1.बीजगणित में सदिश उपसमष्टि (Vector Subspace in Algebra),गणित में सदिश उपसमष्टि (Vector Subspace in Maths):

Vector Subspace in Algebra

बीजगणित में सदिश उपसमष्टि (Vector Subspace in Algebra) को जानने से पूर्व सदिश समष्टि को जानना आवश्यक है।इसलिए सदिश समष्टि को जानने के लिए इससे पूर्व पोस्ट किए गए आर्टिकल को पढ़े।
प्रमेय (Theorem):1.किसी सदिश समष्टि V(F) का अरिक्त उपसमुच्चय W,V की उपसमष्टि हो इसके लिए आवश्यक एवं पर्याप्त प्रतिबन्ध निम्न है
(The necessary and sufficient conditions for a non-empty subset W of a vector space V(F) to be a subspace of V are

(i)w_{1} \in W, w_{2} \in W \Rightarrow w_{1}-w_{2} \in W

(ii) \alpha \in F, w \in W \Rightarrow \alpha \odot w \in W
उपपत्ति (Proof):प्रतिबन्धों की आवश्यकता (Necessary Condition):
मान लो कि W(F),V(F) की उपसमष्टि है,तब उपसमष्टि की परिभाषा से W,V की यौगिक संक्रिया के लिए एक आबेली ग्रुप है तथा अदिश गुणन \odot के लिए संवृत है।फलतः

w_{1} \in W, w_{2} \in W \Rightarrow w_{1} \in W, -w_{2} \in W \\ \Rightarrow w_{1} \oplus \left(-w_{2}\right) \in W \\ \Rightarrow w_{1}-w_{2} \in W
तथा \alpha \in F, w \in W \Rightarrow \alpha \odot m \in W
अतः प्रतिबन्ध आवश्यक है।
प्रतिबन्धों की पर्याप्तता (Sufficient Condition):
मान लो W \subseteq V, W \neq \phi तथा W दिए हुए (i) तथा (ii) प्रतिबन्धों को सन्तुष्ट करता है।
अब w_{1} \in W, w_{2} \in W \Rightarrow w_{1}-w_{2} \in W से

w_{1} \in W, w_{2} \in W \Rightarrow w_{1}-w_{2} \in W \Rightarrow O \in W
फलतः V का शून्य सदिश अर्थात् O,W का सदस्य है तथा साथ ही यह W का शून्य सदिश होगा।
अब O \in W, w \in W \Rightarrow O-W \in W \Rightarrow-W \in W
अतः W के प्रत्येक अवयव का यौगिक प्रतिलोम W में है।
पुनः w_{1} \in W, w_{2} \in W \Rightarrow w_{1} \in w_{1}-w_{2} \in W \\ \Rightarrow w_{1}-\left(-w_{2}\right) \in W \\ \Rightarrow w_{1} \oplus w_{2} \in W
W,यौगिक संक्रिया के लिए संवृत है।
चूँकि W,V का उपसमुच्चय है इसलिए W के अवयव V के अवयव हैं और क्रमविनिमेय तथा साहचार्य गुणों का सदिश योग \oplus के लिए पालन करेंगे।अतः \left(w,\oplus \right) आबेली ग्रुप है।साथ ही W \subseteq V तथा (ii)प्रतिबन्ध से W अदिश गुणन के लिए संवृत है।साथ ही W के अवयव सदिश समष्टि के सभी अभीगृहीतों को सन्तुष्ट करते हैं क्योंकि वह V के लिए सत्य है।अतः W स्वयं भी फील्ड F पर सदिश समष्टि है,फलतः W(F),V(F) की उपसमष्टि है।
प्रमेय (Theorem):2.माना कि W \neq \phi, W \subset V जहाँ V(F) एक सदिश समष्टि है तो W(F),V(F) की उपसमष्टि होगी यदि और केवल यदि प्रत्येक w_{1},w_{2} \in W तथा \alpha \in F के लिए:
(A nonvoid subset W of V is a subspace W(F) of the vector space V(F) over the field \left(F,+,\bullet \right) iff for every w_{1},w_{2} \in W and every \alpha \in F  .)

