Equation of cone whose vertex and guiding curve are given
1.शंकु का समीकरण जिसका शीर्ष तथा निर्देशक वक्र दिया हुआ है (Equation of cone whose vertex and guiding curve are given)-
शंकु का समीकरण जिसका शीर्ष तथा निर्देशक वक्र दिया हुआ है (Equation of cone whose vertex and guiding curve are given),इसके लिए निम्न क्रियाविधि का पालन किया जाता है-
उस शंकु का समीकरण ज्ञात करना जिसका शीर्ष\left( \alpha ,\beta ,\gamma \right) पर और निर्देशक वक्र निम्न शांकव है:
(To find the equation of cone whose vertex is\left( \alpha ,\beta ,\gamma \right) and guiding curve is the conic a{ x }^{ 2 }+2hxy+b{ y }^{ 2 }+2gx+2fy+c=0,z=0)
मानलो शीर्ष बिन्दु \left( \alpha ,\beta ,\gamma \right) से होकर जानेवाली किसी रेखा (शंकु के किसी जनक) का समीकरण है
\frac { x-\alpha }{ l } =\frac { y-\beta }{ m } =\frac { z-\gamma }{ n } ...............(1)
रेखा (1) समतल z=0 को काटेगी,तब (1) में z=0 रखने पर-
\frac { x-\alpha }{ l } =\frac { y-\beta }{ m } =\frac { -\gamma }{ n } \\ \therefore x=\alpha -\frac { l\gamma }{ n } ,y=\beta -\frac { m\gamma }{ n } ,z=0
अतः रेखा (1) समतल z=0 को बिन्दु \left( \alpha -\frac { l\gamma }{ n } ,\beta -\frac { m\gamma }{ n } ,0 \right) पर काटती है क्योंकि (1) शंकु का जनक है,अतः
a{ \left( \alpha -\frac { l\gamma }{ n } \right) }^{ 2 }+2h\left( \alpha -\frac { l\gamma }{ n } \right) \left( \beta -\frac { m\gamma }{ n } \right) +b{ \left( \beta -\frac { m\gamma }{ n } \right) }^{ 2 }+2g\left( \alpha -\frac { l\gamma }{ n } \right) +2f\left( \beta -\frac { m\gamma }{ n } \right) +c=0..............(2)
समीकरण (2) निर्देशक वक्र को रेखा (1) द्वारा काटने का प्रतिबन्ध देता है। इसलिए रेखा (1) का रेखापथ (1) तथा (2) में l,m,n का विलोपन करने पर प्राप्त होगा। अतः
a{ \left( \alpha -\frac { x-\alpha }{ z-\gamma } \gamma \right) }^{ 2 }+2h\left( \alpha -\frac { x-\alpha }{ z-\gamma } \gamma \right) \left( \beta -\frac { y-\beta }{ z-\gamma } \gamma \right) +b{ \left( \beta -\frac { y-\beta }{ z-\gamma } \gamma \right) }^{ 2 }+2g\left( \alpha -\frac { x-\alpha }{ z-\gamma } \gamma \right) +2f\left( \beta -\frac { y-\beta }{ z-\gamma } \gamma \right) +c=0
सरल करने पर-
a{ \left( \alpha z-\gamma x \right) }^{ 2 }+2h\left( \alpha z-x\gamma \right) \left( \beta z-y\gamma \right) +b{ \left( \beta z-y\gamma \right) }^{ 2 }+2g\left( \alpha z-x\gamma \right) \left( z-\gamma \right) +2f\left( \beta z-y\gamma \right) \left( z-\gamma \right) +c{ \left( z-\gamma \right) }^{ 2 }=0
जो कि शंकु का अभीष्ट समीकरण है।
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2.शंकु का समीकरण जिसका शीर्ष तथा निर्देशक वक्र दिया हुआ है, के उदाहरण (Equation of cone whose vertex and guiding curve are given Examples)-
उस शंकु का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका शीर्ष तथा निर्देशक वक्र (अथवा आधार) निम्न हो:
(Find the equation of the cone whose vertex and guiding curve (or base) are as follows:)
