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Derivative of Length of an Arc

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1 1.चाप की लम्बाई का अवकलज (Derivative of Length of an Arc):
1.2 3.चाप की लम्बाई का अवकलज की समस्याएं (Derivative of Length of an Arc Problems):

1.चाप की लम्बाई का अवकलज (Derivative of Length of an Arc):

चाप की लम्बाई का अवकलज (Derivative of Length of an Arc):यदि वक्र के किसी स्थिर बिन्दु से मापी गई चाप की लम्बाई s को x का फलन मान लें अर्थात् s=f(x) तो s का x के सापेक्ष अवकलज ज्ञात किया जा सकता है।
समीकरण x=g(y) के साथ एक वक्र के लिए जहाँ g(y) संतत है और अन्तराल c ≤ y ≤ d पर संतत अवकलज है।हम y=c तथा y=d के बीच वक्र की चाप की लम्बाई के लिए एक समरूप सूत्र का अवकलज प्राप्त कर सकते है।
(1.)कार्तीय सूत्र (Cartesian Formula):

\frac{dS}{d x}=\pm \sqrt{\left\{1+\left ( \frac{d y}{d x} \right )^{2}\right\}}
(2.)ध्रुवीय सूत्र (Polar Formula):

\left(\frac{d s}{d \theta}\right)=\sqrt{\left\{r^{2}+\left(\frac{dr}{d \theta}\right)^{2}\right\}} \\ \left(\frac{d s}{d r}\right)=\sqrt{\left\{\left(r \frac{d \theta}{d r}\right)^{2}+1\right\}}
(3.)अन्य सूत्र (Other Formulae):
(i)यदि वक्र का समीकरण प्राचल (Parameter) t के पदों में हो

\frac{d s}{d t}=\sqrt{\left[\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}\right]}
(ii)\frac{d x}{ds}=\cos \psi, \quad \frac{d y}{d s}=\sin \psi
(iii)\sin \phi=r \left(\frac{d \theta}{d s}\right), \cos \phi=\left(\frac{d r}{d s}\right)
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2.चाप की लम्बाई का अवकलज के उदाहरण (Derivative of Length of an Arc Examples):

