1.क्यों प्राइम्स के लिए यूलर का फॉर्मूला दुनिया को बाधित कर सकता है (Why Euler’s formula for primes can disrupt the world)-

प्राइम्स के लिए यूलर का फॉर्मूला बाधित कर सकता है( Euler’s formula for primes can disrupt ),अभाज्यों के बारे में यह बहुत कम ज्ञात लेकिन भयानक गुणधर्म एन्क्रिप्शन के बारे में आपका मन बदल सकती है

एफ। जिएलेन द्वारा छवि (जे। ई। हैंडमैन द्वारा यूलर का मूल)
प्राइम नंबर आधुनिक एन्क्रिप्शन की नींव बनाते हैं। इसका कारण बहुत सरल है: अब तक हमने उनके गणितीय स्वरूप को नहीं समझा है। हालाँकि, दुनिया नाटकीय रूप से अभाज्यों को ध्वस्त करके बदल जाएगी। इस लेख में, मैं उन अभाज्यों के बारे में एक छोटी ज्ञात लेकिन भयानक संपत्ति प्रस्तुत करता हूं जो क्रिप्टोग्राफी के बारे में आपके मन को बदल सकते हैं। और चिंता न करें, यह एक कार्यकारी स्तर पर पढ़ा जाने वाला एक छोटा और आसान समझने वाला विषय होगा।

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2.रिफ्रेश और मोटिवेशन (Refresh and Motivation)[Euler’s formula for primes can disrupt]-

लेट्स रिकैप: प्रिम्स पूरे नंबर होते हैं जिन्हें केवल 1 या नंबर से ही विभाजित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 5 अभाज्य (भाजक 1 और 5) है, लेकिन 6 नहीं है (भाजक 1, 2, 3 और 6)।

अनंत अभाज्य संख्याएँ हैं लेकिन अभी तक उन्हें निर्धारित करने के लिए कोई कुशल एल्गोरिदम नहीं हैं। विशेष रूप से, n-th अभाज्य संख्या की गणना करने का कोई सूत्र नहीं है, न ही पुनरावर्ती, अर्थात् हम एक अभाज्य की गणना कर सकते हैं यदि हम पूर्ववर्ती (छोटे) अभाज्यों को जानते हैं, और न ही स्पष्ट रूप से, अर्थात् हम पूर्ववर्ती अभाज्यों को जानकर सीधे किसी अभाज्य की गणना कर सकते हैं।
उदाहरण के लिए, यह प्रसिद्ध आरएसए क्रिप्टोकरंसी को इतना सुरक्षित बनाता है। एन्क्रिप्शन के लिए आवश्यक इसकी सार्वजनिक कुंजी दो (बहुत बड़ी) अभाज्य संख्याओं के उत्पाद पर आधारित है। यदि आप डिक्रिप्शन के लिए आवश्यक निजी कुंजी प्राप्त करना चाहते हैं, तो आपको इस उत्पाद के प्रमुख कारकों को निर्धारित करने की आवश्यकता है। हालाँकि, यह वर्तमान में इतना कंप्यूटिंग समय लेता है कि RSA व्यवहार में अनलॉक करने योग्य नहीं है।
लेकिन क्या होगा यदि हम एक सूत्र की खोज करेंगे जो तुरंत अभाज्यों की गणना करता है? यह प्रधान कारक के लिए बहुत तेजी से दृष्टिकोण भी उत्पन्न कर सकता है जिसका अर्थ आज अधिकांश क्रिप्टोकरेंसी के लिए मौत की सजा होगा। लेकिन क्या यह भी संभव है कि अभाज्यों के लिए एक सूत्र मिल जाए?

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3.कमाल है यूलर प्रोडक्ट (Amazing Euler Products )-

लियोनहार्ड यूलर सबसे शानदार गणितज्ञों में से एक है जिसे दुनिया ने कभी देखा है। 18 वीं शताब्दी में उन्होंने एक ऐसा सूत्र निकाला, जिसे आज यूलर उत्पाद कहा जाता है। यहां हम उनकी ट्रेलब्लेजिंग खोज के एक विशेष मामले पर ध्यान केंद्रित करते हैं। कृपया अगली पंक्ति पहली नज़र में चित्रलिपि की तरह दिखने पर भी पढ़ना बंद न करें।

हम अनुवाद करते हैं: समीकरण के बाएं हाथ का प्रतीक एक उत्पाद का प्रतिनिधित्व करता है। इसके अलावा, यह सभी अभाज्यों पर एक अनंत उत्पाद है, यानी हमें सभी प्रमुख संख्याओं द्वारा चर p को बदलने और शर्तों को गुणा करने की आवश्यकता है। इसे स्पष्ट करने के लिए इसे लिख दें।

इसका अर्थ निम्न है: यदि हम उपरोक्त उत्पाद की गणना करते हैं तो सभी अभाज्य संख्याएँ हम अच्छी तरह से परिभाषित परिणाम pi² / 6 प्राप्त करते हैं। यह एक भयानक और एक रहस्य की तरह लगता है। कृपया मुझे बताओ क्यों।
विघटनकारी परिणाम
हम जानते हैं कि अनंत अभाज्य संख्याएँ हैं, लेकिन हम किसी भी बंद और कुशल प्रतिनिधित्व (“सूत्र”) के लिए नहीं हैं। कंप्यूटिंग शक्ति के साथ, हम केवल सबसे बड़ी ज्ञात अभाज्य संख्या निर्धारित कर सकते हैं। इसके बावजूद, Euler साबित कर दिया है कि हम मूल्य pi 6/6 प्राप्त करते हैं यदि हम Euler उत्पाद के अनुसार सभी primes गुणा करते हैं – हालांकि हम सभी primes नहीं जानते हैं!
IMHO, यह दर्शाता है कि अब तक खोजे गए अभाज्यों के बारे में बहुत ज्ञान है। यदि हम अपराधों के अनंत सेट पर यूलर उत्पाद की गणना कर सकते हैं, तो हमें अभाज्यों के लिए एक सूत्र प्राप्त करने में भी सक्षम होना चाहिए। उदाहरण के लिए, विशेष अभाज्यों के लिए बंद प्रतिनिधित्व पहले से ही ज्ञात हैं।
यह इंगित करता है कि हमें अभाज्यों की वास्तविक प्रकृति की खोज के लिए संख्या सैद्धांतिक अनुसंधान में प्रयास बढ़ाना चाहिए। और जो व्यक्ति इस खोज को अनियंत्रित कर सकता है, उसे या तो मनाया जाएगा या सताया जाएगा।

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