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Exact differential equations

1.यथातथ (यथार्थ)अवकल समीकरण (Exact differential equations)-

यथातथ (यथार्थ)अवकल समीकरण (Exact differential equations) वे अवकल समीकरण होते हैं जिन्हें इनके पूर्वग से बिना किसी ओर परिवर्तन के अवकलन द्वारा व्युत्पन्न किया जा सके।
उदाहरणतः x+y\left( \frac { dx }{ dy } \right) =0 एक यथातथ अवकल समीकरण है क्योंकि इसके पूर्वग xy=c का अवकलन करने से प्राप्त किया जा सकता है।
प्रमेय(Theorem)-Mdx+Ndy=0
जहां M तथा N ,x व y के फलन हैं।इस अवकल समीकरण के यतातथ (यथार्थ)अवकल समीकरण (Exact differential equations) के लिए आवश्यक प्रतिबन्ध है-

\frac { \partial M }{ \partial y } =\frac { \partial N }{ \partial x }

प्रमाण (Proof)-
(1.) आवश्यक प्रतिबन्ध (Necessary Condition)-
यदि Mdx+Ndy=0 ……….(1)
एक यथातथ (यथार्थ)अवकल समीकरण (Exact differential equations) है तो माना इसका पूर्वग है-

f(x,y)=c …………(2)
अवकलन करने पर-

\frac { \partial f }{ \partial x } dx+\frac { \partial f }{ \partial y } dy=0....(3)
परिभाषा से यह (1) के समान होना चाहिए।

M=\frac { \partial f }{ \partial x } .......(4)\\ N=\frac { \partial f }{ \partial y } ......(5)
(4) व (5) का x व y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac { \partial M }{ \partial y } =\frac { { \partial }^{ 2 }f }{ \partial y\partial x } ,\frac { \partial N }{ \partial x } =\frac { { \partial }^{ 2 }f }{ \partial x\partial y } \\ \frac { { \partial }^{ 2 }f }{ \partial y\partial x } =\frac { { \partial }^{ 2 }f }{ \partial x\partial y }
इसलिए \frac { \partial M }{ \partial y } =\frac { \partial N }{ \partial x }
(2.)पर्याप्त प्रतिबन्ध (Sufficient condition):
यदि \frac { \partial M }{ \partial y } =\frac { \partial N }{ \partial x } सत्य है तो
हमें सिद्ध करना है कि Mdx+Ndy=0 एक यथातथ (यथार्थ)अवकल समीकरण (Exact differential equations) है।
माना कि \int { Mdx } =u\left( x,y \right) .....(6)
तब \left( \frac { \partial U }{ \partial x } \right) =M
तथा\frac { { \partial }^{ 2 }U }{ \partial y\partial x } =\frac { \partial M }{ \partial y } =\frac { \partial N }{ \partial x } [प्राकल्पना द्वारा]
या \frac { \partial N }{ \partial x } =\frac { \partial }{ \partial x } \left( \frac { \partial U }{ \partial y } \right)

अब x के सापेक्ष,y को स्थिर मानते हुए,समाकलन करने पर-

N=\left( \frac { \partial U }{ \partial y } \right) +{ V }^{ \prime }\left( y \right) ....(7)

जहां { v }^{ \prime }\left( y \right) \left[ =\frac { dV }{ dy } \right] , केवल y का एक स्वेच्छ फलन है।
इसलिए Mdx+Ndy=\frac { \partial U }{ \partial x } dx+\left[ \frac { \partial U }{ \partial y } +{ V }^{ \prime }\left( y \right) \right] dy\\ =\left[ \frac { \partial U }{ \partial x } dx+\frac { \partial U }{ \partial y } dy \right] +\frac { dV }{ dy } .dy\\ =dU+dV\\ =d\left[ U\left( x,y \right) +{ V }\left( y \right) \right] ....(8)
इससे सिद्ध होता है कि Mdx+Ndy एक यथातथ (यथार्थ)अवकल समीकरण (Exact differential equations) है।अब इस अवकल समीकरण का हल होगा।

\int { \left( Mdx+Ndy \right) } =c

जिसको समीकरण (8) की सहायता से निम्न प्रकार लिख सकते हैं-

\int { d\left[ U\left( x,y \right) +{ V }\left( y \right) \right] } =c
अथवा U\left( x,y \right) +{ V }\left( y \right) =c......(9)

समीकरण ( 6) से U\left( x,y \right) =\int { Mdx } ......(10)