Example-1.(1,1,0);{ x }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }=4,y=0
Solution-शीर्ष (1,1,0) से होकर जानेवाली कोई रेखा है
\frac { x-1 }{ l } =\frac { y-1 }{ m } =\frac { z-0 }{ n } \\ \Rightarrow \frac { x-1 }{ l } =\frac { y-1 }{ m } =\frac { z }{ n } ..........(1)
यह समतल y=0 को मिलेगी जहां \frac { x-1 }{ l } =\frac { 0-1 }{ m } =\frac { z }{ n }
अर्थात् (1) समतल y=0 को बिन्दु\left( 1-\frac { l }{ m } ,0,-\frac { n }{ m } \right) पर मिलेगी।यह बिन्दु शांकव पर स्थित होगा यदि
{ \left( 1-\frac { l }{ m } \right) }^{ 2 }+{ \left( -\frac { n }{ m } \right) }^{ 2 }=4\\ { \left( 1-\frac { l }{ m } \right) }^{ 2 }+{ \left( \frac { n }{ m } \right) }^{ 2 }=4.............(2)
समीकरण (1) तथा (2) से l,m,n का विलोपन करने पर-
{ \left( 1-\frac { x-1 }{ y-1 } \right) }^{ 2 }+{ \left( \frac { z }{ y-1 } \right) }^{ 2 }=4\\ \Rightarrow { \left( y-1-x+1 \right) }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }=4{ \left( y-1 \right) }^{ 2 }\\ \Rightarrow { \left( y-x \right) }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }=4{ \left( y-1 \right) }^{ 2 }\\ \Rightarrow { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }-2xy+{ z }^{ 2 }=4\left( { y }^{ 2 }-2y+1 \right) \\ \Rightarrow { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }-2xy+{ z }^{ 2 }=4{ y }^{ 2 }-8y+4\\ \Rightarrow { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }-2xy+{ z }^{ 2 }-4{ y }^{ 2 }+8y-4=0
यही शंकु का अभीष्ट समीकरण है।
उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा शंकु का समीकरण जिसका शीर्ष तथा निर्देशक वक्र दिया हुआ है (Equation of cone whose vertex and guiding curve are given) को समझ सकते हैं।
Example-2.(1,1,1);{ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }=1,x+y+z=1
Solution-शीर्ष (1,1,1) से होकर जानेवाली रेखा है
\frac { x-1 }{ l } =\frac { y-1 }{ m } =\frac { z-1 }{ n } \\ \frac { x-1 }{ l } =\frac { y-1 }{ m } =\frac { z-1 }{ n } =\frac { x+y+z-3 }{ l+m+n } ........(1)
यह समतल x+y+z=1 को मिलेगी जहां
\Rightarrow \frac { x-1 }{ l } =\frac { y-1 }{ m } =\frac { z-1 }{ n } =\frac { 1-3 }{ l+m+n } \\ \Rightarrow \frac { x-1 }{ l } =\frac { y-1 }{ m } =\frac { z-1 }{ n } =\frac { -2 }{ l+m+n } \\ \Rightarrow \frac { x-1 }{ l } =\frac { -2 }{ l+m+n } \\ \Rightarrow x-1=\frac { -2l }{ l+m+n } \\ \Rightarrow x=1-\frac { 2l }{ l+m+n } \\ \Rightarrow x=\frac { l+m+n-2l }{ l+m+n } \\ \Rightarrow x=\frac { m+n-l }{ l+m+n } \\ \frac { y-1 }{ m } =\frac { -2 }{ l+m+n } \\ \Rightarrow y-1=\frac { -2m }{ l+m+n } \\ \Rightarrow y=1-\frac { 2m }{ l+m+n } \\ \Rightarrow y=\frac { l+m+n-2m }{ l+m+n } \\ \Rightarrow y=\frac { l+n-m }{ l+m+n } \\ \frac { z-1 }{ n } =\frac { -2 }{ l+m+n } \\ \Rightarrow z-1=\frac { -2n }{ l+m+n } \\ \Rightarrow z=1-\frac { 2n }{ l+m+n } \\ \Rightarrow z=\frac { l+m+n-2n }{ l+m+n } \\ \Rightarrow z=\frac { l+m-n }{ l+m+n }