(i) w_{1} \oplus w_{2} \in W (ii) \alpha \odot w_{1} \in W
उपपत्ति (Proof):प्रतिबन्ध की आवश्यकता (Necessary Condition):
मान लो W(F) सदिश समष्टि V(F) की उपसमष्टि है।तब उपसमष्टि की परिभाषानुसार (W, \oplus),(V, \oplus) का उपग्रुप है इसलिए यदि w_{1}, w_{2} \in W \Rightarrow w_{1} \oplus w_{2} \in W तथा \alpha \in F, w_{1} \in W \Rightarrow \alpha \odot w_{1} \in W
अतः प्रतिबन्ध आवश्यक है।
प्रतिबन्ध की पर्याप्तता (Sufficient Condition):
मान लो w \neq \phi तथा

(i)w_{1}, w_{2} \in W \Rightarrow w_{1} \oplus w_{2} \in W

(ii)\alpha \in F, w_{1} \in W \Rightarrow \alpha \odot w \in W
अब F फील्ड है इसलिए

1 \in F \Rightarrow-1 \in F \\ \therefore-1 \in F \forall w_{1} \in W \Rightarrow(-1) \odot w_{1} \in W \\ \Rightarrow-\left(1 w_{1}\right) \in W \\ \Rightarrow -w_{1} \in W
इसलिए W के प्रत्येक अवयव का यौगिक विलोम W में विद्यमान है।
अब w_{1} \in W, -w_{1} \in W \Rightarrow w_{1} \oplus\left(-w_{1}\right)=0 \in W [(1) से]
W में \oplus के सापेक्ष शून्य (तत्समक) अवयव W में है।अतः V का शून्य सदिश W का भी शून्य सदिश है।
क्योंकि \oplus,V में साहचर्य एवं क्रमविनिमेय है इसलिए W में साहचर्य और क्रमविनिमेय होगा।
अतः (W, \oplus),(V, \oplus) का उपग्रुप है तथा आबेली है।
पुनः (ii) से W अदिश गुणन \odot के अन्तर्गत संवृत है इसलिए W के अवयव अदिश गुणन \odot के लिए सदिश समष्टि के गुणधर्म को सन्तुष्ट करेंगे।फलतः W स्वयं फील्ड F पर सदिश समष्टि है।अतः W(F),V(F) की समष्टि है।
प्रमेय (Theorem):3. किसी सदिश समष्टि V(F) के अरिक्त उपसमुच्चय W के V(F) की उपसमष्टि होने के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त प्रतिबन्ध है कि w_{1}, w_{2} \in W तथा \alpha, \beta \in F \Rightarrow \alpha \odot w_{1} \oplus \beta \odot w_{2} \in W
(The necessary and sufficient condition for a non-empty subset W of a vector space V to be a subspace of V(F) is w_{1}, w_{2} \in W and \alpha, \beta \in F \Rightarrow \alpha \odot w_{1} \oplus \beta \odot w_{2} \in W)
उपपत्ति (Proof):हम जानते हैं कि

\alpha \odot w_{1} \oplus \beta \odot w_{2}=\left(\alpha \odot w_{1}\right) \oplus\left(\beta \odot w_{2}\right) ; \\ \forall \alpha, \beta \in F ; \forall w_{1}, w_{2} \in W \subset V
प्रतिबन्ध की आवश्यकता (Necessary Condition):
मान लो कि W(F),V(F) की उपसमष्टि है तो उपसमष्टि की परिभाषानुसार W \neq \phi तथा
\alpha \in F ; w_{1} \in W \Rightarrow \alpha \odot w_{1} \in W तथा

