; K \neq q
माना a, b \in K \Rightarrow f(a)=e^{\prime}, f(b)=e^{\prime}
अब f(a b^{-1})=f(a) f\left(b^{-1}\right) \\ =f(a)[f(b)]^{-1} \\ =e^{\prime}\left(e^{\prime} \right)^{-1} \\ =e^{\prime} \cdot e^{\prime} \\ =e^{\prime}
चूँकि f(ab^{-1})=e^{\prime} \Rightarrow ab^{-1} \in Kजहाँ a, b \in K
अतः K,G का उपग्रुप है।
माना g,G का कोई स्वेच्छिक अवयव (any arbitrary element) है तथा a \in K इसलिए f(a)=e’
यदि हम यह प्रदर्शित कर दें कि g a g^{-1} \in K तो K एक प्रसामान्य उपसमूह होगा।
अब f(g a g^{-1})=f(g) f(a g^{-1}) \\ =f(g) \cdot [f(a) f(g^{-1})] \\ =f(g)\left[e^{\prime} f(g^{-1})\right] \\ =f(g) \cdot[f(g^{-1})] \\ =f(g)[f(g)]^{-1} \\=e^{\prime} \\ \therefore g a g^{-1} \in K
अतः K,ग्रुप G का एक प्रसामान्य उपग्रुप है।
प्रमेय (Theorem):11.समूह G का एक विशिष्ट उपसमूह N है तथा प्रतिचित्रण p : G \rightarrow \frac{G}{N} इस प्रकार परिभाषित किया कि p(x)=xN, x \in G
तो सिद्ध कीजिए कि p एक आच्छादक समाकारिता है तथा p की अष्टि N है।
(Let N be a normal subgroup of a group G and p : G \rightarrow \frac{G}{N} is a mapping defined by

p(x)=xN, x \in G
Show that p is an epimorphism.Further Show that kernel of p is N.)
उपपत्ति (Proof):दिया हुआ है कि N,ग्रुप G का एक विशिष्ट उपग्रुप है साथ ही ग्रुप G से ग्रुप \frac{G}{N} पर p प्रतिचित्रण निम्न प्रकार परिभाषित है:

p: G \rightarrow \frac{G}{N}
इस प्रकार कि

p(x)=x N \forall x \in G
अब प्रत्येक x N \in \frac{G}{N} के लिए x \in G एक ऐसा अवयव है कि
p(x)=xN
प्रतिचित्रण p,\frac{G}{N} पर आच्छादक है पुनः a, b \in G तो
p(ab)=abN=(aN)(bN)
=p(a) p(b)
\therefore  p ग्रुप G से \frac{G}{N} पर समाकारिता है।अतः उपर्युक्त यह सिद्ध करता है कि p ग्रुप G से \frac{G}{N} पर आच्छादक (Epimorphism) है।
पुनः माना कि K,समाकारिता p की अष्टि है
अर्थात् K=\{x \in G \mid p(x)=N\}

हम सिद्ध करेंगे कि K=N
यदि k \in K \Rightarrow p(K)=N जहाँ N, \frac{G}{N} का तत्समक है।

\Rightarrow K N=N \\ \Rightarrow k \in N \\ K \subseteq N
पुनः यदि x \in N \Rightarrow p(x)=x N \cdots(1) \\ \Rightarrow p(x)=N [चूँकि x \in N \Rightarrow x N=N]
\Rightarrow x \in k अर्थात् N \subseteq K \ldots(2)
अतः (1) तथा (2) से:
N=K
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2.विशिष्ट उपग्रुप की परिभाषा के उदाहरण (Normal Subgroup Definition Examples),विशिष्ट उपग्रुप के उदाहरण (Normal Subgroup Examples):