निम्न वक्रों के लिए \frac{d s}{d x} का मान ज्ञात कीजिए:
(Find \frac{d s}{d x} for the following curves ):
Example:1.y^{2}=4 a x
Solution:y^{2}=4 a x \\ 2 y \frac{d y}{d x}=4a \\ \frac{d y}{d x} = \frac{4 a}{2 y} \\ \frac{d y}{d x}=\frac{2a}{y} \\ \frac{d s}{d x} =\sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}} \\ =\sqrt{1+\left(\frac{2 a}{y}\right)^{2}} \\ =\sqrt{1+\frac{4 a^{2}}{y^{2}}} \\ \Rightarrow\left(\frac{d s}{d x}\right) =\sqrt{\frac{y^{2}+4 a^{2}}{y^{2}}} \\ =\sqrt{\frac{4 a x+4 a^{2}}{y^{2}}} \\ =\sqrt{\frac{4 a(a+x)}{4 a x}} \\ \Rightarrow \frac{d s}{dx}=\sqrt{\frac{a+x}{x}}
Example:2.y=c \cosh \left(\frac{x}{c}\right)
Solution:y=c \cosh \left(\frac{x}{c}\right) \\ \frac{d y}{d x}=\sinh \left(\frac{x}{c}\right) \\ \frac{d s}{d x} =\sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}} \\ =\sqrt{1+\sinh ^{2}\left(\frac{x}{c}\right)} \\ =\sqrt{\cosh ^{2}\left(\frac{x}{c}\right)} \\ \frac{d s}{d x} =\cos h\left(\frac{x}{c}\right)
Example:3.y=\log (\cos x)
Solution:y=\log (\cos x) \\ \frac{d y}{d x}=-\frac{\sin x}{\cos x} \\ \frac{d y}{d x} =-\tan x \\ \frac{d s}{d x} =\sqrt{1 +\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}} \\ =\sqrt{1+\tan ^{2} x} \\ =\sqrt{\sec ^{2} x} \\ \Rightarrow \frac{d s}{d x}=\sec x
Example:4.3 a y^{2}=x(x-a)^{2}
Solution:3 a y^{2}=x(x-a)^{2} \\ 6 a y \left(\frac{d y}{d x}\right)=(x-a)^{2}+2x(x-a) \\ \Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{(x-a)(x-a+2 x)}{6 a y} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{(x-a)(3 x-a)}{6 a y} \\ \left(\frac{d y}{d x}\right)^{2} =\frac{(x-a)^{2}(3 x-a)^{2}}{36 a^{2} y^{2}} \\ =\frac{(x-a)^{2}(3 x-a)^{2}}{36 a^{2} \times \frac{x(x-a)^{2}}{3 a}} \\ \left(\frac{d y}{d x}\right)^{2} =\frac{(3 x-a)^{2}}{12 a x} \\ \Rightarrow \frac{d s}{d x} =\sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}} \\  =\sqrt{1+\frac{(3 x-a)^{2}}{12 a x}} \\ =\sqrt{\frac{12 a x+9 x^{2}-64 x+a^{2}}{12 a x}} \\ =\sqrt{\frac{9 x^{2}+6 a x+a^{2}}{12 a x}} \\ =\sqrt{\frac{(3 x+a)^{2}}{12 a x}} \\ \Rightarrow \frac{ds}{dx}=\frac{3 x+a}{2 \sqrt{3 a x}}
Example:5.y=\log \left(\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\right)
Solution:y=\log \left(\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\right) \\ \frac{d y}{d x} =\frac{1}{\left(\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\right)} \left[\frac{\left(e^{x}+1\right) e^{x}-\left(e^{x}-1\right) e^{x}}{\left(e^{x}+1\right)^{2}}\right] \\ =\frac{e^{x} \left(e^{x}+ 1-e^{x}+1\right)}{\left(e^{x}-1\right)\left(e^{x}+1\right)} \\ \frac{d y}{d x} =\frac{2 e^{x}}{e^{2 x}-1} \\ \frac{d s}{d x} =\sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}} \\ =\sqrt{1+\frac{4 e^{2 x}}{\left(e^{2 x}-1\right)^{2}}} \\ =\sqrt{\frac{\left(e^{2 x}-1\right)^{2}+4 e^{2 x}}{\left(e^{2 x}-1\right)^{2}}} \\ =\sqrt{\frac{e^{4 x}-2 e^{2 x}+1+4 e^{2 x}}{\left(e^{2 x}-1 \right)^{2}}} \\ =\sqrt{\frac{e^{4 x}+2 e^{2 x}+1}{\left(e^{2 x}-1\right)^{2}}} \\ =\sqrt{\frac{\left(e^{2 x}+1 \right)^{2}}{\left(e^{2 x}-1\right)^{2}} }\\ \Rightarrow \frac{d s}{d x}=\frac{e^{2 x}+1}{e^{2 x}-1}