अतः सरलरेखा (1) समतल x+y+z=1 को बिन्दु \left( \frac { m+n-l }{ l+m+n } ,\frac { l+n-m }{ l+m+n } ,\frac { l+m-n }{ l+m+n } \right) पर मिलेगी।
यह बिन्दु शांकव { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }=1 पर स्थित होगा यदि
{ \left( \frac { m+n-l }{ l+m+n } \right) }^{ 2 }+{ \left( \frac { l+n-m }{ l+m+n } \right) }^{ 2 }+{ \left( \frac { l+m-n }{ l+m+n } \right) }^{ 2 }=1\\ \Rightarrow { \left( 1-\frac { 2l }{ l+m+n } \right) }^{ 2 }+{ \left( 1-\frac { 2m }{ l+m+n } \right) }^{ 2 }+{ \left( 1-\frac { 2n }{ l+m+n } \right) }^{ 2 }=1..........(2)
समीकरण (1) व (2) से l,m,n का विलोपन करने पर-
\Rightarrow { \left( 1-\frac { 2(x-1) }{ x+y+z-3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( 1-\frac { 2(y-1) }{ x+y+z-3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( 1-\frac { 2(z-1) }{ x+y+z-3 } \right) }^{ 2 }=1\\ \Rightarrow { \left( \frac { x+y+z-3-2x+2 }{ x+y+z-3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( \frac { x+y+z-3-2y+2 }{ x+y+z-3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( \frac { x+y+z-3-2z+2 }{ x+y+z-3 } \right) }^{ 2 }=1\\ { \left( -x+y+z-1 \right) }^{ 2 }+{ \left( x-y+z-1 \right) }^{ 2 }+{ \left( x+y-z-1 \right) }^{ 2 }={ \left( x+y+z-3 \right) }^{ 2 }\\ { \left( y+z-x-1 \right) }^{ 2 }+{ \left( x+z-y-1 \right) }^{ 2 }+{ \left( x+y-z-1 \right) }^{ 2 }={ \left( x+y+z-3 \right) }^{ 2 }
यही शंकु का अभीष्ट समीकरण है।
उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा शंकु का समीकरण जिसका शीर्ष तथा निर्देशक वक्र दिया हुआ है (Equation of cone whose vertex and guiding curve are given) को समझ सकते हैं।
Example-3.\left( \alpha ,\beta ,\gamma \right) ;\frac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\frac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } +\frac { { z }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } =1,z=0
Solution–\left( \alpha ,\beta ,\gamma \right) शीर्ष से होकर जानेवाली रेखा है-
\frac { x-\alpha }{ l } =\frac { y-\beta }{ m } =\frac { z-\gamma }{ n } ........(1)
यह समतल z=0 को मिलेगी जहां
\frac { x-\alpha }{ l } =\frac { y-\beta }{ m } =\frac { -\gamma }{ n }
अर्थात् (1), समतल z=0 को बिन्दु \left( \alpha -\frac { l\gamma }{ n } ,\beta -\frac { m\gamma }{ n } ,0 \right) पर मिलेगी।यह बिन्दु शांकव \frac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\frac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } +\frac { { z }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } =1 पर स्थित होगा यदि
\frac { 1 }{ { a }^{ 2 } } { \left( \alpha -\frac { l\gamma }{ n } \right) }^{ 2 }+\frac { 1 }{ { b }^{ 2 } } { \left( \beta -\frac { m\gamma }{ n } \right) }^{ 2 }=1....(2)
समीकरण (1) तथा (2) से l,m,n का विलोपन करने पर-