\beta \in F, w_{2} \in W \Rightarrow \beta \odot w_{2} \in W
अब \alpha \odot w_{1} \in W, \beta \odot w_{2} \in W \Rightarrow \alpha \odot W_{1} \oplus \beta \odot w_{2} \in W
[\because W स्वयं \oplus के सापेक्ष आबेली ग्रुप है]
अतः प्रतिबन्ध आवश्यक है।
प्रतिबन्ध की पर्याप्तता (Sufficient Condition):
यदि W \neq \phi तथा \alpha, \beta \in F ; w_{1}, w_{2} \in W \Rightarrow \alpha \odot w_{1} \oplus \beta \odot w_{2} \in W
तो \alpha=1, \beta=1 के लिए 1 \odot w_{1} \oplus 1 \odot w_{2}=w_{1} \oplus w_{2} \in W
अतः W में \oplus द्विचर संक्रिया है।अथवा W सदिश योग के अन्तर्गत संवृत है।
अब \alpha=-1, \beta=0 लेने पर पुनः दिए गए प्रतिबन्ध से
-1,0 \in F तथा w_{1}, w_{2} \in W \Leftrightarrow(-1) w_{1}+0 w_{2} \in W \\ \Rightarrow -\left(1 w_{1}\right)+O \in W \\ \Rightarrow-w_{1} \in W
अतः W के प्रत्येक अवयव का सदिश यौगिक प्रतिलोम W में विद्यमान है।
पुनः \alpha=0, \beta=0 लेने पर दिए हुए प्रतिबन्ध से
0,0 \in F तथा w_{1}, w_{2} \in W \Rightarrow 0 w_{1}+0 w_{2} \in W \\ \Rightarrow O+O \in W \\ \Rightarrow O \in W
अतः W में शून्य सदिश विद्यमान है।
पुनः \beta=0 के लिए \alpha \odot w_{1} \oplus 0 \odot w_{2} \Rightarrow \alpha \odot w_{1} \in W \\ \alpha \in F, w_{1} \in W \Rightarrow \alpha \odot w_{1} \in W
अर्थात् W अदिश गुणन या वाह्य द्विचर संक्रिया \odot के लिए संवृत है।
फलतः W(F),V(F) की उपसमष्टि है।
दो उपसमष्टियों का सर्वनिष्ठ (Intersection of Two Subspaces):
प्रमेय (Theorem):4.यदि W_{1}(F) तथा W_{2}(F) सदिश समष्टि V(F) की उपसमष्टि है,तो \left(W_{1} \cap W_{2}\right)(F) भी V(F) की उपसमष्टि है।
(If W_{1}(F) and W_{2}(F) are Subspaces of the vector space V(F) then \left(W_{1} \cap W_{2}\right)(F) is also subspace of V(F).)
उपपत्ति (Proof):दिया हुआ है कि W_{1} तथा W_{2} फील्ड F पर V(F) की उपसमष्टि है इसलिए यदि V का योज्य तत्समक अवयव O है तब
O \in W_{1} तथा O \in W_{2} \Rightarrow O \in W_{1} \cap W_{2} अतः W_{1} \cap W_{2} \neq \phi
मान लो कि w_{1}, w_{2} \in W_{1} \cap W_{2} \Rightarrow w_{1}, w_{2} \in W_{1} ; w_{1}, w_{2} \in W_{2}
साथ ही W_{1}(F), W_{2}(F) की सदिश समष्टि V(F) की उपसमष्टि है
इसलिए \alpha, \beta \in F ; \quad w_{1}, w_{2} \in W_{1} \Rightarrow \alpha \odot w_{1} \oplus \beta \odot w_{2} \in W_{1} \\ \alpha, \beta \in F ; w_{1}, w_{2} \in W_{2} \Rightarrow \alpha \odot w_{1} \oplus \beta \odot w_{2} \in W_{2}
अतः \alpha, \beta \in F ; w_{1}, w_{2} \in W_{1} \cap W_{2} \Rightarrow\left(\alpha \odot w_{1}\right) \oplus \left( \beta \odot w_{2}\right) \in W_{1} \cap W_{2}
फलतः \left(W_{1} \cap W_{2}\right)(F) सदिश समष्टि V(F) की उपसमष्टि है।
व्यापकीकरण (Generalisation):
एक सदिश समष्टि की उपसमष्टियों के किसी कुल का सर्वनिष्ठ एक उपसमष्टि होता है।
(The intersection of an arbitrary family of Subspaces of a vector space is also a subspaces.)
उपपत्ति (Proof):माना कि V(F) एक सदिश समष्टि है तथा \left\{W_{1}, W_{2}, \ldots,\right\}, V(F) की उपसमष्टियों का कुल है।हमें यहाँ यह सिद्ध करना है कि \cap W_{i}, i=1,2,3 \ldots भी V(F) की उपसमष्टि है।क्योंकि W_{i} ; \forall i , V(F) की उपसमष्टि है।इसलिए

