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Earn $1,000,000 with Math? The Millennium Prize Problems

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1.गणित के साथ $ 1,000,000 कमाएँ? मिलेनियम पुरस्कार समस्याएं(Earn $1,000,000 with Math? The Millennium Prize Problems)-

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यदि किसी ने आपको बताया है कि गणित एक व्यवहार्य कैरियर नहीं है, तो उन्हें बताएं कि ग्रिगोरी पेरेलमैन को जाएं और देखें। वह (२०१ ९ के अनुसार) एक और एक ही व्यक्ति को मिलेनियम पुरस्कार समस्या को हल करने के लिए श्रेय दिया जाता है, जिससे उसे बहुत कुख्याति मिलती है और एक शांत $ १००,००० (भले ही वह अंततः पुरस्कार राशि को ठुकरा देता है)।

प्रश्न में समस्या, पोंकारे अनुमान, 3-क्षेत्र के लक्षण वर्णन के बारे में एक प्रमेय है, जो हाइपरस्फेरे है जो इकाई गेंद को चार-आयामी स्थान में बांधता है।

2.आप में से जो गणितीय दृष्टि से रुचि रखते हैं, उनके लिए आप यहां जाएं:

एक इकाई क्षेत्र एक निश्चित केंद्रीय बिंदु से दूरी 1 के बिंदुओं का समूह है। निश्चित केंद्रीय बिंदु आमतौर पर अंतरिक्ष में एक विशिष्ट बिंदु को संदर्भित करता है जिसे अंतरिक्ष की उत्पत्ति के रूप में प्रतिष्ठित किया गया है (यानी 2 डी ग्राफ पर बिंदु (0,0) को 3 डी ग्राफ पर मूल माना जाता है) 0,0,0))।
एक हाइपरस्फियर किसी दिए गए बिंदु से एक स्थिर दूरी पर बिंदुओं का एक सेट है, (n-1) ‘वें आयाम जिसमें यह परिवेश स्थान है। उदाहरण के लिए, आयाम R x (x, y, z समतल) में एक हाइपरस्फेयर एक गोला होगा, जिसे 2-क्षेत्र भी कहा जाता है।
3-क्षेत्र एक उच्च आयाम में एक क्षेत्र का एनालॉग है और 4 वें आयाम में एक हाइपरस्फेयर होगा।
यदि आपके पास 4 आयाम में मूल पर त्रिज्या 1 और केंद्र के साथ 3-क्षेत्र है, तो आपको एक हाइपरस्फेयर मिलता है जो चौथे आयाम में इकाई क्षेत्र (एक निश्चित बिंदु से दूरी 1 के बिंदुओं के एक गोले) को बांधता है।
[नीचे के लिए अर्ध-महत्वपूर्ण] यदि आपके पास यूक्लिडियन स्थान में एक लूप है जैसे कि आप इसे “कस” सकते हैं (एक सर्कल के बारे में सोचें और त्रिज्या को लगातार कम कर दें जब तक कि आपके पास 0 का त्रिज्या न हो) एक बिंदु पर – सभी मध्यस्थ छोरों और अंतिम बिंदु सभी सेट में हैं, फिर लूप को “अंतरिक्ष में एक बिंदु पर लगातार कड़ा किया जा सकता है”
आम आदमी के शब्दों में, हम एक ऐसे स्थान के बारे में सोचते हैं, जो स्थानीय रूप से साधारण त्रि-आयामी अंतरिक्ष की तरह दिखता है, लेकिन जुड़ा हुआ है, आकार में परिमित है, और किसी भी सीमा (एक बंद 3-गुना) का अभाव है। फिर प्रमेय का दावा है कि यदि ऐसा स्थान मौजूद है और अतिरिक्त संपत्ति है कि प्रत्येक लूप को अंतरिक्ष में एक बिंदु तक लगातार कड़ा किया जा सकता है, तो यह एक त्रि-आयामी क्षेत्र है।

