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Principal Ideal in Abstract Algebra

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1.अमूर्त बीजगणित में मुख्य गुणजावली (Principal Ideal in Abstract Algebra),मुख्य गुणजावली वलय (Principal Ideal Ring):

अमूर्त बीजगणित में मुख्य गुणजावली (Principal Ideal in Abstract Algebra) उस गुणजावली R को कहते हैं जो किसी वलय R में यदि यह R के केवल एक अवयव से जनित हो।
अतः एक गुणजावली I, वलय R की मुख्य गुणजावली कहलाती है यदि R में एक अवयव a ऐसा विद्यमान हो कि I=[a] अर्थात् I उन सब गुणजावली में छोटी से छोटी गुणजावली है जिसमें a है।
प्रत्येक वलय R में कम से कम एक मुख्य गुणजावली होती है वह [0]={0} है तथा प्रत्येक तत्समकी वलय के कम से कम दो मुख्य गुणजावली होती है [0] तथा [e] परन्तु [e]=R क्योंकि

r e=r=e r \quad \forall \in R
प्रमेय (Theorem):6.यदि R एक तत्समकी वलय R है तथा a \in R तब समुच्चय I=\{r a \mid r \in R\} एक मुख्य गुणजावली है जिसका जनक a है।
(Let R be a commutative ring with unity and then the set I=\{r a \mid r \in R\} is a principal Ideal of R generated by a i.e. I=[a]=Ra)
उपपत्ति (Proof):चूँकि R एक तत्समकी क्रमविनिमेय वलय है अतः

e \in R \quad \therefore a=e a=a e \in I
साथ ही I,वलय R में गुणजावली है तथा इसका एक अवयव a है।
माना कि R में एक और गुणजावली K है जिसमें एक अवयव a है तब

\forall r \in R, a \in K \Rightarrow r a \in k \\ I \subset K
अतः वलय R में I वह छोटी से छोटी गुणजावली है जिसमें a विद्यमान है अतः वलय R में मुख्य गुणजावली है जिसका जनक a है।
प्रमेय (Theorem):7.पूर्णांकों का वलय (Z,+,\bullet )  एक मुख्य गुणजावली वलय तथा मुख्य गुणजावली प्रान्त है।
(Every Ideal I in a ring (Z,+,\bullet ) of integers is a principal Ideal or the ring Z of integers)
उपपत्ति (Proof):माना कि I,Z की एक गुणजावली है।यदि I={0} तो I एक अवयव O \in Z से जनित है इसलिए I={0} एक गुणजावली है।
अब माना कि I \neq\{0\} तथा यह भी माना m \in I, m \neq 0 तो m \in I \Rightarrow-m \in I
अतः I में a धनात्मक पूर्णांक विद्यमान है चूँकि m अथवा -m कोई न कोई धनात्मक पूर्णांक है।
माना कि I में छोटे से छोटा पूर्णांक a है तथा b \in I कोई दूसरा पूर्णांक है।
विभाजन कलन विधि से (By division algorithm) ,q,r \in Z ऐसे विद्यमान है कि

b=q a+r \quad 0 \leq r<a
चूँकि I गुणजावली है इसलिए a \in I , q \in Z \Rightarrow q, a \in I
अब b \in I, q a \in I \Rightarrow b-q a \in I यदि 0<r<a तब r \not \in I क्योंकि a वह छोटे से छोटा पूर्णांक है जो I में है अर्थात् a से कोई छोटा पूर्णांक I में नहीं है।
\therefore r=0 तथा b=qa
अतः I=\{q a \mid q \in z\}
परन्तु Z एक तत्समकी क्रमविनिमेय वलय है अतः I एक मुख्य गुणजावली है।
अतः Z एक मुख्य गुणजावली वलय है।
साथ ही Z एक पूर्णांकीय प्रान्त भी है इसलिए Z एक मुख्य गुणजावली प्रान्त है।
प्रमेय (Theorem):8.प्रत्येक क्षेत्र एक मुख्य गुणजावली वलय है।
(Every field is a Principal Ideal ring)
उदाहरण देकर बताइए कि इसका विलोम सत्य नहीं है
(Give an example to show that its converse is not true).
उपपत्ति (Proof):प्रमेय 3 से प्रत्येक क्षेत्र सरल वलय है इसलिए F की केवल दो गुणजावली होंगी (i) F (ii){0} जिनके क्रमशः जनक e(=1) गुणन संक्रिया का तत्समक अवयव तथा 0 (योग संक्रिया का तत्समक अवयव) या F=[e] तथा [0]={0}
फलतः F एक मुख्य गुणजावली वलय है।
उपर्युक्त प्रमेय का विलोम सदैव सत्य नहीं है क्योंकि (Z,+,\bullet ) एक मुख्य गुणजावली वलय है परन्तु क्षेत्र नहीं है।
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2.अमूर्त बीजगणित में मुख्य गुणजावली पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Principal Ideal in Abstract Algebra):