O \in W_{i} \forall i \Rightarrow O \in \cap W_{i} \Rightarrow \cap W_{i} \neq \phi
अब माना कि w_{1}, w_{2} \in W_{1} \Rightarrow w_{1}, w_{2} \in W_{i} \forall i
पुनः \alpha, \beta \in F तथा w_{1}, w_{2} \in W_{1} \Rightarrow \alpha w_{1}+ \beta w_{2} \in W_{i} \forall i \\ \Rightarrow \alpha w_{1}+\beta w_{2} \in \cap W_{i}
अतः \alpha, \beta \in F तथा w_{1}, w_{2} \cap W_{i} \Rightarrow \alpha w_{1} + \beta w_{2} \in \cap W_{i} \\ \Rightarrow \cap W_{i} भी V(F) का एक उपसमष्टि है।
दो समष्टियों का संघ (Union of Two Subspaces):
V(F) की किसी दो उपसमष्टियों का संघ,सदिश समष्टि V(F) का उपसमष्टि होना आवश्यक नहीं है।
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2.बीजगणित में सदिश उपसमष्टि के साधित उदाहरण (Vector Subspace in Algebra Solved Examples):

Example:1.प्रदर्शित कीजिए कि समुच्चय \{a+b \sqrt{2}+c \sqrt{3} \mid a, b, c \in R\} सदिश समष्टि R(R) की एक उपसमष्टि है।
(Show that the set \{a+b \sqrt{2}+c \sqrt{3} \mid a, b, c \in R\} is a subspace of the vector space R(R).)
Solution:माना कि W के कोई दो अवयव w_{1} तथा w_{2} हैं जहाँ

w_{1}=a_{1}+b_{1} \sqrt{2}+c_{1} \sqrt{3}, w_{2}=a_{2}+b_{2} \sqrt{2}+c_{2} \sqrt{3}
अब यदि \alpha,\beta \in R तब

w_{1}+w_{2}=\left(a_{1}+b_{1} \sqrt{2}+c_{1} \sqrt{3}\right)+\left(a_{2}+b_{2} \sqrt{2}+c_{2} \sqrt{3}\right) \\ =\left(a_{1}+a_{2}\right)+\sqrt{2}\left(b_{1}+b_{2}\right)+\left(a_{1}+c_{2}\right) \sqrt{3} \in W \\ \alpha_{1} \beta \in R
साथ ही \alpha w_{1}+\beta w_{2}=\alpha\left(a_{1}+b_{1} \sqrt{2}+c_{1} \sqrt{3}\right)+\beta \left(a_{2}+b_{2} \sqrt{2}+c_{2} \sqrt{3}\right) \\ =\left(\alpha a_{1}+\beta a_{2}\right)+\left(\alpha b_{1}+b_{2} \beta\right) \sqrt{2}+\left(\alpha c_{1}+\beta c_{2}\right) \sqrt{3}
अतः \alpha, \beta \in R तथा w_{1}, w_{2} \in W \\ \Rightarrow \alpha w_{1}+\beta w_{2} \in W
अतः W सदिश समष्टि R(R) की सदिश उपसमष्टि है।
Example:2.यदि V(F) एक सदिश समष्टि है। v_{1} तथा v_{2}, V के नियत अवयव हैं।प्रदर्शित करिए कि समुच्चय S= \left\{\alpha v_{1}+\beta v_{2} \mid \alpha, \beta \in F ; v_{1}, v_{2} \in V\right\} एक उपसमष्टि है।
(If V(F) is a vector space over the field F. v_{1} and v_{2} are fixed elements of V;show that set S= \left\{\alpha v_{1}+\beta v_{2} \mid \alpha, \beta \in F ; v_{1}, v_{2} \in V\right\} is a subspace of V.)
Solution:सदिश समष्टि की परिभाषा से
\forall \alpha, \beta \in F तथा \forall v_{1}, v_{2} \in V \\ \Rightarrow \alpha v_{1}+\beta v_{2}=S 
इसलिए S \subset V
चूँकि 1 \in F \Rightarrow 1 v=V \in S \Rightarrow S \neq \phi
माना कि w_{1}, w_{2} \in S तथा F के दो अवयव \alpha, \beta का अस्तित्व है कि
w_{1}=\alpha v_{1}, w_{2}=\beta v_{2}\\ \forall \lambda, \mu \in F  के लिए

\lambda w_{1}+\mu w_{2}=\lambda\left(\alpha v_{1}\right)+\mu\left(\beta v_{2}\right) \\ =(\lambda \alpha) v_{1}+(\mu \beta) v_{2} \in S
जहाँ \lambda \alpha, \mu \beta \in F
अतः S(F),V(F) की उपसमष्टि है।

