1.रैखिक बीजगणित में रैखिक रूपान्तरण (Linear Mapping in Linear Algebra),सदिश समष्टि में रैखिक रूपान्तरण (Linear Transformation in Vector Space):

Linear Mapping in Linear Algebra

रैखिक बीजगणित में रैखिक रूपान्तरण (Linear Mapping in Linear Algebra) के इस आर्टिकल में रैखिक प्रतिचित्रण समाकृतिकता तथा उसके गुणधर्म एवं उस पर आधारित प्रमेयों व कुछ उदाहरणों का अध्ययन करेंगे।
प्रमेय (Theorem):7.यदि W एक परिमित विमीय समष्टि V(F) का उपसमुच्चय हो, तो
(If W is a subspace of a finite dimensional vector space,then)
(i)विमा (dim) W \leq  विमा (dim) V
(ii)W=V \Rightarrow  विमा (dim) W=विमा (dim) V
उपपत्ति (Proof):(i)माना कि परिमित विमीय सदिश समष्टि V(F) की विमा n है।साथ ही दिया हुआ है कि W सदिश समष्टि V की एक उपसमष्टि है।
अब dim V=n इसलिए V का (n+1) या (n+1)से अधिक अवयवों का समुच्चय एकघाततः परतन्त्र (L.D.) होगा अर्थात् W में n+1 या इससे अधिक सदिश (अवयव) होंगे तो वह एकघाततः परतन्त्र होंगे।अतः W में अधिकतम n एकघाततः स्वतन्त्र अवयव होंगे।W में सबसे बड़ा एकघाततः स्वतन्त्र सदिशों का समुच्चय माना S=\left\{v_1, v_2, \ldots ,v_{m}\right\} है जहाँ m \leq n
S के W का आधार होने के लिए हमें निम्न सिद्ध करना होगा
(i) W का उपसमुच्चय S एकघाततः स्वतन्त्र है तथा (ii) L(S)=W
माना v \in W तब v, v_1, v_2, \cdots v_m,W के m+1 एकघाततः परतन्त्र सदिश होंगे (क्योंकि W में सबसे बड़ा एकघाततः स्वतन्त्र सदिशों का समुच्चय में केवल m सदिश अवयव हैं)।इसलिए v \in W सदिश का एकघात संचय होगा क्योंकि v_1, v_2, \ldots, v_m एकघाततः स्वतन्त्र हैं
\therefore  W=L(S)
\Rightarrow S समष्टि W का आधार है
\Rightarrow \operatorname{dim} W=m जहाँ m \leq n \\ \Rightarrow \operatorname{dim} W \leq \operatorname{dim} V
(ii) यदि W=V तब W, V का उपसमष्टि है साथ ही V, W का एक उपसमष्टि है।
\Rightarrow \operatorname{dim} W \leq \operatorname{dim} V एवं \operatorname{dim} V \leq \operatorname{dim} W \\ \operatorname{dim} W \leq \operatorname{dim} V
विलोमतः (Conversely):मान लो कि dim W=dim V=n तथा यदि B=\left\{v_1, v_2, \cdots, v_n\right\} सदिश समष्टि W का एक आधार है तब
L(B)=W  …. (1)
क्योंकि समष्टि V के n एकघाततः स्वतन्त्र सदिशों का समुच्चय है इसलिए V को भी जनित करेगा अर्थात्
L(B)=V  …. (2)
अब (1) एवं (2) सेः W=V
फलतः W=V \Rightarrow \operatorname{dim} W \leq \operatorname{dim} V
प्रमेय (Theorem):8.यदि S एवं T किसी सदिश समष्टि V की परिमित विमीय उपसमष्टियाँ हों,तो
विमा S+विमा T=विमा (S+T)+विमा (S \cap T)
(If S and T are finite-dimensional subspace of a vector space,then
dim S+dim T=dim (S+T)+dim (S \cap T)
उपपत्ति (Proof):माना (S \cap T)=k तथा यह भी माना कि समुच्चय
W=\left\{\gamma_1, \gamma_2, \ldots, \gamma_k\right\}, S \cap T का आधार है,तब W \subseteq S ; W \subseteq T
क्योंकि W एकघाततः स्वतन्त्र है तथा W \subseteq S, इसलिए W को हम इस तरह विस्तृत करते हैं कि वह S का आधार हो जाये।मानलो