निम्न वक्रों के लिए \frac{d s}{d \theta} ज्ञात कीजिए:
(Calculate \frac{d s}{d \theta} for the following curves):
Example:6.x^{2}=a^{2} \cos 2 \theta
Solution:x^{2}=a^{2} \cos 2 \theta \\ 2r \left(\frac{d r}{d \theta}\right)=-2 a^{2} \sin 2 \theta \\ \frac{d s}{d \theta}= \sqrt{r^{2}+\left(\frac{d r}{d \theta}\right)^{2}} \\ =\sqrt{\left(a^{2} \cos 2 \theta\right) +\frac{\left(-2 a^{2} \sin 2 \theta\right)^{2}}{4 r^{2}}} \\ =\sqrt{a^{2} \cos 2 \theta+\frac{4 a^{4} \sin ^{2} 2 \theta}{4 r^{2}}} \\ =\sqrt{a^{2} \cos 2 \theta+\frac{a^{4} \sin ^{2} 2 \theta}{a^{2} \cos 2 \theta}} \\ =\sqrt{\frac{a^{4} \cos ^{2} 2 \theta+a^{4} \sin ^{2} 2 \theta}{a^{2} \cos 2 \theta}} \\ =\sqrt{\frac{a^{4}\left(\cos ^{2} 2 \theta+\sin ^{2} 2 \theta\right)}{a^{2} \cos 2 \theta}}\\ =\sqrt{\frac{a^{2}}{\cos 2 \theta}}\\ \frac{d s}{d \theta}=a \sqrt{\sec 2 \theta}
Example:7.r=\log \left ( \sin 3 \theta \right )
Solution:r=\log \left ( \sin 3 \theta \right ) \\ \frac{d r}{d \theta}=\frac{3 \cos 3 \theta}{\sin 3 \theta} \\ \left( \frac{d r}{d \theta} \right)=3 \cot 3 \theta \\ \frac{d s}{d \theta} =\sqrt{r^{2}+\left(\frac{d r}{d \theta}\right)^{2}} \\ =\sqrt{r^{2}+(3 \cot 3 \theta)^{2}} \\ \Rightarrow \frac{d s}{d \theta} =\sqrt{((\log (\sin 3 \theta))^{2}+9 \cot ^{2} 3 \theta}
Example:8.r=a\left(\theta^{2}-1\right)
Solution:r=a\left(\theta^{2}-1\right) \\ \frac{d x}{d \theta}=2 a \theta \\ \frac{d s}{d \theta} =\sqrt{r^{2}+ \left(\frac{d r}{d \theta}\right)^{2}} \\ =\sqrt{r^{2}+4 a^{2} \theta^{2}} \\ =\sqrt{a^{2}\left(\theta^{2}-1\right)^{2}+4 a^{2} \theta^{2}} \\ =\sqrt{a^{2}\left(\theta^{4}-2 \theta^{2}+1\right)+4 a^{2} \theta^{2}} \\ =\sqrt{a^{2} \left(\theta^{4}-2 \theta^{2}+1+4 \theta^{2}\right)} \\ =\sqrt{a^{2}\left(\theta^{4}+2 \theta^{2}+1\right)} \\ =\sqrt{a^{2}\left(\theta^{2}+1\right)^{2}} \\ \Rightarrow\left(\frac{d s}{d \theta}\right) =a\left(\theta^{2}+1\right)
Example:9.r =\frac{a}{\theta^{2}-1}
Solution:r =\frac{a}{\theta^{2}-1} \\ \frac{d r}{d \theta} =\frac{-a(2 \theta)}{\left(\theta^{2}-1\right)^{2}} \\ \Rightarrow \frac{d r}{d \theta} =-\frac{2 a \theta}{\left(\theta^{2}-1\right)^{2}} \\ \frac{d s}{d \theta} =\sqrt{\left\{r^{2}+ \left(\frac{dr}{d \theta}\right)^{2}\right\}} \\ =\sqrt{\frac{a^{2}}{\left(\theta^{2}-1\right)^{2}}+\frac{4 a^{2} \theta^{2}}{\left(\theta^{2}-1\right)^{4}}} \\ =\sqrt{\frac{a^{2}}{\left(\theta^{2}-1\right)^{2}} \left[1+\frac{4 \theta^{2}}{\left( \theta^{2}-1\right)^{2}}\right]} \\ \frac{d s}{d \theta}=\sqrt{\frac{a^{2}\left[\left(\theta^{2}-1\right)^{2}+4 \theta^{2} \right]}{\left(\theta^{2}-1\right)^{4}}} \\ \frac{d s}{d \theta} =\frac{a}{\left(\theta^{2}-1\right)^{2}} \sqrt{\left[\theta^{4}-2 \theta^{2}+1+4 \theta^{2}\right]}\\ =\frac{a}{\left(\theta^{2}-1\right)^{2}} \sqrt{\left(\theta^{4}+2 \theta^{2}+1\right)} \\ =\frac{a}{\left(\theta^{2}-1\right)^{2}} \sqrt{\left(\theta^{2}+1\right)^{2}} \\ \Rightarrow \frac{d s}{d \theta}= \frac{a\left( \theta^{2}+1\right)}{\left(\theta^{2}-1\right)^{2}}