Example:1.यदि H,G का एक उपग्रुप है तथा (If H be a subgroup of G and) N(H)=\{g \in G| g Hg^{-1} |=H\} तो सिद्ध कीजिए कि (then prove that)
(i)N(H),G का उपग्रुप है (N(H) is a subgroup of G)
(ii)H,N(H) का एक विशिष्ट उपग्रुप है [H is a normal subgroup of N(H)]

(iii)H ⊲ G \Leftrightarrow N(H)=G
Solution:माना a, b \in N(H)
परिभाषा से: a H a^{-1}=H तथा b H b^{-1}=H
अब b H b^{-1}=H \\ \Rightarrow b^{-1} (b H b^{-1}) b=b^{-1} H b \Rightarrow H=b^{-1} H b \\ \Rightarrow (ab^{-1}) H(ab^{-1})^{-1}=ab^{-1} H ba^{-1} \\=a(b^{-1} H b) a^{-1} \\ =a H a^{-1} \\ =H \\ \Rightarrow ab^{-1} \in N(H)

अतः a, b \in N(H) ; a b^{-1} \in N(H)
अतः N(H),G का उपग्रुप है।
(ii)h \in H अतः h H h^{-1} = H
अतः h \in N(H)
अतः H,N(H) का उपग्रुप है।
पुनः x \in N(H)
परिभाषा से: x H x^{-1}=H
अतः H,N(H) का विशिष्ट उपग्रुप है।
(iii)माना k \in K
अतः H,K का विशिष्ट उपसमूह है
अतः K H K^{-1}=H \Rightarrow K \in N(H)
अतः k \in K \Rightarrow k \in N(H) \\ K \subseteq N(H)
माना H,G का विशिष्ट उपग्रुप है
तथा x \in G तब
x H x^{-1}=H[H,G में विशिष्ट है]

\Rightarrow x \in N(H)
अतः x \in G \Rightarrow x \in N(H) \\ \therefore G \subseteq N(H)
परन्तु N(H) \subseteq G
अतः G=N(H)
विलोमत (Conversely):माना N(H)=G
तब x \in G \Rightarrow x \in N(H) \\ \Rightarrow x H x^{-1}=H
इस प्रकार है कि x H x^{-1}=H \forall x \in G
अतः H,G का विशिष्ट उपग्रुप है।
Example:2.एक उपग्रुप H ज्ञात करिए जो S_{3} में विशिष्ट नहीं है।
(Find a subgroup H which is not normal in S_{3}.)
Solution:H=\{(1),(1 \quad 2)\} \\ x_{1}=(1), x_{2}=(1 \quad 2) \\ x_{2}=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\2 & 1 & 3 \end{array}\right) x_{2}^{-1}=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 3 \\1 & 2 & 3\end{array}\right) \\ x_{1} x_{2}^{-1} =\left ( 1 \right )\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 3 \\1 & 2 & 3\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 3 \\1 & 2 & 3\end{array}\right) \\=(1 \quad 2) \in H
अतः H, S_{3} का उपग्रुप है

S_{3}=\{(1),(1 \quad 2 \quad 3),(1 \quad 3 \quad 2)\} \\ A=\left(1 \quad 2 \quad 3\right), B=(1 \quad 2) \\ A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\2 & 3 & 1\end{array}\right), A^{-1}=\left(\begin{array}{lll}2 & 3 & 1 \\1 & 2 & 3\end{array}\right) \\ A B A^{-1} =\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\2 & 3 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\2 & 1 & 3\end{array}\right) \left(\begin{array}{lll}2 & 3 & 1 \\1 & 2 & 3\end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\2 & 1 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\2 & 3 & 1\end{array}\right) \left(\begin{array}{lll}2 & 3 & 1 \\1 & 2 &3\end{array}\right)
[H उपग्रुप है क्रमविनिमेय होता है]

A B A^{-1} =\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\2 & 1 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}2 & 3 & 1 \\2 & 3 & 1\end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\2 & 1 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\1 & 2 & 3 \end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\2 & 1 & 3\end{array}\right) \\ \Rightarrow A B A^{-1} =\left(\begin{array}{ll}1 & 2\end{array}\right) \notin S_{3}
अतः H, S_{3} का विशिष्ट उपग्रुप नहीं है।