=\left\{\gamma_1, \gamma_2, \ldots, \gamma_k ; \alpha_1, \alpha_{2,}, \ldots, \alpha_m\right\}
S का आधार है, तो विमा S=k+m. इसी प्रकार माना

\left\{\gamma_1, \gamma_2, \ldots, \gamma_k ; \beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_n\right\}
T का आधार है तो विमा T=k+n;
विमा S+विमा T-विमा (S \cap T)=(m+k)+(n+k)-k
=m+n+k
अतः प्रमेय को सिद्ध करने के लिए हमें निम्न को सिद्ध करना होगाः
विमा (S+T)=m+n+k
उपर्युक्त दोनों आधारों का विलय करने पर हमें समुच्चय

W_1=\left\{\gamma_1, \gamma_2, \ldots, \gamma_k ; \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m ; \beta_1, \beta_2,\ldots, \beta_m\right\}
प्राप्त होता है जिसमें k+m+n सदिश (अवयव) हैं।अब हम सिद्ध करेंगे कि यह समुच्चय S+T का आधार है
सर्वप्रथम हम यह प्रदर्शित करेंगे कि एकघाततः स्वतन्त्र है।यदि

c_1 \gamma_1+c_2 \gamma_2+\cdots+c_k \gamma_{k}+a_1 \alpha_1+a_2 \alpha_2+\cdots+a_n \alpha_m+b_1 \beta_1+b_2 \beta_2+\cdots+b_n \beta_n=0 \\ \Rightarrow \sum_{i=1}^n b_i \beta_i=-\sum_{i=1}^k c_i \gamma_i-\sum_{i=1}^m a_i \alpha_i
अब -\sum_{i=1}^k c_i \gamma_i-\sum_{i=1}^m a_i \alpha_i \in S
क्योंकि यह S के आधार पर एकघाततः संचय है।
तथा b_1 \beta_1+b_2 \beta_2+ \ldots+b_n \beta_n=\sum_{i=1}^n b_i \beta_i \in T ,
क्योंकि यह T के आधार के अवयवों का एकघाततः संचय है।
(1) से स्पष्ट है कि इसका दाहिना पक्ष \sum_{i=1}^n b_i \beta_i \in S
अतः \sum_{i=1}^n b_i \beta_i \in S \in T
इसलिए इसको S \cap T के अवयवों के एकघाततः संचय में व्यक्त किया जा सकता है।अतः एक सम्बन्ध निम्न प्रकार का होगाः

b_1 \beta_1+b_2 \beta_2+\cdots+b_n \beta_n=d_1 \gamma_1+d_2 \gamma_2+\cdots+d_k \gamma_k \\ \Rightarrow b_1 \beta_1+b_2 \beta_2+\cdots+b_n \beta_n-d_1 \gamma_1-d_2 \gamma_2-\ldots-d_k \gamma_k=0
परन्तु \beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_n ; \gamma_1, \gamma_2, \ldots, \gamma_k एकघाततः स्वतन्त्र है।
इसलिए b_1=b_2=\ldots =b_n=0
b_{i}^{\prime} Sके इन मानों को (1) में प्रतिस्थापित करने परः

c_1 \gamma_1+c_2 \gamma_2+\ldots+c_k \gamma_k+a_1 \alpha_1+a_2 \alpha_2+\ldots+a_n \alpha_n=0 \\ \Rightarrow c_1=c_2=c_3=\cdots=c_k=0, a_1=a_2=a_3 \ldots a_m=0,
क्योंकि सदिश एकघाततः स्वतन्त्र हैं।
अतः सम्बन्ध (1) सेः

c_1=0, c_2=0,\ldots, c_k=0 ; a_1=0, a_2=0, \ldots a_m=0 ; b_{1}=0, b_2=0,\ldots=b_n=0 \\ \therefore  W_{1}, जिसके सदिश \gamma_1, \gamma_2,\ldots ,\gamma_k;\alpha_{1}, \alpha_2, \ldots, \alpha_m है, एकघाततः स्वतन्त्र हैं।
अब L(W_{1})=S+T सिद्ध करने के लिए S+T, V की उपसमष्टि है तथा W_{1} का प्रत्येक अवयव S+T का अवयव है इसलिए