गणितज्ञों के लगभग एक सदी के प्रयास के बाद, पेरेलमैन ने 2002 और 2003 के बीच कागजात में अनुमान का प्रमाण प्रस्तुत किया। रिचर्ड एस। हैमिल्टन के काम पर बनाया गया प्रमाण, जिसमें उन्होंने दिखाया कि किस तरह से विशेष मामलों को साबित करने के लिए रिकसी फ्लोऑन का कई गुना उपयोग किया जाता है। पोइंकेरे अनुमान। हैमिल्टन ने कई वर्षों तक अपना काम बढ़ाया लेकिन अनुमान को सही साबित नहीं कर पाए। इस ग्राउंडवर्क का उपयोग करते हुए, पेरेलमैन एक अधिक सामान्य अनुमान के एक प्रमाण को स्केच करने में सक्षम था, थर्स्टन का जियोमेट्रिज़ेशन अनुमान, रिक्की प्रवाह कार्यक्रम को पूरा करने और पहले मिलेनियम पुरस्कार समस्या को साबित करने के लिए।

22 अगस्त 2006 को, अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस के गणितज्ञों ने अनुमान के आधार पर पेरेलमैन को उनके काम के लिए फील्ड्स मेडल से सम्मानित किया, लेकिन मिलियन डॉलर के इनाम के समान, उन्होंने पदक से इनकार कर दिया। जब पुरस्कार राशि को कम करने के बारे में पूछा गया, तो वह विनम्र रहे, उन्होंने कहा कि अनुमान को साबित करने में उनका योगदान हैमिल्टन से अधिक नहीं था।

क्ले मैथेमेटिक्स इंस्टीट्यूट (सीएमआई) द्वारा पोइनकेरे अनुमान और 6 अन्य जटिल गणितीय सिद्धांतों को मिलेनियम पुरस्कार समस्या करार दिया गया है। प्रत्येक समस्या को “महत्वपूर्ण क्लासिक प्रश्न के रूप में वर्णित किया गया है जिसने वर्षों में समाधानों का विरोध किया है”, पहले व्यक्ति के साथ सीएमआई के प्रत्येक $ 1,000,000 के शिष्टाचार का समाधान करने वाला व्यक्ति था। हालाँकि, जैसा कि आपने ऊपर देखा, इन समस्याओं को हल करना कोई आसान उपलब्धि नहीं है। जर्मन गणितज्ञ बर्नहार्ड रीमैन द्वारा 1859 में इसके निर्माण के बाद से एक समस्या बनी हुई है।
उक्त जर्मन गणितज्ञ के नाम पर रखा गया रिमैन हाइपोथीसिस, व्यापक रूप से शुद्ध गणित में सबसे महत्वपूर्ण अनसुलझी समस्या माना जाता है। यह संख्या सिद्धांत में बहुत रुचि है क्योंकि इसका मतलब है कि प्रमुख संख्या के वितरण के बारे में परिणाम, जो जीव विज्ञान से एन्क्रिप्शन और क्वांटम यांत्रिकी में सब कुछ में उपयोग किए जाते हैं। रीमैन परिकल्पना को समझने के लिए, हमें पहले कुछ प्रमुख अवधारणाओं को समझाना होगा:

एक जटिल संख्या एक + द्वि के रूप में होती है, जहां मुझे i -1 = -1 द्वारा परिभाषित किया जाता है। इस रूप में, एक जटिल संख्या का वास्तविक हिस्सा एक है, और काल्पनिक भाग द्वि है।
रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन निम्नलिखित समीकरण द्वारा परिभाषित एक जटिल चर (जटिल संख्याओं का एक फ़ंक्शन) का एक फ़ंक्शन है, जहां s 1 के अलावा कोई भी जटिल संख्या है, और जिनके मान भी जटिल हैं:

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एक फ़ंक्शन का “शून्य” एक x ऐसा है जो f (x) = 0 है
रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन का “तुच्छ शून्य” पूर्णांक (-2, -4, -6, …) सभी नकारात्मक हैं
रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन का “गैर-तुच्छ शून्य” उन सभी के अन्य मान हैं जिनके लिए = (s) = 0 (यानी। एक नकारात्मक भी पूर्णांक नहीं है)।
अब हमारे पास पॅट डाउन की कुछ परिभाषाएँ हैं, हम आगे जा सकते हैं और रीमैन परिकल्पना को बता सकते हैं:

3.रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के प्रत्येक गैर-तुच्छ शून्य का वास्तविक हिस्सा 1/2 है

यह एक (कम से कम मेरे लिए) पोनकारे अनुमान की तुलना में समझने में बहुत आसान है और सहज ज्ञान युक्त नहीं लगता है। हालाँकि, यह भी ज्यादा मतलब नहीं है। वास्तव में, कौन परवाह करता है जब इस यादृच्छिक समारोह का मूल्य 0. अच्छी तरह से आश्चर्य की बात नहीं है, बहुत सारे गणितज्ञ करते हैं, और एक बहुत अच्छे कारण के लिए।

कुछ नंबरों का  विशेष गुणधर्म  है कि उन्हें दो छोटी संख्याओं के उत्पाद के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है (उत्पाद गुणा किया जा रहा है), अर्थात। 2,3,5,7,11, आदि को प्राइम नंबर्स के रूप में जाना जाता है, वे एक अर्थ में सबसे सरल संख्याएं हैं जो आप प्राप्त कर सकते हैं, जो अन्य सभी नंबरों के लिए बिल्डिंग ब्लॉक बनाते हैं। निराशा की बात है कि प्राइम नंबर किसी भी पैटर्न का पालन नहीं करते हैं। 3137 एक प्रमुख संख्या है, और उसके बाद अगला 3163 तक नहीं है, लेकिन फिर 3167 और 3169 त्वरित उत्तराधिकार में पालन करते हैं, जिनमें से सभी primes हैं। संक्षेप में, यदि आपको एक अभाज्य संख्या मिल जाती है, तो यह बताने का कोई तरीका नहीं है कि आपके पास जाते समय सभी संख्याओं की जाँच किए बिना अगला कहाँ होने वाला है। हालाँकि, प्राइम नंबर प्रमेय (PNT) का उपयोग करके,आप पा सकते हैं कि एक निश्चित सीमा से नीचे कितने प्राइम नंबर हैं।
प्राइम नंबर प्रमेय सिर्फ एक अनुमान है, विभिन्न मूल्यों के सही होने की एक अलग संभावना है, लेकिन कभी भी 100% निश्चितता नहीं है। हालांकि, इस धारणा को समझें कि रीमैन परिकल्पना सच है, आप आंतरिक घटकों को त्रुटि को सही करने के लिए प्राइम नंबर प्रमेय और रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के गैर-तुच्छ शून्य को मिलाकर गणितीय सन्निकटन बना सकते हैं, जो “सर्वोत्तम संभव” प्रदान करता है। प्राइम नंबर प्रमेय में त्रुटि शब्द। यदि यह रीमैन परिकल्पना को पूरी तरह से साबित करना संभव था, तो यह पीएनटी को गणित की विभिन्न शाखाओं में कई संभावनाओं को खोलते हुए वास्तविक मूल्य के अविश्वसनीय रूप से घनिष्ठ अनुमान प्रदान करने की क्षमता प्रदान करेगा। वास्तव में, कई महत्वपूर्ण परिकल्पनाएं हैं जो “अगर रीमैन परिकल्पना सच है, तो …” के साथ है, इसलिए इस समस्या को हल करना तुरंत बाद के सभी अनुमानों को भी मान्य करेगा।

एक और दिलचस्प मिलेनियम समस्या ने हाल ही में 2017 की फिल्म गिफ्टेड के लिए धन्यवाद का एक सा अर्जित किया है, जो नवियर-स्टोक्स समस्या को हल करने के लिए समर्पित एक महिला गणितज्ञ के भाई और बेटी पर केंद्रित है। फिल्म समस्या पर ज्यादा नहीं छूती है, शायद इसकी जटिलता के कारण, लेकिन यह किसी भी तरह से कम नहीं है।

