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Mathematics and Moving a Sofa

Mathematics and Moving a Sofa

1.गणित और सोफा चलाना (Mathematics and Moving a Sofa)-

सोफा को गलियारे से गुजारते हैं तो उससे अर्धवृत्ताकार आकृति बनती हैं। कई गणितज्ञों ने इस पर अनुसंधान किए हैं तथा अपने रिसर्च पत्र प्रस्तुत किए हैं। परन्तु गणित की अधिक जटिल समस्याओं में सोफे को स्थानांतरित नहीं कर सकते हैं। सोफा वही है लेकिन भिन्न-भिन्न स्थितियों में सोफे की आकृति अलग प्रकार से बनती हैं। गणित में आप कोई भी दावा या विचार प्रस्तुत करते हैं तो उसे वर्णन करने और प्रमाणित करने की आवश्यकता होती है।

असत्य प्रमेय व कथन को जब प्रमाण की कसौटी पर परखते हैं तो वह खरा नहीं उतरता है। तात्पर्य यही है कि असत्य गणितीय कथन व प्रमेय लिखना असंभव है यदि लिख भी दिया जाए तो उसे प्रमाणित नहीं किया जा सकता है।
गणित में नवीन ज्ञान के लिए इसी प्रकार नए प्रयोग अपनाने की आवश्यकता है जिससे गणित में विद्यार्थियों के नए क्षेत्रों में अध्ययन की ओर आकर्षण में वृद्धि होती है। गणित में नए-नए आयाम तथा नई खोजों के लिए अपनी बौद्धिक क्षमता का निरन्तर विकास करते रहना चाहिए। गणित एक गतिशील प्रयास है। विद्यार्थियों को गणित खोजने के अवसर प्रदान करने चाहिए। कक्षा में निष्क्रियता के स्थान पर ‘Learning and doing’ को प्रस्थापित किया जाए जिससे गणित में संशय समाप्त हो सके।
गणित के पाठक का दृष्टिकोण प्रगतिशील एवं सृजनात्मक होना चाहिए। उसका चिन्तन गणित के आधारभूत सिद्धान्तों के सन्दर्भ में व्यावहारिक होना चाहिए।  गणित के पाठक का दृष्टिकोण प्रगतिशील एवं सृजनात्मक होना चाहिए साथ ही गणित के पाठक का Research Oriented दृष्टिकोण होना चाहिए जिससे कि गणित में नवीन-विधि व प्रयोग का उपयोग करके सिद्धान्तों व प्रमेयों को स्थापित किया जा सके।
इस आर्टिकल में बताया गया है कि इन गणितज्ञों ने संसार के गणितज्ञों में नवीन चेतना का संचार किया। आर्टिकल को ध्यानपूर्वक पढ़ेंगे तो इसका उपर्युक्त सारांश ही समझ में आता है। हो सकता है कि आपको इस आर्टिकल से कोई नई बात का पता लगे। आर्टिकल को पूरा पढ़ें और आपका कोई सुझाव हो तो अवगत कराएं। 

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मूविंग सोफा समस्या चारों ओर चल रहे फर्नीचर की वास्तविक जीवन की समस्या से प्रेरित है। संभवतः, एक गणितज्ञ अपने सोफे को एक गलियारे के नीचे ले जा रहा था और उसे कुछ बाधाओं को नेविगेट करना पड़ा और उसने खुद से यह सवाल पूछा; सबसे बड़े क्षेत्र का सोफा क्या है जो हम कोने में घूम सकते हैं?
यदि आपके पास 1-मीटर चौड़ाई वाला गलियारा है, तो आप 1 मीटर की त्रिज्या के साथ अर्धवृत्त बना सकते हैं। जब आप अपने अर्धवृत्त को अपने गलियारे से नीचे धकेलते हैं तो आप आसानी से घूम सकते हैं और जब यह विपरीत दीवार से मिलता है तो धक्का दे सकता है क्योंकि यह एक अर्ध-चक्र है। यह पूरी तरह से काम करता है। यहाँ अर्धवृत्त का क्षेत्रफल pi / 2 होगा।

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3.गणितज्ञों को सोफा का गणितीय अनुभव (Mathematicians experience the mathematical experience of sofa)-

1968 में, एक गणितज्ञ जॉन हैमरस्ले ने इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए एक बड़े क्षेत्र के साथ अपना ज्यामितीय आकार बनाया। फिर, आप हैमरस्ले के सोफे को धक्का देते हैं और जब आप दीवार पर पहुंचते हैं तो आप इसे आसानी से घुमाते हैं और यह है। यह भी पूरी तरह से काम करता है।

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ठीक है, लेकिन पहले सोफा और हैमर्सली के सोफे में क्या अंतर है? असल में, हैमरस्ली ने अर्धवृत्त सोफे को दो टुकड़ों में काट दिया और उसे 2 चौथाई मंडल मिले। फिर उसने उन्हें अलग कर दिया और एक आयत के साथ अंतर को भर दिया। अंत में, उन्होंने घूर्णी भाग को करने के लिए अपने आकार के बीच में एक छेद किया। उन्होंने यह भी अनुकूलित किया कि आप दो-चौथाई मंडलियों को कितना आगे बढ़ाना चाहते हैं। उनके सोफा का क्षेत्र pi / 2 + 2 / pi था जो 2.2074 है …
हालाँकि, हैमस्ले को यकीन नहीं था कि उसका सोफा इष्टतम है या नहीं। दो दशकों के बाद गणितज्ञों ने महसूस किया कि हैमर्सली का समाधान इष्टतम नहीं था। जोसेफ गेरवर ने हैमर्सली के सोफे के लिए एक समान सोफे बनाया। उसने सूक्ष्म अंतर किया। गेरवर ने एक ही सोफे का इस्तेमाल किया, लेकिन उसने सिर्फ तेज अंदरूनी किनारों और कुछ अन्य बिंदुओं को थोड़ा पॉलिश किया। उसे 18 अलग-अलग वक्र मिले।

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       JOSEPH L. GERVER
            ON MOVING A SOFA AROUND A CORNER

ABSTRACT A necessary condition for a region of the plane to have the greatest possible area of any regions able to move around a right a right angled corner in a hallway of unit which satisfies this condition.It is conjectured that this is the unique region of maximum area.

