1.विशिष्ट उपग्रुप की परिभाषा (Normal Subgroup Definition),विशिष्ट उपग्रुप (Normal Subgroup):

Normal Subgroup Definition

विशिष्ट उपग्रुप की परिभाषा (Normal Subgroup Definition):-

प्रमेय (Theorem):6.किसी ग्रुप के किन्ही दो विशिष्ट उपग्रुपों का सर्वनिष्ठ उस ग्रुप का एक विशिष्ट उपग्रुप होता है।
(The intersection of any two normal subgroups of a group is a normal subgroup.)
उपपत्ति (Proof):माना कि N_{1} तथा N_{2} किसी ग्रुप G के दो विशिष्ट उपग्रुप हैं।हम जानते हैं कि दो उपग्रुपों का सर्वनिष्ठ एक उपग्रुप होता है।इसलिए N_{1} \cap N_{2} एक उपग्रुप है।
अब \forall n \in N_{1} \cap N_{2} \Rightarrow n \in N_{1} तथा n \in N_{2} साथ ही माना a \in G क्योंकि N_{1} ग्रुप G का एक विशिष्ट उपग्रुप है इसलिए a \in G, n \in N_{1} \Rightarrow ana^{-1} \in N_{1}
साथ ही N_{2} ग्रुप G का एक विशिष्ट उपग्रुप है इसलिए a \in G, n \in N_{2} \Rightarrow a n a^{-1} \in N_{2}
अतः a \in G, n \in N_{1} \cap N_{2} \\ \Rightarrow a n a^{-1} \in N_{1} तथा a n a^{-1} \in N_{2} \\ \Rightarrow ana^{-1} \in N_{1} \cap N_{2} \\ \therefore N_{1} \cap N_{2}, G का प्रसामान्य उपग्रुप है।
प्रमेय (Theorem):7.यदि ग्रुप G का एक उपग्रुप है और N ग्रुप G का विशिष्ट उपग्रुप है तो H \cap N उपग्रुप H का एक विशिष्ट उपग्रुप होता है।जबकि H \cap N का G में विशिष्ट उपग्रुप होना आवश्यक नहीं है।
(If H is a subgroup of G and N is a normal subgroup of G,then H \cap N is a normal sub group of H where H \cap N need not be normal in G.)
उपपत्ति (Proof):चूँकि किसी ग्रुप के दो उपग्रुपों का सर्वनिष्ठ एक उपग्रुप होता है इसलिए H \cap N ग्रुप G का उपग्रुप है।अब यह सिद्ध करना शेष है कि H \cap N, H का एक विशिष्ट उपग्रुप है अर्थात्
(i)H \cap N, H का उपग्रुप है।
(ii)x \in H, h \in H \cap N \Rightarrow x h x^{-1} \in H \cap N
अब H \cap N \subseteq H इसलिए H \cap N ग्रुप G का उपग्रुप है \Rightarrow H \cap N, H का उपग्रुप है
माना कि h \in H \cap N तथा x \in H तब
h \in H \cap N \Rightarrow h \in H  तथा h \in N
साथ ही क्योंकि H,ग्रुप G का उपग्रुप है इसलिए

\forall x \in H, h \in H \Rightarrow x h x^{-1} \in H
तथा h \in N , x \in H \Rightarrow h \in N, x \in G \\ \Rightarrow x h x^{-1} \in N[चूँकिN,G का एक विशिष्ट उपग्रुप है]

x h x^{-1} \in N, x h x^{-1} \in H \Rightarrow x h x^{-1} \in H \cap N
अतः h \in H \cap N, x \in H \Rightarrow x h x^{-1} \in H \cap N
H \cap N,H का एक विशिष्ट उपग्रुप है।
का G में विशिष्ट उपग्रुप होना आवश्यक नहीं है उदाहरणार्थ यदि S_{4} का उपग्रुप H तथा विशिष्ट उपग्रुप N है जहाँ