Vector Subspace in Algebra

Example:3.सिद्ध कीजिए कि समुच्चय W=\{(a, b, 0) \mid a, b \in F\} सदिश समष्टि V_{3}(F) का एक उपसमष्टि है।
(Prove that the set W=\{(a, b, 0) \mid a, b \in F\} is a subspace of vector space V_{3}(F).)
Solution:माना कि w_{1}, w_{2} \in W
तथा w_{1}=\left(a_{1}, b_{1}, 0\right), w_{2}=\left(a_{2}, b_{2}, 0\right)
तब a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2} \in F \\ w_{1}+w_{2}=\left(a_{1}, b_{1}, 0\right)+\left(a_{2}, b_{2}, 0\right) \\ \Rightarrow w_{1}+w_{2}=\left(a_{1}+a_{2}, b_{1}+b_{2}, 0\right) \in W
यदि \lambda, \mu \in F तब

\lambda w_{1}+\mu w_{2} =\lambda\left(a_{1}, b_{1}, 0\right)+\mu\left(a_{2}, b_{2}, 0\right) \\ =\left( \lambda a_{1}, \lambda b_{1}, 0\right)+\left(\mu a_{2}, \mu b_{2}, 0\right) \\ =\left(\mu a_{1}+\mu a_{2}, \lambda b_{1}+\mu b_{2}, 0+0\right) \\ =\left(\lambda a_{1}+\mu a_{2}, \lambda b_{1}+\mu b_{2}, 0\right) \in W
अतः \lambda a_{1}+\mu a_{2}, \lambda b_{1}+\mu b_{2} \in F और इस त्रिक का अन्तिम निर्देशांक शून्य है।
अतः W,सदिश समष्टि V_{3}(F) की उपसमष्टि है।
Example:4.निम्न में से प्रत्येक स्थिति में प्रदर्शित करिए की कौन से समुच्चय W(R) सदिश समष्टि V_{3}(R) का उपसमष्टि है या नहीं:
(For each of the following cases determine whether the set W(R) is a subspace of the vector space V_{3}(R) or not):
4(i):W=\{(x, 0,0) \mid x \in R\}
Solution: W=\{(x, 0,0) \mid x \in R\}
माना कि W के कोई दो अवयव w_{1} तथा w_{2} हैं जहाँ

w_{1}=\left(x_{1}, 0,0\right), w_{2}=\left(x_{2}, 0,0\right)
अब यदि \alpha \in R तब 

w_{1}+w_{2} =\left(x_{1}, 0,0\right)+\left(x_{2}, 0,0\right) \\ =\left(x_{1}+x_{2}, 0,0\right) \in W
साथ ही \alpha w_{1} =\alpha\left(x_{1}, 0,0\right) \\ \Rightarrow \alpha w_{1}=\left(\alpha x_{1}, 0,0\right) \in W
उपर्युक्त से स्पष्ट है कि W सदिश समष्टि V_{3}(F) के सदिश योग w_{1} तथा w_{2} अदिश गुणन के सापेक्ष संवृत है।
अतः W(R), V_{3}(R) का एक सदिश समष्टि है।
4(ii): W=\{(x, 2 y, 3 z) \mid x, y, z \in R\}
Solution: W=\{(x, 2 y, 3 z) \mid x, y, z \in R\}
माना कि W के कोई दो अवयव W_{1} तथा W_{2} हैं जहाँ

w_{1}=\left(x_{1}, 2 y_{1}, 3 z_{1}\right), w_{2}=\left(x_{2}, 2 y_{2}, 3 z_{2}\right)
अब यदि \alpha \in R  तब

w_{1}+w_{2}=\left(x_{1}, 2 y_{1}, 3 z_{1}\right)+\left(x_{2}, 2 y_{2}, 3 z_{2}\right)\\ =\left(x_{1}+x_{2}, 2\left(y_{1}+y_{2}\right), 3\left(z_{1}+z_{2}\right)\right) \in W
साथ ही \alpha w_{1}=\alpha\left(x_{1}, 2 y_{1}, 3z_{1}\right)\\ =\left(\alpha x_{1}, 2 \alpha y_{1}, 3 \alpha z_{1}\right) \in W
उपर्युक्त से स्पष्ट है कि W सदिश समष्टि V_{3}(F) के सदिश योग तथा अदिश गुणन के सापेक्ष संवृत है।
अतः W(R), का एक सदिश समष्टि है।
4(iii): W=\{(x, 0, y) \mid x, y \in R\}
Solution: W=\{(x, 0, y) \mid x, y \in R\}
माना कि W के कोई दो अवयव w_{1} तथा w_{2} हैं जहाँ