निम्न वक्रों के लिए \frac{d s}{d t} ज्ञात कीजिए जहाँ t प्राचल है:
(Calculate \frac{d s}{d t}for the following curves where t is a parameter):
Example:10.x=a \cos ^{3} t, y=b \sin ^{3} t
Solution:x=a \cos ^{3} t, y=b \sin ^{3} t \\ \frac{d x}{d t}=3 a \cos ^{2} t (-\sin t) \\ \Rightarrow \frac{d x}{d t}=-3 a \cos ^{2} t \sin t \\ \frac{d y}{d t}=3 b \sin ^{2} t \cos t \\ \frac{d s}{d t}=\sqrt{\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}} \\ =\sqrt{\left(-3 a \cos ^{2} t \sin t\right)^{2}+\left(3 b \sin ^{2}t \cos t\right)} \\ =\sqrt{9 a^{2} \cos ^{4} t \sin ^{2} t+9 b^{2} \sin ^{4} t \cos ^{2} t} \\ =\sqrt{9 \sin ^{2} t \cos ^{2} t\left(a^{2} \cos ^{2} t+b^{2} \sin ^{2} t\right)} \\ \Rightarrow \frac{d s}{d t}=3 \sin t \cos t \sqrt{a^{2} \cos ^{2} t+b^{2} \sin ^{2} t}
Example:11.x=a \cos t, y=b \sin t
Solution: x=a \cos t, y=b \sin t \\ \frac{d x}{d t}=-a \sin t, \frac{d y}{d t}=b \cos t \\ \frac{d s}{d t}=\sqrt{\left[\left ( \frac{dx}{dt} \right )^{2}+\left ( \frac{dy}{dt} \right )^{2}\right]} \\ =\sqrt{(-a \sin t)^{2}+(b \cos t)^{2}} \\ =\sqrt{a^{2} \sin ^{2} t+b^{2} \cos ^{2} t} \\ b^{2} =a^{2}\left(1-e^{2}\right) \\ \frac{d s}{d t} =\sqrt{a^{2} \sin ^{2} t+a^{2}\left(1-e^{2}\right) \cos ^{2} t} \\ \Rightarrow \frac{d s}{d t}=\sqrt{a^{2} \sin ^{2} t+a^{2} \cos ^{2} t-a^{2} e^{2} \cos^{2} t} \\ \Rightarrow =\sqrt{a^{2}\left(\sin ^{2} t+\cos ^{2} t\right)-a^{2} e^{2} \cos ^{2} t} \\ =\sqrt{a^{2}-a^{2} e^{2} \cos ^{2} t} \\ =\sqrt{a^{2}\left(1-e^{2} \cos ^{2} t\right)} \\ \Rightarrow \frac{d s}{d t} =a \sqrt{\left(1-e^{2} \cos ^{2} t\right)}
Example:12.x=a \sec t, y=b \tan t
Solution:x=a \sec t, y=b \tan t \\ \frac{d x}{d t}=a \sec t \tan t \quad , \frac{d y}{d t}=b \sec^{2} t \\ \Rightarrow \frac{d s}{d t}=\sqrt{\left(\frac{dx}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}} \\ =\sqrt{a^{2} \sec ^{2} t \tan ^{2} t+b^{2} \sec^{4}t} \\ =\sqrt{a^{2} \sec ^{2} t \frac{\sin ^{2} t}{\cos ^{2} t}+b^{2} \cos^{4} t} \\ =\sqrt{a^{2} \sin ^{2} t \sec ^{4} t+b^{2} \sec ^{4} t} \\ =\sqrt{\sec ^{4} t\left(a^{2} \sin ^{2} t+b^{2}\right)} \\ \frac{d s}{d t}=\sqrt{\left(a^{2} \sin ^{2} t+b^{2}\right) } \sec ^{2} t
Example:13.यदि (If) x \sin t+y \cos t=f^{\prime}(t) तथा (and) x \cos t-y \sin t=f^{\prime \prime}(t) तो सिद्ध कीजिए कि (Then prove that) \frac{d s}{d t}=f^{\prime}(t)+f^{\prime \prime \prime}(t)
Solution: x \sin t+y \cos t=f^{\prime}(t) \\ x \cos t-y \sin t=f^{\prime \prime}(t) \\ \frac{dx}{dt} \sin t +x \cos t+ \frac{dy}{dt} \cos t -y \sin t=f^{\prime \prime}(t)\\ \Rightarrow \frac{d x}{d t} \sin t+\frac{d y}{d t} \cos t+f^{\prime \prime}(t)=f^{\prime \prime}(t) \\ \Rightarrow \frac{d x}{d t} \sin t+\frac{d y}{d t} \cos t=0 \cdots(1)\\ x \cos t-y \sin t=f^{\prime \prime}(t) \\ \frac{d x}{d t} \cos t-x \sin t-\frac{d y}{d t} \sin t -y \cos t=f^{\prime \prime \prime}(t) \\ \frac{d x}{d t} \cos t-\frac{d y}{d t} \sin t=f^{\prime}(t)+f^{\prime \prime \prime}(t) \cdots(2)