\frac { 1 }{ { a }^{ 2 } } { \left( \alpha -\frac { l\gamma }{ n } \right) }^{ 2 }+\frac { 1 }{ { b }^{ 2 } } { \left( \beta -\frac { y-\beta }{ z-\gamma } \gamma \right) }^{ 2 }=1....(2)\\ { b }^{ 2 }{ \left( \alpha z-\alpha \gamma -x\gamma +\alpha \gamma \right) }^{ 2 }+{ a }^{ 2 }{ \left( \beta z-\beta \gamma -y\gamma +\beta \gamma \right) }^{ 2 }={ { a }^{ 2 }{ b }^{ 2 }\left( z-\gamma \right) }^{ 2 }\\ { b }^{ 2 }{ \left( \alpha z-x\gamma \right) }^{ 2 }+{ a }^{ 2 }{ \left( \beta z-y\gamma \right) }^{ 2 }={ { a }^{ 2 }{ b }^{ 2 }\left( z-\gamma \right) }^{ 2 }
यही शंकु का अभीष्ट समीकरण है।
Example-4.\left( \alpha ,\beta ,\gamma \right) ;{ y }^{ 2 }=4ax,z=0
Solution-शीर्ष \left( \alpha ,\beta ,\gamma \right) से गुजरने वाली रेखा है-
\frac { x-\alpha }{ l } =\frac { y-\beta }{ m } =\frac { z-\gamma }{ n } .....(1)
यह समतल z=0 को मिलेगी जहां
\frac { x-\alpha }{ l } =\frac { y-\beta }{ m } =\frac { -\gamma }{ n }
अर्थात् (1),समतल z=0 को बिन्दु \left( \alpha -\frac { l\gamma }{ n } ,\beta -\frac { m\gamma }{ n } ,0 \right) पर मिलेगी।यह बिन्दु शांकव{ y }^{ 2 }=4ax पर होगा यदि
{ \left( \beta -\frac { m\gamma }{ n } \right) }^{ 2 }=4a\left( \alpha -\frac { l\gamma }{ n } \right) ............(2)
समीकरण (1) तथा (2) से l,m,n का विलोपन करने पर-
{ \left( \beta -\frac { y-\beta }{ z-\gamma } \gamma \right) }^{ 2 }=4a\left( \alpha -\frac { x-\alpha }{ z-\gamma } \gamma \right) \\ \Rightarrow { \left( \beta z-\beta \gamma -y\gamma +\beta \gamma \right) }^{ 2 }=4a\left( \alpha z-\alpha \gamma -x\gamma +\alpha \gamma \right) \left( z-\gamma \right) \\ \Rightarrow { \left( \beta z-y\gamma \right) }^{ 2 }=4a\left( \alpha z-x\gamma \right) \left( z-\gamma \right)
यही शंकु का अभीष्ट समीकरण है।
Example-5.(5,4,3);3{ x }^{ 2 }+2{ y }^{ 2 }=6,y+z=0
Solution-शीर्ष (5,4,3) से गुजरने वाली रेखा है-
\frac { x-5 }{ l } =\frac { y-4 }{ m } =\frac { z-3 }{ n }
यह समतल y+z=0 को मिलेगी यदि
\frac { x-5 }{ l } =\frac { y-4 }{ m } =\frac { z-3 }{ n } =\frac { y+z-7 }{ m+n } .........(1)\\ \Rightarrow \frac { x-5 }{ l } =\frac { y-4 }{ m } =\frac { z-3 }{ n } =\frac { 0-7 }{ m+n } \\ \Rightarrow \frac { x-5 }{ l } =\frac { y-4 }{ m } =\frac { z-3 }{ n } =\frac { -7 }{ m+n } \\ \Rightarrow \frac { x-5 }{ l } =\frac { -7 }{ m+n } \Rightarrow x=5-\frac { 7l }{ m+n } \\ \Rightarrow \frac { y-4 }{ m } =\frac { -7 }{ m+n } \Rightarrow y=4-\frac { 7m }{ m+n } \\ \Rightarrow \frac { z-3 }{ n } =\frac { -7 }{ m+n } \Rightarrow z=3-\frac { 7n }{ m+n }
अर्थात् (1),समतल y+z=0 को बिन्दु \left( 5-\frac { 7l }{ m+n } ,4-\frac { 7m }{ m+n } ,3-\frac { 7n }{ m+n } \right) पर मिलेगी।यह बिन्दु शांकव 3{ x }^{ 2 }+2{ y }^{ 2 }=6 पर स्थित होगा यदि
3{ \left( 5-\frac { 7l }{ m+n } \right) }^{ 2 }+2{ \left( 4-\frac { 7m }{ m+n } \right) }^{ 2 }=6.....(2)
समीकरण (1) तथा (2) से l,m,n का विलोपन करने पर-
\Rightarrow 3{ \left( 5-\frac { 7(x-5) }{ y+z-7 } \right) }^{ 2 }+2{ \left( 4-\frac { 7(y-4) }{ y+z-7 } \right) }^{ 2 }=6\\ \Rightarrow 3{ \left( 5y+5z-35-7x+35 \right) }^{ 2 }+2{ \left( 4y+4z-28-7y+28 \right) }^{ 2 }=6{ \left( y+z-7 \right) }^{ 2 }\\ \Rightarrow 3{ \left( 5y+5z-7x \right) }^{ 2 }+2{ \left( 4y+4z-3y \right) }^{ 2 }=6{ \left( y+z-7 \right) }^{ 2 }
