1.बहुपद के एमसीक्यू टाइप उदाहरण का परिचय (Introduction to MCQ Type Examples of Polynomials),बहुपद के महत्त्वपूर्ण उदाहरण कक्षा 9 (Important Examples of Polynomials Class 9):

MCQ Type Examples of Polynomials

बहुपद के एमसीक्यू टाइप उदाहरण (MCQ Type Examples of Polynomials) के इस आर्टिकल में बहुपद के बहुविकल्पीय सवालों एवं अन्य सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.बहुपद के एमसीक्यू टाइप उदाहरण (MCQ Type Examples of Polynomials):

Example:1.निम्न में से कौन-सा व्यंजक बहुपद नहीं है:
(a) x^2+2 (b) x+\sqrt{2} (c) x+\frac{2}{x} (d) x^2+\sqrt{2} x
Solution:विकल्प (c) सही है।
Example:2.निम्नलिखित में से कौन-सा व्यंजक एक चर में बहुपद नहीं है:
(a)2 x^2-3x+5 (b) y^2+\sqrt{3} (c) x^2+y^2 (d) z^2+3 z
Solution:विकल्प (c) सही है।
Example:3.यदि x^3-a^3 में (x-a) का भाग दिया जाय तो शेषफल होगा:
(a) x^2-a^2    (b)x-a       (c)0        (d)x+a
Solution: f(x)=x^3-a^3 \Rightarrow f(a)=a^3-a^3=0
विकल्प (c) सही है।
Example:4.यदि p(x)=2 x^3-5 x^2+3 x-2 में (x-1) का भाग दिया जाय तो शेषफल होगा:
(a)-2 (b) -1 (c)0 (d)2
Solution: p(x)=2 x^3-5 x^2+3 x-2 \\ p(1)=2(1)^3-5(1)^2+3 \times 1-2 \\ \Rightarrow p(1)=-2
विकल्प (a) सही है।
Example:5. x^3-125 का एक गुणनखण्ड हैः
(a) x^2+5 x+25    (b)x^2-5 x+25    (c)x+5    (d)x-25
Solution: x^3-125 \\ =x^3-5^3=(x-5)\left(x^2+5 x+25\right)
विकल्प (a) सही है।
Example:6. a^3+125 के गुणनखण्ड हैं:
(a)(a+5)\left(a^2-5 a+25\right) (b)(a-5)\left(a^2+5 a+25\right)
(c)(a+5)\left(a^2+5 a+25\right) (d)(a-5)\left(a^2-5 a+25\right)
Solution:
विकल्प (a) सही है।
Example:7.व्यंजक 1+8 x^3 के गुणनखण्ड हैं:
(a)(1-2 x)\left(1+4 x^2-2 x\right) (b)(1-2 x)\left(1+4 x^2+2 x\right)
(c)(1+2 x)\left(1+4 x^2+2 x\right) (d)(1+2 x)\left(1+4 x^2-2 x\right)
Solution: 1+8 x^3 \\ =1+(2 x)^3=(1+2 x)\left(1-2 x+4 x^2\right)
विकल्प (d) सही है।
Example:8.व्यंजक x^3-9 x-10 एक गुणनखण्ड है:
(c) x+2 (b)x-2 (c)x+1 (d)x-1
Solution: f(x)=x^3-9 x-10 \\ \Rightarrow f(-2)=(-2)^3-9 x-2-10=-8+18-10=0
विकल्प (a) सही है।