w_{1}=\left(x_{1}, 0, y_{1}\right), w_{2}=\left(x_{2}, 0, y_{2}\right)
अब यदि \alpha \in R  तब

w_{1}+w_{2} =\left(x_{1}, 0, y_{1}\right)+\left(x_{2}, 0, y_{2}\right) \\ =\left(x_{1}+x_{2}, 0+0, y_{1}+y_{2}\right) \\ =\left(x_{1}+x_{2}, 0, y_{1}+y_{2}\right) \in W
साथ ही \alpha w_{1} =\alpha\left(x_{1}, 0, y_{1}\right) \\ =\left(\alpha x_{1}, 0, \alpha y_{1}\right) \in W
उपर्युक्त से स्पष्ट है कि W सदिश समष्टि V_{3}(F) के सदिश योग तथा अदिश गुणन के सापेक्ष संवृत है।
अतः W(R),V_{3}(R) का एक सदिश समष्टि है।
4(iv): W=\{(x+2 z, x-3 z, z) \mid x, z \in R\}
Solution: W=\{(x+2 z, x-3 z, z) \mid x, z \in R\}
माना कि W के कोई दो अवयव w_{1} तथा w_{2} हैं जहाँ
w_{1}=\left(x_{1}+2 z_{1}, x_{1}-3 z_{1}, z_{1}\right) तथा

w_{2}=\left(x_{2}+2 z_{2}, x_{2}-3 z_{2}, z_{2}\right)
अब यदि \alpha \in R तब

w_{1}+w_{2}=\left(x_{1}+2 z_{1}, x_{1}-3 z_{1}, z_{1}\right)+\left(x_{2}+2 z_{2},x_{2}+3 z_{2}, z_{2}\right) \\ =\left(x_{1}+2 z_{1}+x_{2}+2 z_{2}, x_{1}-3 z_{1}+x_{2}-3 z_{2}, z_{1}+z_{2}\right) \\ =\left(x_{1}+x_{2} +2\left(z_{1}+z_{2}\right), x_{1}+x_{2}-3\left(z_{1}+z_{2}\right), z_{1}+z_{2}\right) \in W
साथ ही \alpha W_{1} =\alpha\left(x_{1}+2 z_{1}, x_{1}-3 z_{1}, z_{1}\right) \\ =\left(\alpha\left(x_{1}+2 z_{1}\right), \alpha\left(x_{1}-3 z_{1}\right), \alpha z_{1}\right) \\ =\left(\alpha x_{1}+2\left(\alpha z_{1}\right), \alpha x_{1}-3\left(\alpha z_{1}\right), \alpha z_{1}\right) \in W
उपर्युक्त से स्पष्ट है कि W सदिश समष्टि V_{3}(F) के सदिश योग तथा अदिश गुणन के सापेक्ष संवृत है।
अतः W(R),V_{3}(R) का एक सदिश समष्टि है।
4(v): W=\{(x, y, z) \mid \sqrt{2} x=\sqrt{3} y ; x, y, z \in R\}
Solution: W=\{(x, y, z) \mid \sqrt{2} x=\sqrt{3} y ; x, y, z \in R\} \\ V_{3}=\{(x, y, z) \mid x, y, z \in R\}
तथा W=\{(x, y, z) \mid \sqrt{2} x=\sqrt{3} y ; x, y, z \in R\}
W(R), V_{3}(R) की उपसमष्टि सिद्ध करना है।
माना w_{1}=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right) \in W तथा  w_{2}=\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right) \in W \\ \Rightarrow \sqrt{2} x_{1}=\sqrt{3} y_{1} तथा \sqrt{2} x_{2}=\sqrt{3} y_{2}
अब यदि \alpha, \beta \in R तो

