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Solution of Lagrange linear equation

1.लग्रांज रैखिक समीकरण का हल (Solution of Lagrange linear equation)-

लग्रांज रैखिक समीकरण का हल (Solution of Lagrange linear equation) का अध्ययन आंशिक अवकल समीकरण में ज्ञात करेंगे।लग्रांज रैखिक अवकल समीकरण को निम्न प्रकार व्यक्त किया जाता है-
Pp+Qq=R …………(1)
समीकरण\psi \left( v,w \right) =0……(2)
से स्वेच्छ फलन \psi का विलोपन कर प्राप्त किया जा सकता है, जहां P,Q,R चरों x,y,z के फलन हैं तथा

P=\frac { \partial \left( v,w \right) }{ \partial \left( y,z \right) } ,\quad \quad \quad \quad Q=\frac { \partial \left( v,w \right) }{ \partial \left( z,x \right) } ,\quad \quad \quad \quad \quad R=\frac { \partial \left( v,w \right) }{ \partial \left( x,y \right) }

समीकरण (2), समीकरण (1) का व्यापक हल का रूप होगा। समीकरण (1) का हल ज्ञात करने के लिए हमें v(x,y,z) तथा w(x,y,z) ज्ञात करने होंगे।
माना कि v(x,y,z)=c तथा w(x,y,z)=d किसी आंशिक अवकल समीकरण के हल (समाकल) है जिन्हें हम ज्ञात करेंगेे, जहां c तथा d स्वेच्छ अचर हैं।
अब v(x,y,z)=c तथा w(x,y,z)=d का अवकलन करने पर-

\frac { \partial v }{ \partial x } dx+\frac { \partial v }{ \partial y } dy+\frac { \partial v }{ \partial z } dz=0....(3)
तथा \frac { \partial w }{ \partial x } dx+\frac { \partial w }{ \partial y } dy+\frac { \partial w }{ \partial z } dz=0....(4)
इन समीकरणों को dx,dy,dz के लिए हल करने पर-

\frac { dx }{ \frac { \partial v }{ \partial y } .\frac { \partial w }{ \partial z } -\frac { \partial v }{ \partial z } .\frac { \partial w }{ \partial y } } =\frac { dy }{ \frac { \partial v }{ \partial z } .\frac { \partial w }{ \partial x } -\frac { \partial v }{ \partial x } .\frac { \partial w }{ \partial z } } =\frac { dz }{ \frac { \partial v }{ \partial x } .\frac { \partial w }{ \partial y } -\frac { \partial v }{ \partial y } .\frac { \partial w }{ \partial x } }
या \frac { dx }{ P } =\frac { dy }{ Q } =\frac { dz }{ R } ....(5)
समीकरण (5) में वे समीकरण है,जिनके हल v(x,y,z)=c तथा w(x,y,z)=d हैं। समीकरण (5) में दिए गए समीकरण, समीकरण (1) के लग्रांज सहायक समीकरण कहलाते हैं।
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2.आंशिक अवकल समीकरणों के हलों की प्रकृति (Nature of solutions of partial differential equations)-

(1.) पूर्ण समाकल (Complete Integral)-

प्रथम कोटि के आंशिक अवकल समीकरण का एक हल जिसमें स्वतन्त्र चरों की संख्या के बराबर ही स्वेच्छ अचर होते हैं।

(2.) विशिष्ट समाकल (Particular Integral)-

किसी अवकल समीकरण का वह हल जो किसी अवकल समीकरण के व्यापक हल में प्रयुक्त समाकलन अचरों को विशेष मान देने से प्राप्त होता है।
(3.)व्यापक समाकल (General Integral)-
किसी अवकल समीकरण का वह हल जिसमें उतने स्वेच्छ अचर आते हों जितनी कोटि का अवकल समीकरण है।रैखिक अवकल समीकरण में व्यापक हल,पूरक फलन (complimentary function) तथा विशिष्ट हल ( particular Solution) के योग के बराबर होता है।

3.लग्रांज रैखिक समीकरण का हल (Solution of Lagrange linear equation)-

लग्रांज रैखिक समीकरण का हल (Solution of Lagrange linear equation) ज्ञात करने तथा समझने हेतु कुछ सवालों को हल करते हैं।
निम्नलिखित आंशिक अवकल समीकरणों को हल कीजिए (solve the following partial differential equations)-
Question-1.\left( { x }^{ 2 }-yz \right) p+\left( { y }^{ 2 }-zx \right) q={ z }^{ 2 }-xy
Solution- दिया हुआ समीकरण Pp+Qq=R के रूप का है
जहां P={ x }^{ 2 }-yz,Q={ y }^{ 2 }-zx,R={ z }^{ 2 }-xy
दिए हुए समीकरण के सहायक समीकरण होंगे-

