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Equation of Cylinder 3D

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1.त्रिविम निर्देशांक में बेलन का समीकरण (Equation of Cylinder 3D),xyz में बेलन का समीकरण (Equation of Cylinder in xyz):

त्रिविम निर्देशांक में बेलन का समीकरण (Equation of Cylinder 3D) में बेलन का समीकरण,जनक रेखा,निर्देशक रेखा,अक्ष,निर्देशक वक्र को जानना आवश्यक है।
बेलन की परिभाषा (Definition of Cylinder):
बेलन वह पृष्ठ है जो ऐसी चर सरल रेखा के द्वारा जनित होता है जो एक निश्चित सरल रेखा के समांतर रहती है तथा दिए हुए वक्र को प्रतिच्छेदित करती है या स्पर्श करती है।
चर सरल रेखा बेलन की जनक रेखा (generator),निश्चित सरल रेखा उसकी निर्देशक रेखा (guiding line) या अक्ष तथा चर रेखा जिस वक्र को सदैव प्रतिच्छेदित करती है वह निर्देशक (Guiding Curve) कहलाता है।
बेलन का समीकरण (Equation of Cylinder):
उस बेलन का समीकरण ज्ञात करना जिसके जनक सरल रेखा

\frac{x}{l}=\frac{y}{m}=\frac{z}{n}
के समान्तर हैं तथा निम्न शांकव को प्रतिच्छेदित करते हैं:
(To find the equation of a cylinder whose generators are parallel to the line \frac{x}{l}=\frac{y}{m}=\frac{z}{n} and intersect the conic):

ax^{2}+2 h x y+b y^{2}+2 g x+2 f y+c=0, z=0
दी हुई निश्चित् रेखा का समीकरण है: \frac{x}{l}=\frac{y}{m}=\frac{z}{n} \cdots(1) 
तथा निर्देशक वक्र का समीकरण है:

a x^{2}+2 h x y+b y^{2}+2 g x+2fy+c=0, z=0 \ldots(2)
माना कि बेलन पर कोई बिन्दु P(\alpha, \beta, \gamma) है तो बिन्दु P से होकर जानेवाली तथा रेखा (1) के समान्तर जनक रेखा के समीकरण होंगे:

\frac{x-\alpha}{l}=\frac{y-\beta}{m}=\frac{z-\gamma}{n} \cdots(3)
जनक (3) शांकव के समतल z=0 से मिलती है अतः

\frac{x-\alpha}{x}=\frac{y-\beta}{m}=\frac{0-\gamma}{n}
और प्रतिच्छेदन बिन्दु \left(\alpha-\frac{l \gamma}{n}, \beta-\frac{m \gamma}{n}, 0\right) है।
बेलन की परिभाषानुसार यह बिन्दु शांकव पर होगा यदि

a\left(\alpha-\frac{l \gamma}{n}\right)^{2}+2 h\left(\alpha-\frac{l \gamma}{n}\right)\left(\beta-\frac{m \gamma}{n}\right) +b\left(\beta-\frac{m \gamma}{n}\right)^{2}+2 g\left(\alpha-\frac{l \gamma}{n}\right)+ 2 f\left(\beta-\frac{m \gamma}{n}\right)^{2}+2 g\left(x-\frac{l z}{n}\right) +2 f\left(y-\frac{m z}{n}\right)+c=0 \\ \Rightarrow a(n x-l z)^{2}+2 h(n x-l z)(n y-m z) +b(n y-m z)^{2}+2 g n(n x-l z) +2f n(n y-m z)+n^{2} c=0
जो कि बेलन का अभीष्ट समीकरण है।
उपप्रमेय (Corollary):यदि एक समांतर हो तो क्या होगा
उत्तर:यदि बेलन के जनक z-अक्ष के समान्तर हैं अर्थात् l=m=0,n=1 तब बेलन का समीकरण होगा:

a x^{2}+2 h x y+b y^{2}+2 g x+2 f y+c=0
अर्थात् x,y में द्विघाती समीकरण त्रिविम निर्देशांक ज्यामिति में एक ऐसे बेलन को प्रदर्शित करती है जिनके जनक z-अक्ष होते हैं।
इसी प्रकार हम उन बेलनों का समीकरण ज्ञात कर सकते हैं जिनके अक्ष अन्य निर्देशांक अक्षों के समान्तर होते हैं।
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2.त्रिविम निर्देशांक में बेलन का समीकरण के साधित उदाहरण (Equation of Cylinder 3D Solved Examples):

उन बेलनों के समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी जनक रेखाएँ निम्न रेखाओं के समान्तर हैं तथा उनके सम्मुख लिखित वक्रों को काटती हैं:
(Find the equations of a cylinders whose generators are parallel to the following lines and intersecting the curves mentioned against them):
Example:1. \frac{x}{4}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{3};दीर्घवृत (ellipse) 4 x^{2}+2 y^{2}=1, z=0
Solution: \frac{x}{4}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{3} ;दीर्घवृत (ellipse) 4 x^{2}+2 y^{2}=1, z=0
माना कि अभीष्ट बेलन पर P(\alpha, \beta, \gamma) कोई बिन्दु है।अब P से गुजरने वाली तथा \frac{x}{4}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{3} के समान्तर जनक रेखा का समीकरण होगा:

\frac{x-\alpha}{4}=\frac{y-\beta}{-2}=\frac{z-\gamma}{3} \cdots(1)
जनक (1) तल z=0 को बिन्दु \left(\alpha-\frac{4 \gamma}{3}, \beta+\frac{2 \gamma}{3}, 0\right) पर प्रतिच्छेद करता है।यह प्रतिच्छेद बिन्दु 4 x^{2}+2 y^{2}=1 पर स्थित होना चाहिए।

4\left(\alpha-\frac{4 \gamma}{3}\right)^{2}+2\left(\beta+\frac{2 \gamma}{3}\right)^{2}=1
का बिन्दुपथ होगा:

4\left(x-\frac{4 z}{3}\right)^{2}+2\left(y+\frac{2 z}{3}\right)^{2}=1 \\ \Rightarrow 4(3 x-4 z)^{2}+2(3 y+2 z)^{2}=9 \\ \Rightarrow 4\left(9 x^{2}-24 x z+16 z^{2}\right)+2\left(9 y^{2}+4 z^{2}+12 y z\right)=9 \\ \Rightarrow 36 x^{2}-96 x z+64 z^{2}+18 y^{2}+8 z^{2}+24 y z=9 \\ \Rightarrow 36 x^{2}+18 y^{2}+72 z^{2}-96 x z+24 y z=9 \\ \Rightarrow 3\left(12 x^{2}+6 y^{2}+24 z^{2}-32 x z+8 y z\right)=9 \\ \Rightarrow 12 x^{2}+6 y^{2}+24 z^{2}-32 x z+8 y z=3 \\ \Rightarrow 12 x^{2}+6 y^{2}+2 y z^{2}+8 y z-32 x z-3=0
Example:2. \frac{x}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{3} ;दीर्घवृत (ellipse) x^{2}+2 y^{2}=1, z=3
Solution: \frac{x}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{3};दीर्घवृत (ellipse) x^{2}+2 y^{2}=1, z=3
माना कि अभीष्ट बेलन पर P(\alpha, \beta, \gamma) कोई बिन्दु है।अब P से गुजरने वाली \frac{x}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{3} तथा के समान्तर जनक रेखा का समीकरण होगा:

\frac{x-\alpha}{1}=\frac{y-\beta}{-2}=\frac{z-\gamma}{3} \cdots(1)
जनक (1) तल z=3 को बिन्दु \left(\alpha+\frac{3-\gamma}{3}, \beta+\frac{-2(3-\gamma)}{3}, 3\right) पर प्रतिच्छेद करता है।यह प्रतिच्छेद बिन्दु x^{2}+2 y^{2}=1 पर स्थित होना चाहिए।