What is the greatest possible area for a sofa which can move arround a right-angled corner in a hallway of unit which we take the hallway H to be the set of points(x,y)such that x and y are both less than or equal to1,and such that either x or y is greater than or equal to 0.The sofa S can be any connected region of the plane S must be a subset of the two branches of H.wiyhout loss of generality.We require S to be a subset of the half strip x<1,0<y<1.We must be able to rigidly moveS,keeping it in H at all times.so that it ends up in the other branch of H,namely y<1,0<x<1.
1.Moser [5] first published this question in 1966,although it seems to have had an earlier folk history.Hammersky {4,p.84}conjectured that the answer is ?/2+2/?=2.2074,attained by a region composed of two quarter circles on either side of a 1 by 4/rectangle from which a semicircle of radius 2/has been removed (figure 1).According to conway {1] .This problem and several related ones were discussed at a meeting in copenhagen during the late 1960s,and a region (the ‘Shephard piano’) was constructed which slightly improved .Hammersely’s result,but this work was never published.Later.convey and M.Guy proved that a sofa of maximum area (not necessarily unique exist,while C,Francis and R.Guy [3] made several modifications of the Shephard piano to obtain an area of 2.215649(THe identification in [2] of the Shephard piano with Hammersley’s solution seems to be wrong since the
ग्रोवर के सोफे का क्षेत्रफल 2.2195 था और यह हैमर्सली के सोफे से 1% बड़ा था। यहां तक ​​कि यह एक छोटा सा सुधार था यह बहुत दिलचस्प था क्योंकि जिस तरह से उसने एक बड़ा क्षेत्र होने का सोचा था। उन्होंने यह भी दावा किया कि उनका सोफा सबसे इष्टतम है और यह अभी भी साबित या अव्यवस्थित नहीं है। विशेष रूप से, यह इष्टतम होना चाहिए क्योंकि यह कैसे व्युत्पन्न किया गया था। उनका दृष्टिकोण बहुत तार्किक है और यह एक बहुत अच्छा संकेत है कि यह इष्टतम हो सकता है। या हम कुछ ऐसा नहीं पा सके हैं जो बेहतर काम करता हो क्योंकि हमारी कल्पना सीमित है। वैसे भी, यह अभी भी गणितज्ञों के लिए एक खुली समस्या है।
दूसरी ओर, एक अन्य गणितज्ञ डैन रोमिक ने सोफा तकनीक में कुछ नई प्रगति की। शुरुआत में रोमिक के दो गोल थे। पहले, वह गेरवर की तुलना में एक बेहतर सोफा खोजना चाहता था। दूसरा, वह यह साबित करने की कोशिश करेगा कि गेवर का सोफा सबसे अच्छा है। हालाँकि, उन्होंने कुछ और ही किया।
रोमिक ने महसूस किया कि हम अधिक जटिल संरचनाओं में गेरवर के सोफे को स्थानांतरित नहीं कर सकते हैं। हम आसानी से दाईं ओर घुमा सकते हैं, लेकिन अगर हमें बाईं ओर घूमने की आवश्यकता है? जाहिर है, हम फंस जाते हैं क्योंकि गेरवर का सोफा केवल दाईं ओर घूम सकता है। यही कारण है कि रोमिक ने एक उभयलिंगी सोफे आकार पर विचार किया कि वे दोनों दिशाओं में घूम सकते हैं और सबसे बड़ा क्षेत्र है। उन्होंने उन स्थितियों को संतुष्ट करने वाला एक नया आकार ढूंढ निकाला। यह एक यथार्थवादी सोफा नहीं लग सकता है लेकिन गणितीय रूप से, यह एक अच्छी तरह से परिभाषित आकार था। यह पूरी तरह से काम कर रहा है क्योंकि यह एक असममित आकार है। यह एक चक्र या एक वर्ग नहीं है। यह कुछ नया है।

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रोमिक के सोफे में 18 अलग-अलग वक्र हैं, जिन्हें एक साथ बहुत सटीक तरीके से गोंद करने की आवश्यकता होती है। सिरों को एक निश्चित कोण भी बनाया गया है जो 16.6 डिग्री है और अधिक दिलचस्प रूप से रोमिक ने उनके लिए एक सटीक सूत्र पाया।

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4.निष्कर्ष (Conclusion)-
गणित में, यदि आप किसी चीज का दावा करते हैं, तो आपको उसका वर्णन करने की आवश्यकता होती है और अधिकांश समय आपको बंद रूप में लिखने की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, समीकरण x² = 2 वर्गमूल का बंद रूप है। 2. रोमिक ने पाया कि उसके समीकरणों को बंद रूप में लिखा जा सकता है।
हमारे पास अभी भी कोई सुराग नहीं है कि वे सभी सोफे इष्टतम हैं या नहीं। अगर कोई दिखाता है कि वे इष्टतम नहीं हैं जो किसी भी गणितज्ञ को आश्चर्यचकित नहीं करेगा।

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