H=\{(1),(1 \quad 2 \quad 3 \quad 4),(1 \quad 3)(2 \quad 4),(1 \quad 4 \quad 3 \quad 2)(1 \quad 2)(3 \quad 4),\\(1 \quad 4)(2 \quad 3),(1 \quad 3)(2 \quad 4)\}
तथा N=\{(1),(1 \quad 2 \quad 3),(1 \quad 2 \quad 4),(1 \quad 3 \quad 2),(1 \quad 3 \quad 4),(1 \quad 4 \quad 2) \\(1 \quad 4 \quad 3),(2 \quad 3 \quad 4) ,(2 \quad 4 \quad 3),(1 \quad 2)(3 \quad 4),(1 \quad 3)(2 \quad 4) \\ (1\quad 4)(2 \quad 3)\}
किन्तु H \cap N ,S_{4} का विशिष्ट उपग्रुप नहीं है।
प्रमेय (Theorem):8.मान लें कि f ग्रुप G से ग्रुप H में समाकारिता है।यदि N,G का विशिष्ट उपग्रुप है तो सिद्ध कीजिए कि प्रतिबिम्ब f(N),f(G) का विशिष्ट उपग्रुप है।
(Let f be a homorphism from a group G to a group H.Show that if N is a normal subgroup of G then the image f(N) is a normal subgroup of f(G).)
उपपत्ति (Proof):सर्वप्रथम हम यह सिद्ध करेंगे कि f(N),f(G) का उपग्रुप है।
\forall a, b \in f(N) तब a=f\left(n_{1}\right) तथा b=f\left(n_{2}\right) जहाँ n_{1}, n_{2} \in N है।
अब n_{1}, n_{2} \in N \Rightarrow n_{1} \cdot n_{2}^{-1} \in N \\ \Rightarrow f\left(n_{1} n_{2}^{-1}\right) \in f(N) \\ \Rightarrow f\left(n_{1}\right) f\left(n_{2}^{-1}\right) \in f(N) [चूँकि f समाकारिता है]

\Rightarrow f\left(n_{1}\right) \cdot\left[f\left(n_{2}\right)\right]^{-1} \in f(N)
फलतः f\left(n_{1}\right) \in f(N), f\left(n_{2}\right) \in f(N) \\ \Rightarrow f\left(n_{1}\right) \left[f\left(n_{2}\right)\right]^{-1} \in f(N)
अतः f(N),f(G) का उपग्रुप है।
अब हम सिद्ध करेंगे f(N),f(G) का विशिष्ट उपग्रुप है।
माना x \in G तथा  k \in f(N) तो f(x) \in f(G)
साथ k=f(x) ही जहाँ n \in N \\ f(x) \cdot k[f(x)]^{-1}=f(n) f(x)[f(x)]^{-1}=f(xn) f\left(x^{-1}\right)
[चूँकि f समाकारिता है]

=f\left(x n x^{-1}\right)
क्योंकि N,G में विशिष्ट ग्रुप है।

x n x^{-1} \in N \\ \Rightarrow f\left(x n x^{-1}\right) \in f(N) \Rightarrow f(x) k(f(x))^{-1} \in f(N)
प्रमेय (Theorem):9.सिद्ध कीजिए कि एक समूह के विशिष्ट उपग्रुप के दो सहकुलक या तो असंयुक्त होंगे या समान होंगे।
(Prove that two cosets of a normal subgroup are either disjoint or identical.)
उपपत्ति (Proof):माना कि N ग्रुप G का एक विशिष्ट उपग्रुप है तो G में N के प्रत्येक वाम सहसमुच्चय उसके दक्षिण सहसमुच्चय के समान है अर्थात्

N x=x N \forall x \in G \ldots(1)
माना कि Nx तथा Ny,N के दो दक्षिण सहसमुच्चय हैं,यह भी माना कि Nx \cap Ny \neq \phi तब कम से कम एक अवयव z (माना) ऐसा होगा कि z \in Nx तथा z \in Ny

माना z=n_{1} x तथा z=n_{2} y  जहाँ n_{1} ,n_{2} \in z तब

n_{1} x=n_{2} y \\ \Rightarrow n_{1}^{-1} \left(n_{1} x\right)=n_{1}^{-1} \left(n_{2} y\right) \\ \Rightarrow e x=\left(n_{1}^{-1} n_{2}\right) y \Rightarrow x=\left(n_{1}^{-1} n_{2}\right) y
क्योंकि N,G का विशिष्ट उपग्रुप है इसलिए उपग्रुप भी है।

n_{1} \in N, n_{2} \in N \Rightarrow n_{1}^{-1} n_{2} \in N
माना n_{1}^{-1} n_{2}=n_{3} तब x=n_{3}y
अब Nx=Nn_{3}y=\left ( Nn_{3} \right )y=Ny
यदि Nx \cap Ny \neq \phi तो  N x=Ny जहाँ Nx तथा Ny ग्रुप G के कोई दो दक्षिण सहसमुच्चय हैं।
परन्तु Nx=xN जब G में N विशिष्ट उपग्रुप है।
अतः एक ग्रुप (समूह) के विशिष्ट उपग्रुप के दो सहकुलक (सहसमुच्चय) या तो असंयुक्त होंगे या समान होंगे।
प्रमेय (Theorem):10.सिद्ध कीजिए कि किसी समूह G से समूह G’ पर परिभाषित किसी समाकारिता f की अष्टि,G का एक प्रसामान्य उपसमूह है।
(Prove that the kernel of a homomorphism of a group G to a group G’ is a normal subgroup G.)
उपपत्ति (Proof):माना कि K समाकारिता f की अष्टि है तो अष्टि की परिभाषा से:

K=\{x \in G=f(x)=e^{\prime} \}
जहाँ e’,G’ का तत्समक अवयव है।
अब क्योंकि f(e)=e^{\prime} ; K \neq q
माना a, b \in K \Rightarrow f(a)=e^{\prime}, f(b)=e^{\prime}
अब f(a b^{-1})=f(a) f\left(b^{-1}\right) \\ =f(a)[f(b)]^{-1} \\ =e^{\prime}\left(e^{\prime} \right)^{-1} \\ =e^{\prime} \cdot e^{\prime} \\ =e^{\prime}
चूँकि f(ab^{-1})=e^{\prime} \Rightarrow ab^{-1} \in Kजहाँ a, b \in K
अतः K,G का उपग्रुप है।
माना g,G का कोई स्वेच्छिक अवयव (any arbitrary element) है तथा a \in K इसलिए f(a)=e’
यदि हम यह प्रदर्शित कर दें कि g a g^{-1} \in K तो K एक प्रसामान्य उपसमूह होगा।
अब f(g a g^{-1})=f(g) f(a g^{-1}) \\ =f(g) \cdot [f(a) f(g^{-1})] \\ =f(g)\left[e^{\prime} f(g^{-1})\right] \\ =f(g) \cdot[f(g^{-1})] \\ =f(g)[f(g)]^{-1} \\=e^{\prime} \\ \therefore g a g^{-1} \in K
अतः K,ग्रुप G का एक प्रसामान्य उपग्रुप है।
प्रमेय (Theorem):11.समूह G का एक विशिष्ट उपसमूह N है तथा प्रतिचित्रण p : G \rightarrow \frac{G}{N} इस प्रकार परिभाषित किया कि p(x)=xN, x \in G
तो सिद्ध कीजिए कि p एक आच्छादक समाकारिता है तथा p की अष्टि N है।
(Let N be a normal subgroup of a group G and p : G \rightarrow \frac{G}{N} is a mapping defined by

p(x)=xN, x \in G
Show that p is an epimorphism.Further Show that kernel of p is N.)
उपपत्ति (Proof):दिया हुआ है कि N,ग्रुप G का एक विशिष्ट उपग्रुप है साथ ही ग्रुप G से ग्रुप \frac{G}{N} पर p प्रतिचित्रण निम्न प्रकार परिभाषित है:

p: G \rightarrow \frac{G}{N}
इस प्रकार कि

p(x)=x N \forall x \in G
अब प्रत्येक x N \in \frac{G}{N} के लिए x \in G एक ऐसा अवयव है कि
p(x)=xN
प्रतिचित्रण p,\frac{G}{N} पर आच्छादक है पुनः a, b \in G तो
p(ab)=abN=(aN)(bN)
=p(a) p(b)
\therefore  p ग्रुप G से \frac{G}{N} पर समाकारिता है।अतः उपर्युक्त यह सिद्ध करता है कि p ग्रुप G से \frac{G}{N} पर आच्छादक (Epimorphism) है।
पुनः माना कि K,समाकारिता p की अष्टि है
अर्थात् K=\{x \in G \mid p(x)=N\}

हम सिद्ध करेंगे कि K=N
यदि k \in K \Rightarrow p(K)=N जहाँ N, \frac{G}{N} का तत्समक है।

\Rightarrow K N=N \\ \Rightarrow k \in N \\ K \subseteq N
पुनः यदि x \in N \Rightarrow p(x)=x N \cdots(1) \\ \Rightarrow p(x)=N [चूँकि x \in N \Rightarrow x N=N]
\Rightarrow x \in k अर्थात् N \subseteq K \ldots(2)
अतः (1) तथा (2) से:
N=K
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2.विशिष्ट उपग्रुप की परिभाषा के उदाहरण (Normal Subgroup Definition Examples),विशिष्ट उपग्रुप के उदाहरण (Normal Subgroup Examples):

Example:1.यदि H,G का एक उपग्रुप है तथा (If H be a subgroup of G and) N(H)=\{g \in G| g Hg^{-1} |=H\} तो सिद्ध कीजिए कि (then prove that)
(i)N(H),G का उपग्रुप है (N(H) is a subgroup of G)
(ii)H,N(H) का एक विशिष्ट उपग्रुप है [H is a normal subgroup of N(H)]