 समीकरण (1) व (2) का वर्ग करके जोड़ने पर 

\left ( \frac{dx}{d t} \sin t+\frac{dy}{d t} \cos t \right )^{2}+\left(\frac{d x}{d t} \cos t-\frac{dy}{d t} \sin t\right)^{2} =(0)^{2}+\left[f^{\prime}(t)+f^{ \prime \prime \prime}(t)\right]^{2} \\ \Rightarrow \left(\frac{d x}{d t}\right)^{2} \sin ^{2} t+\left(\frac{d y}{d t} \cos t\right)^{2} +2\left(\frac{d x}{d t}\right)\left(\frac{d y}{d t}\right) \sin t \cos t +\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2} \cos ^{2} t+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2} \sin ^{2} t-2\left(\frac{d x}{d t}\right)\left(\frac{d y}{d t}\right) \cos t \sin t =\left[f^{\prime}(t)+f^{\prime \prime \prime}(t)\right]^{2} \\ \Rightarrow\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}\left[\sin ^{2} t+\cos ^{2} t\right]+ \left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}\left[\cos ^{2} t+\sin ^{2} t \right]= \left[f^{\prime}(t)+f^{\prime \prime \prime}(t)\right]^{2} \\ \Rightarrow \left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+ \left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}= \left[f^{\prime}(t) +f^{\prime \prime \prime}(t)\right]^{2} \\ \Rightarrow \frac{d s}{d t}=\sqrt{\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+ \left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}} \\ \Rightarrow \frac{d s}{d t}=\sqrt{\left[f^{\prime}(t)+f^{\prime \prime \prime }(t)\right]^{2}} \\ \Rightarrow \frac{d s}{d t}=f^{\prime}(t)+f^{\prime \prime \prime }(t)
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा चाप की लम्बाई का अवकलज (Derivative of Length of an Arc) को समझ सकते हैं।

3.चाप की लम्बाई का अवकलज की समस्याएं (Derivative of Length of an Arc Problems):

(1.)वक्र y=a \log \sec(\frac{x}{a}) के लिए सिद्ध कीजिए कि (For the curve y=a \log \sec(\frac{x}{a}) ,prove that) \frac{ds}{dx}=\sec \left(\frac{x}{a}\right) and \frac{d^{2} x}{d s^{2}}=-\frac{1}{2a} \sin \left(\frac{2 x}{a}\right)
(2.)दीर्घवृत्त x=a \cos \theta, y=b \sin \theta के लिए सिद्ध कीजिए कि
(For the ellipse x=a \cos \theta, y=b \sin \theta prove that) \frac{d s}{d \theta}=a \sqrt{\left(1-e^{2} \cos ^{2} \theta\right)}
(3.)साइक्लाइड x=a(1-\cos t) ; y=a(t+\sin t) के लिए निम्न ज्ञात कीजिए।
(For the cycloid x=a(1-\cos t) ; y=a(t+\sin t) ,Find \frac{d s}{d t},\frac{d s}{d x} तथा (and) \frac{d s}{d y}
उत्तर (Answers):\text { (3.) } \frac{d s}{d t}=2 a \cos (\frac{t}{2}), \frac{ds}{dx}=\operatorname{cosec}(\frac{t}{2}), \frac{d s}{d y}=\sec (\frac{t}{2})
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर चाप की लम्बाई का अवकलज (Derivative of Length of an Arc) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.चाप की लम्बाई का अवकलज (Derivative of Length of an Arc) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.आप वक्र की चाप की लंबाई कैसे ज्ञात करते हैं? (How do you find the arc length of a curve?):

उत्तर:चक्रज x = t – sin t,y = 1 – cos t के एक आवर्त में चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए।t का मान 0 से 2π तक चलता है।लघुगणकीय सर्पिल r = e^θ के पहले घूर्णन की लंबाई ज्ञात कीजिए।θ का मान 0 से 2π तक चलता है।

प्रश्न:2.चाप की लंबाई का फलन क्या है? (What is the arc length function?):

उत्तर:यदि एक वेक्टर-मूल्यवान फ़ंक्शन समय के फलन के रूप में अंतरिक्ष में एक कण की स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है,तो चाप-लंबाई फ़ंक्शन मापता है कि वह कण समय के फलन के रूप में कितनी दूर यात्रा करता है। चाप-लंबाई फ़ंक्शन के लिए सूत्र चाप लंबाई के सूत्र से सीधे अनुसरण करता है: s=\int_{a}^{t} \sqrt{(f′(u))^2+(g′(u))^2+(h′(u))^2}du