L\left(W_1\right) \subseteq S+T \cdots(1)
पुनः \alpha, S+T का कोई भी एक अवयव है, तब
\alpha=S का कोई अवयव + T का कोई अवयव
=S के आधार के अवयवों का एकघाततः संचय +T के आधार के अवयवों का एकघाततः संचय
=W_{1} के अवयवों का एकघाततः संचय
\therefore \alpha \in L\left(W_1\right), अतः S+T \subseteq L\left(W_1\right) \cdots(2)
(1) तथा (2) सेः L\left(W_1\right)=S+T
फलतः S+T का आधार W_1 है
विमा (S+T)=k+m+n
अतः विमा S+विमा T=विमा (S+T) +विमा
प्रमेय (Theorem):9.यदि U(F) का V(F) में समाकृतिकता f है, तब
(i) f(0)=0′ जहाँ 0 तथा 0′,U तथा V के क्रमशः शून्य सदिश हैं।
(ii) f(-u)=-f(u),\forall u \in U
(If f is homomorphism of U(F) into V(F),then
(i)f(0)=0′; where 0 and 0′ are the zero vectors of U and V respectively
(ii) f(-u)=-f(u) \forall u \in U
उपपत्ति (Proof):(i) माना u \in U तब f(u) \in V, क्योंकि V का शून्य सदिश 0′ है;
अब V, + के सापेक्ष आबेली ग्रुप है इसलिए वाम काटनीय नियम के अनुसार
f(u)+0’=f(u)+f(0) \Rightarrow 0’=f(0)
(ii) यदि u \in U,तब -u \in U साथ ही
0’=f(0)=f[u+(-u)]=f(u)+f(-u)
अब f(u)+f(-u)=0′ \Rightarrow f(-u),f(u) का योजक विलोम है

\Rightarrow f(-u)=-f(u)
प्रमेय (Theorem):10.माना कि U(F) तथा V(F) दो सदिश समष्टि हैं,तब प्रतिचित्रण f: U \rightarrow V रैखिक प्रतिचित्रण होगा,यदि और केवल यदि
(Let U(V) and V(F) be two vector spaces,then f: U \rightarrow V is a linear mapping, iff

f\left(\alpha u_1+\beta u_2\right)=\alpha f\left(u_1\right)+\beta f\left(u_2\right)_1 \forall u_{1}, u_2 \in U
तथा (and) \forall \alpha, \beta \in F
उपपत्ति (Proof):माना कि प्रतिचित्रण f: U \rightarrow V एक रैखिक प्रतिचित्रण है।
क्योंकि U(F) एक सदिश समष्टि है, इसलिए
\forall u_1, u_2 \in U, \alpha, \beta \in F \Rightarrow \alpha u_1+\beta u_2 \in U \\ f \left(\alpha u_1+\beta u_2\right)=f\left(\alpha u_1\right)+f\left(\beta u_2\right) [परिभाषा]
=\alpha f\left(u_{1}\right)+\beta f\left(u_2\right)[रैखिक प्रतिचित्रण की परिभाषा]
विलोमतः (Conversely):यदि f\left(\alpha u_1+\beta u_2\right)=\alpha f\left(u_1\right)+ \beta\left(u_2\right)
अब यदि \alpha=\beta=1 \in F , तब

f\left(u_1+u_2\right)=f\left(1 \cdot u_1+1 \cdot u_2\right)=1 \cdot f\left(u_1\right)+1 \cdot f \left(u_2\right)
पुनः यदि \alpha \neq 1 तथा \beta=0 तब