(iii)H ⊲ G \Leftrightarrow N(H)=G
Solution:माना a, b \in N(H)
परिभाषा से: a H a^{-1}=H तथा b H b^{-1}=H
अब b H b^{-1}=H \\ \Rightarrow b^{-1} (b H b^{-1}) b=b^{-1} H b \Rightarrow H=b^{-1} H b \\ \Rightarrow (ab^{-1}) H(ab^{-1})^{-1}=ab^{-1} H ba^{-1} \\=a(b^{-1} H b) a^{-1} \\ =a H a^{-1} \\ =H \\ \Rightarrow ab^{-1} \in N(H)

अतः a, b \in N(H) ; a b^{-1} \in N(H)
अतः N(H),G का उपग्रुप है।
(ii)h \in H अतः h H h^{-1} = H
अतः h \in N(H)
अतः H,N(H) का उपग्रुप है।
पुनः x \in N(H)
परिभाषा से: x H x^{-1}=H
अतः H,N(H) का विशिष्ट उपग्रुप है।
(iii)माना k \in K
अतः H,K का विशिष्ट उपसमूह है
अतः K H K^{-1}=H \Rightarrow K \in N(H)
अतः k \in K \Rightarrow k \in N(H) \\ K \subseteq N(H)
माना H,G का विशिष्ट उपग्रुप है
तथा x \in G तब
x H x^{-1}=H[H,G में विशिष्ट है]

\Rightarrow x \in N(H)
अतः x \in G \Rightarrow x \in N(H) \\ \therefore G \subseteq N(H)
परन्तु N(H) \subseteq G
अतः G=N(H)
विलोमत (Conversely):माना N(H)=G
तब x \in G \Rightarrow x \in N(H) \\ \Rightarrow x H x^{-1}=H
इस प्रकार है कि x H x^{-1}=H \forall x \in G
अतः H,G का विशिष्ट उपग्रुप है।
Example:2.एक उपग्रुप H ज्ञात करिए जो S_{3} में विशिष्ट नहीं है।
(Find a subgroup H which is not normal in S_{3}.)
Solution:H=\{(1),(1 \quad 2)\} \\ x_{1}=(1), x_{2}=(1 \quad 2) \\ x_{2}=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\2 & 1 & 3 \end{array}\right) x_{2}^{-1}=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 3 \\1 & 2 & 3\end{array}\right) \\ x_{1} x_{2}^{-1} =\left ( 1 \right )\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 3 \\1 & 2 & 3\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 3 \\1 & 2 & 3\end{array}\right) \\=(1 \quad 2) \in H
अतः H, S_{3} का उपग्रुप है

S_{3}=\{(1),(1 \quad 2 \quad 3),(1 \quad 3 \quad 2)\} \\ A=\left(1 \quad 2 \quad 3\right), B=(1 \quad 2) \\ A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\2 & 3 & 1\end{array}\right), A^{-1}=\left(\begin{array}{lll}2 & 3 & 1 \\1 & 2 & 3\end{array}\right) \\ A B A^{-1} =\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\2 & 3 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\2 & 1 & 3\end{array}\right) \left(\begin{array}{lll}2 & 3 & 1 \\1 & 2 & 3\end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\2 & 1 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\2 & 3 & 1\end{array}\right) \left(\begin{array}{lll}2 & 3 & 1 \\1 & 2 &3\end{array}\right)
[H उपग्रुप है क्रमविनिमेय होता है]

A B A^{-1} =\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\2 & 1 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}2 & 3 & 1 \\2 & 3 & 1\end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\2 & 1 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\1 & 2 & 3 \end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\2 & 1 & 3\end{array}\right) \\ \Rightarrow A B A^{-1} =\left(\begin{array}{ll}1 & 2\end{array}\right) \notin S_{3}
अतः H, S_{3} का विशिष्ट उपग्रुप नहीं है।

Normal Subgroup Definition

Example:3.सिद्ध कीजिए कि एक प्रसामान्य उपग्रुप N ग्रुप G के प्रत्येक उपसमुच्चय के साथ क्रमविनिमेय होता है।
(Prove that a group commutes with every subset of a group.)
Solution:माना कि N विशिष्ट उपग्रुप तथा H कोई G का उपसमुच्चय है
सिद्ध करना है:HN=NH
माना n h \in N H  जहाँ n \in N, h \in H
हम लिख सकते हैं कि n h=h h^{-1} n h \\ =h\left(h^{-1} n h\right)
परन्तु N विशिष्ट उपग्रुप है

