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Right Circular Cylinder in 3D

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1 1.त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में लम्बवृत्तीय बेलन (Right Circular Cylinder in 3D),त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में लम्बवृत्तीय बेलन का समीकरण (Equation of Right Circular Cylinder in 3D):

1.त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में लम्बवृत्तीय बेलन (Right Circular Cylinder in 3D),त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में लम्बवृत्तीय बेलन का समीकरण (Equation of Right Circular Cylinder in 3D):

त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में लम्बवृत्तीय बेलन (Right Circular Cylinder in 3D) का समीकरण ज्ञात करने हेतु कुछ सवाल इससे पूर्व आर्टिकल में हल कर चुके हैं।इस आर्टिकल में कुछ ओर सवालों को हल करेंगे।
बेलन की परिभाषा (Definition of Cylinder):
एक निश्चित सीधी रेखा के समान्तर चलनेवाली और एक ओर स्थिति को सन्तुष्ट करनेवाली एक चर सीधी रेखा द्वारा जनित पृष्ठ (किसी दिए गए वक्र पर प्रतिक्रिया करना (interacting) या किसी दिए गए सतह को छूना) को सिलेन्डर कहा जाता है।
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2.त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में लम्बवृत्तीय बेलन पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Right Circular Cylinder in 3D):

Example:1.उस लम्बवृत्तीय बेलन का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या 2 है तथा जिसका अक्ष बिन्दु (1,2,3) से जाता है और x-अक्ष के समान्तर है।
(Find the equation of the right circular cylinder whose radius is 2.Whose axis passes through the point (1,2,3) and is parallel to the x-axis.)
Solution:माना बेलन पर कोई बिन्दु P(x,y,z) है।P से अक्ष पर PM लम्ब खींचा तब PM=2 (बेलन की त्रिज्या),PO को मिलाओ जहाँ O(1,2,3) अक्ष पर स्थित कोई बिन्दु हैं।x-अक्ष के दिक्अनुपात 1,0,0 है।अतः अक्ष की दिक्अनुपात 1,0,0 होगी क्योंकि समान्तर रेखाओं के दिक्अनुपात समान होते हैं।अब अक्ष की समीकरण होगी:

\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{0}=\frac{z-3}{0}

अब समकोण \triangle OPM से:

OP^{2}=OM^{2}+MP^{2} \\ \Rightarrow (x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z-3)^{2}=2+\left[\frac{1(x-1)+0(y-2)+0(z-2)}{\sqrt{(1)^{2}+(0)^{2}+(0)^{2}}}\right]^{2} \\ \Rightarrow x^{2}-2 x+1+y^{2}-4 y+4+z^{2}-6 z+9=4+(x-1)^{2} \\ \Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x-4 y-6 z+14=4+x^{2}-2 x+1 \\ \Rightarrow y^{2}+z^{2}-4 y-6 z+9=0
जो कि लम्बवृत्तीय बेलन का अभीष्ट समीकरण है।
Example:2.उस लम्बवृत्तीय बेलन का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या 2 है एवं जिसकी अक्ष बिन्दु (1,2,3) से गुजरती है और जिसकी दिक्कोज्याएँ 2,-3,6 के समानुपाती है।
(Find the equation of a right circular cylinder of radius 2 whose axis passes through (1,2,3) and has direction cosines proportional to 2,-3,6.)
Solution:माना बेलन पर कोई बिन्दु P(x,y,z) है।P से अक्ष पर PM लम्ब खींचा तब PM=2 (बेलन की त्रिज्या),PO को मिलाओ जहाँ O(1,2,3) अक्ष पर स्थित कोई बिन्दु हैं।अक्ष के दिक्कोज्याएँ 2,-3,6 है।अत: अक्ष की समीकरण होगी:

\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z-3}{6}
अब समकोण \triangle OPM से:

OP^{2}=OM^{2}+MP^{2} \\ \Rightarrow (x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z-3)^{2} =2^{2}+\left[\frac{2(x-1)-3(y-2)+6(z-3)}{\sqrt{(2)^{2}+(-3)^{2}+(6)^{2}}}\right]^{2} \\ \Rightarrow x^{2}-2 x+1+y^{2}-4 y+4+z^{2}-6 z+9 =4+\left[\frac{2 x-2-3 y+6+6 z-18}{\sqrt{4+9+36}}\right]^{2} \\ \Rightarrow x^{2}+ y^{2}+z^{2}-2 x-4 y-6 z+14=4+\frac{(2 x-3 y+6 z-14)^{2}}{49} \\ \Rightarrow 49 x^{2}+49 y^{2}+49 z^{2}-98 x-196 y-294 z+686 =196+(2 x-3 y)^{2}+(6 z-14)^{2}+2(2 x-3 y)(6 z-14) \\ \Rightarrow 49 x^{2}+49 y^{2}+49 z^{2}-98 x-196 y-294 z+686 =196+4 x^{2}+9 y^{2}-12 x y+36 z^{2}+196-168 z+24 x z-56 x-36 y z+84 y \\ \Rightarrow 45 x^{2}+40 y^{2}+13 z^{2}+36 y z-24 z x+12 x y -42 x-280 y-126 z+294=0
जो कि लम्बवृत्तीय बेलन का अभीष्ट समीकरण है।

Example:3.लम्बवृत्तीय बेलन जो बिन्दु (0,0,3) से गुजरता है और जिसका अक्ष रेखा  \frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{3} है,का समीकरण ज्ञात कीजिए।
(Find the equation of right circular cylinder having the line \frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{3} as axis and passes through the point (0,0,3).)
Solution:माना बेलन पर कोई बिन्दु P(x,y,z) है।P से अक्ष पर PM लम्ब खींचा तब PM=r (बेलन की त्रिज्या),PO को मिलाओ जहाँ O(2,1,0) अक्ष पर स्थित कोई बिन्दु हैं।अब अक्ष की समीकरण होगी:

\frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{3}
अब समकोण \triangle OPM से:

OP^{2}=OM^{2}+M P^{2} \\ \Rightarrow(x-2)^{2}+(y-1)^{2}+z^{2}=r^{2}+ \left[\frac{2(x-2)+1(y-1)+3(z-0)}{\sqrt{2^{2}+1^{2}+3^{2}}}\right]^{2} \\ \Rightarrow x^{2}-4 x+4+y^{2}-2 y+1+z^{2}=r^{2} +\left[\frac{2 x-4+y-1+3 z}{\sqrt{4+1+9}}\right]^{2} \\ \Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 x-2 y+5=r^{2}+ \frac{(2 x+y+3 z-5)^{2}}{14} \cdots(1)
बेलन (0,0,3) से गुजरता है अतः यह बिन्दु समीकरण (1) को सन्तुष्ट करेंगे:

0^{2}+0^{2}+3^{2}-4(0)-2(0)+5=r^{2} +\frac{(2 \times 0+0+3 \times 3-5)^{2}}{14} \\ \Rightarrow 9+5=r^{2}+\frac{16}{14} \\ \Rightarrow 14=r^{2}+\frac{8}{7} \\ \Rightarrow r^{2}=14-\frac{8}{7} \\ \Rightarrow r^{2}=\frac{98-8}{7} \\ \Rightarrow r^{2}=\frac{90}{7}
r^{2} का मान समीकरण (1) में रखने पर:

\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 x-2 y+5=\frac{90}{7}+\frac{(2 x+y+3 z-5)^{2}}{14} \\ \Rightarrow 14 x^{2}+14 y^{2}+14 z^{2}-56 x-28 y+40=180+(2 x+y)^{2}+(3 z-5)^{2} +2(2 x+y)(3 z-5) \\ \Rightarrow 14 x^{2}+14 y^{2}+14 z^{2}-56 x-28 y+70=180+4 x^{2}+4 x y+y^{2}+9 z^{2} +25-30 z+12 x z-20 x+6 y z-10 y \\ \Rightarrow 10 x^{2}+13 y^{2}+5 z^{2}-4 x y-6 y z-12 x z-36 x-18 y+30 z-135=0
जो कि लम्बवृत्तीय बेलन का अभीष्ट समीकरण है।
Example:4.उस लम्बवृत्तीय बेलन का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी अक्ष \frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{3} है तथा जो बिन्दु (0,0,1) से गुजरता है।
(Find the equation of the right circular cylinder having the line \frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{3} as axis and passes through the point (0,0,1).)
Solution:माना बेलन पर कोई बिन्दु P(x,y,z) है।P से अक्ष पर PM लम्ब खींचा तब PM=r (बेलन की त्रिज्या),PO को मिलाओ जहाँ O(2,1,0) अक्ष पर स्थित कोई बिन्दु हैं।अब अक्ष की समीकरण होगी:

\frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{3}
अब समकोण \triangle OPM से:

OP^{2}=OM^{2}+PM^{2} \\ \Rightarrow(x-2)^{2}+(y-1)^{2}+z^{2}=r^{2}+\left[\frac{2(x-2)+1(y-1)+3(z)}{\sqrt{2^{2}+1^{2}+3^{2}}}\right]^{2} \\ \Rightarrow x^{2}-4 x+4+y^{2}-2 y+1+z^{2}= r^{2}+\left[\frac{2 x-4+y-1+3 z}{\sqrt{4+1+9}}\right]^{2} \\ \Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 x-2 y+5=r^{2}+\frac{(2 x+y+3 z-5)^{2}}{14} \ldots(1)
बेलन (0,0,1) से गुजरता है अतः यह बिन्दु समीकरण (1) को सन्तुष्ट करेंगे:

\Rightarrow 0^{2}+0^{2}+1^{2}-4(0)-2(0)+5=r^{2}+\frac{(2 \times 0+0+3 \times 1-5)^{2}}{14} \\ \Rightarrow 6=r^{2}+\frac{4}{14} \\ \Rightarrow r^{2}=6-\frac{2}{7} \\ \Rightarrow r^{2}=\frac{40}{7}
r^{2} का मान समीकरण (1) में रखने पर:

x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 x-2 y+5=\frac{40}{7}+\frac{(2 x+y+3 z-5)^{2}}{14} \\ \Rightarrow 14 x^{2}+14 y^{2}+14 z^{2}-56 x-28 y+70=80+(2 x+y)^{2}+(3 z-5)^{2}+2(2 x+y)(3 z-5) \\ \Rightarrow 14 x^{2}+14 y^{2}+14 z^{2}-56 x-28 y+70=80+4 x^{2}+y^{2}+4 x y+9 z^{2}+25-30 z+12 x z-20 x+6 y z-10 y \\ \Rightarrow 10 x^{2}+13 y^{2}+5 z^{2}-4 x y-12 x z-6 y z-36 x-18 y+30 z-35=0
जो कि लम्बवृत्तीय बेलन का अभीष्ट समीकरण है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उदाहरणों के द्वारा  त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में लम्बवृत्तीय बेलन (Right Circular Cylinder in 3D),त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में लम्बवृत्तीय बेलन का समीकरण (Equation of Right Circular Cylinder in 3D) को समझ सकते हैं।

3.त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में लम्बवृत्तीय बेलन पर आधारित सवाल (Questions Based on Right Circular Cylinder in 3D):