\frac { dx }{ { x }^{ 2 }-yz } =\frac { dy }{ { y }^{ 2 }-zx } =\frac { dz }{ { z }^{ 2 }-xy } \\ \Rightarrow \frac { dx-dy }{ { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 }-yz+zx } =\frac { dy-dz }{ { y }^{ 2 }-{ z }^{ 2 }-zx+xy } \\ \Rightarrow \frac { dx-dy }{ \left( x+y \right) \left( x-y \right) +z\left( x-y \right) } =\frac { dy-dz }{ \left( y-z \right) \left( y+z \right) +x\left( y-z \right) } \\ \Rightarrow \frac { dx-dy }{ \left( x+y+z \right) \left( x-y \right) } =\frac { dy-dz }{ \left( x+y+z \right) \left( y-z \right) } \\ \Rightarrow \frac { dx-dy }{ \left( x-y \right) } =\frac { dy-dz }{ \left( y-z \right) }
समाकलन करने पर-

\Rightarrow \int { \frac { dx-dy }{ \left( x-y \right) } } =\int { \frac { dy-dz }{ \left( y-z \right) } } \\ \Rightarrow \log { \left( x-y \right) } =\log { \left( y-z \right) } +\log { { c }_{ 1 } } \\ \Rightarrow \frac { x-y }{ y-z } ={ c }_{ 1 }
पुनः प्रथम व अन्तिम तथा द्वितीय व अन्तिम से-

\frac { dx-dz }{ { x }^{ 2 }-{ z }^{ 2 }-yz+xy } =\frac { dy-dz }{ { y }^{ 2 }-{ z }^{ 2 }-zx+xy } \\ \Rightarrow \frac { dx-dz }{ \left( x+z \right) \left( x-z \right) +y\left( x-z \right) } =\frac { dy-dz }{ \left( y-z \right) \left( y+z \right) +x\left( y-z \right) } \\ \Rightarrow \frac { dx-dz }{ \left( x+y+z \right) \left( x-z \right) } =\frac { dy-dz }{ \left( x+y+z \right) \left( y-z \right) } \\ \Rightarrow \frac { dx-dz }{ \left( x-z \right) } =\frac { dy-dz }{ \left( y-z \right) }
समाकलन करने पर-

\Rightarrow \int { \frac { dx-dz }{ \left( x-z \right) } } =\int { \frac { dy-dz }{ \left( y-z \right) } } \\ \Rightarrow \log { \left( x-z \right) } =\log { \left( y-z \right) } +\log { { c }_{ 2 } } \\ \frac { x-z }{ y-z } ={ c }_{ 2 }
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा-

\psi \left( \frac { x-z }{ y-z } ,\frac { x-y }{ y-z } \right) =0

Question-2.\left( x+2z \right) p+\left( 4zx-y \right) q=2{ x }^{ 2 }+y
Solution- दिया हुआ समीकरण Pp+Qq=R के रूप का है
जहांP=x+2z,Q=4zx-y,R=2{ x }^{ 2 }+y
अतः दिए हुए समीकरण के सहायक समीकरण होंगे-

\frac { dx }{ x+2z } =\frac { dy }{ 4zx-y } =\frac { dz }{ 2{ x }^{ 2 }+y } \\ \frac { y.dx+x.dy }{ xy+2zy+4z{ x }^{ 2 }-xy } =\frac { dz }{ 2{ x }^{ 2 }+y } \\ \Rightarrow \frac { y.dx+x.dy }{ 2zy+4z{ x }^{ 2 } } =\frac { dz }{ 2{ x }^{ 2 }+y } \\ \Rightarrow \frac { y.dx+x.dy }{ 2z\left( 2{ x }^{ 2 }+y \right) } =\frac { dz }{ 2{ x }^{ 2 }+y } \\ \Rightarrow y.dx+x.dy=2z.dz
समाकलन करने पर-

\Rightarrow \int { d\left( xy \right) } =2\int { zdz } \\ \Rightarrow xy={ z }^{ 2 }+{ c }_{ 1 }\\ \Rightarrow xy-{ z }^{ 2 }={ c }_{ 1 }
पुनः प्रथम तथा द्वितीय व अन्तिम से-

\frac { dx }{ x+2z } =\frac { dy+dz }{ 2zx-y+2{ x }^{ 2 }+y } \\ \Rightarrow \frac { dx }{ x+2z } =\frac { dy+dz }{ 2x\left( x+2z \right) } \\ \Rightarrow 2x\quad dx=dy+dz
समाकलन करने पर-