\therefore h^{-1} n h \in N
अतः nh \in HN \\ \therefore N H \subseteq H N \ldots(1)
पुनः माना कि h n \in H N जहाँ h \in H, n \in N हम लिख सकते हैं कि h n=\left(h n h^{-1}\right) h
परन्तु h n h^{-1} \in N क्योंकि N,G में विशिष्ट उपग्रुप है

h n \in N \therefore H N \subseteq N H \ldots(2)
अतः (1) व (2) से:
HN=NH
Example:4.यदि f ग्रुप G से G' पर समाकारिता हो तो f की अष्टि K ग्रुप G का विशिष्ट उपग्रुप होता है।
(If f is a homomorphism from a group G to G' with kernel K then K ⊲ G.)
Solution:माना कि  ग्रुप G तथा G' के क्रमश: तत्समक अवयव e तथा e' है।साथ ही यह भी माना कि *,o,G तथा G' की द्विआधारी संक्रिया है।
अष्टि की परिभाषा से:

K=\left\{x \in G \mid f(x)=e^{\prime}\right\}
क्योंकि f(e)=e'

\therefore e \in K \Rightarrow K \neq \phi
माना a, b \in K\Rightarrow f(a)=f(b)=e^{\prime} \in G^{\prime}
पुनः f\left(a \times b^{-1}\right)=f(a) \circ f\left(b^{-1}\right) \\ =f(a) \circ [f(b)]^{-1}[f समाकारिता है ]

=e^{\prime} \circ \left[e^{\prime}\right]^{-1} \\ =e^{\prime} \circ e^{\prime} \\ =e^{\prime} \\ a * b^{-1} \in K
इस प्रकार स्पष्ट है कि

a \in K, b \in K \Rightarrow a * b^{-1} \in K
अष्टि K,ग्रुप G का एक उपग्रुप है।
पुनः माना कि x \in G तथा a \in K तब

f\left(x a x^{-1}\right)=f(x) f\left(a x^{-1}\right)=f(x)\left[f(a) f\left(x^{-1}\right)\right] \\ =f(x)\left[e^{-1} f\left(x^{-1}\right)\right]\\ =f(x) f\left(x^{-1}\right)\left[\because f(a)=e^{\prime}\right]\\ =f(x)[f(x)]^{-1}=e^{-1} \Rightarrow x a x^{-1} \in K
K,G का विशिष्ट उपग्रुप है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा विशिष्ट उपग्रुप की परिभाषा (Normal Subgroup Definition),विशिष्ट उपग्रुप (Normal Subgroup)को समझ सकते हैं।

3.विशिष्ट उपग्रुप की परिभाषा के सवाल (Normal Subgroup Definition Questions):

Normal Subgroup Definition

(1.)यदि G एक ग्रुप है तथा H इसका उपग्रुप हो जिसका G में सूचकांक 2 है तो सिद्ध कीजिए कि H ग्रुप G का एक विशिष्ट उपग्रुप है।
(If G is a group and H is a subgroup of index 2 in G.Prove that H is a normal subgroup of G.)
(2.)यदि H तथा K किसी ग्रुप G के दो विशिष्ट उपग्रुप है तथा H \cap K=\{e\},तो प्रदर्शित कीजिए कि प्रत्येक h \in H तथा कोई k \in K के लिए hk=kh.
Suppose that H and K are two normal subgroups of G and H \cap K=\{e\}.Show that for any h \in H,k \in K,hk=kh.)
(3.)यदि एक ग्रुप G का चक्रीय उपग्रुप H,ग्रुप G का एक विशिष्ट उपग्रुप है तो सिद्ध कीजिए H का प्रत्येक उपग्रुप ग्रुप G का विशिष्ट उपग्रुप है।
(If a cyclic subgroup H of G is normal in G,then Prove that every subgroup of H is normal in G.)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर विशिष्ट उपग्रुप की परिभाषा (Normal Subgroup Definition),विशिष्ट उपग्रुप (Normal Subgroup) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.विशिष्ट उपग्रुप की परिभाषा (Normal Subgroup Definition),विशिष्ट उपग्रुप (Normal Subgroup) के समबन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

विशिष्ट उपग्रुप की परिभाषा (Normal Subgroup Definition):-प्रमेय (Theorem):6.किसी ग्रुप के किन्ही
दो विशिष्ट उपग्रुपों का सर्वनिष्ठ उस ग्रुप का एक विशिष्ट उपग्रुप होता है।