\left(\alpha+\frac{3-\gamma}{3}\right)^{2}+2\left(\beta +\frac{-2(3-\gamma)}{3}\right)^{2}=1
P(\alpha, \beta, \gamma) का बिन्दुपथ होगा:

\left(2 x+\frac{3-z}{3}\right)^{2}+2\left(y-\frac{6-2 z}{3}\right)^{2}=1 \\ \Rightarrow (3 x+3-z)^{2}+2(3 y-6+2z)^{2}=9 \\ \Rightarrow 9 x^{2}+9+z^{2}+18 x-6 z-6 x z+2\left(9 y^{2}+36+4 z^{2}-36 y-24 z+12 y z\right)=9 \\ \Rightarrow 9 x^{2}+9+z^{2}+18 x-6 z-6 x z+18 y^{2}+72+8 z^{2}-72 y-48 z+24 y z=9 \\ \Rightarrow 9 x^{2}+18 y^{2}+9 z^{2}+24 y z-6 x z +18 x-72 y-54 z+72=0 \\ \Rightarrow 3\left(3 x^{2}+6 y^{2}+3 z^{2}+8 y z-2 x z+6 x-24 y-18 z+24\right)=0 \\ \Rightarrow 3 x^{2}+6 y^{2}+3 z^{2}+8 y z-2 x z +6 x-24 y-18 z+24=0
Example:3. \frac{x}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{3} ;दीर्घवृत (ellipse) x^{2}+2 y^{2}=1,z=0
Solution: \frac{x}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{3} ;दीर्घवृत (ellipse) x^{2}+2 y^{2}=1,z=0
माना कि अभीष्ट बेलन पर P(\alpha, \beta, \gamma) कोई बिन्दु है।अब P से गुजरने वाली तथा \frac{x}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{3} के समान्तर जनक रेखा का समीकरण होगा:

\frac{x-\alpha}{1}=\frac{y-\beta}{-2}=\frac{z-\gamma}{3} \cdots(1)
जनक (1) तल z=0 को बिन्दु \left(\alpha-\frac{r}{3}, \beta+\frac{2 \gamma}{3}, 0\right) पर प्रतिच्छेद करता है।यह प्रतिच्छेद बिन्दु x^{2}+2 y^{2}=1 पर स्थित होना चाहिए।

\left(\alpha-\frac{\gamma}{3}\right)^{2}+2\left(\beta+\frac{2 \gamma}{3}\right)^{2}=1
का बिन्दुपथ होगा:

\Rightarrow\left(x-\frac{z}{3}\right)^{2}+2\left(y+\frac{2 z}{3}\right)^{2}=1 \\ \Rightarrow(3 x-z)^{2}+2(3 y+2 z)^{2}=9 \\ \Rightarrow 9 x^{2}+z^{2}-6 x z+2\left(9 y^{2}+4 z^{2}+12 y z\right)=9 \\ \Rightarrow 9 x^{2}+z^{2}-6 x z+18 y^{2}+8 z^{2}+24 y z=9 \\ \Rightarrow 9 x^{2}+18 y^{2}+9 z^{2}+24 y z-6 x z=9 \\ \Rightarrow 3\left(3 x^{2}+6 y^{2}+3 z^{2}+8 y z-2 x z\right)=9 \\ \Rightarrow 3\left(x^{2}+2 y^{2}+z^{2}\right)-2 x z+8 y z=3
Example:4. \frac{x}{3}=\frac{y-4}{5}=\frac{z+1}{-4} ;अतिपरवलय (hyperbola) 3 x^{2}-4 y^{2}=5, z=2
Solution: \frac{x}{3}=\frac{y-4}{5}=\frac{z+1}{-4} ;अतिपरवलय (hyperbola) 3 x^{2}-4 y^{2}=5, z=2
माना कि अभीष्ट बेलन पर P(\alpha, \beta, \gamma) कोई बिन्दु है।अब P से गुजरने वाली तथा \frac{x}{3}=\frac{y-4}{5}=\frac{z+1}{-4} के समान्तर जनक रेखा का समीकरण होगा:

\frac{x-\alpha}{3}=\frac{y+\beta}{5}=\frac{z-1}{-4} \cdots(1)
जनक (1) तल z=2 को बिन्दु \left(\alpha+\frac{6-3 \gamma}{-4}, \beta+\frac{10-5 \gamma}{-4}, 2\right) पर प्रतिच्छेद करता है।यह प्रतिच्छेद बिन्दु 3 x^{2}-4 y^{2}=5 पर स्थित होना चाहिए।

3\left[\alpha+\frac{6-3 \gamma}{(-4)}\right]^{2}-4\left[\beta+\frac{10-5 \gamma}{(-4)}\right]^{2}=5
P(\alpha, \beta, \gamma)  का बिन्दुपथ होगा:

\Rightarrow 3{\left[x+\frac{6-3 z}{4}\right]^{2}-4\left[y+\frac{10-5 z}{4}\right]^{2}=5 } \\ \Rightarrow 3(-4 x+6-3 z)^{2}-4(-4 y+10-5 z)^{2}=80 \\ \Rightarrow 3\left(16 x^{2}+36+9 z+48 x-36 z+24 z^{2}\right)-4(16 y^{2}+100+25 z^{2}-80 y-10 z+40 yz)=80 \\ \Rightarrow 48 x^{2}+108+27 z^{2}-144 x-108 z +72 zx-64 y^{2}-400-100 z^{2}+320 y+400 z-160 zy=80 \\ \Rightarrow 48 x^{2}-64 y^{2}-73 z^{2}-160 y z + 72 z x-144 x+320 y+292 z-372=0

Example:5.z-अक्ष, a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}=1 ,lx+my+nz=p
Solution:z-अक्ष a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}=1 ,lx+my+nz=p
माना P(\alpha, \beta, \gamma) अभीष्ट बेलन पर कोई बिन्दु है।तब बिन्दु P से गुजरने वाले जनक रेखा के समीकरण होंगे:
\frac{x-\alpha}{0}=\frac{y-\beta}{0}=\frac{z-\gamma}{1}=r (माना)
इस जनक पर किसी बिन्दु के निर्देशांक (\alpha, \beta, \gamma+r) होंगे।यदि जनक इस बिन्दु पर प्रतिच्छेदित करता तब

a \alpha^{2}+b \beta^{2}+c(\gamma+r)^{2}=1 \cdots(1) \\ l \alpha+b m \beta+\eta(\gamma+r)=p \cdots(2)
समीकरण (1) व (2) में से r विलोपन करने पर:

a \alpha^{2}+b \beta^{2}+c\left[\frac{p-l \alpha-m \beta}{n}\right]^{2}=1 \\ \Rightarrow a \alpha^{2}+b \beta^{2}+ \frac{c(p^{2}+l^{2} \alpha^{2}+m^{2} \beta^{2}-2 p l \alpha+2 l m \alpha \beta-2 p m \beta)}{n^{2}}=1 \\ \Rightarrow a n^{2} \alpha^{2}+b n^{2} \beta^{2}+c(p^{2}+l^{2} \alpha^{2}+m^{2} \beta^{2}-2 p l \alpha+2 l m \alpha \beta-2 p m \beta)=n^{2}
P(\alpha, \beta, \gamma) का बिन्दुपथ होगा:

\Rightarrow a n^{2} x^{2}+b n^{2} y^{2}+c p^{2}+c l^{2} x^{2}+c m^{2} y^{2}-2 p c l x+2 c lm x y-2 p m yc=n^{2} \\ \Rightarrow \left(a n^{2}+c l^{2}\right) x^{2}+\left(b n^{2}+c m^{2}\right) y^{2}+2 c lm x y - 2 c p lx-2 c p m y+c p^{2}-n^{2}=0
Example:6.x-अक्ष a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}=1,lx+my+nz=p
Solution:z-अक्ष a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}=1,lx+my+nz=p
माना P(\alpha, \beta, \gamma) अभीष्ट बेलन पर कोई बिन्दु है।अब बिन्दु P से गुजरने वाले जनक रेखा के समीकरण होंगे:
\frac{x-\alpha}{l}=\frac{y-\beta}{0}=\frac{z-r}{0}=r (माना)
इस जनक पर किसी बिन्दु के निर्देशांक (\alpha+r, \beta, \gamma) होंगे।यदि जनक इस बिन्दु पर प्रतिच्छेदित करता तब

a(\alpha+r)^{2}+b \beta^{2}+c \gamma^{2}=1 \cdots(1) \\ l(\alpha+r)+m \beta+n \gamma=p \cdots(2)
समीकरण (1) व (2) में से r विलोपन करने पर:

a\left[\frac{p-(m \beta+n \gamma)}{n}\right]^{2}+b \beta^{2}+c \gamma^{2}=1 \\ \Rightarrow a[p-(m \beta+n \gamma)]^{2}+b n^{2} \beta^{2}+c n^{2} \gamma^{2}=n^{2} \\ \Rightarrow a(p-m \beta-n \gamma)^{2}+b n^{2} \beta^{2}+c n^{2} \gamma^{2}=n^{2}
P(\alpha, \beta, \gamma) का बिन्दुपथ होगा:

a\left(p-m y-n z\right)^{2}+b n^{2} y^{2}+c n^{2} z^{2}=n^{2} \\ \Rightarrow a(p^{2}+n^{2} y^{2}+n^{2} z^{2}-2 p m y+2 m n y z-2 p n z)+b n^{2} y^{2}+c n^{2} z^{2}=n^{2} \\ \Rightarrow a p^{2}+a m^{2} y^{2}+a n^{2} z^{2}-2 a p m y+ 2 a m n y z-2 a p n z+b n^{2} y^{2}+c n^{2} z^{2} =n^{2}\\ \Rightarrow \left(a m^{2}+b n^{2}\right) y^{2}+\left(a n^{2}+c n^{2}\right) z^{2} -2 a p m y+2 a m n y z-2 a p n z+ a p^{2}-n^{2}=0
Example:7.y-अक्ष x^{2}+y^{2}+2 z^{2} =1 2 ,x-y+z=1
Solution:z-अक्ष x^{2}+y^{2}+2 z^{2} =1 2,x-y+z=1
माना P(\alpha, \beta, \gamma) अभीष्ट बेलन पर कोई बिन्दु है।अब बिन्दु P से गुजरने वाले जनक रेखा के समीकरण होंगे:
\frac{x-\alpha}{0}=\frac{y-\beta}{1}=\frac{z-\gamma}{0}=r (माना)
इस जनक पर किसी बिन्दु के निर्देशांक (\alpha, \beta+r, \gamma) होंगे।यदि जनक इस बिन्दु पर प्रतिच्छेदित करता तब

\alpha^{2}+(\beta+r)^{2}+2 \gamma^{2}=12 \cdots(1) \\ \alpha-(\beta+r)+\gamma=1 \cdots(2)
समीकरण (1) व (2) में से r विलोपन करने पर:

\alpha^{2}+(\alpha+\gamma-1)^{2}+2 \gamma^{2}=12
P(\alpha, \beta, \gamma) का बिन्दुपथ होगा:

x^{2}+(x+z-1)^{2}+2 z^{2}=12 \\ \Rightarrow x^{2}+x^{2}+z^{2}+1+2 x z-2 z-2 x+2 z=12 \\ \Rightarrow 2 x^{2}+3 z^{2}+2 x z-2 x-2 z-11=0
Example:8.उस बेलन का समीकरण ज्ञात करिए जिनकी जनक रेखाओं की दिक्कोज्याएँ l,m,n हैं तथा जो वृत x^{2}+z^{2}=a^{2}, y=0 से गुजरती है।
(Find the equation of a cylinder whose generating lines have the direction cosines l,m,n and which passes through the circle x^{2}+z^{2}=a^{2}, y=0.)
Solution:माना P(\alpha, \beta, \gamma) बेलन पर कोई बिन्दु है।तब बिन्दु P से गुजरने वाले जनक होंगे:

\frac{x-\alpha}{l}=\frac{y-\beta}{m}=\frac{z-n}{n} \cdots(1)
जनक (1) तल y=0 को बिन्दु पर प्रतिच्छेद करता है।अतः

\frac{x-\alpha}{l}=-\frac{\beta}{m}=\frac{z-\gamma}{n}
अतः जनक तल y=0 पर बिन्दु \left(\alpha-\frac{l \beta}{m}, 0, \gamma-\frac{n \beta}{n}\right) पर प्रतिच्छेद करता है।यह प्रतिच्छेद बिन्दु x^{2}+z^{2}=a^{2} पर स्थित होना चाहिए।

\left(\alpha-\frac{l \beta}{m}\right)^{2}+\left(\gamma-\frac{n \beta}{m}\right)^{2}=a^{2} \\ \Rightarrow (m \alpha-l \beta)^{2}+(m \gamma-n \beta)^{2}=a^{2} m^{2}
P(\alpha, \beta, \gamma) का बिन्दुपथ होगा:

\Rightarrow(m x-l y)^{2}+(m z-n y)^{2}=a^{2} m^{2}
Example:9.उस बेलन का समीकरण ज्ञात करिए जिनकी जनक रेखाएँ \frac{x}{l}=\frac{y}{m}=\frac{z}{n} के समान्तर हैं तथा जिनका आधार वक्र x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0,z=0 है।
(Find the equation of a cylinder whose generators are parallel to the line \frac{x}{x}=\frac{y}{m}=\frac{z}{n} and base is the curve x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0,z=0.)
Solution:माना P(\alpha, \beta, \gamma) बेलन पर कोई बिन्दु है।तब बिन्दु P से गुजरने वाले जनक होंगे:

\frac{x-\alpha}{l}=\frac{y-\beta}{m}=\frac{z-\gamma}{n} \cdots(1)
जनक (1) तल z=0 को बिन्दु पर प्रतिच्छेद करता है।अतः

\frac{x-\alpha}{l}=\frac{y-\beta}{m}=-\frac{\gamma}{n}
अतः जनक तल z=0 पर बिन्दु \left(\alpha-\frac{l r}{n}, \beta-\frac{m \gamma}{n}, 0\right) पर प्रतिच्छेद करता है।यह प्रतिच्छेद बिन्दु x^{2}+y^{2}+2 g x+2 x y+c=0 पर स्थित होना चाहिए।

\left(\alpha-\frac{l \gamma}{n}\right)^{2}+\left(\beta-\frac{m \gamma}{n}\right)^{2}+2 g\left(\alpha- \frac{l\gamma}{n}\right)+2 f\left(\beta-\frac{m \gamma}{n}\right)+c=0 \\ \Rightarrow(n \alpha-l r)^{2}+(n \beta-m \gamma)^{2}+2 g n(n \alpha-l \gamma) +2 f n(n \beta-m \gamma)+cn^{2}=0
P(\alpha, \beta, \gamma) का बिन्दुपथ होगा:

(n x-l z)^{2}+(n y-m z)^{2}+2 g n(n x-l z) +2 f n(n y-m z)+c n^{2}=0
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा त्रिविम निर्देशांक में बेलन का समीकरण (Equation of Cylinder 3D),xyz में बेलन का समीकरण (Equation of Cylinder in xyz) को समझ सकते हैं।