f\left(\alpha u_1+0 u_2\right)=\alpha f\left(u_1\right)+0 f\left(u_2\right) \\ \Rightarrow f\left(\alpha u_1+0\right)=\alpha f\left(u_1\right)+0 \\ \Rightarrow f\left(\alpha u_1\right)=\alpha f\left(u_1\right)
अतः f: u \rightarrow V रैखिक प्रतिचित्रण है।
प्रमेय (Theorem):11.प्रत्येक सदिश समष्टि समाकृतिकता की अष्टि उपसमष्टि होती है।
(Kernel of a linear transformation is a subspace.)
उपपत्ति (Proof):मानलो कि V(F) तथा W(F) दो समष्टियाँ हैं, प्रतिचित्रण f: V \rightarrow W एक समाकृतिकता है तथा K(F) इसकी समष्टि है तब 0 \in K(F)
यहाँ f(K)=0′,क्योंकि f(0)=0′ जहाँ V तथा W के शून्य सदिश क्रमशः 0,0′ हैं।इसलिए K(F) \neq \phi
माना कि  \alpha, \beta \in F तथा v_1, v_2 \in K(F) तब 
f\left(v_1\right)=f\left(v_2\right)=0^{\prime} K(F) की परिभाषा
तथा f\left(\alpha v_1+\beta v_2\right)=f\left(\alpha v_1\right)+f\left(B v_2\right) \\ =\alpha f\left(v_1\right)+\beta f\left(v_2\right) \\ =\alpha 0^{\prime}+\beta 0^{\prime}=0^{\prime}+0^{\prime} =0^{\prime} \\ \Rightarrow \alpha v_1+\beta v_2 \in K(F) \\ v_1, v_2 \in K(F)
अब \alpha, \beta \in F, v_1, v_2 \in K(F) तथा \alpha V_1+\beta V_2 \in K(F)
इसलिए K(F),V(F) की उपसमष्टि है।
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2.रैखिक बीजगणित में रैखिक रूपान्तरण के साधित उदाहरण (Linear Mapping in Linear Algebra Solved Examples):

Example:1.किसी फील्ड F पर यदि F(x) सदिश समष्टि, अनिर्धारित x में सब बहुपदों के समुच्चयों को निरूपित करता हो, तब निम्न प्रतिचित्रण

f: F(x) \rightarrow F(x)
जहाँ f\left(a_0+a_1 x+\ldots+a_{n} x^n\right)=a_1+2 a_2 x+\ldots+n a_n x^{n-1}
तब सिद्ध कीजिए कि सदिश समष्टि F(x) का स्वयं में समाकृतिकता होगा।
(If F[x] be a vector space of polynomials in the indeterminate x with coefficients from F. A function f: F(x) \rightarrow F(x) is defined by

f\left(a_0+a_1 x+\ldots+a_{n} x^n\right)=a_1+2 a_2 x+\ldots+n a_n x^{n-1}
then prove that f is the linear transformation from F(x) into itself.)
Solution:f एकैकी है
माना कि a=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots+a_n x^n \\ b=b_0+b_{1} x+b_2 x^2+\cdots+b_1 x^n \\ a, b \in F(x)
तब f(a)=f(b) \\ \Rightarrow a_1+2 a_2 x+3 a_{3} x^2+\ldots+n a_n x^{n-1}=b_1+2 b_2 x+3 b_{3} x^2+\ldots+n b_n x^{n-1} \\ \Rightarrow a_1=b_1, a_2=b_2, a_3=b_3, \ldots a_n=b_n
f एकैकी प्रतिचित्रण है।
f आच्छादक हैः
चूँकि a_1+2 a_2 x+\cdots+n a_n x^{n-1} \in F(x) के लिए a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots+a_{n} x^n \in F(x) में ऐसा अवयव विद्यमान होगा कि 
f\left(a_0+a_1 x+\ldots+a _n x^n\right)=a_1+2 a_2 x+3 a_3 x^2+\ldots+n a_{n} x^{n-1} \\ \therefore f आच्छादक है।
f(x) के कोई दो अवयव a तथा b के लिए