नवियर-स्टोक्स अस्तित्व और चिकनाई की समस्या नवियर-स्टोक्स समीकरणों के समाधान के गणितीय गुणों की चिंता करती है, द्रव यांत्रिकी के स्तंभों में से एक। हमारी नाव का अनुसरण करने वाली लहरों की कल्पना करें जैसे हम एक आधुनिक जेट में उड़ानों के बाद एक झील, या अशांत हवा की धाराओं पर चलते हैं। गणितज्ञों और भौतिकविदों का मानना ​​है कि नवियर-स्टोक्स समीकरणों के समाधान की समझ के माध्यम से हवा और अशांति दोनों की भविष्यवाणी और भविष्यवाणी की जा सकती है।

जबकि नवियर-स्टोक्स अस्तित्व और चिकनाई समस्या हल करने के लिए सवालों की एक बहुत व्यापक रेंज है, वास्तविक मिलेनियम समस्या समस्या के एक विशिष्ट कथन के समाधान पर केंद्रित है:

तीन अंतरिक्ष आयामों और समय में, एक प्रारंभिक वेग क्षेत्र को देखते हुए, एक वेक्टर वेग और एक स्केलर प्रेशर फ़ील्ड मौजूद है, जो दोनों चिकनी और विश्व स्तर पर परिभाषित हैं, जो नवियर-स्टोक्स समीकरणों को हल करते हैं।

जीत का दावा करने के लिए, आपको या तो एक वैध प्रति-उदाहरण प्रदान करने की आवश्यकता है, उपरोक्त कथन को निर्णायक साबित करें। इस समस्या का समाधान वैज्ञानिक और इंजीनियरिंग दोनों दृष्टिकोण से हम जिस दुनिया में रहते हैं, उसकी बेहतर समझ हासिल करने में मदद करेगा। समीकरणों का उपयोग मौसम, समुद्री धाराओं, एक पाइप में बहने वाले पानी और एक पंख के चारों ओर हवा के प्रवाह को मॉडल करने के लिए किया जा सकता है। अन्य चीजों के अलावा, विमान और कारों के डिजाइन में सहायता, रक्त प्रवाह का अध्ययन, पावर स्टेशनों के डिजाइन और प्रदूषण के विश्लेषण में उनका उपयोग कर सकते हैं।
वहाँ 4 अन्य मिलेनियम समस्याएं हैं, सभी बहुत दिलचस्प हैं, और यह साबित करना बहुत मुश्किल है। हालाँकि, मैं अपने लेखों को छोटा रखना पसंद करता हूं, इसलिए मैं उन 4 को दूसरी बार छोड़ दूंगा। हालाँकि, मैं ध्यान दूंगा कि मेरी व्यक्तिगत पसंद P बनाम NP समस्या है, जो कंप्यूटर विज्ञान (मेरी वर्तमान डिग्री) में एक बड़ी अनसुलझी समस्या है। यह बस पूछता है कि क्या हर समस्या जिसका समाधान जल्दी सत्यापित किया जा सकता है, उसे भी जल्दी से हल किया जा सकता है। बेशक, कुछ स्पष्टता प्रदान करने के लिए उस कथन के आसपास कई परिभाषाएं हैं, लेकिन यह मेरे अगले लेख के लिए एक है।

इस बीच, यदि आप किसी मिलेनियम प्रॉब्लम (या सॉल्यूशन में एक शॉट लेने वाले फैंस) के बारे में पढ़ने में रुचि रखते हैं, तो यहां क्ले मैथमेटिक्स इंस्टीट्यूट की वेबसाइट पर सूचीबद्ध हैं। और अगर आप चाहते हैं कि मैं किसी एक समस्या की अधिक गहराई से समीक्षा करूं, तो जटिल गणित को किसी चीज़ में बदलने की पूरी कोशिश करूँगा (और उम्मीद है कि आप) समझ सकते हैं, एक टिप्पणी छोड़ना सुनिश्चित करें जिससे मुझे पता चले कि आप कौन से हैं मुझे करना चाहते हैं।

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