यही शंकु का अभीष्ट समीकरण है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा शंकु का समीकरण जिसका शीर्ष तथा निर्देशक वक्र दिया हुआ है (Equation of cone whose vertex and guiding curve are given) को समझ सकते हैं।
3.शंकु का समीकरण जिसका शीर्ष तथा निर्देशक वक्र दिया हुआ है,की समस्याएं (Equation of cone whose vertex and guiding curve are given problems)-
उस शंकु का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका शीर्ष तथा निर्देशक वक्र (अथवा आधार) निम्न हो:
(Find the equation of the cone whose vertex and guiding curve (or base) are as follows:)
(1)\left( \alpha ,\beta ,\gamma \right) ;a{ x }^{ 2 }+b{ y }^{ 2 }=1,z=0\\ (2(0,0,1);{ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }=1,z=0\\ (3)(1,1,1);{ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }=4,z=6\\ (4)(a,b,c);p{ x }^{ 2 }+q{ y }^{ 2 }=6,z=0\\ (5)(1,-2,3);{ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }=9,z=0\\ (6)(0,0,c);{ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+2ax+2by=0,z=0
Ans:-(1)a{ \left( \alpha z-\gamma n \right) }^{ 2 }+b{ \left( \beta z-\gamma y \right) }^{ 2 }={ \left( z-\gamma \right) }^{ 2 }\\ (2){ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }+2z-1=0\\ (3){ 25x }^{ 2 }+{ 25y }^{ 2 }+2{ z }^{ 2 }+10yz+10zx-60x-60y-16z+68=0\\ (4){ c }^{ 2 }(p{ x }^{ 2 }+q{ y }^{ 2 })+{ ({ a }^{ 2 }p+{ b }^{ 2 }q-1) }^{ 2 }-2c(apzx+bqyz-z)={ c }^{ 2 }\\ (5)9{ x }^{ 2 }+9{ y }^{ 2 }-4{ z }^{ 2 }+12yz-6zx+54z-81=0\\ (6){ \left( \alpha z-x\gamma \right) }^{ 2 }+{ \left( \beta z-\gamma y \right) }^{ 2 }+2a\left( \alpha z-x\gamma \right) \left( z-\gamma \right) +2b\left( \beta z-\gamma y \right) \left( z-\gamma \right) =0
इन समस्याओं को हल करने पर शंकु का समीकरण जिसका शीर्ष तथा निर्देशक वक्र दिया हुआ है (Equation of cone whose vertex and guiding curve are given) ओर ठीक से समझ में आ जाएगा।
4.शंकु का समीकरण क्या है? (What is the equation of a cone?)-
गोलाकार शंकु का कार्तीय समीकरण { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }={ [(\frac { r }{ h } )z] }^{ 2 } है।
5.निर्देशांक अक्षों से गुजरने वाले शंकु का व्यापक समीकरण क्या है? (What is the general equation of a cone)-
मूलबिन्दु पर वर्टेक्स के साथ द्विघात शंकु का व्यापक समीकरण है, a{ x }^{ 2 }+b{ y }^{ 2 }+c{ z }^{ 2 }+2fyz+2gzx+2hxy=0 मूल को बिंदु V (α, β, γ) में स्थानांतरित किया जाए।
6.3 डी में एक शंकु का समीकरण क्या है? (What is the equation of a cone in 3d?)-
बेसिक डबल शंकु समीकरण { z }^{ 2 }=A{ x }^{ 2 }+B{ y }^{ 2 } द्वारा दिया गया है।द्विघाती शंकु एक बहुत ही महत्वपूर्ण चतुष्कोणीय सतह है, यदि इस तथ्य के अलावा कोई अन्य कारण नहीं है कि इसका उपयोग परिभाषित करने के लिए किया जाता है- कोनिक्स – एलिप्स, हाइपरबोलाज और पैराबोलाज – ये सभी प्लेन के प्रतिच्छेदन के रूप में बनाए जा सकते हैं.