प्रश्न:3.हम चाप की लंबाई को पैरामीटर क्यों करते हैं? (Why do we parameterize arc length?):

उत्तर:जब हम “सरल” कहते हैं तो हमारा मतलब यह नहीं है कि समीकरण खोजने में आसान हैं, बल्कि यह कि कण की गतिशीलता (dynamics) सरल है।चाप की लंबाई के आधार पर मापन करने में हमारी सहायता करने के लिए,हम चाप लंबाई फलन को परिभाषित करते हैं।ताकि r(s) को चाप की लंबाई द्वारा परिचालित (parameterized) किया जाएगा।

प्रश्न:4.एक चाप की लंबाई क्या है? (What is the length of an arc?):

उत्तर:चाप की लंबाई = 2πr (θ/360)
जहाँ r = वृत्त की त्रिज्या, π= pi = 3.14।= वृत्त के केंद्र पर एक चाप द्वारा अंतरित कोण (डिग्री में)।360=एक पूर्ण घूर्णन का कोण।उपरोक्त दृष्टांत से,चाप की लंबाई (लाल रंग में खींची गई) बिंदु A से बिंदु B की दूरी है।

प्रश्न:5.वक्र की चाप लंबाई क्या है? (What is arc length of a curve?):

उत्तर:चाप की लंबाई वक्र के एक खंड के साथ दो बिंदुओं के बीच की दूरी है।एक अनियमित चाप (irregular arc) खंड की लंबाई निर्धारित करने को वक्र का चापकलन (rectification) भी कहा जाता है।

प्रश्न:6.चाप का सूत्र क्या होता है? (What is the formula for arc?):

उत्तर:एक वृत्त की चाप की लंबाई की गणना त्रिज्या और केंद्रीय कोण (central angle) के साथ चाप लंबाई सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है,एक चाप की लंबाई =θ × r,जहां θ रेडियन में है।चाप की लंबाई = θ × (π/180) × r,जहां डिग्री में है।

प्रश्न:7.क्या चाप की लंबाई ऋणात्मक हो सकती है? (Can arc length be negative?):

उत्तर:एक वक्र की चाप की लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती,जिस प्रकार दो बिंदुओं के बीच की दूरी ऋणात्मक नहीं हो सकती।

प्रश्न:8.चाप की लंबाई और त्रिज्यखंड क्षेत्रफल क्या है? (What is arc length and sector area?)

उत्तर:एक वृत्त की त्रिज्या एक सीधी रेखा है जो वृत्त के केंद्र को परिधि के किसी भी बिंदु से मिलाती है।चाप की लंबाई के सूत्र का उपयोग किसी वृत्त के चाप की लंबाई ज्ञात करने के लिए किया जाता है;ℓ=rθ ,जहां रेडियन में है। त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (Sector area) A=\frac{πθr^{2}}{360} पाया जाता है,जहां θ रेडियन में है।

प्रश्न:9.चाप की लंबाई की खोज किसने की? (Who discovered arc length?):

उत्तर:आर्किमिडीज (Archimedes) ने सबसे पहले अपनी थकावट की विधि (उपयुक्त नाम) [method of exhaustion (aptly named)] के साथ एक वक्र के नीचे के क्षेत्र को खोजने का एक तरीका बनाया था।कुछ लोगों का मानना ​​​​था कि वक्रों की निश्चित लंबाई होना भी संभव है,जैसा कि सीधी रेखाएँ होती हैं।समाकल सूत्र (integral formula) की खोज 1659 में हेंड्रिक वैन ह्यूरेट (Hendrik van Heuraet) और पियरे डी फ़र्मेट (Pierre de Fermat) ने की थी।

प्रश्न:10.क्या चाप की लंबाई का मानकीकरण अद्वितीय है? (Is arc length parameterization unique?):

उत्तर:नहीं, parametrizations अद्वितीय नहीं हैं।

प्रश्न:11.पैरामीट्रिजेशन क्या है? (What is parametrization?):

उत्तर:Parametrization एक गणितीय प्रक्रिया है जिसमें एक प्रणाली (system),प्रक्रिया (process) या मॉडल (model) की स्थिति को कुछ स्वतंत्र मात्राओं के एक फ़ंक्शन के रूप में व्यक्त किया जाता है जिन्हें पैरामीटर कहा जाता है।मापदंडों की संख्या प्रणाली की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा चाप की लम्बाई का अवकलज (Derivative of Length of an Arc) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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