3.त्रिविम निर्देशांक में बेलन का समीकरण पर आधारित सवाल (Questions Based on Equation of Cylinder 3D):

(1.)उस बेलन का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी जनक रेखाएँ \frac{x}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{3} के समान्तर हैं तथा जिसका निर्देशक वक्र x^{2}+2 y^{2}=1,z=0 है।
(Find the equation of the cylinder whose generators are parallel to the line \frac{x}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{3} and whose guiding curve is the ellipse x^{2}+2 y^{2}=1, z=0.)
(2.)उस बेलन का समीकरण ज्ञात करो जिसके जनक z-अक्ष के समान्तर हैं तथा वक्रों x^{2}+b y^{2}=2 z,lx+my+nz=p को काटते हैं।
(Find the equation of the cylinder whose generators are parallel to the z-axis and intersects the curve x^{2}+b y^{2}=2 z,lx+my+nz=0.)
उत्तर (Answers):(1)3\left(x^{2}+2 y^{2}+z^{2}\right)-2 x^{2}+8 y z-3=0 \\ (2)n\left(a x^{2}+b y^{2}\right)+2(l x+m y)=2 p
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर त्रिविम निर्देशांक में बेलन का समीकरण (Equation of Cylinder 3D),xyz में बेलन का समीकरण (Equation of Cylinder in xyz) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:-Equation of Right Circular Cone in 3D

4.त्रिविम निर्देशांक में बेलन का समीकरण (Equation of Cylinder 3D),xyz में बेलन का समीकरण (Equation of Cylinder in xyz) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1. (Define the cylinder):

उत्तर:बेलन वह पृष्ठ है जो ऐसी चर सरल रेखा के द्वारा जनित होता है जो एक निश्चित सरल रेखा के समांतर रहती है तथा दिए हुए वक्र को प्रतिच्छेदित करती है या स्पर्श करती है।

प्रश्न:2.निर्देशक वक्र की परिभाषा दो। (Define the Guiding Curve):

उत्तर:चर सरल रेखा बेलन की जनक रेखा (generator),निश्चित सरल रेखा उसकी निर्देशक रेखा (guiding line) या अक्ष तथा चर रेखा जिस वक्र को सदैव प्रतिच्छेदित करती है वह निर्देशक (Guiding Curve) कहलाता है।

प्रश्न:3.यदि बेलन के जनक z-अक्ष के समान्तर हों तो बेलन का समीकरण क्या होगा? (If the generators of the cylinder are parallel to the z-axis then what will be the equation of the cylinder?):

उत्तर:यदि बेलन के जनक z-अक्ष के समान्तर हैं अर्थात् l=m=0,n=1 तब बेलन का समीकरण होगा:
a x^{2}+2 h x y+b y^{2}+2 g x+2fy+c=0
अर्थात् x,y में द्विघाती समीकरण त्रिविम निर्देशांक ज्यामिति में एक ऐसे बेलन को प्रदर्शित करती है जिनके जनक z-अक्ष होते हैं।
इसी प्रकार हम उन बेलनों का समीकरण ज्ञात कर सकते हैं जिनके अक्ष अन्य निर्देशांक अक्षों के समान्तर होते हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा त्रिविम निर्देशांक में बेलन का समीकरण (Equation of Cylinder 3D),xyz में बेलन का समीकरण (Equation of Cylinder in xyz) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Equation of Cylinder 3D

त्रिविम निर्देशांक में बेलन का समीकरण
(Equation of Cylinder 3D)

Equation of Cylinder 3D

त्रिविम निर्देशांक में बेलन का समीकरण (Equation of Cylinder 3D) में बेलन का समीकरण,
जनक रेखा,निर्देशक रेखा,अक्ष,निर्देशक वक्र को जानना आवश्यक है।

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