f(a \alpha+b \beta)=F\left[a_1\left(a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots+a_n x^n\right)+\beta\left(b_0+b_1 x+b_2 x^2+\cdots+b_n x^n\right)\right] \\ =f\left[\left(a_0 \alpha+b_0 \beta\right)+\left(a_1 \alpha+b_1 \beta\right) x+\left(a_2 \alpha +\beta b_2\right) x^2+\ldots+\left(\alpha a_n+\beta b_n\right) x^n\right] \\ = \left(a_1 \alpha+b_1 \beta\right)+2\left(\alpha a_2+\beta b_2\right) x+3\left(\alpha a_{3}+\beta b_3\right) x^2 +\cdots+n\left(\alpha a_n+\beta b_n\right) x^{n-1} \\ =\alpha\left(a_1+2 a_2 x+3 a_3 x^2+\cdots+n a_n x^{n-1}\right)+ \beta\left(b_1+2 b_2 x+3 a_3 x^2+\cdots+n b_n x^{n-1}\right) \\ =\alpha F(a)+\beta F(b) \\ \Rightarrow f(a \alpha+b \beta)=\alpha F(a)+b F(b)
अतः प्रतिचित्रण f, F(x) से स्वयं पर समाकृतिकता है।
Example:2.यदि प्रतिचित्रण t : V(F) \rightarrow V^{\prime}(F) एकैकी आच्छादक रैखिक प्रतिचित्रण हो तो सिद्ध कीजिए कि t^{-1} : v^{\prime} \rightarrow v भी रैखिक प्रतिचित्रण होगा।
(If the mapping t : V(F) \rightarrow V^{\prime}(F) is one-one onto linear mapping then show that  t^{-1} : v^{\prime} \rightarrow v will also be a linear mapping.)
Solution:माना कि तथा ऐसे अवयव हैं कि
t(x)=u तथा t(y)=v  ….. (1)
t^{-1}(u)=x तथा t^{-1}(v)=y ……(2)
दिया हुआ है कि t एकैकी आच्छादक रैखिक प्रतिचित्रण है इसलिए t^{-1} का अस्तित्व होगा तथा एकैकी एवं आच्छादक होगा।
अब t(x+y)=t(x)+t(y)=u+v \\ \Rightarrow x+y=t^{-1}(u+v) \\ \Rightarrow t^{-1}(u)+t^{-1}(v)=t^{-1}(u+v) \cdots(3)
तथा t(\alpha x)=\alpha t(x) \forall \alpha \in F \\ =\alpha u \\ \Rightarrow \alpha x=t^{-1}(\alpha u) \Rightarrow \alpha t^{-1}(u)=t^{-1}(\alpha u) \\ \Rightarrow t^{-1}(\alpha u)=\alpha t^{-1}(u) \cdots(4)
अतः (3) तथा (4) से t^{-1} रैखिक प्रतिचित्रण है।

Linear Mapping in Linear Algebra

Example:3.सिद्ध कीजिए कि प्रतिचित्रण t: V_3(R) \rightarrow V_2(R) जहाँ t(a, b, c) =(c, a+b) एक रैखिक प्रतिचित्रण है
(Show that the t: V_3(R) \rightarrow V_2(R) mapping where t(a, b, c)=(c, a+b) is a linear transformation.)
Solution:माना कि u=\left(a_1, b_1, c_1\right) ,v=\left(a_2, b_2, c_2\right)
तथा \alpha, \beta \in R तब