तथा (7) से { V }\left( y \right) =\int { \left( N-\frac { \partial U }{ \partial y } \right) dy } ......(11)

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2.यथातथ (यथार्थ)अवकल समीकरण (Exact differential equations) पर आधारित उदाहरण-

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations:):
Example-1.xdx+ydy+\frac { xdy-ydx }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } =0
Solutionxdx+ydy+\frac { xdy-ydx }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } =0\\ \Rightarrow \left( x-\frac { y }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \right) dx+\left( y+\frac { x }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \right) dy=0\\ M=x-\frac { y }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } ,N=y+\frac { x }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \\ \frac { \partial M }{ \partial y } =-\frac { \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) .1-y.2y }{ { \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) }^{ 2 } } \\ =-\frac { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }{ { \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) }^{ 2 } } \\ \frac { \partial N }{ \partial x } =-\frac { \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) .1-x.2x }{ { \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) }^{ 2 } } \\ =-\frac { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 }-2{ x }^{ 2 } }{ { \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) }^{ 2 } } \\ =-\frac { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }{ { \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) }^{ 2 } } \\ \therefore \frac { \partial M }{ \partial y } =\frac { \partial N }{ \partial x }
अवकल समीकरण (1),एक यथातथ (यथार्थ)अवकल समीकरण (Exact differential equations) है। अतः अवकल समीकरण का हल होगा-

(1.)U\left( x,y \right) =\int { Mdx } \\ =\int { \left( x-\frac { y }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \right) dx } \\ =\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } -y.\frac { 1 }{ y } \tan ^{ -1 }{ \left( \frac { x }{ y } \right) } \\ U\left( x,y \right) =\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } -\tan ^{ -1 }{ \left( \frac { x }{ y } \right) }

(2.)\left( \frac { \partial U }{ \partial y } \right) =-\frac { 1 }{ 1+\frac { { x }^{ 2 } }{ { y }^{ 2 } } } \left( -\frac { x }{ { y }^{ 2 } } \right) \\ =\frac { x }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } }

(3.)N-\frac { \partial U }{ \partial y } =y+\frac { x }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } -\frac { x }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \\ =y

(4.){ V }\left( y \right) =\int { \left( N-\frac { \partial U }{ \partial y } \right) dy } \\ =\int { y } dy\\ =\frac { { y }^{ 2 } }{ 2 }

अतः दिए हुए यथातथ (यथार्थ)अवकल समीकरण (Exact differential equations) का हल होगा-

U\left( x,y \right) +{ V }\left( y \right) ={ C }_{ 1 }\\ \Rightarrow \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } -\tan ^{ -1 }{ \left( \frac { x }{ y } \right) } +\frac { { y }^{ 2 } }{ 2 } ={ C }_{ 1 }\\ \Rightarrow { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }-2\tan ^{ -1 }{ \left( \frac { x }{ y } \right) } =c

Example-2.\left( { x }^{ 2 }-ay \right) dx=\left( { ax-y }^{ 2 } \right) dy

Solution\left( { x }^{ 2 }-ay \right) dx=\left( { ax-y }^{ 2 } \right) dy\\ \Rightarrow \left( { x }^{ 2 }-ay \right) dx+\left( { y }^{ 2 }-ax \right) dy=0....(1)\\ M=\left( { x }^{ 2 }-ay \right) ,N=\left( { y }^{ 2 }-ax \right) \\ \frac { \partial M }{ \partial y } =-a\\ \frac { \partial N }{ \partial x } =-a\\ \therefore \frac { \partial M }{ \partial y } =\frac { \partial N }{ \partial x }
अवकल समीकरण (1),एक यथातथ (यथार्थ)अवकल समीकरण (Exact differential equations) है। अतः अवकल समीकरण का हल होगा-

(1.)U\left( x,y \right) =\int { Mdx } \\ =\int { \left( { x }^{ 2 }-ay \right) dx } \\ =\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } -axy

(2.)\left( \frac { \partial U }{ \partial y } \right) =-ax

(3.)N-\frac { \partial U }{ \partial y } ={ y }^{ 2 }-ax+ax\\ ={ y }^{ 2 }

(4.){ V }\left( y \right) =\int { \left( N-\frac { \partial U }{ \partial y } \right) dy } \\ =\int { { y }^{ 2 } } dy\\ =\frac { { y }^{ 3 } }{ 3 }