MCQ Type Examples of Polynomials

Example:9.व्यंजक a^3+b^3-c^3+3 abc के गुणनखण्ड हैं:
(a) (a+b-c)\left(a^2+b^2-c^2-a b+b c-a c\right)
(b) (a+b-c)\left(c^2+b^2+c^2+2 a b-2 a b-2 b c-2 a c\right)
(c) (a+b-c)\left(a^2+b^2+c^2-a b+b c+a c\right)
(d) (a+b-c)\left(a^2+b^2+c^2+a b+b c-a c\right)
Solution: विकल्प (c) सही है।
Example:10.निम्नलिखित व्यंजकों में कौन-कौन बहुपद नहीं हैं?
Example:10.(i). 2 x^3-\sqrt{3} x+7
Solution:व्यंजक में चर x की घात एक ऋणेत्तर पूर्णांक है।अतः यह एक बहुपद है।
Example:10(ii). 2 \sqrt{z}+4 z+5 z^2
Solution:व्यंजक में चर z की घात है (धनात्मक पूर्णांक नहीं है)।अतः यह बहुपद नहीं है।
Example:10 (iii). \sqrt{a} x+x^2-x^3
Solution:व्यंजक में चर x की घात एक ऋणेत्तर पूर्णांक है।अतः यह एक बहुपद है।
Example:10(iv). \sqrt{a} x^{\frac{1}{2}}+a x+9 x^2+5
Solution:व्यंजक में चर x की घात \frac{1}{2} है (धनात्मक पूर्णांक नहीं है)।अतः बहुपद नहीं है।
Example:10(v). 2 x^{-2}+3 x^{-1}+4+5 x
Solution:दिए गए व्यंजक के पहले व दूसरे पदों में चर x की घात -2 और -1 हैं (धनात्मक पूर्णांक नहीं है)।अतः बहुपद नहीं है।
Example:10(vi). x^2+x^{-2}
Solution:दिए गए व्यंजक के दूसरे पद में चर की घात -2 है (धनात्मक पूर्णांक नहीं है)।अतः बहुपद नहीं है।
Example:11.निम्नलिखित व्यंजकों में कौन-कौन बहुपद एकपदी,कौन-कौन द्विपद और कौन-कौन त्रिपद हैंः
Example:11(i). \sqrt{5}
Solution:एकपदी है।
Example:11(ii). u^3-u^2
Solution:बहुपद द्विपद है।
Example:11(iii). y^4+y+5
Solution:बहुपद त्रिपदी है।
Example:11(iv). 6x^5
Solution:बहुपद एकपदी है।
Example:12.बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में कौन-कौन बहुपद रैखिक हैं:
Example:12(i). 4x^3+x^2-3x+1
Solution:बहुपद की घात 3 है।अतः यह त्रिघाती बहुपद है।
Example:12(ii). x-7
Solution:बहुपद की घात 1 है।अतः यह रैखिक बहुपद है।
Example:12(iii). 2 x^2+9 x+9
Solution:बहुपद की घात 2 है।अतः यह द्विघाती बहुपद है।
Example:13.बहुपद p(x)=2x+1 का शून्यक ज्ञात कीजिए।
Solution: p(x)=2 x+1-0 \Rightarrow x=-\frac{1}{2}
अतः बहुपद 2x+1 का शून्यक -\frac{1}{2} है।
Example:14.जाँच कीजिए कि -3 बहुपद x+3 का शून्यक है या नहीं।
Solution: p(x)=x+3 \Rightarrow p(-3)=-3+3=0
-3 बहुपद x+3 का शून्यक है।
Example:15.जाँच कीजिए कि 2 और -2 बहुपद x^2-4 के शून्यक है।
Solution: p(x)=x^2-4 \\ \Rightarrow p(2)=2^2-4=4-4=0 \\ p(-2)=(-2)^2-4=4-4 =0
अतः 2 और -2 दोनों ही बहुपद के शून्यक हैं।
Example:16.गुणनखण्ड प्रमेय से बताइए कि (x-1) , 2 \sqrt{2} x^3+5 \sqrt{2} x^2-7 \sqrt{2} का गुणनखण्ड है।
Solution: p(x)=2 \sqrt{2} x^3+5 \sqrt{2} \cdot x^2-7 \sqrt{2}
x=1 को p(x) में रखने परः
p(1)=2 \sqrt{2} \times 1^3+5 \sqrt{2} \times 1^2-7 \sqrt{2} \\ =2 \sqrt{2}+5 \sqrt{2}-7 \sqrt{2}=7 \sqrt{2}-7 \sqrt{2}=0
अतः (x-1),बहुपद का गुणनखण्ड है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा बहुपद के एमसीक्यू टाइप उदाहरण (MCQ Type Examples of Polynomials),बहुपद के महत्त्वपूर्ण उदाहरण कक्षा 9 (Important Examples of Polynomials Class 9) को समझ सकते हैं।

