1.त्रिविमीय निर्देशांक में जनक रेखाओं के निकाय (System of Generating Lines in 3D),अतिपरवलयज के जनकों के गुणधर्म (Properties of Generators of Hyperboloid):

System of Generating Lines in 3D

त्रिविमीय निर्देशांक में जनक रेखाओं के निकाय (System of Generating Lines in 3D) से तात्पर्य है कि अतिपरवलयज को हल करने पर हमें रेखा कुल प्राप्त होता है।अर्थात् इनसे एक पृष्ठीय परवलयज जनित होता है।
(1.)\lambda-निकाय तथा \mu-निकाय की जनक रेखाएँ (Generating Lines of \lambda -system and \mu-system):
एक पृष्ठीय अतिपरवलयज \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 के समीकरण को हम निम्न रूप में व्यक्त कर सकते हैं:

\left(\frac{x}{a}+\frac{z}{c}\right)\left(\frac{x}{a}-\frac{z}{c}\right)=\left(1+\frac{y}{b}\right)\left(1-\frac{y}{b}\right)
इसको निम्नलिखित दो रूपों में से किसी भी रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है:
\frac{\frac{x}{a}+\frac{z}{c}}{1+\frac{y}{b}}=\frac{1-\frac{y}{b}}{\frac{x}{a}-\frac{z}{c}}=\lambda (माना)…(1)
\frac{\frac{x}{a}-\frac{z}{c}}{1+\frac{y}{b}}=\frac{1-\frac{y}{b}}{\frac{x}{a}+\frac{z}{c}}=\mu (माना)….(2)
समीकरण (1) और (2) में प्राप्त निष्पत्तियों को यदि स्वेच्छ प्राचल और लें तो हमें निम्नलिखित रेखाएँ प्राप्त होती है:

\frac{x}{a}+\frac{z}{c}=\lambda\left(1+\frac{y}{b}\right), \frac{x}{a}-\frac{z}{c}=\frac{1}{\lambda}\left(1-\frac{y}{b}\right) \cdots(3) \\ \frac{x}{a}-\frac{z}{c}=\mu \left(1+\frac{y}{b}\right), \frac{x}{a}+\frac{z}{c}=\frac{1}{\mu}\left(1-\frac{y}{b}\right) \cdots(4)
ये समीकरण हमें दो स्पष्ट रेखा कुल (रेखा निकाय) देती है जिससे दिया हुआ एक पृष्ठीय अतिपरवलयज जनित होता है।इन जनक रेखा निकायों को हम क्रमशः \lambda-निकाय (\lambda-system) या \mu-निकाय (\mu-system) कहतें है।
गुणधर्म-I: अतिपरवलयज के एक ही निकाय के दो जनक अप्रतिच्छेदी होते हैं।
(No two generators of the same system of a hyperboloid of one sheet intersect.)
\lambda-निकाय के दो भिन्न जनक माना \lambda=\lambda_{1} तथा \lambda=\lambda_{2} क्रमशः हैं:

\frac{x}{a}+\frac{z}{c}=\lambda_{1}\left(1+\frac{y}{b}\right), \frac{x}{a}-\frac{z}{c}=\frac{1}{\lambda_{1}}\left(1-\frac{y}{b}\right) \cdots(1)
तथा \frac{x}{a}+\frac{z}{c}=\lambda_{2}\left(1+\frac{y}{b}\right) ; \frac{x}{a}-\frac{z}{c}=\frac{1}{\lambda_{2}}\left(1-\frac{y}{b}\right) \cdots(2)
(1) और (2) के पहले दो समीकरणों को घटाने पर:
\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right)\left(1+\frac{y}{b}\right)=0 \Rightarrow y=-b चूँकि \lambda_{1} \neq \lambda_{2}
इसी प्रकार (1) और (2) के दूसरे दो समीकरणों को घटाने पर:

\left(\frac{1}{\lambda_{1}}-\frac{1}{\lambda_{2}}\right)\left(1-\frac{y}{b}\right)=0 \Rightarrow y=b चूँकि \lambda_{1} \neq \lambda_{2}
यदि रेखाएँ (1) और (2) प्रतिच्छेदी हैं तो y का मान समान होना चाहिए था जो नहीं है अर्थात् एक ही निकाय के दो जनक अप्रतिच्छेदी होते हैं।
टिप्पणी:इससे यह भी सिद्ध होता है कि एक पृष्ठीय अतिपरवलयज अविकासनीय पृष्ठ (skew surface) है तथा अतिपरवलयज के किसी बिन्दु से प्रत्येक निकाय का एक और केवल एक ही सदस्य गुजरता है।
गुणधर्म-II अतिपरवलयज के \lambda-निकाय का कोई जनक \mu-निकाय के किसी जनक को प्रतिच्छेदित करता है।
(Any generator of the \lambda-system intersects any generator of the \mu-system of hyperboloid of one sheet)
\lambda-निकाय के किसी जनक का समीकरण होता है:

\frac{x}{a}+\frac{z}{c}=\lambda \left(1+\frac{y}{b}\right), \frac{x}{a}-\frac{z}{c}=\frac{1}{\lambda}\left(1-\frac{y}{b}\right) \cdots(1)
तथा \mu-निकाय का कोई जनक होता है:

\frac{x}{a}-\frac{z}{c}=\mu \left(1+\frac{y}{b}\right), \frac{x}{a}+\frac{z}{c}=\frac{1}{\mu}\left(1-\frac{y}{b}\right) \cdots(2)
यह तब और तब ही प्रतिच्छेद करेंगे अगर एक बिन्दु (x,y,z) (1) और (2) के चारों समीकरणों को सन्तुष्ट करे।
इनके प्रतिच्छेद बिन्दु ज्ञात करने के लिए (1) और (2) से:

\lambda\left(1+\frac{y}{b}\right)=\frac{1}{\mu}\left(1-\frac{y}{b}\right)
या \frac{y}{b}=\frac{1-\lambda \mu}{1+\lambda \mu} \cdots(3)
अतः \frac{x}{a}+\frac{z}{c}=\frac{2 \lambda}{1+\lambda \mu} तथा \frac{x}{a}-\frac{z}{c}=\frac{2 \mu}{1+\lambda \mu}
इनको हल करने पर:

\frac{x}{a}=\frac{\lambda+\mu}{1+\lambda \mu}  तथा \frac{z}{c}=\frac{\lambda-\mu}{1+\lambda \mu}
अतः दोनों जनक प्रतिच्छेदित करते हैं और उनका प्रतिच्छेदन बिन्दु है:

\left[\frac{a(\lambda+\mu)}{1+\lambda \mu}, \frac{b(1+\lambda \mu)}{1+\lambda \mu}, \frac{c(\lambda-\mu)}{1+\lambda \mu}\right]
टिप्पणी:(i)यहाँ यह ध्यान देने योग्य है कि \lambda \mu=-1 क्योंकि यदि \lambda \mu=-1 तो हम (1) और (2) से पाते है कि \frac{x}{a}+\frac{z}{c}=0 तथा \frac{x}{a}+\frac{z}{c}=\frac{2}{\mu}
जो असंगत है
(ii)चूँकि अतिपरवलयज के किसी बिन्दु से दोनों निकाय का केवल एक-एक सदस्य गुजरता है इसलिए अतिपरवलयज पर कोई भी बिन्दु \lambda-निकाय तथा \mu-निकाय का प्रतिच्छेद बिन्दु माना जा सकता है।
इसलिए अतिपरवलयज के किसी बिन्दु के प्राचलिक निर्देशांक (parametric coordinates) होते हैं जहाँ \lambda तथा \mu प्राचल हैं।ये निर्देशांक बहुत महत्त्वपूर्ण है

\left[\frac{a(\lambda+\mu)}{1+\lambda \mu} , \frac{b(1-\lambda \mu)}{1+\lambda \mu}, \frac{c(\lambda-\mu)}{1+\lambda \mu}\right]
गुणधर्म-III दो प्रतिच्छेदी जनकों से जानेवाला समतल अतिपरवलयज को प्रतिच्छेदित बिन्दु पर स्पर्श करता है।
(The plane through two intersecting is the tangent plane of the hyperboloid of one sheet at their common points):
\lambda जनक से जाने वाले किसी समतल का समीकरण होता है:

\left\{\left(\frac{x}{a}+\frac{z}{c}\right)-\lambda\left(1+\frac{y}{b}\right)\right\}+k\left\{\left(\frac{x}{a}-\frac{z}{c}\right)-\frac{1}{\lambda}\left(1-\frac{y}{b}\right)\right\}=0 \cdots(1)
इसी प्रकार \mu-जनक से जानेवाला समतल होता है:

\left\{\left(\frac{x}{a}-\frac{z}{c}\right)-\mu\left(1+\frac{y}{b}\right)\right\}+k^{\prime}\left\{\left(\frac{x}{a}+\frac{z}{c}\right)-\frac{1}{\mu}\left(1-\frac{y}{b}\right) \right\}=0 \cdots(2)
जहाँ K और K’ प्राचल हैं।
यदि K=\frac{1}{K^{\prime}}=\frac{\lambda}{\mu} लें तो दोनों समतल संपाती (coincident) हो जाते हैं और इनका समीकरण होता है:

\frac{x}{a}(\lambda+\mu)+\frac{y}{b}(1-\lambda \mu)-\frac{z}{c}(\lambda-\mu)=1+\lambda \mu \cdots(3)
इससे स्पष्ट होता है कि यह समतल अतिपरवलयज के \lambda और \mu निकायों के प्रतिच्छेद बिन्दु:

\frac{a(\lambda+\mu)}{1+\lambda \mu} ,\frac{b(1-\lambda \mu)}{1+\lambda \mu},\frac{c(\lambda-\mu)}{1+\lambda \mu}
पर अतिपरवलयज का स्पर्श-तल (tangent plane) है।
गुणधर्म-IV लम्ब जनकों के प्रतिच्छेद-बिन्दु का बिन्दुपथ नियामक गोला होता है और अतिपरवलयज का प्रतिच्छेदी वक्र होता है।
(The locus of the point of intersection of perpendicular generators is the intersection of the hyperboloid and the director sphere.)
\lambdaजनक के समीकरण निम्न रूप में लिखे जा सकते हैं:

\frac{x}{a}-\lambda \frac{y}{b}+\frac{z}{c}=\lambda, \frac{x}{a}+\frac{y}{\lambda b}-\frac{z}{c}=\frac{1}{\lambda} \cdots(1)
यदि l,m,n इनके दिक्अनुपात माने तो हम पाते हैं कि:

\frac{\frac{l}{a}}{\lambda^{2}-1}=\frac{\frac{m}{b}}{2 \lambda}=\frac{\frac{n}{c}}{\lambda^{2}+1} \cdots(2)
इसी प्रकार \mu-जनक के समीकरण निम्न रूप में लिखे जा सकते हैं:

\frac{x}{a}-\mu \frac{y}{b}-\frac{z}{c}=\mu, \frac{x}{a}+\frac{y}{\mu b}+\frac{z}{c}=\frac{1}{\mu} \cdots(3)
यदि इसके दिक्अनुपात l’,m’,n’ लें तो:

\frac{\frac{l^{\prime}}{a}}{\mu^{2}-1}=\frac{\frac{m^{\prime}}{b}}{2 \mu}=\frac{\frac{n^{\prime}}{c}}{\mu^{2}+1} \cdots(4)
यदि ये दोनो जनक परस्पर लम्बवत हों तो:

ll^{\prime}+m m^{\prime}+n n^{\prime}=0
(3) और (4) की सहायता से यह प्रतिबन्ध होगा:

a^{2}\left(\lambda^{2}-1\right)\left(\mu^{2}-1\right)+4 b^{2} \lambda \mu-c^{2} \left(\lambda^{2} +1\right)\left(\mu^{2}+1\right)=0
जिसको हम निम्न रूप में लिख सकते हैं:

a^{2}(\lambda+\mu)^{2}+b^{2}(1-\lambda \mu)^{2}+c^{2}(\lambda-\mu)^{2}=\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)(1+\lambda \mu)^{2} \cdots(5)
इससे यह स्पष्ट होता है कि प्रतिच्छेदन बिन्दु निम्न पृष्ठ पर स्थित है:

\frac{a(\lambda+\mu)}{1+\lambda \mu}, \frac{b(1-\lambda \mu)}{1+\lambda \mu}, \frac{c(\lambda-\mu)}{1+\lambda \mu}\\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2} \cdots(6)
जो कि अतिपरवलयज के नियामक गोले (Director sphere) का समीकरण है।चूँकि प्रतिच्छेदन बिन्दु अतिपरवलयज पर भी स्थित है, इसलिए प्रतिच्छेदन बिन्दु का बिन्दुपथ नियामक गोले और अतिपरवलयज का प्रतिच्छेद वक्र होता है।

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2.त्रिविमीय निर्देशांक में जनक रेखाओं के निकाय के साधित उदाहरण (System of Generating Lines in 3D Solved Examples):

Example 1:एक पृष्ठीय अतिपरवलयज \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 के दो जनक परस्पर लम्बवत जनकों के प्रतिच्छेद बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए:
(Find the locus of the point of intersection of two perpendicular generators of the hyperboloid of one sheet \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1.)
Solution:अतिपरवलयज के \lambda-निकाय के जनकों के समीकरण:

\frac{x}{a}-\frac{z}{c}=\lambda\left(1-\frac{y}{b}\right) तथा \frac{x}{a}+\frac{z}{c}=\frac{1}{\lambda}\left(1+\frac{y}{b}\right) \cdots(1) \\ \Rightarrow \frac{x}{a}+\frac{\lambda y}{b}-\frac{z}{c}=\lambda तथा \lambda \frac{x}{a}-\frac{y}{b}+\lambda \frac{z}{c}=1
यदि जनक (1) के दिक्अनुपात l,m,n हैं तो

\frac{l_{1}}{a}+\lambda \frac{m_{1}}{b}-\frac{n_{1}}{c}=0 तथा \frac{\lambda l_{1}}{a}+\lambda \frac{m_{1}}{b}+\frac{\lambda n_{1}}{c}=0
दोनों समीकरणों को हल करने पर:

\frac{\frac{l_{1}}{a}}{\lambda^{2}-1}=\frac{\frac{m_{1}}{b}}{-2 \lambda}=\frac{\frac{n_{1}}{c}}{1-\lambda^{2}} \\ \frac{l_{1}}{-a\left(\lambda^{2}-1\right)}=\frac{m_{1}}{2 \lambda b}=\frac{n_{1}}{c\left(1+ \lambda^{2} \right)} \cdots(2)
इसी प्रकार \mu-निकाय के जनकों के दिक्अनुपात l_{2}, m_{2}, n_{2} हों तो

\frac{x}{a}-\frac{z}{c}=\mu\left(1+\frac{y}{b}\right) तथा \frac{x}{a}+\frac{z}{c}=\frac{1}{\mu}\left(1-\frac{y}{b}\right) \cdots(3)
दोनों को हल करने पर:

\frac{l_{2}}{a\left(\mu^{2}-1\right)}=\frac{m_{2}}{2 b \mu}=\frac{n_{2}}{-c \left(\mu^{2}+1\right)} \cdots(4)
यदि (1) व (3) लम्बवत जनक हो तो:

\left[\frac{a(1+\lambda \mu)}{(\lambda+\mu)}, \frac{b(\lambda-\mu)}{\lambda+\mu}, \frac{c(1-\lambda \mu)}{\lambda+\mu}\right]
जो गोले x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}+b^{2}-c^{2} पर स्थित है जो कि नियामक गोला है।
Example:2.प्रदर्शित कीजिए कि यदि पृष्ठ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 को दो जनक रेखाएँ जो बिन्दुओं P(a \cos \alpha, b \sin \alpha,0) तथा Q(a \cos \beta, b \sin \beta, 0) से गुजरती है, समकोण पर काटती हों तो z=0 पर उनके प्रक्षेप कोण पर काटेंगे जहाँ \tan \theta=\left(\frac{a b}{c^{2}}\right) \sin (\alpha-\beta)
(Show that if two generators of the surface \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 through the point and intersect at right angles, their projection on the plane z=0 intersect at the angle where \tan \theta=\left(\frac{a b}{c^{2}}\right) \sin (\alpha-\beta)
Solution:परवलयज को किसी दीर्घवृतीय खण्ड के बिन्दु (a \cos \alpha, b \sin \alpha, 0) पर किसी रेखा का समीकरण:

\frac{x-a \cos \alpha}{l}=\frac{y-b \sin \alpha}{m}=\frac{z-0}{n}=r
इस रेखा पर किसी बिन्दु के निर्देशांक \left ( l r+a \cos \alpha, mr+b \sin \alpha,nr\right ) तथा परवलयज है तो:

\frac{(l r+a \cos \alpha)^{2}}{a^{2}}+\frac{(mr+b \sin \alpha)^{2}}{b^{2}}-\frac{n^{2} r^{2}}{c^{2}}=1 \\ \left(\frac{l^{2}}{a^{2}}+\frac{m^{2}}{b^{2}}-\frac{n^{2}}{c^{2}}\right) r^{2}+2 \left(\frac{l \cos \alpha}{a}+\frac{m \sin \alpha}{b}\right)r=0
यदि रेखा (1) परवलयज का जनक है तब यह (1) पर स्थित होगा यदि:

\frac{l^{2}}{a^{2}}+\frac{m^{2}}{b^{2}}-\frac{n^{2}}{c^{2}}=0 \cdots(3) \\ \frac{l \cos \alpha}{a}+\frac{m \sin \alpha}{b}=0 \cdots(4)
(4) से:

\frac{l}{a \sin \alpha}=\frac{m}{-b \cos \alpha} \\ \Rightarrow \frac{\frac{l}{a}}{\sin \alpha}= \frac{\frac{m}{-b}}{\cos \alpha} \\ \Rightarrow \frac{l}{a \sin \alpha}=\frac{m}{-b \cos \alpha}=\frac{n}{\pm c}
अतः जनक की समीकरण:

\frac{x-a \cos \alpha}{a \sin \alpha}=\frac{y-b \sin \alpha}{-b \cos \alpha}=\frac{z-0}{c} \cdots(5)
अन्य निकाय के जनक का समीकरण जो Q(a \cos \beta, b \sin \beta, 0) से गुजरता है:

\frac{x-a \cos \beta}{a \sin \beta}=\frac{y-b \sin \beta}{- b \cos \beta}=\frac{z-0}{-c} \cdots(6)
यदि ये लम्बवत है तो:

l_{1}l_{2}+m_{1} m_{2}+n_{1} n_{2}=0 से

(a \sin \alpha)(a \sin \beta)+(-b \cos \alpha)(-b \cos \beta)+c(-c)=0 \\ a^{2} \sin \alpha \sin \beta+b^{2} \cos \alpha \cos \beta-c^{2}=0 \cdots(7)
z=0 पर जनकों का प्रक्षेप कोण जो परवलयज \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 पर स्पर्शरेखाएँ हैं:

 बिन्दु (a \cos \alpha,b \sin \alpha) तथा (a \cos \beta, b \sin \beta) पर 

\frac{x \cos \alpha}{a}+\frac{y \sin \alpha}{b}=1 तथा \frac{x \cos \beta}{a}+\frac{y \sin \beta}{b}=1
इनकी  ढाल \frac{-b \cos \alpha}{a \sin \alpha} तथा \frac{-b \cos \beta}{a \sin \beta} है
यदि उनके बीच कोण \theta हो तो:

System of Generating Lines in 3D

Example:3.यदि अतिपरवलयज \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 जिसका केन्द्र o है, के किसी बिन्दु P से जानेवाले जनक समतल z=0 को A और B पर मिलते हों तथा चतुष्फलक OABP का आयतन अचर \frac{1}{6} abc के बराबर हो तो सिद्ध कीजिए कि P समतल z=\pm c में से किसी एक पर विद्यमान है।
(If the generators through P,a point on A and B and the volume of the tetrahedron OABP is constant and equal to, show that P lies on the planes z=\pm c.)
Solution:मान P,A,B के निर्देशांक \left ( x_{1},y_{1},z_{1} \right ),(a \cos \alpha, b \sin \alpha, 0),(a \cos \beta, \sin \beta, 0) है।
चतुष्फलक OABP का आयतन
=\frac{1}{6}\left|\begin{array}{lll}x_{1} & y_{2} & z_{1} \\x_{2} & y_{2} & z_{2} \\x_{3} & y_{3} & z_{3}\end{array}\right| जहाँ O मूलबिन्दु है।