अतः दिए हुए यथातथ (यथार्थ)अवकल समीकरण (Exact differential equations) का हल होगा-

U\left( x,y \right) +{ V }\left( y \right) ={ C }_{ 1 }\\ \Rightarrow \frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } -axy\frac { { y }^{ 3 } }{ 3 } ={ C }_{ 1 }\\ \Rightarrow { x }^{ 3 }-3axy+{ y }^{ 3 }=c

Example-3.\frac { y }{ x } dx+\left( y+\log { 4x } \right) dy=0

Solution-\frac { y }{ x } dx+\left( y+\log { 4x } \right) dy=0....(1)\\ M=\frac { y }{ x } ,N=\left( y+\log { 4x } \right) \\ \frac { \partial M }{ \partial y } =\frac { 1 }{ x } \\ \frac { \partial N }{ \partial x } =\frac { 1 }{ x } \\ \therefore \frac { \partial M }{ \partial y } =\frac { \partial N }{ \partial x }
अतः अवकल समीकरण (1) ,यथातथ (यथार्थ)अवकल समीकरण (Exact differential equations) है। अतः अवकल समीकरण का हल होगा-
(1.)U\left( x,y \right) =\int { Mdx } \\ =\int { \left( \frac { y }{ x } \right) dx } \\ =y\log { x }

(2.)\frac { \partial U }{ \partial y } =logx

(3.)N-\frac { \partial U }{ \partial y } =y+\log { 4x } -\log { x } \\ =y+\log { 4 }

(4.){ V }\left( y \right) =\int { \left( N-\frac { \partial U }{ \partial y } \right) dy } \\ =\int { \left( y+\log { 4 } \right) } dy\\ =\frac { { y }^{ 2 } }{ 2 } +y\log { 4 }

अतः दिए हुए यथातथ (यथार्थ)अवकल समीकरण (Exact differential equations) का हल होगा-

U\left( x,y \right) +{ V }\left( y \right) ={ C }_{ 1 }\\ \Rightarrow y\log { x } +\frac { { y }^{ 2 } }{ 2 } +y\log { 4 } ={ C }_{ 1 }\\ \Rightarrow 2y\log { x } +{ y }^{ 2 }+2y\log { 4 } =c\\ \Rightarrow { y }^{ 2 }+2y\log { 4x } =c

Example-4.\left( sinxcosy+{ e }^{ 2x } \right) dx+\left( cosxsiny+tany \right) dy=0
Solution-\left( sinxcosy+{ e }^{ 2x } \right) dx+\left( cosxsiny+tany \right) dy=0....(1)\\ M=sinxcosy+{ e }^{ 2x },N=cosxsiny+tany\\ \frac { \partial M }{ \partial y } =-sinxsiny\\ \frac { \partial N }{ \partial x } =-sinxsiny\\ \therefore \frac { \partial M }{ \partial y } =\frac { \partial N }{ \partial x }
अवकल समीकरण (1),एक यथातथ (यथार्थ)अवकल समीकरण (Exact differential equations) है। अतः अवकल समीकरण का हल होगा-

(1.)U\left( x,y \right) =\int { Mdx } \\ =\int { \left( sinxcosy+{ e }^{ 2x } \right) dx } \\ =-cosxcosy+\frac { 1 }{ 2 } { e }^{ 2x }

(2.)\frac { \partial U }{ \partial y } =cosxsiny

(3.)N-\frac { \partial U }{ \partial y } =cosxsiny+tany-cosxsiny\\ =tany

(4.){ V }\left( y \right) =\int { \left( N-\frac { \partial U }{ \partial y } \right) dy } \\ =\int { tany } dy\\ =\log { secy }

अतः दिए हुए यथातथ (यथार्थ)अवकल समीकरण (Exact differential equations) का हल होगा-

U\left( x,y \right) +{ V }\left( y \right) ={ C }_{ 1 }\\ \Rightarrow -cosxcosy+\frac { 1 }{ 2 } { e }^{ 2x }+\log { secy } =c

3.यथातथ (यथार्थ)अवकल समीकरण से क्या अभिप्राय है? (What is meant by Exact differential equations?)-

वह फलन जो किसी दूसरे फलन से केवल अवकलन द्वारा प्राप्त हो अर्थात् उसमें लघुकरण अथवा अन्य गणितीय क्रिया न की गई हो।जैसे यदि y=\sin { x } +{ x }^{ 2 }
 तो dy=cosdx+2xdx

इसमें दक्षिण पक्ष का व्यंजक यथातथ (यथार्थ)अवकल समीकरण (Exact differential equations) है परन्तु इस व्यंजक को x से भाग दे दें तो यह यथातथ (यथार्थ)अवकल समीकरण (Exact differential equations) नहीं रहेगा।