7.शंकु का एक जनरेटर क्या है? (What is a generator of a cone?)-
शंकु का एक जनरेटर (या तत्व) शंकु में पड़ी एक रेखा है, और शंकु के सभी जनरेटर में बिंदु V होता है, जिसे शंकु का शीर्ष कहा जाता है।नीचे एक आकृति में, हमारे पास एक शंकु और एक काटने वाला समतल है जो शंकु के एक और केवल एक जनरेटर के समानांतर है। यह शंकु एक परवल है।
8.शीर्ष के साथ शंकु के समीकरण का पता लगाएं (Find the equation of cone with vertex),शंकु का समीकरण ज्ञात करें जिसका शीर्ष मूलबिन्दु पर है (Find the equation of the cone whose vertex is at origin)-
मूलबिन्दु पर शीर्ष के साथ एक शंकु का समीकरण है, a{ x }^{ 2 }+b{ y }^{ 2 }+c{ z }^{ 2 }+2fyz+2gzx+2hxy=0 , जो x, y और z में समरूप है।ध्यान दें कि इस प्रमेय का रूपांतरण भी सही है।मूलबिन्दु के निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करते हैं.
9.शंकु का व्यापक समीकरण (General equation of cone)-
मूलबिन्दु पर शीर्ष के साथ द्विघात शंकु का व्यापक समीकरण है, a{ x }^{ 2 }+b{ y }^{ 2 }+c{ z }^{ 2 }+2fyz+2gzx+2hxy=0
10.शंकु का व्यापक समीकरण (General equation of right circular cone)-
a{ x }^{ 2 }+b{ y }^{ 2 }+c{ z }^{ 2 }+2fyz+2gzx+2hxy=0
11.कार्तीय निर्देशांक में शंकु का समीकरण (Equation of a cone in cartesian coordinates)-
बेलनाकार निर्देशांक में, एक शंकु को समीकरण z = kr द्वारा दर्शाया जा सकता है, जहां k एक स्थिर है।गोलाकार निर्देशांक में, हमने देखा है कि फार्म φ=c की सतह आधे-शंकु हैं।अंतिम, आयताकार निर्देशांक में, अण्डाकार शंकु चतुष्कोणीय सतहें हैं और इन्हें फॉर्म { z }^{ 2 }={ x }^{ 2 }{ a }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }{ b }^{ 2 } के समीकरणों द्वारा दर्शाया जा सकता है।
12.गोलाकार शंकु का समीकरण जिसका अक्ष z अक्ष के साथ मेल खाता है (Equation of right circular cone whose axes coincide with z axis)-
शंकु के रूप में z अक्ष और मूलबिन्दु के साथ शंकु के लिए, समीकरण { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }={ z }^{ 2 }\tan { 2\alpha } है, α शंकु का अर्ध-ऊर्ध्वाधर कोण है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा शंकु का समीकरण जिसका शीर्ष तथा निर्देशक वक्र दिया हुआ है (Equation of cone whose vertex and guiding curve are given) को ओर ठीक प्रकार से समझ सकते हैं।
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