3.बहुपद के महत्त्वपूर्ण बिन्दु (Important Points of Polynomial):

MCQ Type Examples of Polynomials

(1.)चर को एक प्रतीक से प्रकट किया जाता है,जो कोई भी वास्तविक मान धारण कर सकता है।किसी भी चर को x,y,z आदि अक्षरों से प्रकट किया जाता है।2x,3x,-x, \frac{1}{2} x आदि बीजीय व्यंजकों के कुछ उदाहरण है।यदि हमें अचर ज्ञात न हो,तो ऐसी स्थिति में अचर a,b,c आदि अक्षरों से प्रकट किया जाता है।
(2.)एक ऐसा बीजीय व्यंजक जिसमें चर की घातांक कोई पूर्ण संख्या हो,जैसे 2 x, x^2+2 x आदि।इस रूप के व्यंजकों को एक चर वाला बहुपद कहा जाता है।
(3.)बहुपद x^2+2 x में x^2 और 2x बहुपद के पद कहे जाते हैं।
(4.)बहुपद के प्रत्येक पद का एक गुणांक होता है।अतः x^2+2 x में x^2 का गुणांक 1 तथा x का गुणांक 2 है।
(5.)2 (अचर संख्या) भी एक बहुपद है।अतः 2,-5,7,-9 आदि अचर बहुपदों के उदाहरण है।अचर बहुपद 0 को शून्य बहुपद कहा जाता है।
(6.)बीजीय व्यंजक x^{-1} का घातांक -1 है,जो कि एक पूर्ण संख्या नहीं है।अतः बहुपद नहीं है।
(7.)यदि बहुपद में चर x हो,तो हम बहुपद को p(x) या q(x) या r(x) आदि के द्वारा प्रकट करते हैं।उदाहरण p(x)=x^2+5x-3 ,r(y)=y^3+y+1
(8.)वे बहुपद जिनमें केवल एक पद होता है,ऐसे बहुपदों को एकपदी कहा जाता है।जैसे 2x, 5 x^2, y और u^4 ।इन बहुपदों में से प्रत्येक का केवल एक पद है।अतः ये सभी बहुपद एकपदी हैं।
(9.)दो पदों वाले बहुपदों को द्विपद कहा जाता है।जैसे p(x)=x+1 , q(x)=x^2-x आदि।इन बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद में दो पद विद्यमान हैं।अतः ये सभी बहुपद द्विपद है।
(10.)एक शून्येतर अचर बहुपद की घात शून्य होती है।जैसे 9 \Rightarrow 9 x^{0} ।वे बहुपद जिनका घातांक 2 हो अर्थात् 2 घात वाले बहुपद को द्विघाती या द्विघात बहुपद कहते हैं।जैसे 5 y^2 ; 4 y+5 y^2 तथा  6 y-y-y^2 आदि।तीन घात वाले बहुपदों को त्रिघाती बहुपद कहा जाता है।जैसे 4 x^3 , 6 x^3-x , 2 x^3+4 x^2+6 x+7 आदि।

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4.बहुपद के एमसीक्यू टाइप उदाहरण (Frequently Asked Questions Related to MCQ Type Examples of Polynomials),बहुपद के महत्त्वपूर्ण उदाहरण कक्षा 9 (Important Examples of Polynomials Class 9) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

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