Example:3.सिद्ध कीजिए कि एक प्रसामान्य उपग्रुप N ग्रुप G के प्रत्येक उपसमुच्चय के साथ क्रमविनिमेय होता है।
(Prove that a group commutes with every subset of a group.)
Solution:माना कि N विशिष्ट उपग्रुप तथा H कोई G का उपसमुच्चय है
सिद्ध करना है:HN=NH
माना n h \in N H  जहाँ n \in N, h \in H
हम लिख सकते हैं कि n h=h h^{-1} n h \\ =h\left(h^{-1} n h\right)
परन्तु N विशिष्ट उपग्रुप है

\therefore h^{-1} n h \in N
अतः nh \in HN \\ \therefore N H \subseteq H N \ldots(1)
पुनः माना कि h n \in H N जहाँ h \in H, n \in N हम लिख सकते हैं कि h n=\left(h n h^{-1}\right) h
परन्तु h n h^{-1} \in N क्योंकि N,G में विशिष्ट उपग्रुप है

h n \in N \therefore H N \subseteq N H \ldots(2)
अतः (1) व (2) से:
HN=NH
Example:4.यदि f ग्रुप G से G' पर समाकारिता हो तो f की अष्टि K ग्रुप G का विशिष्ट उपग्रुप होता है।
(If f is a homomorphism from a group G to G' with kernel K then K ⊲ G.)
Solution:माना कि  ग्रुप G तथा G' के क्रमश: तत्समक अवयव e तथा e' है।साथ ही यह भी माना कि *,o,G तथा G' की द्विआधारी संक्रिया है।
अष्टि की परिभाषा से:

K=\left\{x \in G \mid f(x)=e^{\prime}\right\}
क्योंकि f(e)=e'

\therefore e \in K \Rightarrow K \neq \phi
माना a, b \in K\Rightarrow f(a)=f(b)=e^{\prime} \in G^{\prime}
पुनः f\left(a \times b^{-1}\right)=f(a) \circ f\left(b^{-1}\right) \\ =f(a) \circ [f(b)]^{-1}[f समाकारिता है ]

=e^{\prime} \circ \left[e^{\prime}\right]^{-1} \\ =e^{\prime} \circ e^{\prime} \\ =e^{\prime} \\ a * b^{-1} \in K
इस प्रकार स्पष्ट है कि

a \in K, b \in K \Rightarrow a * b^{-1} \in K
अष्टि K,ग्रुप G का एक उपग्रुप है।
पुनः माना कि x \in G तथा a \in K तब

f\left(x a x^{-1}\right)=f(x) f\left(a x^{-1}\right)=f(x)\left[f(a) f\left(x^{-1}\right)\right] \\ =f(x)\left[e^{-1} f\left(x^{-1}\right)\right]\\ =f(x) f\left(x^{-1}\right)\left[\because f(a)=e^{\prime}\right]\\ =f(x)[f(x)]^{-1}=e^{-1} \Rightarrow x a x^{-1} \in K
K,G का विशिष्ट उपग्रुप है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा विशिष्ट उपग्रुप की परिभाषा (Normal Subgroup Definition),विशिष्ट उपग्रुप (Normal Subgroup)को समझ सकते हैं।

3.विशिष्ट उपग्रुप की परिभाषा के सवाल (Normal Subgroup Definition Questions):