\alpha w_{1}+\beta w_{2} =\alpha\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)+\beta\left(x_{2}, y_{2} z_{2}\right) \\ =\alpha\left(\sqrt{\frac{3}{2}} y_{1}, y_{1}, z_{1}\right)+\beta\left(\sqrt{\frac{3}{2}} y_{2}, y_{2}, z_{2}\right) \\ =\left(\alpha \sqrt{\frac{3}{2} }y_{1}+\beta \sqrt{\frac{3}{2}} y_{2}, \alpha y_{1}+\beta y_{2}, \alpha z_{1}+\beta z_{2}\right) \\ =\sqrt{2}\left(\sqrt{\frac{3}{2}} y_{1} \alpha_{1}+\sqrt{\frac{3}{2}} y_{2} \beta\right)-\sqrt{3}\left(\alpha y_{1} +\beta y_{2}\right) \\ =\sqrt{3} y_{1} \alpha+\sqrt{3} y_{2} \beta-\sqrt{3} \alpha y_{1}-\sqrt{3} \beta y_{2} \\ =0
अतः \alpha, \beta \in R तथा w_{1}, w_{2} \in W \Rightarrow \alpha w_{1}+\beta w_{2} \in W
फलतः W(R), सदिश समष्टि V_{3}(R) की उपसमष्टि है।
4(vi): W=\{(a, b, c) \mid a-2 b+3 c=0\}
Solution: W=\{(a, b, c) \mid a-2 b+3 c=0\}
माना कि W के कोई दो अवयव w_{1} तथा w_{2} हैं जहाँ
w_{1}=\left(a_{1}, b_{1}, c_{1}\right)  तथा W_{2}=\left(a_{2}, b_{2}, c_{2}\right) \\ a_{1}-2 b_{1}+3 c_{1}=0 \Rightarrow a_{1}=2 b_{1}-3c_{1} \\ a_{2}-2 b_{2}+3 c_{2}=0 \Rightarrow a_{2}=2 b_{2}-3 c_{2}
अब यदि \alpha, \beta \in R तो

\alpha w_{1}+\beta w_{2}=\alpha\left(a_{1}, b_{1}, c_{1}\right)+\beta\left(a_{2}, b_{2}, c_{2}\right)\\ =\alpha(2 b_{1}-3 c_{1}, b_{1}, c_{1})+\beta\left(2 b_{2}-3 c_{2}, b_{2},c_{2}\right)\\ =2 b_{1} \alpha-3c_{1} \alpha+2 b_{2} \beta-3c_{2} \beta -2\left(b_{1} \alpha+b_{2} \beta\right)+3\left(\alpha c_{1}+\beta c_{2}\right)\\ =2 b_{1} \alpha-3 c_{1} \alpha+2 b_{2} \beta-3c_{2} \beta-2 b_{1} \alpha-2 b_{2} \beta+3 \alpha c_{1}+3 \beta c_{2}\\ =0 \\ \\ \Rightarrow \alpha w_{1}+\beta w_{2}=0
अतः \alpha, \beta \in R तथा w_{1}, w_{2} \in R \Rightarrow \alpha w_{1}+\beta w_{2} \in W
फलतः W(R), सदिश समष्टि V_{3}(R) की उपसमष्टि है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा बीजगणित में सदिश उपसमष्टि (Vector Subspace in Algebra),गणित में सदिश उपसमष्टि (Vector Subspace in Maths) को समझ सकते हैं।

3.बीजगणित में सदिश उपसमष्टि की समस्याएँ (Vector Subspace in Algebra Problems):

Vector Subspace in Algebra

(1.)यह मानकर कि V_{3}(F) सदिश समष्टि है और यदि W=\left\{\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right) \mid a_{1}+a_{2}+a_{3}=0\right\} हो तो सिद्ध करो कि W(F),V(F) की उपसमष्टि है।
(Supposing V_{3}(F) is a vector space and if W=\left\{\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right) \mid a_{1}+a_{2}+a_{3}=0\right\} then prove that W(F) is the subspace of V(F).)
(2.)सिद्ध कीजिए कि समुच्चय

W=\{(x, y, z) \mid x-3 y+4 z=0, x, y, z \in R\}
3-तुपलों के सदिश समष्टि V_{3}(R) की उपसमष्टि है।
(Show that the set

W=\{(x, y, z) \mid x-3 y+4 z=0, x, y, z \in R\}
of 3-tuples is a subspace of the vector space V_{3}(R).)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर बीजगणित में सदिश उपसमष्टि (Vector Subspace in Algebra),गणित में सदिश उपसमष्टि (Vector Subspace in Maths) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.बीजगणित में सदिश उपसमष्टि (Vector Subspace in Algebra),गणित में सदिश उपसमष्टि (Vector Subspace in Maths) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

बीजगणित में सदिश उपसमष्टि (Vector Subspace in Algebra) को जानने से पूर्व सदिश समष्टि को
जानना आवश्यक है।इसलिए सदिश समष्टि को जानने के लिए इससे पूर्व पोस्ट किए गए आर्टिकल को पढ़े।