\Rightarrow t (\alpha u+V \beta)=t\left[\alpha\left(a_1, b_1, c_1\right)+\beta\left(a_2, b_2, c_2 \right)\right] \\ =t\left(\alpha a_1+\beta a_2, \alpha b_1+\beta b_2, \alpha c_1+\beta c_2\right) \\ =\left(\alpha c_1+\beta c_2, \alpha a_1+\beta a_2+\alpha b_1+\beta b_2\right) \\ =\left(\alpha c_1, \alpha a_1+\alpha b_1\right)+\left(\beta c_2, \beta a_2+\beta b_2\right) \\=\alpha\left(c_1, a_1+b_1\right) +\beta\left(c_2, a_2+b_2\right) \\ \Rightarrow t\left(\alpha u+V B\right) =\alpha t(u)+\beta t(V)
फलतः t समष्टि V_3 से V_2 पर रैखिक रूपान्तरण है।
Example:4.यदि B=\left\{v_1, v_2, \ldots, v_n\right\} सदिश समष्टि V(F) का एक समुच्चय है तो दर्शाइए कि फलन L_B: F^n \rightarrow v, L_B\left(a_1, a_2, \ldots, a n\right) =a_1 v_1+a_2 v_2+\cdots+ a_n v_n एक रैखिक रूपान्तरण है।साथ ही दर्शाइए कि B सदिश समष्टि V(F) का एक आधार समुच्चय है, यदि और केवल यदि L_B एक तुल्यकारिता है।
(Let B=\left\{v_1, v_2, \ldots, v_n\right\} be a set of vectors in V(F).Show that a mapping L_B: F^n \rightarrow v, L_B\left(a_1, a_2, \ldots, a n\right) =a_1 v_1+a_2 v_2+\cdots+a_n v_n, given by is a linear transformation. Also show that B is a basis for V(F), iff L_B is an isomorphism.)
Solution:माना u=\left\{q_1, u_2, \ldots u_n\right\} तथा v=\left\{v_1, v_2, \ldots v_n\right\} जहाँ u, v \in F^{n} \\ L_B\left(u_1, u_2,\ldots,u_n\right)=a_1 u_1+a_2 u_2+\cdots+a_n u_n
तथा L_B\left(v_1, v_2, \ldots,v_n\right)=a_1 v_1+a_2 v_2+\cdots a_n v_n \\ L_B(\alpha u+\beta v)= L_B\left[\alpha\left(u_1, u_2, \ldots u_n\right)+\beta\left(v_1, v_2, \ldots,v_n\right]\right] \\ = L_B \left[\alpha \left(\alpha u_1, \alpha u_2, \ldots,\alpha u_n\right)+\left(\beta v_1, \beta v_2, \ldots,\beta v_n\right)\right] \\ = L_B\left( \alpha u_1+\beta v_1, \alpha u_2+\beta v_2, \ldots, \alpha u_n+\beta v_n\right) \\ =a_1\left(\alpha u_1+\beta v_1\right)+a_2\left(\alpha u_2+\beta v_2\right)+\ldots+ a_n\left(\alpha u_n+\beta v_n\right) \\ \Rightarrow \left(a_1 \alpha u_1+a_2 \alpha u_2+\cdots+a_n \alpha u_n\right)+\left(a_1 \beta v_1+a_2 \beta v_2+\cdots+a_n \beta v_n\right) \\ =\alpha\left(a_1 u_1+a_2 u_2+\cdots+a_n u_n\right)+\beta\left(a_{v_1}+a_2 v_2+\cdots+a_n v_n\right) \\ = \alpha L_B\left(u\right) +\beta L_B(v) \\ \Rightarrow L_B(\alpha u+B v)=\alpha L_B(u)+\beta L_B(v)
अतः L_B समष्टि f^{n} से V पर रैखिक रूपान्तरण है।
माना सदिशों का समुच्चय \left(u_1, u_2, u_3+\ldots, u_{n}\right) तथा \left(v_1, v_2, v_3, \ldots, v_n\right), u तथा v का आधार है।
L_B एकैकी हैः

\Rightarrow L_B\left(u_1, u_2, u_3 \ldots u_n\right)=L_B\left(v_1, v_2, v_3,\ldots ,v_n\right) \\ \Rightarrow a_1 u_1+a_2 u_2+a_3 u_3+\cdots+a_n u_n=a_1 v_1+a_2 v_2 +a_3 v_3+\cdots+a_n v_n \\ \Rightarrow a_1\left(u_1-v_1\right)+a_2\left(u_2-v_2\right)+a_3\left(u_3-v_3\right)+\cdots+a_n\left(u_n-v_n\right)=\left(0,0,0, \cdots,0\right) \\ \Rightarrow u_1-v_1=0, u_2-v_2=0, u_3-v_3=0, \cdots, u_n-v_n=0 \\ \Rightarrow u_1=v_1, u_2=v_2, u_3=v_{3},\ldots, u_n=v_n \\ \therefore  L_B एकैकी है।
L_B आच्छादक है यदि a_1 v_1+a_2 v_2+\cdots+a_n v_n, V का अवयव है तब L_B\left(v_1, v_2, v_3 ,\ldots,v_n\right) में ऐसा अवयव विद्यमान होगा कि