(1.)यदि G एक ग्रुप है तथा H इसका उपग्रुप हो जिसका G में सूचकांक 2 है तो सिद्ध कीजिए कि H ग्रुप G का एक विशिष्ट उपग्रुप है।
(If G is a group and H is a subgroup of index 2 in G.Prove that H is a normal subgroup of G.)
(2.)यदि H तथा K किसी ग्रुप G के दो विशिष्ट उपग्रुप है तथा H \cap K=\{e\},तो प्रदर्शित कीजिए कि प्रत्येक h \in H तथा कोई k \in K के लिए hk=kh.
Suppose that H and K are two normal subgroups of G and H \cap K=\{e\}.Show that for any h \in H,k \in K,hk=kh.)
(3.)यदि एक ग्रुप G का चक्रीय उपग्रुप H,ग्रुप G का एक विशिष्ट उपग्रुप है तो सिद्ध कीजिए H का प्रत्येक उपग्रुप ग्रुप G का विशिष्ट उपग्रुप है।
(If a cyclic subgroup H of G is normal in G,then Prove that every subgroup of H is normal in G.)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर विशिष्ट उपग्रुप की परिभाषा (Normal Subgroup Definition),विशिष्ट उपग्रुप (Normal Subgroup) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.विशिष्ट उपग्रुप की परिभाषा (Normal Subgroup Definition),विशिष्ट उपग्रुप (Normal Subgroup) के समबन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.विशिष्ट उपग्रुप को परिभाषित करो। (Define a Normal Subgroup.)

उत्तर:किसी ग्रुप G का कोई उपग्रुप N,G का विशिष्ट उपग्रुप कहलाता है यदि N g=g N, \forall g \in G अथवा किसी ग्रुप G का कोई उपग्रुप N,G का विशिष्ट उपग्रुप कहलाता है यदि प्रत्येक g \in G तथा g \in G के लिए g xg^{-1} \in N

प्रश्न:2.विषम विशिष्ट उपग्रुप किसे कहते हैं? (What is Improper Normal Subgroup called?):

उत्तर:विशिष्ट उपग्रुप की परिभाषा से स्पष्ट है कि G के कम से कम दो विशिष्ट उपग्रुप अवश्य होते हैं।वह G तथा e हैं।G,{e} ग्रुप G के विशिष्ट उपग्रुप विषम विशिष्ट उपग्रुप (Improper normal subgroup) कहलाते हैं।

प्रश्न:3.उचित विशिष्ट उपग्रुप किसे कहते हैं? (What is a Proper Normal Subgroup called?):

उत्तर:G,{e} के अतिरिक्त ग्रुप G का विविष्ट उचित विशिष्ट उपग्रुप (Proper normal subgroup) कहलाता है।

प्रश्न:4.सरल उपग्रुप किसे कहते हैं? (What is a simple Subgroup called?):

उत्तर:यदि किसी ग्रुप का कोई भी उचित विशिष्ट उपग्रुप विद्यमान न हो तो वह ग्रुप सरल ग्रुप (Simple Group) कहलाता है।

प्रश्न:5.क्रमविनिमयक उपग्रुप किसे कहते हैं? (What is a Commutator Subgroup called?):

उत्तर:किसी ग्रुप G का कोई उपग्रुप G',G का क्रमविनिमयक उपग्रुप कहलाता है यदि उसके सदस्य अवयवों के परिमित गुणन aba^{-1}b^{-1},a \in G तथा b \in G के रूप के हों।
यह सरलता से सिद्ध किया जा सकता है कि G का क्रमविनिमयक उपग्रुप G',G का एक विशिष्ट उपग्रुप होता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा विशिष्ट उपग्रुप की परिभाषा (Normal Subgroup Definition),विशिष्ट उपग्रुप (Normal Subgroup) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Normal Subgroup Definition

विशिष्ट उपग्रुप की परिभाषा
(Normal Subgroup Definition)

Normal Subgroup Definition

विशिष्ट उपग्रुप की परिभाषा (Normal Subgroup Definition):-प्रमेय (Theorem):6.किसी ग्रुप के किन्ही
दो विशिष्ट उपग्रुपों का सर्वनिष्ठ उस ग्रुप का एक विशिष्ट उपग्रुप होता है।

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