4.आप यथातथ (यथार्थ)अवकल समीकरणों को कैसे हल करते हैं? (How do you solve Exact differential equations?)-

(1.) सर्वप्रथम y को अचर मानते हुए,M का x के सापेक्ष समाकलन ज्ञात कीजिए-

U\left( x,y \right) =\int { Mdx }

(2.) इसके पश्चात् उपर्युक्त समाकल का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन ज्ञात कीजिए-

\frac { \partial U }{ \partial y } =\frac { \partial }{ \partial y } \int { Mdx }
(3.) N-\frac { \partial U }{ \partial y } अर्थात् N में से \frac { \partial U }{ \partial y } को घटाओं तथा शेष जो कि सदैव y का फलन होगा,का y के सापेक्ष समाकलन ज्ञात कीजिए-

{ V }\left( y \right) =\int { \left( N-\frac { \partial U }{ \partial y } \right) dy }

(4.)step-1 व step-3 से प्राप्त व्यंजकों को जोड़कर उसके बराबर स्वेच्छ अचर रखने पर यथातथ (यथार्थ)अवकल समीकरण (Exact differential equations) का हल प्राप्त होगा-

U\left( x,y \right) +{ V }\left( y \right) =c

5.अवकल समीकरण का सामान्य रूप क्या है?(What is normal form of differential equation?)-

अवकल समीकरण का सामान्य रूप है-
Mdx+Ndy=0

6.यथातथ (यथार्थ)अवकल समीकरणों के उदाहरणों का समानयन करना (Reducible to Exact differential equations examples)

जो उदाहरण यथातथ (यथार्थ)अवकल समीकरण (Exact differential equations) नहीं होते हैं उन्हें साधारणतः x तथा y के विशेष फलनों द्वारा गुणा करके यथातथ (यथार्थ)अवकल समीकरण (Exact differential equations) बनाया जा सकता है।ऐसे विशेष फलनों को समाकलन गुणन (Integrating factor) कहते हैं।
कभी-कभी समीकरण के पदों को पुनः व्यवस्थित करने या निरीक्षण द्वारा ही समाकलन गुणन(Integrating factor) प्राप्त किया जा सकता है।
जैसे \left( 1+yx \right) xdx+\left( 1-yx \right) ydx=0

इसका समाकलन गुणन \frac { 1 }{ { x }^{ 2 }{ y }^{ 2 } } है |

\frac { xdy+ydx }{ { \left( xy \right) }^{ 2 } } +\frac { xdy-ydx }{ xy } =0

जो यथातथ (यथार्थ)अवकल समीकरण (Exact differential equations)‌ है।

7.यथातथ (यथार्थ)अवकल समीकरण समाकलन गुणन (Exact differential equations integrating factor)-

जो समीकरण यथातथ (यथार्थ)अवकल समीकरण (Exact differential equations) नहीं होते हैं उन्हें यथातथ (यथार्थ)अवकल समीकरण (Exact differential equations) में परिवर्तित करने के लिए विशेष प्रकार के पद-समूह द्वारा गुणा किया जाता है।ये विशेष पद समूह समाकलन गुणन (Integrating factor) कहलाते हैं।जैसे उपर्युक्त उदाहरण में \frac { 1 }{ { x }^{ 2 }{ y }^{ 2 } } समाकलन गुणन (Integrating factor) है।

8.यथातथ (यथार्थ)अवकल समीकरण का अनुप्रयोग (Application of Exact differential equations)-

समघात अवकलन समीकरण तथा अन्य कई प्रकार के समीकरणों को समाकलन गुणन (Integrating factor) से गुणा करके यतातथ (यथार्थ)अवकल समीकरण (Exact differential equations) में समानयन करना इसके अनुप्रयोग में शामिल हैं।

9.गैर यथातथ (यथार्थ)अवकल समीकरण (Non Exact differential equations)-

जो यथातथ (यथार्थ)अवकल समीकरण (Exact differential equations) नहीं है तथा जिन अवकल समीकरणों को समाकलन गुणन (Integrating factor) द्वारा यथातथ (यथार्थ)अवकल समीकरण (Exact differential equations) में परिवर्तित नहीं किया जा सकता है,ऐसे अवकल समीकरण गैर यथातथ (यथार्थ)अवकल समीकरण (Non Exact differential equations) कहलाते हैं।जैसे-

\frac { xdy+ydx }{ xdy-ydx } =\sqrt { \left( \frac { { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \right) }

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