=\frac{1}{6}\left|\begin{array}{lll}x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ a \cos \alpha & b \sin \alpha & 0 \\ a \cos \beta & b \sin \beta & 0 \end{array}\right| \\ =\frac{1}{6} z_{1} a b(\sin \beta \cos \alpha-\sin \alpha \cos \beta) \\ =\frac{1}{6} a b z_{1} \sin (\beta-\alpha) \\ =\frac{1}{6} a b\left[c \tan \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\right] \sin (\beta-\alpha) \\ =\frac{1}{6} a b c \tan \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) \cdot \sin (\alpha-\beta) \\ =\frac{1}{6} a b c (दिया हुआ है )

\tan \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) \cdot \sin (\alpha-\beta)=1 \\ \Rightarrow \tan \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) \frac{2 \tan \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}{1+\tan ^{2}\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}=1 \\ \Rightarrow 2 \tan ^{2}(\alpha-\beta)=1+\tan ^{2}\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) \\ \Rightarrow \tan ^{2}\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)=1 \\ \Rightarrow \tan \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)=\pm 1 \\ \Rightarrow \frac{z_{1}}{c}=\pm 1 \\ \Rightarrow z_{1}=\pm c \\ \Rightarrow z=\pm c
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा त्रिविमीय निर्देशांक में जनक रेखाओं के निकाय (System of Generating Lines in 3D),अतिपरवलयज के जनकों के गुणधर्म (Properties of Generators of Hyperboloid) को समझ सकते हैं।

3.त्रिविमीय निर्देशांक में जनक रेखाओं के निकाय की समस्याएँ (System of Generating Lines in 3D Problems):

System of Generating Lines in 3D

(1.)दर्शाओं कि \frac{x}{a}=\frac{\cos (\theta-\phi)}{\cos (\theta+\phi)}, \frac{y}{b}=\frac{\cos \theta \sin \phi}{\cos (\theta+\phi)}, \frac{z}{c}=\frac{\sin \theta \cos \phi}{\cos (\theta+\phi)} से अतिपरवलयज \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{4 y z}{b c}=1 निरूपित होता है।साथ ही सिद्ध कीजिए कि किसी निकाय के दत्त जनक के लिए ‘\theta‘ और दूसरे नियामक दत्त जनक के लिए \phi अचर है।
(Show that the equations \frac{x}{a}=\frac{\cos (\theta-\phi)}{\cos (\theta+\phi)}, \frac{y}{b}=\frac{\cos \theta \sin \phi}{\cos (\theta+\phi)}, \frac{z}{c}=\frac{\sin \theta \cos \phi}{\cos (\theta+\phi)} determine the hyperboloid of one sheet \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{4 y z}{b c}=1, Also prove that \theta is constant for points on a given generator of the one system and \phi is constant for points on a given generator of the other system)
(2.)अतिपरवलयज \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 के चार जनक यदि विषमतलीय चतुर्भुज बनाते हों तो सिद्ध कीजिए कि \theta_{1}+\theta_{3}=\theta_{2}+\theta_{4} तथा \phi_{1}+\phi_{3} =\phi_{2}+\phi_{4} जहाँ \theta_{r},\phi_{r},r=1,2,3,4  चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
(If four generators of the hyperboloid \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 form a skew quadrilateral whose vertices are \theta_{r},\phi_{r},r=1,2,3,4 prove that \theta_{1}+\theta_{3} =\theta_{2}+\theta_{4} and \phi_{1}+\phi_{3}= \phi_{2}+\phi_{4}.)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर त्रिविमीय निर्देशांक में जनक रेखाओं के निकाय (System of Generating Lines in 3D),अतिपरवलयज के जनकों के गुणधर्म (Properties of Generators of Hyperboloid) को ठीकरा से समझ सकते हैं।

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4.त्रिविमीय निर्देशांक में जनक रेखाओं के निकाय (System of Generating Lines in 3D),अतिपरवलयज के जनकों के गुणधर्म (Properties of Generators of Hyperboloid) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

त्रिविमीय निर्देशांक में जनक रेखाओं के निकाय (System of Generating Lines in 3D) से
तात्पर्य है कि अतिपरवलयज को हल करने पर हमें रेखा कुल प्राप्त होता है।अर्थात् इनसे
एक पृष्ठीय परवलयज जनित होता है।