L_B\left(v_1, v_2, v_3 \ldots v_n\right)=a_1 v_1+a_2 v_2+a_3 v_3+\cdots+a_n v_n \\ L_B आच्छादक है।

\because L_B\left(\alpha u+\beta v\right)=\alpha L_B(u)+\beta L_B(v)
अतः L_B रैखिक रूपान्तरण है।
विलोमतः (Conversely):
यदि L_B , F^n से V पर तुल्यकारिता है तब
माना S^{\prime}=\left\{f\left(v_1\right), f\left(v_2\right), \ldots f\left(v_n\right)\right\} \\ a_1 f\left(v_1\right)+a_2 f\left(v_2\right)+\cdots+a_n f\left(v_n\right)=0^{\prime}  [V का शून्य सदिश]
\Rightarrow L_B \left(a_1 v_1+a_2 v_2+\cdots+a_n v_n\right)=0^{\prime} [L_B रैखिक रूपान्तरण है]
\Rightarrow a_1 v_1+a_2 v_{2}+\cdots+a_n v_n=0 [L_B एकैकी है तथा L_B(0)=0^{\prime} जहाँ 0, f^{n} का शून्य सदिश है।]
\Rightarrow a=0, a_2=0, \cdots, a_n=0 जबकि v_1, v_{2,}, \cdots, v_n
रैखिक स्वतन्त्र है।
\therefore  S’ रैखिक स्वतन्त्र है।
u \in F^n तथा v \in V \Rightarrow f(u)=V
माना u=\left(u_1, u_2, u_3-u_n\right)=a_1 u_1+a_2 u_2+\cdots+a_n u_n
तथा v=f(u)=f\left(a_{1} u_1+a_2 u_2+a_{n} u_{n}\right) \\ v=a_1 f\left(u_1\right)+a_2 f\left(u_2\right) + \ldots+a_{n} f\left(u_n\right)
अतः v, सदिश S’ का रैखिक संचय है।
अतः S’, V का आधार है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा रैखिक बीजगणित में रैखिक रूपान्तरण (Linear Mapping in Linear Algebra),सदिश समष्टि में रैखिक रूपान्तरण (Linear Transformation in Vector Space) को समझ सकते हैं।

3.रैखिक बीजगणित में रैखिक रूपान्तरण की समस्याएँ (Linear Mapping in Linear Algebra Problems):

Linear Mapping in Linear Algebra

(1.)दर्शाइए कि प्रतिचित्रण T : (a,b)\rightarrow (a+2,b+3) v_{2}(R) का स्वयं पर रैखिक रूपान्तरण नहीं है।
(Show that the mapping T : (a,b)\rightarrow (a+2,b+3) of v_{2}(R)  into itself is not a linear transformation.)
(2.)सिद्ध कीजिए कि प्रतिचित्रण T : R^2 \rightarrow R^3 जो T(a,b)= (a-b,b-a,-a) द्वारा परिभाषित है, रैखिक रूपान्तरण है।
(Show that the map T : R^2 \rightarrow R^3 defined by T(a,b)= (a-b,b-a,-a) is a linear transformation.)

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4.रैखिक बीजगणित में रैखिक रूपान्तरण (Frequently Asked Questions Related to Linear Mapping in Linear Algebra),सदिश समष्टि में रैखिक रूपान्तरण (Linear Transformation in Vector Space) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

रैखिक बीजगणित में रैखिक रूपान्तरण (Linear Mapping in Linear Algebra) के इस
आर्टिकल में रैखिक प्रतिचित्रण समाकृतिकता तथा उसके गुणधर्म एवं उस पर