(1.)बेलन x^{2}+y^{2}=a^{2} के जनक की समीकरण लिखो जो बिन्दु (a,0,0) से गुजरता है।
(Write down the equation of the generator of the cylinder x^{2}+y^{2}=a^{2} which passes through the point (a,0,0).)
(2.)लम्बवृत्तीय बेलन की समीकरण ज्ञात करो जिसका अक्ष x=2y=-z तथा त्रिज्या 4 है।सिद्ध करो कि समतल z=0 द्वारा प्रतिच्छेद क्षेत्रफल 24π है।
(Find the equation of the right circular cylinder whose axes is x=2y=-z and radius is 4.Prove that area of section of this cylinder by the plane z=0 is 24π.)
उत्तर (Answers): \text{(1.)} \frac{x-a}{0}=\frac{y-0}{0}=\frac{z-0}{1} \\ \text{(2.)} 5 x^{2}+8 y^{2}+5 z^{2}+4 y z+8 x z-4 x y=144
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में लम्बवृत्तीय बेलन (Right Circular Cylinder in 3D),त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में लम्बवृत्तीय बेलन का समीकरण (Equation of Right Circular Cylinder in 3D) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में लम्बवृत्तीय बेलन (Right Circular Cylinder in 3D),त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में लम्बवृत्तीय बेलन का समीकरण (Equation of Right Circular Cylinder in 3D) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.लम्बवृत्तीय बेलन के बारे में मुख्य तथ्य क्या-क्या हैं? (What are the main facts about the right circular cylinder?):

उत्तर:(1.)सामान्य तौर पर f(x,y)=0 के रूप का प्रत्येक समीकरण वक्र f(x,y)=0,z=0 से गुजरने वाले बेलन का प्रतिनिधित्व करता है और जिसके जनरेटर (जनक) z-अक्ष के समान्तर होते हैं।
(2.)इसी प्रकार समीकरण \phi(y,z)=0 के रूप का प्रत्येक समीकरण वक्र \phi(y,z)=0,x=0 से गुजरने वाले बेलन का प्रतिनिधित्व करता है और जिसके जनरेटर (जनक) x-अक्ष के समान्तर होते हैं।
(3.)बेलन का समीकरण जो वक्र f_{1}(x,y,z)=0 ,f_{2}(x,y,z)=0 को प्रतिच्छेदित करता है और जिसके जनरेटर x-अक्ष के समान्तर हैं f_{1}(x,y,z)=0 तथा f_{2}(x,y,z)=0 से x का विलोपन करके प्राप्त किया जाता है।
(4.)इसी प्रकार इन समीकरणों के बीच y (या z) को विलोपन करके,समीकरणों द्वारा दिए गए वक्र से गुजरने वाले बेलन का समीकरण y (या z) अक्ष के समान्तर जनरेटर प्राप्त किया जाता है।

प्रश्न:2.लम्बवृत्तीय बेलन किसे कहते हैं? (What is a right circular cylinder called?):

उत्तर:यदि जनित करनेवाली रेखा हमेशा निश्चित सीधी रेखा से एक स्थिर (अचर) दूरी पर होता है तो इस प्रकार जनित सिलेन्डर को एक लम्बवृत्तीय बेलन कहा जाता है जिसकी त्रिज्या वह अचर दूरी है और अक्ष निश्चित सीधी रेखा है।

प्रश्न:3.अन्वालोपी बेलन किसे कहते हैं? (What is called an Enveloping cylinder?):

उत्तर:किसी दी हुई दिशा में खींची गई पृष्ठ पर स्पर्शरेखाओं के बिन्दुपथ को पृष्ठ का एन्वालोपी बेलन कहा जाता है अर्थात् एन्वालोपी बेलन वह बेलन जिसका जनरेटर किसी दिए गए पृष्ठ को छूता है और किसी दी गई सीधी रेखा के समान्तर होता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में लम्बवृत्तीय बेलन (Right Circular Cylinder in 3D),त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में लम्बवृत्तीय बेलन का समीकरण (Equation of Right Circular Cylinder in 3D) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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(Right Circular Cylinder in 3D)

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समीकरण ज्ञात करने हेतुकुछ सवाल इससे पूर्व आर्टिकल में हल कर चुके हैं।इस
आर्टिकल में कुछ ओर सवालों को हल करेंगे।

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