Example:1.यदि a,b किसी क्रमविनिमेय तत्समकी वलय के अवयव हों तो सिद्ध कीजिए कि I=\{x a+y b \mid x \in R, y \in R\}, a तथा b को अन्तर्विष्ट करनेवाली सबसे छोटी गुणजावली है।
(If a,b be elements of a commutative ring with unity,then prove that I=\{x a+y b \mid x \in R, y \in R\} is the smallest ideal containing a and b.)
Solution:जबकि S=\{x a+y b: x, y \in R\}
यदि x=1,y=0 तब a \in S
यदि x=0,y=1 तब b \in S
अतः a, b \in S
अब हमें S को R की गुणजावली सिद्ध करना है:
(i)यदि u, v \in S तब u=x_{1} a+y_{1} b, v=x_{2} a +y_{2} b \text { for } x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2} \in R \\ u-v=\left(x_{1} a+y_{1} b\right)-\left(x_{2} a+y_{2} b\right) \\ =\left(x_{1}-x_{2}\right) a+\left(y_{1}-y_{2}\right) \cdot b \in S
S,R का योगात्मक उपग्रुप है
(ii) u=x a+y b \in S  तथा r \in R के लिए

r u=r(x a+y b)=(r x) a+(r y) b \in S, r x, r y \in S
R क्रमविनिमेय है इसलिए u,r \in S
इस प्रकार S,R की गुणजावली है जिसमें a,b अवयव है।
Example:2.एक उदाहरण देकर यह प्रदर्शित कीजिए कि दो गुणजावलियों का संघ एक गुणजावली होना आवश्यक नहीं है।
(Give an example to show that the union of two ideals may not be an ideal.)
Solution:2Z तथा 3Z,Z की गुणजावलियाँ है

x, y \in 2Z \cup 3Z \\ \Rightarrow x-y \notin 2 Z \cup 3Z
अतः 2Z \cup 3 Z,Z की गुणजावली नहीं है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अमूर्त बीजगणित में मुख्य गुणजावली (Principal Ideal in Abstract Algebra),मुख्य गुणजावली वलय (Principal Ideal Ring) को समझ सकते हैं।

3.अमूर्त बीजगणित में मुख्य गुणजावली के सवाल (Principal Ideal in Abstract Algebra Questions):

(1.)यदि R एक वलय है तथा a \in R,r(a)=\{x \in R \geq a x=0\}  तो सिद्ध करो कि r(a),R की दक्षिण गुणजावली है।
(If R is a ring and a \in R,r(a)=\{x \in R \geq a x=0\}  let.Prove that r(a) is a right ideal of R.)
(2.)यदि S_{1} तथा S_{2}, R की दो गुणजावलियाँ हैं तो b_{1} b_{2}+c_{1} c_{2}+\cdots I_{1} I_{2} के रूप के सभी अवयवों का समुच्चय R की गुणजावली है जहाँ b_{1},c_{1} \cdots I_{1} \in S_{1}  तथा b_{2},c_{2} \cdots I_{2} \in S_{2} 
(If S_{1} and S_{2} are two ideals of a ring R the set of all elements of the form b_{1} b_{2}+c_{1} c_{2}+\cdots I_{1} I_{2} where b_{1},c_{1} \cdots I_{1} \in S_{1} and b_{2},c_{2} \cdots I_{2} \in S_{2}  is an ideal of R.)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अमूर्त बीजगणित में मुख्य गुणजावली (Principal Ideal in Abstract Algebra),मुख्य गुणजावली वलय (Principal Ideal Ring) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.अमूर्त बीजगणित में मुख्य गुणजावली (Principal Ideal in Abstract Algebra),मुख्य गुणजावली वलय (Principal Ideal Ring) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.मुख्य गुणजावली वलय को परिभाषित करो। (Define Principal Ideal Ring):

उत्तर:यदि किसी वलय R की प्रत्येक गुणजावली मुख्य गुणजावली हो तो वलय R को मुख्य गुणजावली वलय R कहते हैं।

प्रश्न:2.मुख्य गुणजावली प्रान्त को परिभाषित करो। (Define Principal Ideal Domain):

उत्तर:यदि किसी पूर्णांकीय प्रान्त R में प्रत्येक गुणजावली मुख्य गुणजावली हो तो R पूर्णांकीय प्रान्त को मुख्य गुणजावली प्रान्त कहते हैं।

प्रश्न:3.मुख्य गुणजावली या एकज गुणजावली का उदाहरण दो। (Give an Example of Principal Ideal):

उत्तर:पूर्णांकों के वलय Z की प्रत्येक गुणजावली मुख्य या एकज गुणजावली होती है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा अमूर्त बीजगणित में मुख्य गुणजावली (Principal Ideal in Abstract Algebra),मुख्य गुणजावली वलय (Principal Ideal Ring) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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अमूर्त बीजगणित में मुख्य गुणजावली
(Principal Ideal in Abstract Algebra)

Principal Ideal in Abstract Algebra

अमूर्त बीजगणित में मुख्य गुणजावली (Principal Ideal in Abstract Algebra) उस गुणजावली
R को कहते हैं जो किसी वलय R में यदि यह R के केवल एक अवयव से जनित हो।

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