\Rightarrow { x }^{ 2 }+{ c }_{ 2 }=y+z\\ \Rightarrow y+z-{ x }^{ 2 }={ c }_{ 2 }
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा-

\psi \left( xy-{ z }^{ 2 },y+z-{ x }^{ 2 } \right)

Question-3.\left( xz+y \right) p-\left( x+yz \right) q={ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 }
Solution- दिया हुआ समीकरण Pp+Qq=R रूप का है
जहांP=xz+y,Q=-\left( x+yz \right) ,R={ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 }

अतः दिए हुए समीकरण के सहायक समीकरण होंगे-

\frac { dx }{ xz+y } =\frac { dy }{ -\left( x+yz \right) } =\frac { dz }{ \left( { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } \right) } \\ \Rightarrow \frac { x.dx+y.dy }{ { x }^{ 2 }z+xy-xy-{ y }^{ 2 }z } =\frac { dz }{ { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } } \\ \Rightarrow \frac { x.dx+y.dy }{ z\left( { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } \right) } =\frac { dz }{ { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } } \\ \Rightarrow x.dx+y.dy=zdz

समाकलन करने पर-

\Rightarrow \int { x.dx } +\int { y.dy } =\int { zdz } \\ \Rightarrow { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }={ z }^{ 2 }+{ c }_{ 1 }\\ \Rightarrow { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }-{ z }^{ 2 }={ c }_{ 1 }\\ \frac { y.dx+x.dy }{ xyz+{ y }^{ 2 }-{ x }^{ 2 }-xyz } =\frac { dz }{ { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } } \\ \Rightarrow \frac { y.dx+x.dy }{ -\left( { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } \right) } =\frac { dz }{ { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } } \\ \Rightarrow y.dx+x.dy=-dz
समाकलन करने पर-

\Rightarrow \int { \left( y.dx+x.dy \right) } =-\int { dz } \\ \Rightarrow xy=-z+{ c }_{ 2 }\\ \Rightarrow xy+z={ c }_{ 2 }
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा-

\psi \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }-{ z }^{ 2 },xy+z \right) =0

Question-4.\frac { \partial z }{ \partial x } +\frac { \partial z }{ \partial y } +\frac { \partial z }{ \partial t } \left\{ 1+\sqrt { x+y+t+z } \right\} +3=0
Solution- दिया हुआ समीकरण { p }_{ 1 }\frac { \partial u }{ \partial x } +{ p }_{ 2 }\frac { \partial u }{ \partial y } +{ p }_{ 3 }\frac { \partial u }{ \partial t } =R के रूप का है
जहां{ p }_{ 1 }=1,{ p }_{ 2 }=1,{ p }_{ 3 }=\left\{ 1+\sqrt { x+y+t+z } \right\} ,R=-3
अतः दिए हुए समीकरण के सहायक समीकरण होंगे-

\frac { dx }{ 1 } =\frac { dy }{ 1 } =\frac { dt }{ \left\{ 1+\sqrt { x+y+t+z } \right\} } =\frac { dz }{ -3 }

प्रथम व अन्तिम से-

\frac { dx }{ 1 } =\frac { dz }{ -3 } \\ -3dx=dz
समाकलन करने पर-

-3\int { dx } =\int { dz } \\ G-3x=z\\ 3x+z={ c }_{ 1 }
द्वितीय व अन्तिम से-

\frac { dy }{ 1 } =\frac { dz }{ -3 } \\ -3dy=dz
समाकलन करने पर-

{ c }_{ 2 }-3y=z\\ \Rightarrow 3y+z={ c }_{ 2 }\\ \Rightarrow \frac { dx+dy++dt+dz }{ 1+1+1+\sqrt { x+y+t+z } -3 } =\frac { dz }{ -3 } \\ \Rightarrow \frac { dx+dy++dt+dz }{ \sqrt { x+y+t+z } } =\frac { dz }{ -3 } \\ \Rightarrow \frac { -3\left( dx+dy++dt+dz \right) }{ \sqrt { x+y+t+z } } =\frac { dz }{ 1 }

समाकलन करने पर-

\Rightarrow { c }_{ 3 }-6\sqrt { x+y+t+z } =z\\ \Rightarrow z+6\sqrt { x+y+t+z } ={ c }_{ 3 }
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा-

\Psi \left( 3x+z,3y+z,z+6\sqrt { x+y+t+z } \right)

इस प्रकार उपर्युक्त सवालों के हल द्वारा लग्रांज रैखिक समीकरण का हल (Solution of Lagrange linear equation) को समझा जा सकता है।

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